河南中考数学第22题解析

2011——2016年河南中考数学第22题解析

22.（10分）（2016河南）（1）问题如图1，点A 为线段BC 外一动点，

且

BC=a,AB=b 。

填空：当点A 位于 时线段AC 的长取得最大值，且最大值为

（用含a ，b 的式子表示） （2）应用

点A 为线段B 除外一动点，且BC=3,AB=1.如图2所示，分别以AB ，AC 为边，

作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD,BE. ①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由

②直接写出线段BE 长的最大值. （3）拓展

如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标

为（5，0），点P 为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB ，∠BPM=900

.请直接写出线段

AM 长的最大值及此时点P 的坐标。

图3

备用图

解：（1）CB 的延长线上，a+b ；………………………………………2分 （2）①DC=BE,理由如下

∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=600

,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB, ……………5分 ∴△CAD ≌△EAB （SAS ）,∴DC=BE ………………………………6分 ②BE 长的最大值是4. …………………………………………………8分 （3）AM 的最大值为3+，点P 的坐标为（）……10分

【提示】如图3，构造△BNP ≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N 在BA 的延长线上时，NB 有最大值（如备用图）。易得△APN 是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=AM=NB=AB+AN=3+过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，又A （2，0）∴P （）

图2D 图1B C

N

22.（10分）（2015河南））如图1，在Rt △ABC 中，∠B=900

，BC=2AB=8,点D,E 分别是边BC ，AC 的中点，连DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现

①当α=00时，AE BD = ；②当α=1800

时，AE BD = .

（2）拓展探究

试判断：当00≤α≤3600

时，AE

BD 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

(3)解决问题

当△EDC 旋转至A,D,E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.

谷瑞林制图

备用图

图2

图1

D

B

C

C

B

C

B

A

解：（1

）① ................................................1分 ② (2)

分

提示：①当α=00

时，在Rt △ABC

中，BC=2AB=8,∴AB=4；

又点D,E 分别是边BC ，AC 的中点，∴CE ∥AB,

∴8AE CE CA BD CD CB

===

=2

②当α=1800

时，∴CE ∥AB, ∴

∵BC=8;CD=4；∴BD=8+4=12

∴12AE BD

=

=2 （2）无变化。（若误判断，但后续证明正确，不扣分）…………………………3分

在图1中，∵点D,E 分别是边BC ，AC 的中点，∴CE ∥AB,

∴

CE CD

CA CB =,∠EDC=∠B=900; 如图2，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，

∴CE CD

CA CB =

仍然成立。…………………………………………………………4分

又∵∠ACE=∠BCD=α；∴△ACE ∽△BCD ，∴

AE AC

BD BC =

………………………6分

在Rt △ABC 中，

∴AE AC BD BC =

=

=。

∴AE

BD 的大小不变。………………………8分 （3）

………………………10分

提示：如图4，当△EDC 在BC 上方，

且A 、D 、E 三点共线时，四边形ABCD 是矩形， ∴

如图5，当△EDC 在BC 下方，且A 、D 、E 三点共线时，△ADC 是直角三角形， 由勾股定理得，AD=8, ∴AE=6,

根据AE BD

=

,得

BD=

D

图4

C

22.（10分）（2014河南）（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE

填空：（1）∠AEB的度数为；（2）线段AD、BE之间的数量关系

是。

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD=2。若点P满足PD=1,且∠

BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。

22. （1）①60；②AD=BE. ……………………………………………………………2分

（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE. ………………………………………………4分

（注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）

理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,

∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE

∴△ACD≌△BCE. ………………………………………………………………6分

∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．…………………………………7分

在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，

∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.

∴AE=DE+AD=2CM+BE………………………………………………………8分

(3)31

2

-

或

31

2

+

…………………………………………………………10分

【提示】PD =1，∠BPD=900,

∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点．第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点P/，

可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1,

CD=2,∴BD=2,BP=3,∴AM=1

2

PP/=

1

2

(PB-BP/)=

31

2

-

AM

1

2

PP/=

1

2

(PB+BP/)=

31

2

+

第二种情况如图②，可得

22.（10分）（2013河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.