内积空间中的正交性

2.4.1
定义2.4.1正交
设 是内积空间， ，如果 ，则称 与 正交或垂直，记为 ．如果 的子集 中的每一个向量都与子集 中的每一个向量正交，则称 与 正交，记为 ．特别记 ，即向量 与 中的每一个向量垂直．
定理2.4.1勾股定理
设 是内积空间， ，若 ，则 ．
证明
．□
注1:在内积空间中，是否存在 显然由
， ，
同时 ．
证明令 ，则有 ．记 ，根据上述定理可将 在 上做正交分解 ，即 ， ，得 ．
令 ，则有 ， ，且有
， ．
记 ，将 在 上做正交分解 ，则 及 ，得 ，可令 ，从而治 是 的线性组合， 是 的线性组合．
以此类推，可令 ，且有 正交，进而令 ，显然 ，于是
．
同时可得 是 的线性组合．□
例2.4.4在 中，对于 ，定义内积为
则下列三组向量均是 的标准正交系，
；
；
．□
注3:如果线性空间上中的点列 的任意有限个元素线性独立，则称 为线性独立系．可验证标准正交系是线性独立系．设 是标准正交系 的一个有限子集，如果存在 使得
，
那么对于任意的 ( )
.
反过来，任何一个线性独立系经过正交化后为标准正交系．
证明(1) 寻找 进行分解．
，设 ，则存在 ，使得
，
首先证 是 中的基本列，因为 有
因为 及 是子空间，知 ，所以 ，于是
故 是 中的基本列，又因 是闭子空间，即为完备空间，所以 是 中的收敛列．不妨设 ，则有
．
令 ，因此有 ，其中 ，且根据前面引理知 ．
(2) 分解的唯一性．假设还存在 ， 使得 ，那么有
设 ，且依范数 ，于是 ，有
．
因此 ，即 是 的闭子空间．□
注2:由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件是子空间闭，因此在Hilbert空间中(完备的内积空间)，任意子集 的正交补 是完备的子空间，即Hilbert空间的正交补 也是Hilbert空间．
定义2.4.3正交分解
设 是内积空间 的子空间， ，如果存在 ，使得 ，则称 为 在 上的正交投影或正交分解．
， ， ， ， ， ，
显然当 时， ，而 ．可见 ，那么在有限维内积空间中是否具有同样的结论呢
定义2.4.4标准正交系
设 是内积空间， 是 中的点列，若满足
．
则称 为 中的标准正交系．
例2.4.2在 维内积空间 中，向量组
， ， ， ，
是 的一个标准正交系．□
例2.4.3在 中，向量 ( )，则 是 的一个标准正交系．□
Inner Product Spaces and Orthogonality
在三维空间中，如右图1所示任取一平面 ，空间中的每一个矢量 必能分解成两个直交的向量和，其中一个向量 在平面 上，另一个向量 与平面 垂直，即 ， ．这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立
图2.4.1三维空间向量的分解，向量 ，其中
定理2.4.2设 为内积空间 的标准正交系， ，记
，
那么 ， 是 在 上的正交投影．即 ， ， ．
证明显然 ， ，由于存在 ，使得 于是
．□
注4:上述定理中的 为 维闭子空间，作为内积空间 与 同构， 也是完备的子空间，根据投影定理， 在 上的正交投影 唯一存在．
定理2.4.3设 为内积空间 中任意的一组线性独立系，则可将 用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法化为标准正交系 ，且对任何自然数 ，有
， ，
于是只需 的分解具有唯一性．若 ， ， ，则
可见 及 ，即 的分解具有唯一性．□
例2.4.1证明在内积空间上， 的充要条件是 有 ．
证明必要性 若 ，则有 ， 有 ，于是由勾股定理得： ．
充分性 若 有 ，且 时，
特别取 ，于是，
故 ，即 ．□
2.4.2
在三维空间中，任何一向量 可写成 ，其中
引理2.4.1设 是内积空间， 是 的线性子空间， ，若存在 ，使得 ，那么 ．
证明令 ，若 不垂直于 ，则存在 ，使得 ，显然 ．
因为 ，有
特别取 ，则可得
，
即知 ．又由于 ，所以
．
产生矛盾，故 ．□
定理2.4.1投影定理
设 是Hilbert空间 的闭线性子空间，则 中的元素 在 中存在唯一的正交投影，即 ， ，其中 ．(或表示为 )
，
Leabharlann Baidu可知在实内积空间中 成立．
定义2.4.2正交补Orthogonal complement
设 是内积空间， ，记 ，则称 为子集 的正交补．显然有 ， 以及 ．
性质2.4.1设 是内积空间， ，则 是 的闭线性子空间．
证明(1) 是 的线性子空间
， ， ，有
，
于是 ，因此 是 的线性子空间．
(2) 是 的闭子空间