切线与割线斜率关系的深度探析
谈曲线割线与中切线斜率关系问题的通用解法
x 2 x1 2
即 ] 0，
x x1 f (x2 ) f (x1) )。 f '( 2 2 x2 x1
【例 4】已知函数 f (x) x ln x, (x 0) ， x1 , x2 ( x1 x2 ) 为函数图像上任意两 点的横坐标，求证：
（ （ⅱ） 若 f (x) 0 有两个实根， 分别为 x1, x 试比较 2 x1 x2 ) ，
f '( x2 x1 ) 的大小。 2
通法： （ⅰ）易求得 a 的取值范围为 a 0或a 1；
f (x2 ) f (x1) 与 x2 x1
（ⅱ） 由于 f (x) e ax 1， 故 f ' (x) e a ， 进而 f ' ' (x) f ' ' ' (x) e 0 ， 。
a 0 时，有
f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1) x x f ' ( x2 x1 ) ； a 0 时，有 f '( 2 1 ) 。 x2 x1 x2 x1 2 2
x
【例 3】已知函数 f (x) e ax 1.
3
（ⅰ）若 f (x) 0 仅有一个实根，求实数 a 的取值范围；
x1 , x 2 D , 且 x1 x 2 ：若 f ''(x) 单调递增，则有
若 f ''(x) 为常数，则有
f (x2 ) f (x1) x x f '( 2 1 ) ； x2 x1 2
f ( x2 ) f ( x1 ) x x f ' ( 2 1 ) ；若 f ''(x) 单调递减，则有 x2 x1 2
浅谈“割线与切线”的斜率之间的关系——由学生的提问所引发的教学探究
解法 ２ 设所截 ３ 段的长分别为 口 ６ｚ 口 ，，一 一
步探讨
浅 谈 “割 线 与 切 线 ＂的 斜 率 之 间 的 关 系
— —
由学生 的提 问所 引发 的教学探究
（ 白水高级中学 湖北枣阳 ４１１） ４２４
●张 琴字
问题 １ 已知 曲线 Ｃ： ｈ一 ｅ（ ｙ＝ｅ ２ ∈Ｒ） 任 上
同样可得 ＝ ， ÷ 也就是说不同的实数组（ ６ 可 ，）
以得 到相 同Βιβλιοθήκη 的 ， ， 此 与 口 Ｙ与 ｂ构 成 的并 不 Ｙ因 ， 是一 一 对应 的等 价关 系 ， 解 法 ２是 不 正 确 的． 故 有
兴趣 的读者不妨对这 ２个相似背景 问题 中的锐角
图５ 图６
三角形 、 直角三角形及钝角三角形的概率问题作进
２ 一 ｌ ２ 一 １
结论
已 知 函 数 ｆ（ 是 定 义 在 连 续 区 间 ）
（ｃＲ 上 的可导 函数 ． 曲线 Ｃ： 厂 ） 任 意 ２ Ｉ ） ＿ 若 Ｙ＝ （ 上
个点连线的斜率 的取值 范 围为集 合 Ａ 其导 函数 ， ’ 的值 域为集 合 Ｂ， 有 以下 结论 ： （ ） 则
综 上所 述 ， 论得 证． 结 例 女 Ⅱ ）＝ （ ∈Ｒ） ．
在 该 函数 的 图 像 上任 取 ２个 点 （ ， ， ： ，Ｙ ） （ ， Ｙ ） ≠ ）过 这 ２ 点 连线 的斜 率 （ ， 个
ｋ： 二 ： ＿＝ ：％ １∈ Ｒ ， － ２ ＿ ＝ ％ ＝一 ＿ ＝一 － １＋ ２＋ ，∈ ．
ｒ ０＜ａ＜Ｚ ； ｒ ＜口＜Ｚ ０ ；
则 题 目就可 以转 化 为如 下 的 问题 ：
Ｏ －
｛＜ ＜； 即 ０ ｂ ￡ 【 ｂｚ ０ ｛＜ ＜； ０ ｚ口 ｂ ｚ 【＜ ＋ ＜， ＜一 一 ＜， ０ ０ ｂ ２
两条切线互相垂直斜率关系
两条切线互相垂直斜率关系在数学领域中，我们经常会遇到两条直线相交的情况。
如果两条直线互相垂直，则它们会在交点处形成一个直角。
那么问题来了，我们如何确定两条切线互相垂直的情况呢？答案就是斜率关系。
什么是斜率？直线的斜率是这条直线在坐标系中形成一个角度，用于衡量直线的倾斜程度。
我们通常用k来表示。
现在我们来看两条切线相交的情况。
假设我们有两条曲线，f(x)和g(x)，它们在某处相交。
我们定义点(A, f(A))为曲线f(x)在该点的一个坐标，同理，点(B, g(B))为曲线g(x)在该点的一个坐标。
在这两个点处，我们可以看到两个切线，分别是tang_f和tang_g。
我们需要分别确定这两条切线在交点处的斜率。
首先，我们来看切线tang_f的斜率。
根据微积分的定义，我们可以得出：f'(A) = lim((h->0) ((f(A+h) - f(A)))/h)f'(A)表示曲线f(x)在点A处的切线的斜率，lim表示h趋近于0的极限值。
我们可以将h=0代入方程，这样除数变成了0，但f(A+h) - f(A)不等于0。
所以，我们需要对分子和分母同时除以h。
这样，我们就可以得到：f'(A) = lim((h->0) (f(A+h) - f(A))/h) (*)同样，我们可以计算切线tang_g的斜率。
我们需要使用相同的方法，只不过需要将上式中的f变成g。
g'(B) = lim((h->0) (g(B+h) - g(B))/h)现在，我们来看两个斜率的乘积，即f'(A) * g'(B)。
如果它们相乘等于-1，则两条切线互相垂直。
因此，我们需要将这个等式的两边代入(*)式中，这样可以得到：f'(A) * g'(B) = -1如果你有数学基础，你可以自行证明这个等式成立。
如果你不确定它的正确性，可以自己尝试证明一下。
不难发现，这个等式和勾股定理非常相似，也是用来证明直角三角形的一个重要定理。
法线切线斜率的关系
法线切线斜率的关系法线和切线是解析几何中常见的概念，它们在数学和物理学中有着重要的应用。
而法线切线斜率则描述了这两条线的斜率之间的关系。
本文将围绕这一关系展开讨论，并深入探究其背后的数学原理和物理意义。
一、法线和切线的定义和性质我们先来了解一下法线和切线的定义和性质。
在解析几何中，给定一条曲线上的一点P，以P为切点的切线是曲线与此切线相切于P 点且仅有一个公共点的直线。
而以P为切点的法线是与此切线垂直的直线。
