系统建模-最小二乘法

知识回顾
插值法及主要特性：
插值函数必须过所有插值数据点；
插值区间外近似函数的表达 问题1. 通常适用于数据点不是特别多的情形； 式怎么求？ 插值函数的应用主要局限于插值区间内部； 问题2. 数据点特别多时，什么函 误差一般只考虑插值区间内的局部点； 数近似方法更有效呢？
数据拟合的最小二乘法
如果采用误差向量 δ的分量的平方: 3. 数据拟合要点
i 0 i 0 j 0 拟合函数类Φ的选择； 同，得到不同的数据拟合方法； 度量距离，即为著名的最小二乘法； 根据实际问题的性质，选择合适的拟合函数类Ф； 常用的是不超过 通常可取的函数类有多项式类、三角函数类、 n 次的多项式类； 拟合函数φ(x)到插值数据点(xi,yi) 指数函数类、幂函数类、样条函数类等； 特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合； (i=0,…,m) 的距离的度量方式；
因S(x)∈Ф 与拟合系数{ ai* | i=0,1,…,n}一一对应 因此求最小二乘解 S * ( x) a * 的问题， j j ( x)
j 0 n
等价于求一组拟合系数{ ai* | i=0,1,…,n} ，使得
S * ( x) a j ( x) 满足插值条件 * 2 Smin ( x )
2.2 系统建模概述
几点结论
• 把世间的现象/问题上升到“数学抽象/数学模型”的理论高度 是现代科学发现与技术创新的基础。
• “实验、归纳、推演”是建立系统“数学模型”的重要手段/ 方法/途径。
• “数学模型”是人们对自然世界的一种抽象理解，它与自然 世界/现象/问题具有“性能相似”的特点，人们可利用“数学 模型”来研究/分析自然世界的问题与现象，以达到认识世界 与改造世界的目的。
最 小 二 乘 解 示 例
二、最小二乘法定义
2.最小二乘法示例
y
8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(xi , yi) ,
i = 1, 2, …, m x
S*(x)=x∕(a*+b*x)
S*(x)=a*+b*x
三、最小二乘解
在函数空间Φ中，若函数
S * ( x) a *j j ( x) a0 * 0 ( x) a1 * 1 ( x) an * n ( x) j 0 ---------(1)
L()
0
0, K 1
2.3 系统建模方法
(4) 由高频段相频特性知，该系统存在纯滞后环节，为非最小相位 系统，系统的开环传递函数应为以下形式
Ke s e s G( s) (T1s 1)(T2 s 1) (s 1)(0.352 s 1)
(5) 确定纯滞后时间值 1 1rad / s时, (1) 86
整理
[
j 0 i 0
n
m
j
( xi ) k ( xi )]a j yi k ( xi )
i 0
m
三、最小二乘解
按 a0 , a1 ,, an 整理
a0 0 ( xi ) k ( xi ) a1 1 ( xi ) k ( xi ) an n ( xi ) k ( xi )
第二章 系统建模
2.2 系统建模概述 1
建模的重要性
勾股定理与数学模型
“勾股定理”由于 上升到“数学抽象/ 数学描述/数学模型” 的具有普遍意义的 理论高度，得以在 工程力学、电磁学 等许多领域所广泛 应用，从而对科学 与技术的发展产生 了不可估量的影响。
2.2 系统建模概述
电磁波的发现与数学模型
再查图中 1 2.85rad / s时, (1) 169 (1 ) arctan1 arctan 0.35 1
180

86 180
(2 ) arctan 2.85 arctan(0.35 2.85) 2.85 2 2 1 0.35s
2.2 系统建模概述 2
建模三要素 目的、方法和验证
目的要明确 同一个系统，不同的研究目的，所建立的模型也不同。 方法要得当 逻 辑 方 法 归纳 推演 类比 机理建模 实验建模 综合建模 建 模 方 法
移植
结果要验证
验证所建立的模型能够“真实反映”实际系统
2.2 系统建模概述
仿真实验
3.局部传递函数框图：
4. 系统传递函数框图：
2.3 系统建模方法 2
实验建模法
采用由特殊到一般的逻辑、归纳方法，根据一定数量的在系统 运行过程中实测、观察的物理数据，运用统计规律、系统辨识等理 论合理估计出反应实际系统各物理量相互制约关系的数学模型。
(1) 频率特性法 通过实验方法测得某系统的开环频率响应，来建立该系统的开 环传递函数模型
2.3 系统建模方法
(1) 由已知数据绘制该系统开环频率响应bode图 (2) 用±20dB/dec及其倍数的 折线逼近幅频特性，得到两 个转折频率
1 1rad / s,2 2.85rad / s
相应的惯性环节时间常数为
T1
1
1
1s T2
1
2
0.35s
(3) 由低频幅频特性可知
数据拟合概述 最小二乘法定义
最小二乘解 示例
小结
一、数据拟合概述
1. 数据拟合定义 已知函数y=f(x)的数据点(xi,yi)(i=0,…,m)，
在函数空间Φ=span{φ0(x),φ1(x),…,φn(x)}中，
选择函数 ( x) j j ( x) (αj为待定系数)
j 0 n
例：直流电机
例 直流电动机 1. 明确输入与输出： 输入ua 和ML，输出
2. 列写原始微分方程： di L a ia R ed ua dt ed kd d
J
励磁电流
L ua
R ia
i2 =const ML

