线性代数模拟题1答案

模拟题六参考答案

一、填空题（每题3分，共计15分）1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛600530421181 2.23．-44．15．64

二、选择题（每题3分，共计15分）

1、A ；

2、D ；

3、D ；

4、C ；

5、C 。

三、（本题8分）解：6

11113211

43113

151=-四、（本题8分）

4=A ，2246)6

1(111*1==-=-----A A A A A 五.（本题8分）

解：()T A αβ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111321333222111，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,321βα，6=αβT 。⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛====3332221116662A A T T T αβαβαβ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛====3332221116636332224A A A A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==333222111669999100

A A

解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=310020101001302111104321A 则方程组0=Ax 的一个基础解系为()

T

1,3,2,1-=α七、（本题12分）解：对增广矩阵作初等行变换[]⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=b a b A 121051315133163113211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→53000422001121013

211b a ，当2≠a 时4),()(==b A R A R ，唯一解；

当2=a 时[]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10000210001121013

211,b b A 若1≠b ，4),(3)(=<=b A R A R ，方程组无解；若1=b ，3),()(==b A R A R ，方程组无穷多解。易求通解为.)2,0,3,8()0,1,2,0(T

T k -+-（注意这里解法不唯一）。

八、（本题12分）解：⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=70003/51103/1610121191122121),,,(321a a βααα所以，当7-=a 时向量β可由向量组321ααα，，线性表示，且表达式不唯一.表达式为R k k k k ∈+-++=,)3/5()3/16(321αααβ。

解：由题意，记变换前后二次型的矩阵分别为

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=310130005A ，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=50000002a B B AU U AU U T ==-1，故矩阵B A ,相似（合同）。由)()(B tr A tr =，可得4

=a 矩阵B A ,特征值相同5,4,2321===λλλ矩阵A 的特征值5,4,2321===λλλ对应的特征向量T )1,1,0(，T )1-,1,0(，T

)0,0,1(单位化后()001,2121021210321，，，，，，，=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξξT ，可得()321,,ξξξ=U 。