切线和法线的斜率分别称为切线斜率和法线斜率。
二、切线斜率的定义和计算方法切线斜率的定义是切线与x轴正方向之间的夹角的正切值。
设曲线方程为y=f(x)，切线斜率可通过求导得到。
具体而言，我们可以计算曲线函数在切点的导数，即切线的斜率。
若曲线函数为y=f(x)，则切线斜率为f'(x)。
这意味着切线斜率可以通过求导来计算。
三、法线斜率的定义和计算方法法线斜率的定义是法线与x轴正方向之间的夹角的正切值。
由于法线与切线互为垂直关系，故法线斜率与切线斜率之积为-1。
设切线斜率为k，则法线斜率为-1/k。
这意味着我们可以通过切线斜率的倒数来计算法线斜率。
根据切线斜率和法线斜率的定义，我们可以得到法线切线斜率之间的关系。
设切线斜率为k，法线斜率为m，则根据前述推导，有m=-1/k。
也就是说，法线斜率与切线斜率互为倒数关系。
五、物理意义和应用法线和切线的概念不仅在数学中有应用，也在物理学中有重要的意义。
在物理学中，曲线往往表示某一物理量随着另一物理量的变化而变化的规律。
切线斜率描述了曲线的变化速率，而法线斜率则描述了曲线的变化趋势。
举个例子来说，我们考虑一个物理问题：某一物体的速度随时间的变化曲线。
速度-时间曲线上的某一点的切线斜率就是该点的加速度，而法线斜率则描述了加速度的变化趋势。
如果法线斜率为正，表示加速度逐渐增大；如果法线斜率为负，表示加速度逐渐减小。
这样，我们就可以通过法线斜率来分析物体的加速度变化规律。
导数割线的斜率和切线的关系
导数割线的斜率和切线的关系
关于导数割线的斜率与切线之间的关系，是工业工程的一个重要的概念。
从数学的角度来看，可以概括为：求得函数的唯一切线，其斜率等于该函数的导数。
理解这一关系，首先需要梳理清楚其中的基本概念：函数是由空间两点之间的关系图像表示的，斜率指的是空间中两点之间的对比，也就是定义域变量和值域变量之间的比值（可以理解为两点连线的倾斜程度）；导数也是定义域变量与值域变量之间的变化率，它同样可以被用于表示两点之间对比的性质，但是它包含的信息比斜率多，它不仅包含了两点之间的对比性，而且包含了变化的加速度。
通过以上的解释，我们可以看出，斜率和导数之间的联系在于：斜率表体示两点之间的对比，而导数则则表明变化的加速度。
当定义域变量发生变化，函数的唯一切线的斜率便会对应发生变化，即变化率就等于函数的导数，这样一来，函数有唯一切线，其斜率则为该函数的导数。
在实际应用中，理解函数的导数割线与切线之间的关系，是工业工程的一个重要知识。
例如可以用于优化流程的能力，减少能量消耗；也可以将函数的导数割线实验，对新型加工器材等实施改进，从而取得最优化的生产效果。
据此，可以看出，函数的导数割线与切线之间的实质部分，是一种关系：斜率等于该函数的导数。
通过对这种关系的深入理解，可以为工业工程中节能，优化机械改进等应用提供指导意义。
切点和切线斜率的关系
切点和切线斜率的关系引言在微积分中，我们学习了曲线的切线与切点的概念。
切线是一条穿过曲线上某一点的直线，而切点则是曲线与切线相交的点。
切线斜率表示了切线的斜率，也是曲线在切点处的导数。
本文将会深入探讨切点和切线斜率之间的关系。
一、切线的定义与切点的求解1.1 切线的定义切线是一个重要的概念，它可以帮助我们研究曲线在某一点的性质。
在数学上，一条直线被称为曲线的切线，如果它与曲线相切于该点，并且在该点的导数存在。
1.2 切点的求解切点是指切线与曲线相交的点。
为了求解切点，我们需要先求解曲线的导数。
对于函数y=f(x)，它的切点可以通过以下步骤求解： 1. 求解函数f(x)的导数f′(x)。
2. 解方程f′(x)=k，其中k为切线的斜率。
3. 将方程中的解代入函数f(x)，得到切点的坐标(x0,y0)。
二、切点和切线斜率的关系2.1 切点的坐标与曲线的性质切点的坐标(x0,y0)与曲线的性质有密切关系。
当我们求得切点的坐标后，可以通过分析坐标的变化来推断曲线的特性。
例如，当切点的坐标为(a,f(a))时，我们可以得到以下结论： - 曲线在点(a,f(a))处存在切线。
- 切线的斜率等于函数f(x)在点a处的导数f′(a)。
2.2 切点与函数的极值点切点与函数的极值点之间存在一定的关系。
当切线与曲线相切于某一点(a,f(a))时，有以下结论： - 如果切线的斜率等于0，则点(a,f(a))是函数f(x)的极值点。
-如果切线的斜率存在且不等于0，则点(a,f(a))不是函数f(x)的极值点。
2.3 切点与函数的凹凸性切点与函数的凹凸性也有一定的联系。
当切线与曲线相切于某一点(a,f(a))时，有以下结论： - 如果切线的斜率大于函数f(x)的导数f′(x)，则点(a,f(a))是函数f(x)的拐点。
- 如果切线的斜率小于函数f(x)的导数f′(x)，则点(a,f(a))不是函数f(x)的拐点。
2.4 切点与函数的曲率切点与函数的曲率也有一定的关系。
切线与割线斜率关系的深度探析
( x0, f ( x0 ) ) 一定是拐点. 又 k % P, 所以曲线 C 不存
22
在与 l 平行的割线, 也即平行于拐点 ( x0, f ( x0 ) ) 处 切线的任意直线与曲线 C 至多有一个交点, 必要性 成立.
( 4) 由 ( 3) 的证明易知结论成立.
由上述定理 可知, 对于 二阶 可导 曲线 C: y = f (x ) 有: ∋ 当且仅当曲线 C 不存在拐点, 或对曲线 C
和 F, 割线 EF 的斜率等于切线 l的斜率, 所以 Q ! P, 又由 ( 1) 知 P ! Q, 所以 P = Q;
( 3) 一方面, 因为曲线 C 存在这样的拐点, 使得
平行于该拐点处切线的任意直线与曲线 C 至多有一 个交点, 所以曲线 C 上任意两点的连线的斜率都不等
于该拐点处切线的斜率, 所以 P Q, 充分性成立;
,
+
#
上 递 增, 所以
h( x ) m in
=
h(
1 3
)
=-
1 27
3+
4.
