一类具有阶段结构的捕食开发模型的动力学行为

，
．
２ 一堕
垂
平衡点 Ｅ＊ （ ｚ ， ｚ ， ， ） ， 其中． ｚ 一 二 垒 ± — — 『 ＿ ＿ 一 ’ 一— —
， ：： ＝
ｚ ，
一 呈 ＿ 二 望 竺
二 ＿ 二
， ｚ
一
— 一
’ 其中 △ 具甲 。 卢 。 十 ＋ａ ２ ０ ／ １ 。 ～ ‘ ．
即（ ＋ ｒ １ ＋ Ｅ） （ — ａ 】 ｅ － （ ｑ
一
＋ａ １ ： ） （ ＋ ｒ ２ ） （ — ２ ｅ － （ ｒ ２ ＋ ￣ ， ｈ ｚ ＋２ Ｙ ２ ） 一０ ． 显 然特 征方 程有 负实 根 一
（ ｒ １ ＋Ｅ ）和 一 一ｒ ， 其 他根分别 由方程 —ｄ ｅ － １ ＋ Ａ ｈ ＋ａ 一 ０ 和 —ｄ ｅ － ‘ ｒ ２ ｚ ＋２ Ｙ 一 ０ 来确定 ．
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｏｎ ｔ ｈ ｅ ｂａ ｓ ｉ ｓ ｏｆ ａ ｓ ｔ ａ ｇｅ — ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕｒ ｅ ｄ ｐｒ ｅ ｄａ ｔ ｏｒ — ｐｒ ｅ ｙ ｓ ｙｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ Ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ｓ， ｗ ｅ ｐｒ ｏｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｐ ｒ ｅ ｄａ ｔ ｏｒ － ｐｒ ｅ ｙ
ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｗｉ ｔ ｈ ｈ ａ ｒ ｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｉ ｍｍａ ｔ ｕ ｒ ｅ ｐ ｒ ｅ ｙ ａ ｎ ｄ ｓ ｔ ｏ ｃ ｋ ｉ ｎ ｇ ｉ ｍ ｍａ ｔ ｕ ｒ ｅ ｐ ｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ ．Ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｒ ｉ ｓ ｏ ｎ ｐ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ ａ ｎ ｄ
１ —０ ｔ ２ Ｙ ２ （ ）一 ｔ ＂ ２ １ （ ）一 ａ ２ ｅ － ｒ ２ ２ （ ｔ —ｒ ２ ）＋ Ｆ— Ｆｅ ２ ２ ， 一 ≤ ｔ ≤ ０，ｉ 一１ ， ２ ． （ １ ）
夕 ２ 一 ２ ｅ 一２ Ｙ ２ （ 一ｒ ２ ） 一ｔ ３ ２ Ｙ ； （ ） ＋ａ ２ ｚ ２ （ ） ２ （ ） ＋Ｆ ｅ 一２ ２ ，
ＭＡＯ Ｙｕ ｅ ｍｅ ｉ ． ＭＡ Ｘｉ ａ ｏ ｊ ｉ ａ ｎ
（Ｓｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｄａ ｔ ｏ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ，Ｄａ ｔ ｏ ｎ ｇ ０ ３ ７ ０ ０ ９，Ｃｈ ｉ ｎ ａ）
（ ｘ ｌ （ ）， Ｘ ２ （ ） ， ｙ ｌ （ ）， ｙ ２ （ ） ）＝ ＝ ＝ （ ９ １ （ ￡ ） ， ２ （ ）， １ （ ￡ ） ， ２ （ ） ）＞ ０ ，
模型 中 ： ｚ ， ． ｙ 分 别表示 食 饵种群 、 捕食 种群 幼年 和成 年在 ｔ 时刻 的 密度 ； 表 示幼 年种群 从其 出生 到成 熟所需 的时 间长 度 ， 即成熟 期． 为 了便 于研 究本文 对 系统 （ １ ） 做 如下 假设 ：
（ Ｈ ）幼年种 群无 生育 能力 ； 幼年 种群 的 出生 率与 其存 活 的成 年数 量成 比例 ， 比例 系数 为 ａ ＞０ ； 幼
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ３ —２ ５ 基 金 项 目 ：山西 大 同大 学 校 级 青 年 科 学 基 金 资 助 项 目（ ２ ０ １ ２ Ｑ１ ７ ）
第３ ９卷 第 ２期
２ ０ １ ３年 ６月
