ch3.周期信号的傅里叶级数展开

周期信号的傅里叶级数展开：1． 三角形式： 周期信号()f t ，周期T ，基波频率12w Tπ=，所构成的完备正交函数集：三角函数集{}11cos ,sin nwt nwt ； ()0111()cos sin n n n f t a a nw t b nw t ∞==++∑其中：2021()TT a f t dt T -=⎰2122()cos TT n a f t nw tdt T -=⎰2122()sin TT n b f t nw tdt T -=⎰ 注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一种形式：011()cos()nn n f t c cnw t ϕ∞==++∑其中：00c a =n c =nn nb tg a φ=-（3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集{}1jnw t e1()jnw tnn f t F e∞=-∞=∑其中1221()Tjnw t T n F f t e dt T --=⎰注意：（1）幅度谱和相位谱nj n n F F e φ= ：偶谱和奇谱与三角形式间的关系（2）两种级数间的关系 3. 函数()f t 满足对称性的级数展开： （1） 偶函数：011()cos n n f t a a nw t ∞==+∑0n b = 或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c a =||n n c a =0,0,0n n na a ϕπ>⎧=⎨<⎩ （2）奇函数：11()sin n n f t b nw t ∞==∑00n a a ==或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c =||n n c b =,02,02nn nb b πϕπ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩（3）奇谐函数：()()2T f t f t =-±其傅里叶级数展开式中仅含奇次谐波分量，即： 0240a a a ====2460b b b ====4. 典型周期矩形脉冲的傅里叶级数信号()f t ，周期为T ，脉宽为τ，脉幅为E（1）三角形式011()cos nn f t a anw t ∞==+∑ 0n b =其中：2202211()T T E a f t dt Edt T T Tτττ--===⎰⎰211222cos 2n E a E nw tdt Sa nw T T ττττ-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 谐波形式：011()cos()n n n f t c c nw t φ∞==++∑其中：00c a =n nc a =， {0,0,0n n n a a ϕπ>=< （2）指数形式：1()jnw t n n f t F e ∞=-∞=∑其中：11222211()T jnw tjnw t T n F f t e dt Ee dt T T ττ---==⎰⎰112E Sa nw T ττ⎛⎫=⎪⎝⎭（3）幅度谱和相位谱的特点 谱线间隔和频谱宽度二．傅里叶变换 ()()jwt F w f t e dt ∞--∞=⎰1()()2jwt f t F w e dw π∞-∞=⎰特点：（1）()()()j w F w F w e ϕ= 幅频函数和相频函数 （2）变换条件：|()|f t dt ∞-∞<∞⎰ （3）()f t 也是由许多频率分量构成三．常见信号的傅里叶变换对 单边指数衰减信号,0()0,0t e t f t t α-⎧>=⎨<⎩，0α> ↔1()F w jw α=+ 双边指数衰减信号||,0(),0t t te tf t ee t ααα--⎧>==⎨<⎩↔222()F w w αα=+矩形脉冲(),2f t E tτ=<↔ ()()2F w E Sa w ττ=符号函数()sgn()f t t = ↔2()F w jw=冲击函数()()f t t δ= ↔ ()1F w = ()()f t t δ'=↔ ()F w jw =()()()n f t t δ=↔ ()()nF w jw = 直流信号()1f t = ↔ ()()2F w w πδ=()f t jt =-↔ ()()2F w w πδ'=()()nf t jt =-↔()()()2n F w w πδ=阶跃信号()()f t u t = ↔()1()F w w jwπδ=+四．傅里叶变换的性质 1.线性性2.奇偶虚实性：()f t 为实函数()()()cos ()sin jwtF w f t edt f t wtdt j f t wtdt ∞∞∞--∞-∞-∞==-⎰⎰⎰（1）()f t 为实偶函数，虚部()()sin 0X w f t wtdt ∞-∞==⎰ （2）()f t 为实奇函数，实部()()cos 0R w f t wtdt ∞-∞==⎰3. 对称性4.时移性5. 尺度变换：时域压缩，频谱扩张 时域扩张，频谱压缩 时域反褶，频谱反褶6.频移性：00()()jw tF f t e F w w ⎡⎤=-⎣⎦[][]001()cos ()()2F f t wt F w w F w w =-++[][]001()sin ()()2F f t wt F w w F w w j=--+ 7.时域微分：[]()()F f t jwF w '=()()()()n nF f t jw F w ⎡⎤=⎣⎦8.频域微分：[]()()F jtf t F w '-=()()()()n n F jt f t F w ⎡⎤-=⎣⎦9.时域卷积：()()()1212()F f t f t F w F w *=⎡⎤⎣⎦ 10.频域卷积：五．周期信号的傅里叶变换：（1） 周期信号的傅里叶级数展开式：1()jnw tnn f t F e∞=-∞=∑（2） 周期信号的傅里叶变换：1()2()nn F w F w nw πδ∞=-∞=-∑特点：（ⅰ）频谱为冲击谱 （ⅱ）强度为2n F π（ⅲ）谱线位于谐波处（1nw ）（ⅳ）()1120211()|Tjnw t jwt T n w nw F f t e dt f t e dt T T∞--=-∞-==⎰⎰()101|w nw F w T==其中：0()f t 为周期信号的第一个脉冲， ()0F w 为0()f t 的傅里叶变换。