若 h( x ) min ! 0, 则 | h (x ) |m in = 0, 此时 | 2x3 -
x2 + 4 | > 1对任意的 x > 0 不能恒成立, 故必有
h ( x )m in
>
0, 此时
| h(x)
|m in =
x
x2 2
12
-
3
33 x1 x2
>
1
3x1 x2 +
x1 + x2 x1 x2
>
3
33
或
5x1 x2
+
切线与割线斜率关系的深度探析
切线与割线斜率关系的深度探析1.问题提出文【1】得出了如下的结论：设()y f x =是定义在(,)a b 上的可导函数，曲线:()C y f x =上任意两个不同点的连线(称为割线)斜率的取值区间为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则P Q ⊆，而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值.并指出，求解1212()()f x f x x x -∨-的恒成立问题，可将1212()()f x f x x x --转化为()f x '，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意.例如，已知21()2ln (0)f x x x x xλ=++>，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()f x f x x x ''->-，求λ的取值范围(四川2006高考题变式). 【解】设21()()4g x f x x x x λ'==-+，322()4g x x xλ'=+-，依条件1212()()1g x g x x x ->-，由()1g x '>得32241x x λ+->，以1x 替换x ，则有32241x x λ-+>对任意0x >恒成立.①当0λ≤时，显然成立；②当0λ>时，令32()24(0)h x x x x λ=-+>，2()62h x x x λ'=-，令()03h x x λ'=⇒=.min ()()4327h x h λλ∴==-+.若min ()0h x ≤，则min ()0h x =，此时32241x xλ-+>对任意0x >不能恒成立，故必有min ()0h x >，此时3min min ()()427h x h x λ==-+，依条件有3341274027λλλ⎧-+>⎪⎪⇒<<⎨⎪-+>⎪⎩综上得λ<.下面检验端点λ=是否符合题意.当λ=时，1212()()f x f x x x ''->-12221241x x x x +⇔+>1212123x x x x x x +⇔+>或1212125x x x x x x ++<. 由于1212121212333x x x x x x x x x x ++>=≥(当12x x =时取等号)，故λ=符合题意，因而λ=反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验λ=验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P Q =？何时P Q Ø，且Q 比P 多了区间P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2.结论构建定理 设()y f x =是定义在连通开区间()I I R ⊆上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则(1)P Q ⊆；(2)当曲线C 不存在拐点时，P Q =；(3)P Q ⇔Ø曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S ，则Q P S =ð.引理1 函数()y f x =在(,)a b 内二阶可导，则曲线()y f x =在(,)a b 内上凸(或下凸)的(,)x a b ⇔∀∈，()0f x ''≤(或0≥)，且在(,)a b 的任何子区间上()f x ''不恒为0.引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若()y f x =在一个连通开区间I 上二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =拐点的必要条件是0()0f x ''=.下面给出定理的证明.(1)12,x x I ∀∈，设12x x <，由于()f x 在[]12,x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由拉格朗日中值定理可得，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-，故P Q ⊆.(2) 由于曲线C 不存在拐点，故曲线C 的凸性确定.不妨 设下凸.设l 是曲线C 的任意一条切线，则C 必在l 的上方， 将l 向上平移很小一段距离至直线m ，则m 必与C 交于两个 不同的点,E F ，割线EF 的斜率等于l 的斜率，故Q P ⊆， 但由(1)知P Q ⊆，故P Q =.(3)一方面，因曲线C 存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C 至多有一个交点，故曲线C 上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，P Q ∴Ø，充分性得证.另一方面，由于P Q Ø，故k Q ∃∈，但k P ∉，令曲线在点00(,())x f x 处的切线为l ，其斜率为k ，若00(,())x f x 不是拐点，则必存在开区间0I I ⊆，使 得00x I ∈，且曲线在0I 上凸性确定.由(2)的证明知，曲线在0I 上必存在某两点的割线斜率等于k ，故k P ∈与k P ∉矛盾，故00(,())x f x 一定是拐点，又k P ∉，故曲线C 不存在与l 平行的割线，也即平行于拐点00(,())x f x 处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证.(4)由(3) 的证明易知结论成立.由定理知，对于二阶可导曲线:()C y f x =，有①当且仅当曲线C 不存在拐点，或对曲线C 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切EF lEm线的直线与曲线C 至少有两个交点时，P Q =.②可导曲线C 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.对于只有一个拐点的二阶可导函数，有如下的推论 当曲线C 只有一个拐点A 00(,())x f x 时，必有P Q Ø，而且{}0()Q P f x '=ð.证明：根据定理结论(3)，只需要证明斜率为0()k f x '=的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可.设斜率为0()k f x '=的任意一条直线为()g x kx b =+.考察方程()()0f x g x -=在I 上解的个数. 令()()()()h x f x g x f x kx b =-=--，0()()()()h x f x k f x f x ''''=-=-.因为曲线C 只有一个拐点00(,())A x f x ，故在拐点的两侧 曲线C 的凸性相反.不妨设左侧上凸，右侧下凸.则当0x x <时，()0f x ''<，故()f x '，0()()()0h x f x f x '''=->；当0x x >时，()0f x ''>，故()f x '，0()()()0h x f x f x '''=->.故()h x 在I上，故()()0f x g x -=至多有一解，即直线()g x kx b =+与曲线C 的交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线斜率范围问题提供了一种新方法.【例】已知曲线2:3()x x C y e e x R =-∈任意不同两点的连线斜率为k ，求k 的取值范围.解 22399232()488xx x y ee e '=-=--≥-，又243(43)x x x x y e e e e ''=-=-.当3ln 4x <时0y ''<，曲线上凸；当3ln 4x >时0y ''>，曲线下凸，故曲线在3ln4x =处是一个拐点，而3498x y ='=-，根据推论，k 的取值范围为9(,)8-+∞.曹军，《中学数学杂志》2010年11月.【附】文【1】主要结论1212()()f x f x x x -∨-定理 设()y f x =在(,)a b 内可导，连结其图象上任意两点,A B 的割线斜率为AB k ，图象上任意一点处的切线斜率为k ，则(1) 若k m >，则AB k m >；若k m ≥，则AB k m >或AB k m ≥. (2)若AB k m >，则k m >或k m ≥；若AB k m ≥，则k m ≥.证明：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =图象上任意不同的两点. (1)不妨设12x x <，由拉格朗日中值定理可知，在12(,)x x 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-.由于k m >，故()f m ξ'>，故AB k m >.其余类似.(2)设21(0)x x x x =+∆∆≠，211121()()()()AB f x f x f x x f x k m x x x-+∆-==>-∆，则1100()()lim lim x x f x x f x m m x ∆→∆→+∆-≥=∆，即()f x m '≥.其余类似. A。
浅谈高中物理中切线斜率和连线斜率
浅谈高中物理中切线斜率和连线斜率
杨荣生
【期刊名称】《物理通报》
【年(卷),期】2018(000)012
【摘要】图像的斜率是高中学生较为难理解的问题,根据不同的定义有不同的物理含义.通过切线的斜率和连线的斜率对比,进一步明确物理概念,理解物理量的物理意义.
【总页数】2页(P45-46)
【作者】杨荣生
【作者单位】人大附中深圳学校广东深圳 518116
【正文语种】中文
【相关文献】
1.函数图像的"切线斜率"的理解及在高中物理解题中的应用 [J], 于胜寒
2.例谈中学物理图像中的切线斜率和过原点割线斜率 [J], 夏少标
3.高中物理方法"图像法"中图像斜率的应用 [J], 赵娟
4.图像的斜率在高中物理教学中的应用 [J], 喻世田
5.图像的斜率在高中物理教学中的应用 [J], 喻世田
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割线斜率集是切线斜率集真子集的一个充要条件
取值集合 相 同，又 ｇ′（ｘ）＝４＋ｘ２３ －ｘλ２ ＞４，所 以
ｇ（ｘｘ１１）－－ｇｘ２（ｘ２）＞４，显 然 满 足 题 意 ；
２° 当λ＞０ 时 ，令 ｇ″（ｘ）＝０ 得 ｘ０ ＝λ３ ，当 ０＜
ｘ＜λ３时，ｇ″（ｘ）＜０，当 ｘ＞λ３ 时，ｇ″（ｘ）＞０，所 以
５４
数学通报 ２０１１年 第５０卷 第１２期
②
令ｇ（ｔ）＝２ｌｎ（ｔ２ｔ－ｔ－１２ １）２，
则 ｇ（ｔ）＝２ｌｎｔｔ２２－－ｌ（ｎ２ｔ（２－ｔ１－）１），
设 Ａ（２ｔ－１，ｌｎ（２ｔ－１）），Ｂ（２ｔ，ｌｎｔ２）是对数函
数ｙ＝ｌｎｘ（ｘ＞１）图像上的两点，则ｇ（ｔ）＝ｋ２ＡＢ ， 因为曲 线 ｙ＝ｌｎｘ（ｘ＞１）上 凸，无 拐 点，根 据
推论２，曲线ｙ＝ｌｎｘ（ｘ＞１）上 割 线 斜 率 的 取 值 集 合等 于 切 线 斜 率 的 取 值 集 合，又 ０＜ｙ′＜１，所 以 ０＜ｋＡＢ ＜１，所以ｇ（ｔ）＞２，结合②得ａ≤２．
例１（２００９年高 考 辽 宁 卷 理 ２１ 题）已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝ １２ｘ２ －ａｘ＋ （ａ－１）ｌｎｘ，ａ＞１．
