ch3.周期信号的傅里叶级数展开
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周期信号的傅里叶级数展开：
1． 三角形式： 周期信号()f t ，周期T ，基波频率12w T
π=，
所构成的完备正交函数集：三角函数集{}11cos ,sin nwt nwt ； ()0111()cos sin n n n f t a a nw t b nw t ∞
==++∑
其中：202
1()T
T a f t dt T -=⎰
2122()cos T
T n a f t nw tdt T -=⎰
212
2()sin T
T n b f t nw tdt T -=⎰ 注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一种形式：
011
()cos()n
n n f t c c
nw t ϕ∞
==++∑
其中：00c a =
n c =
n
n n
b tg a φ=-
（3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱
2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集{}1
jnw t e
1()jnw t
n
n f t F e
∞
=-∞
=
∑
其中122
1()T
jnw t T n F f t e dt T --=⎰
注意：（1）幅度谱和相位谱n
j n n F F e φ= ：偶谱和奇谱
与三角形式间的关系
（2）两种级数间的关系 3. 函数()f t 满足对称性的级数展开： （1） 偶函数：011()cos n n f t a a nw t ∞
==+∑
0n b = 或011
()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞
==++∑，00c a =
||n n c a =
0,
0,0n n n
a a ϕπ>⎧=⎨
<⎩ （2）奇函数：11
()sin n n f t b nw t ∞
==∑
00n a a ==
或011
()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞
==++∑，00c =
||n n c b =
,02,0
2
n
n n
b b π
ϕπ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩
（3）奇谐函数：()()2
T f t f t =-±
其傅里叶级数展开式中仅含奇次谐波分量，即： 0240a a a ====
2460b b b ===
=
4. 典型周期矩形脉冲的傅里叶级数
信号()f t ，周期为T ，脉宽为τ，脉幅为E
（1）三角形式
011
()cos n
n f t a a
nw t ∞
==+
∑ 0n b =
其中：2202211()T T E a f t dt Edt T T T
τ
ττ
--===
⎰⎰
211222cos 2n E a E nw tdt Sa nw T T ττττ-⎛⎫== ⎪⎝⎭
⎰ 谐波形式：011
()cos()n n n f t c c nw t φ∞
==++∑
其中：00c a =
n n
c a =， {
0,0
,0
n n n a a ϕπ>=< （2）指数形式：1
()jnw t n n f t F e ∞
=-∞
=∑
其中：112222
11()T jnw t
jnw t T n F f t e dt Ee dt T T τ
τ---==⎰⎰
112E Sa nw T ττ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
（3）幅度谱和相位谱的特点 谱线间隔和频谱宽度
二．傅里叶变换 ()()jwt F w f t e dt ∞--∞
=⎰
1()()2jwt f t F w e dw π
∞-∞
=
⎰
特点：（1）()()()j w F w F w e ϕ= 幅频函数和相频函数 （2）变换条件：|()|f t dt ∞
-∞<∞⎰ （3）()f t 也是由许多频率分量构成
三．常见信号的傅里叶变换对 单边指数衰减信号
,0
()0,0
t e t f t t α-⎧>=⎨
<⎩，0α> ↔
1()F w jw α
=
+ 双边指数衰减信号||
,0
(),0t t t
e t
f t e
e t ααα--⎧>==⎨<⎩
↔
22
2()F w w α
α=
+
矩形脉冲(),2
f t E t
τ
=<
↔ ()()2
F w E Sa w τ
τ=
符号函数()sgn()f t t = ↔
2()F w jw
=
冲击函数()()f t t δ= ↔ ()1F w = ()()f t t δ'=
↔ ()F w jw =
()()()n f t t δ=
↔ ()
()n
F w jw = 直流信号()1f t = ↔ ()()2F w w πδ=
()f t jt =-
↔ ()()2F w w πδ'=
()
()n
f t jt =-
↔
()()()2n F w w πδ=
阶跃信号()()f t u t = ↔
()1
()F w w jw
πδ=
+
四．傅里叶变换的性质 1.线性性
2.奇偶虚实性：()f t 为实函数
()()()cos ()sin jwt
F w f t e
dt f t wtdt j f t wtdt ∞∞
∞
--∞
-∞
-∞
==-⎰
⎰
⎰
（1）()f t 为实偶函数，虚部()()sin 0X w f t wtdt ∞
-∞==⎰ （2）()f t 为实奇函数，实部()()cos 0R w f t wtdt ∞
-∞==⎰
3. 对称性