延 边 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｙａ ｎ ｂ ｉ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｖｏ Ｌ ３ ９ ＮＯ ． ２
（ Ｈｚ ）成年 种群 的死 亡率 具有 Ｌ ｏ ｇ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ 性质 ， 即与该 种群 数量 的平方 成 正 比 ， 比例 系数 为 ＞ ０ ； 成 年捕 食 者具 有捕 食 能力 ， 并且 成年 捕食 者 只能 捕食 成年 食饵 ， 比例 系数 为 ａ ＞ ０ ． （ Ｈ。 ）种 群 在 ｔ — 时刻 出生 的幼 年种 群 能够 活到 ｔ时刻 ， 并 且从 幼 年转化 为成 年． （ Ｈ ）Ｅ是 收 获努力 量 ， Ｆ— Ｆ ｅ ｚ ｚ为投放 的幼年捕 食 者 的数 量 ．
近 年来 ， 具有 多个 生命 阶段 的种 群模 型引 起 了研 究 者 的关 注 ， 并 取得 了一 些 研究 成 果． 例如 ： 文 献 Ｅ ｌ ｉ 提 出 了著 名 的具有 阶段结 构 的单种 群生 长模 型 ， 并得 到 了很好 的结论 ； 文献 Ｉ － ２ ］ 研 究 了将捕食 者分 为 幼年和 成年 两个 阶段 ， 而食 饵没有 阶段结 构 ， 并且 收获 成年捕 食者 的 自治 系统 ； 文献 Ｅ ３ ］ 研究 了阶段 结构 的捕食 系统 的最 优收 获策 略 ； 文献 １ － ４ ］ 研 究 了一类竞 争 系统 的最优 收获 问题 ； 文献 ［ ５ ］ 讨论 了带 有扩 散 的 阶段结 构 的捕食 系统 的最优 收获 ． 本文 考虑 另一类 捕食 者和食 饵均 具 阶段结构 ， 并且 收 获幼年 食饵 和放 养 幼年 捕食 者 的开发模 型 ：
，
下 面分析 平衡 点 Ｅｏ 的稳 定性 ． 做 变换 １ （ ￡ ） 一ｚ １ （ ） ， ２ （ ）一５ ｇ ２ （ ） ， １ （ ）一Ｙ （ ）一 Ｙ ， ２ （ ） 一
ｚ
（ ） 一Ｙ ， 则系统（ １ ）等价 于如 下关 于 （ （ ） ， （ ￡ ） ， ７ ２ （ ｆ ） ， （ ￡ ） ）的系统 ：
士１ 一 １ ｚ ２ （ ）一 ｒ １ ｚ１ （ ￡ ）一 ａ １ ｅ － １ ｚ ２ （ ｔ — ｒ １ ）一 Ｅ ｘ１ （ ￡ ） ，
Ｙ ｃ ２ 一ａ １ ｅ 一１ １ ｚ ２ （ 一ｒ １ ） 一 ｚ ； （ ） 一ａ １ ３ ２ ２ （ ） ２ （ ） ，
＋ ｎ ＋ Ｅ ０ ０
ａ 】 ｅ（ ｒ ｌ ＋ Ａ １一 ａ １ —ａ １ ｅ 一 ｒ １ １＋ ａ １ Ｙ ０
０ ０ ＋ ｒ ２
０ ０
一
０．
２ ｅ － （ ｒ ２ ＋
一 ２
０
一ａ ２ ｙ ２
０
—ｄ ２ ｅ ２ ２ ＋２ ｌ ｆ ￣ ｙ
＊通 信 作 者 ： 马小箭 （ １ ９ ７ ９ 一） ， 男， 讲师 ， 研 究 方 向为 生 物 数 学 ．
第 ２期
毛月 梅 ， 等： 一 类 具 有 阶 段 结 构 的捕 食 开 发 模 型 的 动 力学 行 为
年 种群 的死亡 率 与其存 活 的幼年 数量 成 比例 ， 比例系数 为 ＞ ０ ．
中图 分 类 号 ： Ｏ１ ７ ５ ． １ ２ 文献标识码 ： Ａ
Ｔｈｅ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｂ ｅ ｈ ａ ｖ ｉ ｏ ｒ ｓ ｏ ｆ ａ ｓ ｔ ａ ｇ ｅ — ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｄ ｐｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ － ｐ ｒ ｅ ｙ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ ｅ ｘ ｐ ｌ ｏ ｉ ｔ ｅ ｄ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ
摘要 ： 在 具 有 阶段 结 构 和 时 滞 的 捕 食 系 统 基 础 上 ， 建立一类 收获幼年食饵 和放养 幼年捕食 者的开发模 型 ， 利 用 比较 原 理 及 特 征 根理 论 ， 得 到 了 系 统 正 平 衡 点 全局 渐 近稳 定 的充 分 条 件 ． 关 键 词 ：阶段 结 构 ； 捕食 系统 ； 收获 ； 投 放
