高三数学期末冲刺卷(附答案)

期末冲刺卷

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 若a ＋i 1－i

(i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值是____________．

2. 已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∪B ＝____________.

3. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名授课教师中随机抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：

据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15,30]内的人数为____________．

4. 在如图所示的流程图中，输出的结果是______________．

(第4题)

5. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在圆x 2

＋y 2＝16内的概率为____________．

6. 在约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

0≤x ≤1，0≤y ≤2，

2y －x ≥1

下，则(x －1)2＋y 2的最小值为__________．

7. 一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18

米，P 是摩天轮轮周上的一个定点，从P 在摩天轮最低点时开始计时，则16分钟后P 点距地面高度为________米．

8. 已知集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2，r ＞0}，若点(x ，y )∈A 是点(x ，y )∈B 的必要条件，则r 的最大值是____________．

9. 已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，线段F A 交抛物线于点B ，

过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝__________.

10. 若函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x ，x ＜0，

－2－x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是____________．

11. 如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC ＝CC 1＝2.若用平行于三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．

(第11题)

12. 已知椭圆x 24＋y 2

2

＝1，A 、B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭

圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为____________．

13. 在△ABC 中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设AM →

＝xAB →，AN →＝yAC →

(x 、y ≠0)，则4x ＋y 的最小值是______________．

14. 如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π

4

，OB ＝2，设∠AOB ＝q ，q ∈⎝⎛⎭⎫

π2，3π4.

(1) 用q 表示OA ；

(2) 求OA →×OB →

的最小值．

如图，已知四面体ABCD的四个面均为锐角三角形，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.

(1) 求证：HG∥平面ABC；

(2) 请在面ABD内过点E作一条线段垂直于AC，并给出证明．

(本小题满分14分)

如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，且被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点H(0，t)的直线l与圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.

(1) 求圆C的方程；

(2) 当t＝1时，求出直线l的方程；

(3) 求直线OM的斜率k的取值范围．

心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x

天后的存留量y1＝4

x＋4

；若在t(t＞4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜

率为a

(t＋4)2

(a＜0)，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．

(1) 若a＝－1，t＝5求“二次复习最佳时机点”；

(2) 若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．

已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1、a3、a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项．

(1) 若k＝7，a1＝2.

①求数列{a n b n}的前n项和T n；

②将数列{a n}与{b n}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求S2n－n－1－22n－1＋3·2n－1的值；

(2) 若存在m＞k，m∈N*使得a1、a3、a k、a m成等比数列，求证：k为奇数．