（１）讨 论 函 数 ｆ（ｘ）的 单 调 性 ； （２）证 明：若 ａ＜５，则 对 任 意 ｘ１，ｘ２ ∈ （０， ＋ ∞ ），ｘ１ ≠ｘ２ ，有ｆ（ｘｘ１１）－－ｘｆ２（ｘ２）＞ －１． 解 （１）略 ；（２）ｆ′（ｘ）＝ｘ＋ａｘ－１－ａ，ｆ″（ｘ）
切线与割线斜率关系的深度探析
切线与割线斜率关系的深度探析1.问题提出文【1】得出了如下的结论：设()y f x =是定义在(,)a b 上的可导函数，曲线:()C y f x =上任意两个不同点的连线(称为割线)斜率的取值区间为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则P Q ⊆，而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值. 并指出，求解1212()()f x f x x x -∨-的恒成立问题，可将1212()()f x f x x x --转化为()f x '，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意. 例如，已知21()2ln (0)f x x x x xλ=++>，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()f x f x x x ''->-，求λ的取值范围(四川2006高考题变式). 【解】设21()()4g x f x x x x λ'==-+，322()4g x x xλ'=+-，依条件1212()()1g x g x x x ->-，由()1g x '>得32241x x λ+->，以1x 替换x ，则有32241x x λ-+>对任意0x >恒成立.①当0λ≤时，显然成立；②当0λ>时，令32()24(0)h x x x x λ=-+>，2()62h x x x λ'=-，令()03h x x λ'=⇒=.min ()()4327h x h λλ∴==-+. 若min ()0h x ≤，则m in ()0h x =，此时32241x xλ-+>对任意0x >不能恒成立，故必有min ()0h x >，此时3min min ()()427h x h x λ==-+，依条件有33412704027λλλ⎧-+>⎪⎪⇒<<⎨⎪-+>⎪⎩. 综上得λ<.下面检验端点λ=是否符合题意.当λ=时，1212()()f x f x x x ''->-12221241x x x x +⇔+>1212123x x x x x x +⇔+>或1212125x x x x x x ++<. 由于1212121212333x x x x x x x x x x ++>=≥(当12x x =时取等号)，故λ=符合题意，因而λ=反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验λ=验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P Q =？何时P Q Ø，且Q 比P 多了区间P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2.结论构建定理 设()y f x =是定义在连通开区间()I I R ⊆上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则(1)P Q ⊆；(2)当曲线C 不存在拐点时，P Q =；(3)P Q ⇔Ø曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S ，则Q P S =ð. 引理1 函数()y f x =在(,)a b 内二阶可导，则曲线()y f x =在(,)a b 内上凸(或下凸)的(,)x a b ⇔∀∈，()0f x ''≤(或0≥)，且在(,)a b 的任何子区间上()f x ''不恒为0.引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若()y f x =在一个连通开区间I 上二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =拐点的必要条件是0()0f x ''=.下面给出定理的证明.(1)12,x x I ∀∈，设12x x <，由于()f x 在[]12,x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由拉格朗日中值定理可得，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-，故P Q ⊆. (2) 由于曲线C 不存在拐点，故曲线C 的凸性确定.不妨设下凸.设l 是曲线C 的任意一条切线，则C 必在l 的上方，将l 向上平移很小一段距离至直线m ，则m 必与C 交于两个不同的点,E F ，割线EF 的斜率等于l 的斜率，故Q P ⊆，但由(1)知P Q ⊆，故P Q =.(3)一方面，因曲线C 存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C 至多有一个交点，故曲线C 上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，P Q ∴Ø，充分性得证.另一方面，由于P Q Ø，故k Q ∃∈，但k P ∉，令曲线在点00(,())x f x 处的切线为l ，其斜率为k ，若00(,())x f x 不是拐点，则必存在开区间0I I ⊆，使 得00x I ∈，且曲线在0I 上凸性确定.由(2)的证明知，曲线在0I 上必存在某两点的割线斜率等于k ，故k P ∈与k P ∉矛盾，故00(,())x f x 一定是拐点，又k P ∉，故曲线C 不存在与l 平行的割线，也即平行于拐点00(,())x f x 处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证.(4)由(3) 的证明易知结论成立.由定理知，对于二阶可导曲线:()C y f x =，有①当且仅当曲线C 不存在拐点，或对曲线C 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切EF l E m线的直线与曲线C 至少有两个交点时，P Q =.②可导曲线C 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.对于只有一个拐点的二阶可导函数，有如下的推论 当曲线C 只有一个拐点A 00(,())x f x 时，必有P Q Ø，而且{}0()Q P f x '=ð.证明：根据定理结论(3)，只需要证明斜率为0()k f x '=的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可.设斜率为0()k f x '=的任意一条直线为()g x kx b =+.考察方程()()0f x g x -=在I 上解的个数.令()()()()h x f x g x f x kx b =-=--，0()()()()h x f x k f x f x ''''=-=-.因为曲线C 只有一个拐点00(,())A x f x ，故在拐点的两侧曲线C 的凸性相反.不妨设左侧上凸，右侧下凸.则当0x x <时，()0f x ''<，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->；当0x x >时，()0f x ''>，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->.故()h x 在I 上 ，故()()0f x g x -=至多有一解，即直线()g x kx b =+与曲线C 的交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线斜率范围问题提供了一种新方法.【例】已知曲线2:3()x x C y e e x R =-∈任意不同两点的连线斜率为k ，求k 的取值范围. 解 22399232()488xx x y e e e '=-=--≥-，又243(43)x x x x y e e e e ''=-=-. 当3ln 4x <时0y ''<，曲线上凸；当3ln 4x >时0y ''>，曲线下凸，故曲线在3ln 4x =处是一个拐点，而3498x y ='=-，根据推论，k 的取值范围为9(,)8-+∞. 曹军，《中学数学杂志》2010年11月.【附】文【1】主要结论1212()()f x f x x x -∨-定理 设()y f x =在(,)a b 内可导，连结其图象上任意两点,A B 的割线斜率为AB k ，图象上任意一点处的切线斜率为k ，则(1) 若k m >，则AB k m >；若k m ≥，则AB k m >或AB k m ≥.(2)若AB k m >，则k m >或k m ≥；若AB k m ≥，则k m ≥.证明：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =图象上任意不同的两点.(1)不妨设12x x <，由拉格朗日中值定理可知，在12(,)x x 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-. 由于k m >，故()f m ξ'>，故AB k m >.其余类似.(2)设21(0)x x x x =+∆∆≠，211121()()()()AB f x f x f x x f x k m x x x-+∆-==>-∆，则1100()()lim lim x x f x x f x m m x ∆→∆→+∆-≥=∆，即()f x m '≥.其余类似. A。
高中物理图象中的斜率误区
高中物理图象中的斜率误区作者：吕晴霞来源：《中学物理·高中》2015年第05期学生对物理图象的识别与应用是近几年高考热点考查对象之一.而对图象的斜率、截距以及所围面积的物理意义的正确解读是学生弄清图象的涵义、应用图象的过程中非常关键的一个环节.斜率有切线的斜率和割线的斜率之分，它们在物理环境下的意义也大相径庭.但学生在解题中往往把切线的斜率与割线的斜率混为一谈.基于此，本文对高中物理常见图象中的斜率进行近一步分析探讨.1 运动学中的s-t图象与v-t图象在s-t图象中割线的斜率表示平均速度，而切线的斜率则表示瞬时速度.例1 遥控玩具小车在平直路上运动的位移时间s-t图象如图1所示，则A.15 s内车的速度为零B.前10 s内汽车的速度为3 m/sC.前25 s内汽车的速度为1.6 m/sD.20 s末汽车的速度为-l m/s在此题中0～10 s内切线与割线恰好重合，平均速度与瞬时速度恰好相等，而10 s～15 s 内物体静止，切线斜率为零，瞬时速度为零，但割线斜率表示的0～10 s（15 s）内的平均速度不为零.到15 s后切线斜率与割线斜率更不同，所表示的瞬时速度与平均速度更不一样.所以此题选B.同样在v-t图象中，如图2割线的斜率表示平均加速度而切线的斜率则表示瞬时加速度.任何运动都可以存在平均加速度，但不是任何运动任意时刻都存在瞬时加速度.例2 如图3、图4所示的x-t图象和v-t图象中，给出的四条曲线1，2，3，4，代表四个不同物体的运动情况，关于他们的物理意义，下列说法正确的是A.图线1表示物体做曲线运动B.x-t图象中t1时刻v1>v2C.v-t图象中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等D.两图象中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动我们知道图象的坐标轴只能反映彼此相反的两个方向，故s-t图和v-t图只能表示直线运动.而v-t图中图象所围面积表示位移，切线斜率表示加速度.故只有B是正确的.2 功能关系中的E-s图象在E-s图象中因F·Δs=ΔE，无论ΔE代表动能还是势能的变化量，其割线和切线的斜率都表示作用力.