2014陕西高考数学(理)

2014年陕西高考数学试题（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则MN = （ ）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D2．函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是 （ ）.2A π .B π .2C π .4D π3．定积分1(2)xx e dx +⎰的值为 （ ）.2Ae + .1B e + .C e .1De -4．根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是 （ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=5．已知底面边长为1，侧棱长为积为 （ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方是,,N a形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 7．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x =（B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =8．原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 （ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 9.设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为 （ ）（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a10．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为 （ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+ 第二部分（共100分）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11.已知,lg ,24a x a==则x =________．12.若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______． 13． 设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a =，若b a//，则=θtan _______．14． 观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________．15．(不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=的最小值为16．（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =17．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是三．解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 18． （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，． （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值． 19.（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过被AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，．（I）证明：四边形EFGH是矩形；（II）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．左视图C20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(CBA，点),(yxP 在ABC∆三边围成的区域（含边界）上（Ⅰ）若0PA PB PC++=，求OP；（Ⅱ）设(,)OP mAB nAC m n R=+∈，用yx,表示nm-，并求nm-的最大值．21．（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．22．（本小题满分13分）如图，曲线C由上半椭圆22122:1(0,0)y xC a b ya b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y=-+≤连接而成，12,C C的公共点为,A B，其中1C的离心率为2．（Ⅰ）求,a b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与12,C C分别交于,P Q（均异于点,A B），若AP AQ⊥，求直线l 的方程．()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是（Ⅰ）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；（Ⅱ）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．参考答案一、选择题1．B [解析] 由M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }＝{x |－1<x <1，x ∈R }，得M ∩N ＝[0，1)2．B [解析] 已知函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的周期为T ＝2πω，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π3．C【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+ 4．C [解析] 阅读题中所给的程序框图可知，对大于2的整数N ，输出数列：2，2×2＝22，2×22＝23，2×23＝24，…，2×2N －1＝2N ，故其通项公式为a n ＝2n .5．D [解析] 设该球的半径为R ，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得(2R )2＝(2)2＋12＋12，解得R ＝1，所以该球的体积为V ＝43πR 3＝43π.6．C [解析] 利用古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况有C 25＝10(种)，选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有：选取的2个点的连线为正方形的4条边长和2条对角线长，共有6种．故所求概率P ＝610＝35.7．B [解析] 由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数，所以排除选项D.8．B [解析] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i ，且a ，b ∈R ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2，故原命题为真，所以其否命题为假，逆否命题为真．