１ ）令 ｆ １ （ ） 一 — ｄ １ ｅ（ ｒ ｌ ＠ Ａ ” ｌ ＋ａ １ Ｙ ！ ， 则 ｆ １ （ ０ ）：一ａ １ ｅ ｒ １ ｌ ＋ａ １ ， （ ） 一１ ＋ｒ 】 ａ １ ｅ － （ ｒ ｌ ｈ １＞ ０ ， ｌ ｉ ａ ｒ ｆ （ ） ＝ ＝ ＝ ＋。 。 ，ｌ ｉ ｍ ｆ （ ） 一一 。 。 ， 所以， 当
ｔ ｈｅ ｔ ｈｅ ｏ ｒ ｙ ｏ ｆ ｃ ｈ ａｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｒ ｏｏ ｔ ，ｓ ｆ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎｔ ｃ ｏ ｎｄ ｉ ｔ ｉ ｏｎ ｓ ａｒ ｅ ｏｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｆ ｏｒ ｇｌ ｏｂａ ｌ ｌ ｙ ａ ｓ ｙｍ ｐｔ ｏｔ ｉ ｃ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｐｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｅ ｑｕ ｉ — ｌ ｉ ｂｒ ｉ ｕ ｍ ｔ Ｏ ｐ ｏｐｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｏｄ ｅ ｌ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ：ｓ ｔ ａ ｇ ｅ － ｓ ｔ ｒ ｕｃ ｔ ｕｒ ｅ ｄ；ｐｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏｒ － ｐｒ ｅ ｙ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ；ｈａ ｒ ｖｅ ｓ ｔ ｉ ｎｇ； ｓ ｔ ｏｃ ｋｉ ｎ ｇ
（ Ｈ ｓ ） 为了 保证初始条件的连续性， 假设 （ ０ ） 一Ｊ ｅ ｒ １ ｓ （ ｆ ｚ （ ｓ ） ｄ ｓ ， （ ０ ） 一１ ０ ／ ２ ｅ ｚ （ ｓ ） ｄ ｓ ．
（ Ｈｅ ） （ ）＞ ０ ， （ ）＞ ０ （ 一ｒ ≤ ｔ≤ ０ ，ｉ 一１ ， ２ ） ．
＾ — 十 。。 ＾一
＞ｄ ｅ 】 Ｔ ｌ 时， ｆ （ Ｏ ） ＞０ ， ｆ （ ） 一０ 存 在 负实 部的
根； 当ａ ＜０ ／ ｅ ｒ ｒ １时 ， ｆ （ Ｏ ） ＜０ ， ｆ （ ） 一０存在 正实 部 的根．
在 系统 （ １ ）中 ， 令 一 一夕 一 ｚ 一０ ， 易求 得 系统 的一个 非 负平衡 点 Ｅ 。 （ Ｏ ， ０ ， Ｙ ， Ｙ ） ， 其中Ｙ 一
～
呈 － 二 二 堕
＿ 二 ±
， Ｖ ； 一— — — — — — — — — — — ＿ 二 — — — — ＿ ＝ — — — — — — — — — Ｌ — — — — — — — 一． 在ｏ 什 ／ １ ｅ － ｉ ｒ Ｉ ｒ Ｉ ｉ ＞ ＞ ０ 下有 卜 伯 唯一 一 Ｊ 的正 Ｉ 卜
Ｊ ｕ ｎ ｅ ２ ０ １ ３
文章 编 号 ：１ ０ ０ ４ — ４ ３ ５ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ １ ０ ８ ０ ４
一
类具 有 阶段 结构 的捕 食 开 发模 型 的动 力学行 为
毛 月梅 ， 马 小 箭
（山 西 大 同 大 学 数 学 与计 算 机 科 学 学 院 ，山 西 大 同 ０ ３ ７ ０ ０ ９）
１ 预 备 知 识
引理 １ 系统 （ １ ） 满 足正 初始 条件 的解 都是 正 的． 证 明类 似 于文 献［ ６ ］中引理 １的证 明 ， 故略． 引理 ２ 考 虑方 程 土 （ ） 一ａ Ｊ ｃ （ —ｒ ） 一ｂ ｘ（ ） 一Ｃ Ｘ （ ） ， 其 中ａ ， ｂ ， Ｃ ， ｒ 是 正 常数 ， ｚ （ ｆ ） ＞０ ， ｔ ∈［ 一 ｒ ， ０ ］ ， 则有 ： ① 如果 ａ＞ ｂ ， 则ｌ ｉ ａ （ ｒ ） 一 ； ② 如 果 ｎ＜ ｂ ， 则ｌ ｉ ａＩ ｒ ｚ （ ） 一０ ．