若力是恒力则表示这个力的大小，若力是变力则表示这一段上的平均作用力，当Δs→0时表示切线的斜率，则反映瞬时作用力.例3 一质量为m的小球以初动能Ek0从地面竖直向上抛出，已知上升过程中受到阻力作用，图5中两条图线分别表示小球在上升过程中动能、重力势能中的某一个与其上升高度之间的关系，（以地面为零势能面，h0表示上升的最大高度，图中坐标数据中的k值为常数且满足0A.①表示的是动能随上升高度变化的图象，②表示的是重力势能随上升高度变化的图象B.上升过程中阻力大小恒定，且f=kmgC.上升高度h=k+1k+2h0时，重力势能和动能相等D.上升高度h=h02时，动能与重力势能之差为kmgh0此题若理解了①图中斜率代表的是合力，②图中斜率代表的是重力结合数学知识很容易得出答案是B、C.3 电场中的φ-x图象在φ-x图象中由E=Ud可知切线的斜率表示场强E.例4 某静电场中的一条电场线与x轴重合，其电势的变化规律如图6所示.在O点由静止释放一电子，电子仅受电场力的作用.则在-x0～x0区间内A.该静电场是匀强电场B.该静电场是非匀强电场C.电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐减小D.电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐增大由于该题中切线的斜率表示场强E，由斜率的变化可知E是先增大后减小，故选B.4 电路中的U-I图象根据R=UI可知用电器的电阻R在U-I图象中是由割线的斜率来表示的，但在电源的U-I 图象中则用切线的斜率反映电源的内电阻.例5 如图7所示，直线Ⅰ、Ⅱ分别是电源1与电源2的路端电压随输出电流的变化的特性图线，曲线Ⅲ是一个小灯泡的伏安特性曲线，如果把该小灯泡分别与电源1、电源2单独连接，则下列说法不正确的是A.电源1与电源2的内阻之比是11∶7B.在这两种连接状态下，小灯泡的电阻之比是3∶5C.在这两种连接状态下，小灯泡的电阻之比是18∶25D.在这两种连接状态下，小灯泡消耗的功率之比是1∶2此题中若对斜率意义理解不准确则会错选成C，其实正确答案是B.5 电磁感应中的Φ-t图象在Φ-t图象中其割线斜率表示ΔΦ/Δt可反映平均感应电动势大小，而切线的斜率则反应瞬时感应电动势大小. 例6 电吉它是利用电磁感应原理工作的一种乐器，如图8甲电吉它的拾音器的原理图，在金属弦的下方放置有一个连接到放大器的螺线管.一条形磁铁固定在管内，当拨动金属弦后，螺线管内就会产生感应电流，经一系列转化后可将电信号转为声音信号.若由于金属弦的振动，螺线管内的磁通量随时间的变化如图8乙所示，则对应感应电流的变化为图9中.理解了斜率的意义就可判出正确的电流图应该是B.在物理过程中物理量之间的关系可以用图象来直观地反映.而图象法也是研究物理问题和学好物理的一种重要方法和手段.但在应用时因对斜率的意义理解不准确而导致解题出错，让人扼腕痛惜.现就归纳总结一些常见的图象易出错问题，以期能减少此类问题的出错率.。
2017版高考复习方案大二轮：专题篇 4 函数图象的割线斜率与切线斜率的关系 Word版含答案
函数图象的割线斜率与切线斜率的关系题1 (2010年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,1ln )1()(2-<+++=a ax x a x f .如果对任意2121214)()(),,0(,x x x f x f x x -≥-+∞∈，求a 的取值范围.(答案：2-≤a .)题2 (2009年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f .证明：若5<a ，则对任意2121),,0(,x x x x ≠+∞∈，有1)()(2121->--x x x f x f .题3 (2009年高考浙江卷理科第10题)对于正实数α，记αM 为满足下述条件的函数)(x f 构成的集合：∈∀21,x x R 且12x x >，有)()()()(121212x x x f x f x x -<-<--αα.下列结论中正确的是( )(答案：C.)A.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x fB.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈C.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x fD.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f题4 (2006年高考四川卷理科第22(2)题)已知函数)(),0(ln 2)(2x f x x a xx x f >++=的导函数是)(x f '，21,,4x x a ≤是不相等的正数，求证：2121)()(x x x f x f ->'-'.深入研究这四道高考题(除题8是选择压轴题外，其余三道都是解答压轴题的最后一问)，可得函数图象的割线斜率与切线斜率的关系：定理 设∈a R ，函数)(x f 在区间I 上可导，则 (1)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(2)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(3)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(4)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(5)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(6)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立；(7)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(8)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立.为证明定理，须介绍两个引理，它们在《数学分析》中均可找到(比如文献[1],[2])：引理 1 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上单调不减(不增)的充要条件是0)()(≤≥'x f 在I x ∈时恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ≥≤，则称)(x f 在区间I 上单调不减(不增).)引理 2 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上严格递增(递减)⇔在I 上0)()(≤≥'x f 且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时0)(='x f 不能恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ><，则称)(x f 在区间I 上严格递增(递减).)定理的证明 设ax x f x h ax x f x g +=-=)()(,)()(. (1)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔≤----有0)()(2121≤--x x x g x g )(x g ⇔在I 上单调不增0)()(≤-'='⇔a x f x g ⇔右边.(2)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔<----有0)()(2121<--x x x g x g )(x g ⇔在I 上严格递减0)()(≤-'='⇔a x f x g (用引理2，这里省去了一些文字的叙述，下同)⇔右边.(3)同(1)可证. (4)同(2)可证.(5)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔≤--≤-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--≤--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 减上在上在单调不)(单调不增)(I x h I x g 右边. (6)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔<--<-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 上严格递增在上严格递减在I x h I x g )()(右边. (7) 2121,,x x I x x ≠∈∀有⇔≥--a x x x f x f 2121)()(2121,,x x I x x <∈∀有a x x x f x f ≥--1212)()(或⇔-≤--a x x x f x f 1212)()(2121,,x x I x x <∈∀有)()(21x g x g ≤或⇔≥)()(21x h x h0)(,≥'∈∀x g I x 或⇔≤'0)(x h a x f I x ≥'∈∀)(,或⇔-≤'a x f )(a x f I x ≥'∈∀)(,(8)同(7)可证.题5 已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R )的图象上任意不同的两点连线的斜率小于1，求a 的取值范围.解 由定理9(2)，得123)(2≤+-='ax x x f 在∈x R 时恒成立，即01232≥+-ax x 恒成立，所以]3,3[,012)2(2-∈≤-=∆a a .所以所求a 的取值范围是]3,3[-.注 由定理9(1)知，若把例1中的“小于”改成“不大于”，所得答案不变.还可验证：当0,3==b a 时，233)(x x x f +-=的图象上任一割线的斜率小于1，但图象在拐点(即凹凸性的分界点，其二阶导数值为0，参见文献[2]或[3])31处切线的斜率为1(图1).图1题6 (2013年福建省厦门一中月考试题)已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R ) (1)若函数)(x f y =的图象上任意两个不同的点连线斜率小于1，求证：33<<-a ； (2)若]1,0[∈x ，且函数)(x f 的图象上任意一点处的切线斜率为k ，试证明1≤k 的充要条件为31≤≤a .由题5的结论可知，题6的第(1)问是错题(可得第(2)问是正确的). 下面用定理给出题1~4的简解.题3的简解 αM 即满足条件“∈∀21,x x R ，有α<--2121)()(x x x f x f ”的函数)(x f 构成的集合.由定理(6)，得αM 即满足条件“∈≤'x x f ()(αR )且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立”的函数)(x f 的集合.由此及绝对值不等式可证得选项C 成立(且可排除选项A 、B 、D)，所以选C.题2的简解 由定理(4)知只需证明“当0>x 时1)(-≥'x f 且1)(-='x f 只能在一些孤立点上成立”：11)12(1121)(->----=--≥--+='a a a a a xa x x f所以要证结论成立.(并且还可得：当51≤≤a 时，结论也成立.)题1的简解 )0(21)(>++='x ax x a x f .由定理(7)知题设即421)(≥---='ax xa x f 在0>x 时恒成立，由1-<a 及均值不等式可得所求a 的取值范围是]2,(--∞.注 下面把题1中的题设“1-<a ”改成“∈a R ”，再来求解： 此时题意即“421≥++ax xa 在0>x 时恒成立，求a 的取值范围”.当1-<a 时，已得2-≤a ；当01≤≤-a 时，可得函数)0(21)(>++=x ax xa x g 是单调减函数，可得此时不满足题设；当0>a 时，由均值不等式可得1≥a .所以所求a 的取值范围是),1[]2,(+∞⋃--∞. 题4的简解 设xax x x f x g +-='=222)()(，即证1)()(2121>--x x x g x g . 由定理(8)知，只需证明：当0>x 时1)(≥'x g ，即)0(14223>>-+x x ax 只需证 )0(14223>>-+x x a x 即 )0(222>>++x a xx x这由均值不等式及题设可证：a xx x ≥>⋅≥++4432232 所以欲证成立.注 由以上简解知，把题4中的“4≤a ”改成“343⋅≤a ”后所得结论也成立.参考文献1 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，19922 华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001。