当z 1＝2＋i ，z 2＝－2＋i 时，满足|z 1|＝|z 2|，此时z 1，z 2不是共轭复数，故原命题的逆命题为假． 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=9．A [解析] 由题意可知x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 1010＝1，故y －＝（x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10）＋10a 10＝1＋a .数据x 1，x 2，…，x 10同时增加一个定值，方差不变．故选A.【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，. 10．A [解析] 设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图像经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2＋cx .又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ，代入点(－5，2)得－125a －5c ＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x轴，y ′＝3ax 2＋c ，得当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧－125a －5c ＝2，75a ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1125，c ＝－35.故该三次函数的解析式为y ＝1125x 3－35x .【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′=11．10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以，12．11-(22=+）y x [解析] 由圆C 的圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的圆心为(0，1)．又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y 13．21[解析] 因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝1214．F ＋V －E ＝2 [解析] 由题中所给的三组数据，可得5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 所满足的等式是F ＋V －E ＝2.15．由柯西不等式可知(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，代入数据，得m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立，故m 2＋n 2 的最小值为 5.5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+16．由题意，可知∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，所以△AEF ∽ACB ，所以AE AC ＝EFBC .因为AC＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝3..3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与 17．点⎝⎛⎭⎫2，π6的极坐标可化为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即点⎝⎛⎭⎫2，π6在平面直角坐标系中的坐标为(3，1)．直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝ρsin θcos π6－ρcos θsin π6＝1，即该直线在直角坐标系中的方程为x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得所求距离为d ＝|3－3＋2|12＋（－3）2＝1.1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点 18． 解析一：解：（1）c b a ，，成等差数列 2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）c b a ，，成等比数列22b ac ∴=由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==== 222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立） 2212a c ac+∴≥（当且仅当a c =时等号成立）2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）即1cos 2B ≥所以B cos 的最小值为12解法二：（Ⅰ）证明：∵2a c b +=，∴sin sin 2sin A C B +=，又()sin sin B A C =+， ∴()sin sin 2sin A C A C +=+． （Ⅱ）∵2b ac =，∴222cos 2a c b B ac+-=2221222a c ac ac ac ac ac +--=≥=．所以当a c =时，B cos 的最小值为12． 19．（Ⅰ）证明：∵AD EFGH∥平面,AD ABD ⊂平面,且ABD EFGH EF =平面平面，∴AD EF ∥，同理AD HG ∥，∴EF HG ∥，由BC EFGH ∥平面同理可得EH FG ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形． 由三视图知AD BCD ⊥平面，又AD EF ∥，∴EF BCD ⊥平面，EF FG ⊥，90EFG =∠，所以四边形EFGH 是矩形． （II ）解：取AD 的中点M ，连结，BC显然ME BD ∥，MH CD ∥，MF AB ∥，且1ME MH ==，MEH EFGH 平面⊥平面，取EH 的中点N ，连结MN ，则MN EH ⊥，∴MN EFGH ⊥平面，则MFN ∠就是MF （即AB ）与平面EFGH 所成的角θ，∵三角形MEH是等腰直角三角形，∴2MN =，又12MF AB ==，∴sin MN AFN MF ==∠ 即直线AB 与平面EFGH 夹角θ （向量法）建立坐标系如图由条件可得，()001A ，，，()200B ，，， 1102E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，()100F ，，，()010G ，，，则()2,0,1AB =-10,0,2EF ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ()110FG =-，，，设平面EFGH 的法向量(),,n x y z =，则0102x y z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取()1,1,0n =-，则sin cos ,5AB n AB n AB nθ====⨯20．解：（Ⅰ）如图，取AB 的中点D则2PA PB PD +=，∴2PD PC =-， 因此，P 是ABC 的重心，所以，()2,2P ，22OP =．（Ⅱ）由OP mAB nAC =+，得()()()(),1,22,12,2x y m n m n m n =+=++，2x m n =+⎧23x y m -+⎧=⎪⎪x - ，即m n -的最大值为1．