测试技术 第五章 信号处理初步

自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段。 只要信号中含有周期成分，其自相关函数在τ很大时都不衰减，并具有明显 的周期性。而不包含周期成分的随机信号，当τ稍大时自相关函数就将趋近 于零。 于零
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5.2.2 自相关函数 应用2：机械加工表面粗糙度的自相关分析
1 T R xy (τ ) = lim ∫0 x(t ) y (t + τ )dt T →∞T 1 T = ∫0 0 x0 sin(ωt + θ ) y 0 sin[ω (t + τ ) + θ − ϕ ]dt T0 1 ωt + θ = α sin α sin(α + ωτ − ϕ ) = − [cos(2α + ωτ − ϕ ) − cos(ϕ − ωτ )] 2 1 = x0 y 0 cos(ωτ − ϕ ) 结论：两个均值为零并具有相同频率的 2
第五章 信号处理初步
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5.1 信号处理概述
测试工作的目的：获取反映被测对象的状态和特征的信息。
但是有用的信号总是和各种噪声混杂在一起，很难识别，需要对其进 行必要的处理和分析、消除和修正系统误差。
信号处理的目的： 1）分离信号与噪声，提高信噪比； 2）从信号中提取有用的特征信号； 3）修正测试系统的某些误差，如线性误差等。
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5.2.3 互相关函数 互相关函数
1 T (τ ) = lim ∫0 x(t ) y (t + τ ) dt R xy T → ∞T
R xy (τ ) → µ x µ y
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ρ xy =
T →∞
1 T ∫0 x(t ) y (t + τ )dt − µ x µ y R xy (τ ) − µ x µ y T →∞ T = = δ xδ y δ xδ y lim
T 1 T lim ∫0 y (t + τ ) dt = µ y T → ∞T
R xy (τ ) = lim
1 T ∫0 x(t ) y (t + τ )dt T T →∞
2
结论：可见正弦函数的自相关函数是一个 余弦函数，在τ＝0是具有最大值。它保 留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢 失了初始相位信息。
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5.2.2 自相关函数
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应用1：燃气轮机噪声信号的自相关分析
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5.2 相关分析及其应用
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5.2.1 相关的概念
在测试技术领域中，无论分析两个随机变量之间的关系， 还是分析两个信号或一个信号在一定时移前后之间的关系都需 要应用相关分析。 相关是指客观事物变化量之间的相依关系，在统计学中是 客观事物变化量之间的相依关系 用相关系数来描述两个变量x、y之间的相关性，即 相关系数
假设x(t)是某各态历经随机过程的一个样 本记录， x(t +τ)是x(t)时移τ后的样本。在 任意t=ti时刻，从两个样本上可以分别得到两 个量值x(ti)和x(ti +τ)。x(t)和x(t +τ)具有相 同的均值和标准差。 1 T
lim∞ ∫0 [ x(t ) − µ x ][ x(t + τ ) − µ x ]dt T→ T ρ x ( t ) x ( t +τ ) = ρ x (τ ) = 2 δx R (τ ) ρ x (τ ) = x 2 1 T 1 T δx lim ∫0 x(t )dt = µ x lim ∫0 x(t + τ )dt = µ x T →∞ T T →∞ T µx = 0 1 T R x (τ ) = lim ∫0 x(t ) x(t + τ )dt T →∞ 1 T T 2 lim ∫0 x(t ) x(t + τ )dt - µ x (τ ) − µ 2 Rx x T →∞ T ρ x (τ ) = 2 ρ x (τ ) = 2 δx δx
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5.2.1 相关的概念
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ρxy是一个无量纲的系数，-1≤ρxy≤1。当|ρxy|＝１时，说明 x、y两变量是理想的线性相关；ρxy＝０时，表示x、y两变量完 全无关；0<|ρxy|<1时，表示两变量之间有部分相关。下图分别
自相关函数
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5.2.2 自相关函数 自相关函数具有下列性质： 1）
ρ x (τ ) = (τ ) − µ 2 Rx x δx
2