N11.三次函数切割线的斜率关系
性质二：设 f ( x) = ax + mx(a ≠ 0) ，在函数上任意异于拐点的一点
3
A ( x0 , f ( x0 ) ) 处的切线和三次函数交于另一点 B , A B 两点间三次函
数和切线所围成的封闭图形的面积 S =
27 4 ax0 4
问题引入：由性质一得知两个交点之间的关系，很自然的想到围成的 面积是否有简单的关系。 证明： 由于任意三次函数经过平移后都能得到 f ( x) = ax3 + mx(a ≠ 0) 的形 式，即关于原点对称的三次函数，只需研究此种情况，对于一般情况 只需经过平移变换之后即可。因为面积是平移不变量。 设 f ( x) = ax3 + mx(a ≠ 0) ， 三次函数上除拐点外任意一点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处的切
A , B 两点的导数值相等，即 f ′ ( xA ) = f ′ ( xB ) ，由二次函数的性质得：
又因为 ⎜ − , f ⎜ − ⎟ ⎟ A , B 的横坐标关于 f ′( x) 的对称轴 x = − 3a 对称。 3a 3a
⎝
b
⎛
b
⎛ ⎝
b ⎞⎞ ⎠⎠
为 f ( x) 的对称中心，所以 A , B 关于 ⎜ − 线过拐点
1对三次函数其上除拐点外的任意一点axmx处函数的切线与此三次函数有且仅有两个交点一为的横坐标和三次函数拐点横坐标之差的比为定值axbxcxaxmx处的切线和三次函数交于另一点若对于一般情况函数对任意一点axbxcx处函数的切线均有三次函数和切线所围成的封闭图形的面积axmxam交点到的距离为其中为函数在拐点处的法线与三次函数的交点距切线的距离
k −m , a ⎛ k −m ⎞ k −m ) 和 (− , f⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a a ⎠ ⎝
函数图象的割线斜率与切线斜率的关系 (2019高考)数学考点分类解析
函数图象的割线斜率与切线斜率的关系题 1 (2010年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,1ln )1()(2-<+++=a ax x a x f .如果对任意2121214)()(),,0(,x x x f x f x x -≥-+∞∈，求a 的取值范围.(答案：2-≤a .)题2(2009年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f .证明：若5<a ，则对任意2121),,0(,x x x x ≠+∞∈，有1)()(2121->--x x x f x f .题3 (2009年高考浙江卷理科第10题)对于正实数α，记αM 为满足下述条件的函数)(x f 构成的集合：∈∀21,x x R 且12x x >，有)()()()(121212x x x f x f x x -<-<--αα.下列结论中正确的是( )(答案：C.)A.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x fB.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈C.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x fD.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f题4(2006年高考四川卷理科第22(2)题)已知函数)(),0(ln 2)(2x f x x a xx x f >++=的导函数是)(x f '，21,,4x x a ≤是不相等的正数，求证：2121)()(x x x f x f ->'-'.深入研究这四道高考题(除题8是选择压轴题外，其余三道都是解答压轴题的最后一问)，可得函数图象的割线斜率与切线斜率的关系：定理 设∈a R ，函数)(x f 在区间I 上可导，则 (1)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(2)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(3)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(4)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(5)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(6)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立；(7)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(8)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立.为证明定理，须介绍两个引理，它们在《数学分析》中均可找到(比如文献[1],[2])： 引理 1 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上单调不减(不增)的充要条件是0)()(≤≥'x f 在I x ∈时恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ≥≤，则称)(x f 在区间I 上单调不减(不增).)引理 2 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上严格递增(递减)⇔在I 上0)()(≤≥'x f 且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时0)(='x f 不能恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ><，则称)(x f 在区间I 上严格递增(递减).)定理的证明 设ax x f x h ax x f x g +=-=)()(,)()(. (1)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔≤----有0)()(2121≤--x x x g x g )(x g ⇔在I上单调不增0)()(≤-'='⇔a x f x g ⇔右边.(2)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔<----有0)()(2121<--x x x g x g )(x g ⇔在I 上严格递减0)()(≤-'='⇔a x f x g (用引理2，这里省去了一些文字的叙述，下同)⇔右边.(3)同(1)可证. (4)同(2)可证.(5)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔≤--≤-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--≤--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 减上在上在单调不)(单调不增)(I x h I x g 右边. (6)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔<--<-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 上严格递增在上严格递减在I x h I x g )()(右边. (7) 2121,,x x I x x ≠∈∀有⇔≥--a x x x f x f 2121)()(2121,,x x I x x <∈∀有a x x x f x f ≥--1212)()(或⇔-≤--a x x x f x f 1212)()(2121,,x x I x x <∈∀有)()(21x g x g ≤或⇔≥)()(21x h x h0)(,≥'∈∀x g I x 或⇔≤'0)(x h a x f I x ≥'∈∀)(,或⇔-≤'a x f )(a x f I x ≥'∈∀)(,(8)同(7)可证.题5 已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R )的图象上任意不同的两点连线的斜率小于1，求a 的取值范围.解 由定理9(2)，得123)(2≤+-='ax x x f 在∈x R 时恒成立，即01232≥+-ax x 恒成立，所以]3,3[,012)2(2-∈≤-=∆a a .所以所求a 的取值范围是]3,3[-.注 由定理9(1)知，若把例1中的“小于”改成“不大于”，所得答案不变.还可验证：当0,3==b a 时，233)(x x x f +-=的图象上任一割线的斜率小于1，但图象在拐点(即凹凸性的分界点，其二阶导数值为0，参见文献[2]或[3])31处切线的斜率为1(图1).图1题6 (2013年福建省厦门一中月考试题)已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R )(1)若函数)(x f y =的图象上任意两个不同的点连线斜率小于1，求证：33<<-a ；(2)若]1,0[∈x ，且函数)(x f 的图象上任意一点处的切线斜率为k ，试证明1≤k 的充要条件为31≤≤a .由题5的结论可知，题6的第(1)问是错题(可得第(2)问是正确的). 下面用定理给出题1~4的简解.题3的简解 αM 即满足条件“∈∀21,x x R ，有α<--2121)()(x x x f x f ”的函数)(x f 构成的集合.由定理(6)，得αM 即满足条件“∈≤'x x f ()(αR )且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立”的函数)(x f 的集合.由此及绝对值不等式可证得选项C 成立(且可排除选项A 、B 、D)，所以选C.题2的简解 由定理(4)知只需证明“当0>x 时1)(-≥'x f 且1)(-='x f 只能在一些孤立点上成立”：11)12(1121)(->----=--≥--+='a a a a a xa x x f所以要证结论成立.(并且还可得：当51≤≤a 时，结论也成立.)题1的简解)0(21)(>++='x ax xa x f .由定理(7)知题设即421)(≥---='ax xa x f 在0>x 时恒成立，由1-<a 及均值不等式可得所求a 的取值范围是]2,(--∞.注 下面把题1中的题设“1-<a ”改成“∈a R ”，再来求解： 此时题意即“421≥++ax xa 在0>x 时恒成立，求a 的取值范围”.当1-<a 时，已得2-≤a ；当01≤≤-a 时，可得函数)0(21)(>++=x ax xa x g 是单调减函数，可得此时不满足题设；当0>a 时，由均值不等式可得1≥a .所以所求a 的取值范围是),1[]2,(+∞⋃--∞. 