6元／kg ”, 由题设知()0.5P A =，()0.4P B =因为利润=产量⨯市场价格-成本所以X 所有可能的取值为5001010004000⨯-=，500610002000⨯-=3001010002000⨯-=，30061000800⨯-=(4000)()()(10.5)(10.4)0.3P X P A P B ===--=,(2000)()()()()(10.5)0.40.5(10.4)0.5P X PA PB P A P B ==+=-⨯+⨯-=,(800)()()0.50.40.2P X P A P B ===⨯=,所以X 的分布列为（2）设i C 表示事件“第i 季利润不少于2000元”(1,2,3)i =，由题意知123,,C C C 相互独立，由（1）知，()(4000)(2000)0.30.50.8i P C P X P X ==+==+=(1,2,3)i =3季利润均不少于2000元的概率为3123123()()()()0.80.512P C C C P C P C P C ===3季中有2季利润不少于2000元的概率为2123123123()()()30.80.20.384P C C C P C C C P C C C ++=⨯⨯=所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.5120.3840.896+=22．解法一：解：（1）在1C ，2C 方程中，令0y =，可得b=1,且得(1,0),(1,0)A B -是上半椭圆1C 的左右顶点，设1C 的半焦距为c ，由2c a =及2221a c b -==，解得2a = 所以2a =，1b = （2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为221(0)4y x y +=≥， 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠代入1C 的方程中，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-= （*）设点P 的坐标(,)P P x y 由韦达定理得2224P B k x x k +=+ 又(1,0)B ，得2244P k x k -=+，从而求得284P k y k -=+ 所以点P 的坐标为22248(,)44k k k k --++ 同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ----22(,4)4k AP k k ∴=+，(1,2)AQ k k =-+ AP AQ ⊥0AP AQ ∴⋅=,即222[4(2)]04k k k k --+=+ 0k ≠，4(2)0k k ∴-+=，解得83k =- 经检验，83k =-符合题意， 故直线l 的方程为8(1)3y x =-- 解法2：（Ⅰ）以题意知，()10A -，，()10B ，，∴1b =，又2c e a ==，解得24a =， ∴2a =，1b =．（Ⅱ）设直线l 的方程是()()10y k x k =-≠， 由方程组()()221041y x y y k x ⎧+=⎪≥⎨⎪=-⎩，得()22224240k x k x k +-+-=，设()11,P x y ，则212214k x k +=+，21244k x k -=+， ∴1284k y k -=+，22248,44k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，4PA k k =-，∵0y ≥，∴0k <； 由方程组()()2101y x y y k x ⎧=-+⎪≤⎨=-⎪⎩，得210x k x k +--=， 设()22,Q x y ，则21x k =--，∴222y k k =--，()21,2Q k k k ----，2AQ k k =+， ∵AP AQ ⊥，∴()421k k -⋅+=-，解得83k =-，经检验符合题意，所以直线l 的方程是()813y x =--． 法二：设),(),,(2211y x Q y x P ，则111+=x y k AP ，122+=x y k AQ因为AQ AP ⊥，所以AQ AP k k ⋅，即221111y x x y +-=+ ① 又Q B P 、、三点共线，所以BQ BP k k =，即112211-=-x y x y ② 又点P 在椭圆上，因此)1(42121x y -=，将其代入①⨯②中，得41122-=-+x x ，解得352=x ，从而9161212-=+-=x y ，所以 38122-=-=x y k l . 故直线l 的方程为)1(38--=x y .注：此法的采用多个参数法表示题中几何条件，虽非常规通法，但运算量很小，事半功倍，不失为该题的一种妙解.23．解：()ln(1)f x x =+，1()1f x x '∴=+，()1x g x x∴=+ （1）111()1111x x g x x x x+-===-+++ 0x ≥，11x ∴+≥，111x ∴≤+，1101x∴-≥+，即()0g x ≥，当且仅当0x =时取等号当0x =时，(0)0n g =当0x >时()0g x >1()(())n n g x g g x +=1()()1()n n n g x g x g x +∴=+，11()111()()()n n n n g x g x g x g x ++∴==+，即1111()()n n g x g x +-= ∴数列1{}()n g x 是以1()g x 为首项，以1为公差的等差数列 11111(1)1(1)1()()1n nx n n x g x g x x x+∴=+-⨯=+-⨯=+ ()(0)1n x g x x nx∴=>+ 当0x =时，0(0)010n g ==+ ()(0)1n x g x x nx ∴=≥+（2）在0x ≥范围内()()f x ag x ≥恒成立，等价于()()0f x ag x -≥成立 令()()()ln(1)1ax h x f x ag x x x =-=+-+，即()0h x ≥恒成立， 221(1)1()1(1)(1)a x ax x a h x x x x +-+-'=-=+++ 令()0h x '>，即10x a +->，得1x a >-当10a -≤即1a ≤时，()h x 在[0,)+∞上单调递增()(0)ln(10)00h x h ≥=+-=所以当1a ≤时，()h x 在[0,)+∞上()0h x ≥恒成立；当10a ->即1a >时，()h x 在[1,)a -+∞上单调递增，在[0,1]a -上单调递减， 所以()(1)ln 1h x h a a a ≥-=-+设()ln 1(1)a a a a ϕ=-+>1()1a aϕ'=- 因为1a >，所以110a -<，即()0a ϕ'<，所以函数()a ϕ在(1,)+∞上单调递减 所以()(1)0a ϕϕ<=，即(1)0h a -<所以()0h x ≥不恒成立综上所述，实数a 的取值范围为(,1]-∞（3）由题设知：12(1)(2)()231n g g g n n ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++， ()ln(1)n f n n n -=-+比较结果为：(1)(2)()ln(1)g g g n n n ++⋅⋅⋅+>-+证明如下： 上述不等式等价于1111ln(1)2341n n +++⋅⋅⋅+<++ 在（2）中取1a =，可得ln(1),01x x x x +>>+令1,x n Nn+=∈，则11ln1nn n+>+，即1ln(1)ln1n nn+->+故有1ln2ln12->1ln3ln23->⋅⋅⋅⋅⋅⋅1 ln(1)ln1 n nn+->+上述各式相加可得：1111 ln(1)2341 nn +>+++⋅⋅⋅++结论得证.。