六．抽样定理（1）抽样过程抽样脉冲p(t)为冲击序列或周期矩形脉冲（2） 数学表达式()()()s f t f t p t =⋅（3） 时域波形 （4） 频谱表达式：()[]1()[()]2s F w F w F p t π=* ()11()22n n F w p w nw πδπ∞=-∞⎡⎤=*-⎢⎥⎣⎦∑1()()n nsn n p F w nw p F w nw ∞∞=-∞=-∞=-=-∑∑其中：周期T ，基波频率1w =抽样频率s w 即：抽样信号频谱()s F w 将原信号频谱()F w 在频率轴上进行周期延拓（5）理想抽样：δT (t)()()()s T f t f t t δ=⋅()()1s s n F w F w nw T ∞=-∞=-∑（6）实际抽样：fs(t) 其中： ()()()s f t f t p t =⋅()()s nsn F w p F w nw ∞=-∞=-∑其中1()2n E p Sa nw Tττ=（7）信号恢复： （8）抽样定理：连续时间信号()f t ，抽样周期为T ，抽样频率s w 其频谱为()F w ，m w w ≤，抽样信号的频谱为()s F w ，且：()()1s s n F w F w nw T ∞=-∞=-∑，即：抽样信号频谱()s F w 将原信号频谱()F w 在频率轴上进行周期延拓。

当2s m w w ≥时()s F w 频谱不发生混叠，当2s m w w <时频谱发生混叠。

习题课：1. 已知[()]()F f t F w =，求下列信号的傅里叶变换：（1）()df t t dt（2）(25)f t -解：（1）()()f t F w ↔ （2）5(25)(2())2f t f t -=-()()df t jwF w dt↔ ()()f t F w ↔1(2)()22wf t F ↔()[()]df t d jwF w jt dt dw-↔5211(25)()22j w f t F w e --↔2. 系统如图所示：y(t)c t)其中:输入为x(t),其频谱X （w ）如图所示，输出为y(t),且w c >>w m求：输出y(t)解：1()()cos()()2ccjw t jw tc y t x t w t x t e e -⎡⎤=⋅=⋅+⎣⎦[]1()()()2c c Y w X w w X w w =-++3.画出(100)Sa t 的频谱л-100 100 w4.证明: 傅里叶的积分特性：[()]()F f t F w =()()[()](0)t F w F f t dt F w jw πδ-∞=+⎰证明：由于 ()()()tf t dt f t u t -∞=*⎰()1[()]()()t F f t dt F w w jwπδ-∞=⋅+⎰()()(0)F w F w jwπδ=+ 5. 求下列频谱函数所对应的时间信号 （1）()5w δ- （2）2w解：（1）512j te π（2）()1t δ↔()()2t jw δ''↔（3）()5050Sa t π6. 已知f(t)波形如图所示：求：（1）(0)F （2）()F w dw ∞-∞⎰解：（1）(0)()4F f t dt ∞-∞==⎰（2）()2(0)4F w dw f ππ∞-∞==⎰。