题4的简解 设xax x x f x g +-='=222)()(，即证1)()(2121>--x x x g x g . 由定理(8)知，只需证明：当0>x 时1)(≥'x g ，即)0(14223>>-+x xax 只需证 )0(14223>>-+x x a x 即 )0(222>>++x a xx x这由均值不等式及题设可证：a xx x ≥>⋅≥++4432232 所以欲证成立.注 由以上简解知，把题4中的“4≤a ”改成“343⋅≤a ”后所得结论也成立.参考文献1 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，19922 华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解. (2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，. (3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c 和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解 设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan . 解 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54c o s 53s i n αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a ，求数列}{k a 的通项公式. 解 由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ，所以当k a a a ,,,21 确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知，数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ，再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{n a 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列，}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知，若}{n a 为等差数列，则45-=n a n ，于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{n a 为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21，求n a ； 解 首先，由首项211=a 及递推关系nn a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121，即nk a n1-=（k 是常数）满足递推关系n n a a n n ++=+211，再由211=a ，得n a n123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n n a a 1,3211+==+，求n a . 解 易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn n a a n n (111+=+=+是非零常数），即n k a n =满足递推关系n n a n na 11+=+，再由321=a ，得n a n 32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 32=.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明 先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列： 当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a 111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立，则n a a a ,,,21 成等差数列，且na a n 1≠. 当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立：即ka a a ,,,21 成等差数列，且ka a a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a 也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a 成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．。
物理图象的两个斜率和两个面积
物理图象的两个斜率和两个面积摘要：物理图象在描述物理规律直观形象，解决物理问题中快捷，但对其中斜率、面积等物理意义要辨析清，以便能够正确运用图象。
关键词：斜率、面积、状态量、过程量一、两个斜率关于物理图象的“斜率有两种：其一是曲线上每一点切线的斜率；其二是图线上的点与坐标原点连线的斜率，即图线上对应点的纵坐标与横坐标的比值。
对这两种斜率学生常常感到困惑不已，下面从物理意义上对此加以区分，以有利于学生对物理规律的深化理解。
因为物理图象反映的是两个物理量之间的制约关系，因此要搞清两种图象斜率的区别，需从物理量说起。
物理量分为两类：一类是过程量，象中学涉及到的位移、时间、冲量、功等；另一类是状态量，象中学涉及到的位置、力、速度、动能、动量、电流、电压、电阻、电场强度、压强、体积等。
需注意的是，两个状态量之间的变化是过程量，比如速度的变化、体积的变化、电流的变化等。
而一个过程量可以认为是由无数个状态组成的。
物理图象中的斜率表示的是两个物理量的比值，不同性质的比值用不同的图线斜率表示。
曲线上切线的斜率是割线斜率两点无限逼近得到的，因此它代表的是图象上两点纵坐标的差与两点横坐标的差的比值，也就是说代表的是两过程量的比值，比如速度——时间图象，图象上任意两点连线（曲线的割线）的斜率表示这一段时间速度变化的快慢，即平均加速度，等于速度的变化（过程量）和时间（过程量）的比值，公式为。
而当时间趋于0时两点就重合成一个点，两点之间的割线就变成切线了，切线的斜率表示的是该位置（该时刻）的瞬时加速度a(如图1)。
如果是一条过原点的曲线，曲线上某点与原点连线（即两点间的割线）的斜率表示是从开始计时刻到该时刻加速度的平均值。
如果图象不过原点，则曲线上某点与原点连线的斜率没有物理意义。
曲线上某点与原点连线的斜率，通常表示的是两个状态量的比值。
典型的是电阻，电阻的定义式为，大小等于某状态下加在导体两端电压U（状态量）与通过导体中电流I（状态量）的比值（并不是电压的变化与电流变化的比值），所以在U—I图中，某状态下的电阻为图象曲线上对应点与原点连线的斜率（如图2）。
两切线垂直斜率关系
两切线垂直斜率关系在我们的初中数学课程中，曾经学习过两条切线垂直的斜率关系。
这是一个重要的概念，它在许多数学、物理和工程学科中都有广泛的应用。
在本文中，我们将分步骤地解释这个概念，以及它的几个重要的引申结果。
步骤一：定义两条切线垂直的斜率关系是指当两条直线交于一点时，它们的斜率之积等于-1。
这个定义的直观解释是：两条线垂直时，它们的斜率互为倒数。
步骤二：推导为了推导出两条切线垂直的斜率关系，我们需要使用两条直线的斜率公式。
假设我们有两条直线L1和L2，设它们的斜率分别为k1和k2。
我们需要找到它们所共有的一个交点P，以及通过这个点的两条切线。
我们设这两条切线分别为T1和T2。
根据斜率公式，T1的斜率为-k1，T2的斜率为-k2。
我们需要证明的是，k1×k2=-1。
为了做到这一点，我们先假设k1×k2≠-1，然后将推导过程反证。
假设k1×k2≠-1，则它们之间的差值[k1×k2-(-1)]不为0。
然后，我们可以考虑求出两条直线的角度差，从而得出它们之间的夹角。
使用双曲函数，我们可以得到：tan(θ)=|k1-k2|/(1+k1k2)其中，θ表示两条直线的夹角。
现在，我们可以使用假设条件，即k1×k2≠-1，来得出许多有用的推论。
首先，我们可以断言k1和k2至少有一个不等于0。
因为如果其中一个为0，则另一个必须等于无穷大或者负无穷大，这样它们的乘积就是0或者无穷大，与假设条件不符。
因此，两条直线都可以定义斜率。
其次，我们可以注意到，如果k1和k2之间的差值变得越来越小，那么它们之间的夹角θ就会趋近于90度。
因此，当我们让k1和k2趋近于相等的值时，夹角的正切函数就会趋近于1，这意味着夹角趋近于45度。
这表明了两条直线的斜率差值越小，它们之间的夹角就越接近90度。
最后，我们可以将tan(θ)展开成如下形式：tan(θ)=(k1-k2)/(1+k1k2)×(1-2k1k2/(1+k1k2)^2)^(1/2)这里，我们用了一个三角函数恒等式，即：1+tan^2(θ)=sec^2(θ)根据这个公式，我们可以将tan(θ)的平方表示为：tan^2(θ)=[(k1-k2)/(1+k1k2)]^2/(1-[(k1-k2)/(1+k1k2)]^2) 进一步整理得到：[(k1-k2)/(1+k1k2)]^2=(tan(θ))^2[1+(tan(θ))^2]^(-1)由于θ趋近于90度，tan(θ)趋近于无穷大，因此[1+(tan(θ))^2]^(-1)趋近于0。
浅谈利用曲线割线的斜率与函数导数的关系解题——2011年福建省质量检查的一道试题引发的思考
浅谈利用曲线割线的斜率与函数导数的关系解题——2011年福建省质量检查的一道试题引发的思考
韩莹
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2011(000)019
【摘要】例1（2011年福建省普通高中毕业班质量检查,理科数学第19题）已知：函数f（x）=x＋2a2/x＋alnx.（1）求f（x）的单调增区间.（2）设a=1时,g（x）=f＇（x）,问：是否存在实数k,使得函数g（x）的图像上任意不同两点连线的斜
率都不小于k？
【总页数】1页(P66-66)
【作者】韩莹
【作者单位】福建省泰宁县第一中学,354400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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切线与割线斜率关系的深度探析
1.问题提出
文【1】得出了如下的结论：
设()y f x =是定义在(,)a b 上的可导函数，曲线:()C y f x =上任意两个不同点的连线(称为割线)斜率的取值区间为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则P Q ⊆，而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值. 并指出，求解1212()()f x f x x x -∨-的恒成立问题，可将1212
()()f x f x x x --转化为()f x '，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意. 例如，已知2
1()2ln (0)f x x x x x
λ=++>，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()f x f x x x ''->-，求λ的取值范围(四川2006高考题变式). 【解】设21()()4g x f x x x x λ'==-+，322()4g x x x
λ'=+-，依条件1212()()1g x g x x x ->-，由()1g x '>得32241x x
λ+->，以1x 替换x ，则有32241x x λ-+>对任意0x >恒成立.