ML ua
电动机
负载力矩
M k m ia
dt
M ML

3.消除中间变量，并整理：
2 满足 * 2 ( S * ( xi ) yi )2
i 0 m
n
min
S ( x )
2 2
min ( S ( xi ) yi )2
S ( x ) i 0
m
---------(2)
则称函数S*(x)为最小二乘问题的最小二乘解
三、最小二乘解
1.拟合系数
i 0 i 0 i 0 m m m
yi k ( xi )
i 0
m
k 0,1,, n
---------(3)
是关于 a0 , a1 ,, an 的线性方程组，称为法方程组 转 化 三 将函数的极值点问题转化为方程组解的问题
三、最小二乘解
4.法方程组的解
引入记号 r ( r ( x 0 ), r ( x1 ),, r ( xm ));
j 0 * j
n
2
2 2
转 化 一
将求最小二乘解问题转化为求拟合系数问题
三、最小二乘解
2.拟合系数与极值点
由 S ( x ) a j j ( x ) 可知：
j 0 n

2 2
( S ( xi ) yi ) ( a j j ( xi ) yi )2
2 i 0
“数据、假设模型、准则”是系统辨识建模过程中的“三要素”。
2.3 系统建模方法
实验数据的平滑处理—插值与逼近
所谓“插值”，就是求取两测量点之间“函数值”的计算方法， 常用的有“线性插值”和“三次样条插值”。
线性插值
三样条插值
线性插值所建立的数学描述/模型在插值点上是“非光滑的” 。三次 样条插值可以较完美地逼近理想的数学描述/模型，其代价是计算量 与存储空间的增加。
m
m
n
i 0
j 0
为拟合系数{ ai | i=0,1,…,n} 的二次函数，
三、最小二乘解
定义多元二次函数
m n
(a0 , a1 ,, an ) ( a j j ( xi ) yi )2
i 0 j 0
则最小二乘解 S * ( x) a * 的 j j ( x)
研究目的 OK 先验知识
NO
系 统 建 模 过 程 示 意 图
机 理 建 模
实 验 建 模
综 合 建 模
分析、归纳、推演、类比、移植、综合
数学模型
模型验证 OK
NO
2.3 系统建模方法 1
机理模型法
来自百度文库
采用由一般到特殊的推理演绎方法，对已知结构，参数的物理 系统运用相应的物理定律或定理，经过合理分析简化而建立起来的 描述系统各物理量动、静态变化性能的数学模型。
麦克斯韦（1831-1879） 通过对前人成果的继承、 归纳与推演而建立的 “Maxwell方程组”，把 电磁学提升到“数学抽 象/数学模型”的理论高 度。后来产生的电话、 电报、无线电通讯、等 成果都是它结出的“硕 果”。
法拉第：实验、归纳 “电磁感应定律”
麦克斯韦：归纳、推演 “Maxwell方程组” 推演 ﹡电磁波的存在！ ﹡电磁波的速度≈光速 推演 “光也是电磁波”
j 0
n
拟合系数 { ai* | i=0,1,…,n }
为多元函数 (a0 , a1 ,, an ) 的极小值点；
三、最小二乘解
因此求最小二乘解 S * ( x) a * 的问题， j j ( x)
j 0 n
就转化为求多元函数 (a0 , a1 ,, an ) 的
* 为待定系数)， 求函数 S * ( x) a * (a ( x ) j j j
j 0 n
使拟合函数S*(x)与所有数据点的误差向量δ*的
2 ( S * ( x ) y ) 分量平方和 * 2 最小； i i
2
m
i 0
二、最小二乘法定义
最小二乘法定义
最 最 最 小 小 小 如何求最小二乘解 问题： 二 二 二 乘 * S (x) 呢？ 问 乘 乘 法 解 题
使φ(x) 到(xi,yi) (i=0,…,m) 的距离最小。
一、数据拟合概述
2. 数据拟合特征 不要求拟合函数φ(x)过所有数据点；
要求拟合函数φ(x)到插值数据点(xi,yi) (i=0,…,m) 的整体距离最小；
拟合函数整体表现数据的趋势和规律， 更利于结果在插值区间外的扩展和延伸；
一、数据拟合概述
极值点 a0 *, a1 *,, an * 的问题； 转 化 二
将求拟合系数问题转化为函数的极值点问题
三、最小二乘解
3.法方程组
因极值点是驻点，所以极值点一定满足
( a0 , a1 , , an ) 0 ak
k 0,1,, n
m n [ 2( a j j ( xi ) yi ) k ( xi )] 0 ak i 0 j 0
2
169
(6) 最终求得该系统的开环传递函数模型G(s)为
Ke s e0.35s G( s) (T1s 1)(T2 s 1) (s 1)(0.352 s 1)
2.3 系统建模方法
(2) 系统辨识法
系统辨识法依据测量到的输入与输出数据来建立静态与动态 系统的数学模型.

2 2
2 ( ( x ) y ) ＝ ( a ( x ) y ) 拟合函数到插值数据点距离的度量方式不 i i j j i i
2
m
m
n
二、最小二乘法定义
1.最小二乘法定义
已知函数y=f(x)的数据点( xi , yi )(i=0,…,m)， 在函数空间Φ= span {φ0(x),φ1(x),…,φn(x)}中，
令 Ta
电机的反电势ed 反电势常数kd 电磁力矩M 电磁力矩常数km
得
T L RJ 1 , Tm , Cd , Cm m R kd k m kd J dM L d 2 d TaTm T C u C T Cm M L m d a m a 2 dt dt dt
例：传递函数模型
励磁电流
dia L ia R ed ua dt ed kd d J M ML dt M k m ia
2.Laplace变换：
1. 列写微分方程：
L ua
R ia
i2 =const ML

负载力矩
ML ua
电动机

( Ls R) I a Ed U a , M km I a Js M M L , Ed kd