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(τ ) = ρ x (τ ) δ x 2 + µ 2 Rx x ρ x (τ ) ≤ 1
自谱与自相关分析-演示
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5.2.2 自相关函数
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例1 求正弦函数 x(t ) = x 0 sin(ωt + ϕ ) 的自相关函数。初始相角φ为 随机变量。 解：正弦函数是一个零均值的各态历经随机过程，其各种平均 值都可以用一个周期内的平均值表示。其自相关函数为：
表示了x、y两变量间的各种关系情况。
图5.1 变量x、y间的不同相关情况
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5.2.1 相关的概念
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例如，玻璃管温度计液面高度(Y)与环境温度(x)的关系就是近 似理想的线形相关，在两个变量相关的情况下，一般用其中一 个可以测量的量的变化来表示另一个量的变化。
周期信号，其互相关函数中保留了这两 个信号的圆频率ω、对应的幅值即相位 差值信息。
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5.2.3 互相关函数
x(t ) = x0 sin(ω1 t + θ )
数学期望 随机变量x、y的均值
c xy = ρ xy = δ xδ y
随机变量x、 y的标准差
E[( x − µ x )( y − µ y )] E[( x − µ x ) ] ⋅ E[( y − µ y ) ]
2 2
其中，ρxy是两个随机变量波动量之积的数学期望，称为相关系数，表征了x、 y之间的关联程度。
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下图表示用电感式轮廓仪测量工件表面粗糙度的示意图。金刚石触头将 工件表面的凸凹不平度，通过电感式传感器转换为时间域信号（图a），再经 过相关分析得到自相关图形（图b）。 这是一种随机信号中混杂着 周期信号的波形，随机信号 在原点处有较大相关性，随 τ值增大而减小，此后呈现 出周期性，这显示出造成表 面粗糙度的原因中包含了某 种周期因素。例如沿工件轴 向，可能是走刀运动的周期 性变化；沿工件切向，则可 能是由于主轴回转振动的周 期性变化等。
2 2 2 2 µ x − δ x ≤ R x (τ ) ≤ µ x + δ x
2）自相关函数在τ= 0时为最大值，并等于该随机信号的均方根
R x (0) = lim
T →∞
1 T 2 ∫0 x(t ) ⋅ x(t )dt = ψ x T
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图5.2 温度传感器
自然界中的事物变化规律的表现，总有互相关联的现象，不 一定是线形相关，也不一定是完全无关，如人的身高与体重， 吸烟与寿命的关系。
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5.2 相关分析及其应用
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5.2.2 自相关函数
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5.2 相关分析及其应用
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5.2.3 互相关函数
ρ xy =
c xy δ )( y − µ y )] 2 E[( x − µ x ) 2] ⋅ E[( y − µ y ) ]
R xy (τ ) − µ x µ y δ xδ y
当τ足够大时，随机变量x(t)和y(t +τ)互不相关，ρxy(τ)→0
（ ≤ Rxy(τ)的变动范围为： µ x µ y − δ x δ y） R (τ ) ≤ µ x µ y + δ x δ y） （ xy
如果x(t)和y(t)是同频率的周期信号或包含有同频率的周期 成分，那么，即使 τ→∞ ，互相关函数也不收敛并会出现该频 率的周期成分。若两信号含有频率不等的周期成分，则两者不 相关。即：同频相关，不同频不相关。 同频相关，不同频不相关 互相关分析仪-演示
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5.1 信号处理概述
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信号处理系统分类：模拟信号处理系统、数字信号处理系统。 模拟信号处理系统由一系列能实现模拟运算的电路，如模 拟滤波器、乘法器、微分放大器环节组成。它是数字信号处理 的前奏，如滤波、限幅、隔直、解调等预处理。而数字处理之 后也常需作模拟显示、记录。 数字信号处理使用数字方法处理信号，它既可以在通用计 算机上通过程序实现，也可以用专用信号处理机来完成。它具 有稳定、灵活、快速、高效、应用范围广、设备体积小重量轻 等优点。
如果所研究的随机变量x、y是与时间有关的函数，即x(t)与 y(t)，这时可以引入一个与时移τ有关的量ρxy(τ)，称为互相关 系数。 lim 1 T [ x(t ) − µ ][ y (t + τ ) − µ ]dt