①当0λ≤时，显然成立；
②当0λ>时，令32()24(0)h x x x x λ=-+>，2()62h x x x λ'=-，令()03h x x λ
'=⇒=.
min ()()4327
h x h λλ∴==-+. 若min ()0h x ≤，则m
in ()0h x =，此时32241x x
λ-+>对任意0x >不能恒成立，故
必有min ()0h x >
，此时3
min min ()()427h x h x λ==-+，依条件有
3341270
4027
λλλ⎧-+>⎪⎪⇒<<⎨⎪-+>⎪⎩综上得
λ<.
下面检验端点λ=是否符合题意.当λ=时，1212()()f x f x x x ''->-
12221241x x x x +⇔+>1212123x x x x x x +⇔+>或
121212
5x x x x x x ++<. 由
于1212121212333x x x x x x x x x x ++>=≥(
当12x x =时取等号)
，故λ=
符合题意，因而λ=反思上述解法，总感到美中不足.
因为在检验λ=验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P Q =？何时P Q Ø，且Q 比P 多了区间P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？
2.结论构建
定理 设()y f x =是定义在连通开区间()I I R ⊆上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则
(1)P Q ⊆；
(2)当曲线C 不存在拐点时，P Q =；
(3)P Q ⇔Ø曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；
(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S ，则Q P S =ð. 引理1 函数()y f x =在(,)a b 内二阶可导，则曲线()y f x =在(,)a b 内上凸(或下凸)的(,)x a b ⇔∀∈，()0f x ''≤(或0≥)，且在(,)a b 的任何子区间上()f x ''不恒为0.
引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若()y f x =在一个连通开区间I 上二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =拐点的必要条件是0()0f x ''=.
下面给出定理的证明.
(1)12,x x I ∀∈，设12x x <，由于()f x 在[]12,x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由拉格朗日中值定理可得，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=
-，故P Q ⊆. (2) 由于曲线C 不存在拐点，故曲线C 的凸性确定.不妨
设下凸.设l 是曲线C 的任意一条切线，则C 必在l 的上方，
将l 向上平移很小一段距离至直线m ，则m 必与C 交于两个
不同的点,E F ，割线EF 的斜率等于l 的斜率，故Q P ⊆，
但由(1)知P Q ⊆，故P Q =.
(3)一方面，因曲线C 存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C 至多有一个交点，故曲线C 上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，P Q ∴Ø，充分性得证.
另一方面，由于P Q Ø，故k Q ∃∈，但k P ∉，令曲线在点00(,())x f x 处的切线为l ，其斜率为k ，若00(,())x f x 不是拐点，则必存在开区间0I I ⊆，使 得00x I ∈，且曲线在0I 上凸性确定.由(2)的证明知，曲线在0I 上必存在某两点的割线斜率等于k ，故k P ∈与k P ∉矛盾，故00(,())x f x 一定是拐点，又k P ∉，故曲线C 不存在与l 平行的割线，也即平行于拐点00(,())x f x 处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证.
(4)由(3) 的证明易知结论成立.
由定理知，对于二阶可导曲线:()C y f x =，有
①当且仅当曲线C 不存在拐点，或对曲线C 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切E
F l E m
线的直线与曲线C 至少有两个交点时，P Q =.
②可导曲线C 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.
对于只有一个拐点的二阶可导函数，有如下的
推论 当曲线C 只有一个拐点A 00(,())x f x 时，必有P Q Ø，而且{}0()Q P f x '=ð.
证明：根据定理结论(3)，只需要证明斜率为0()k f x '=的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可.设斜率为0()k f x '=的任意一条直线为()g x kx b =+.
考察方程()()0f x g x -=在I 上解的个数.
令()()()()h x f x g x f x kx b =-=--，
0()()()()h x f x k f x f x ''''=-=-.
因为曲线C 只有一个拐点00(,())A x f x ，故在拐点的两侧
曲线C 的凸性相反.不妨设左侧上凸，右侧下凸.
则当0x x <时，()0f x ''<，故()f x '，0()()()0h x f x f x '''=->；
当0x x >时，()0f x ''>，故()f x '，0()()()0h x f x f x '''=->.
故()h x 在I
上，故()()0f x g x -=至多有一解，即直线()g x kx b =+与曲线C 的交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.
定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线斜率范围问题提供了一种新方法.
【例】已知曲线2:3()x x C y e e x R =-∈任意不同两点的连线斜率为k ，求k 的取值范围. 解 22399232()488
x
x x y e e e '=-=--≥-，又243(43)x x x x y e e e e ''=-=-. 当3ln 4x <时0y ''<，曲线上凸；当3ln 4x >时0y ''>，曲线下凸，故曲线在3ln 4
x =处是一个拐点，而3498x y ='=-，根据推论，k 的取值范围为9(,)8-+∞. 曹军，《中学数学杂志》2010年11月.
【附】文【1】主要结论
1212()()f x f x x x -∨-
定理 设()y f x =在(,)a b 内可导，连结其图象上任意两点,A B 的割线斜率为AB k ，图象上任意一点处的切线斜率为k ，则
(1) 若k m >，则AB k m >；若k m ≥，则AB k m >或AB k m ≥.
(2)若AB k m >，则k m >或k m ≥；若AB k m ≥，则k m ≥.
证明：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =图象上任意不同的两点.
(1)不妨设12x x <，由拉格朗日中值定理可知，在12(,)x x 内至少存在一点ξ，使
1212
()()()f x f x f x x ξ-'=
-. 由于k m >，故()f m ξ'>，故AB k m >.其余类似.
(2)设21(0)x x x x =+∆∆≠，211121()()()()AB f x f x f x x f x k m x x x
-+∆-==>-∆，则1100()()lim lim x x f x x f x m m x ∆→∆→+∆-≥=∆，即()f x m '≥.其余类似. A。