集合与数学方法第七章 人教版

集合与数学方法第七章

湖南省衡南五中 龙诗春 邮编 421101

近世代数、概率论、拓朴学、模糊数学等都以集合为基础，数学无处不隐藏着集合的影子。作为中学的数学方法，它与集合有着什么样的关联呢？请看一个例题：

设P ：函数y=ax 2－2x ＋1在[1，＋∞）内单调递增。Q ：曲线y=x 2－2ax ＋4a ＋5与x 轴没有交点。如

果P 与Q 有且只有一个正确，求a 的取值范围。

分析：P 与Q 有且只有一个正确意味着P 正确但Q 不正确、P 不正确但Q 正确两种情形。从整体来看，P 与Q 还存在两种情况：P 和Q 都正确、P 和Q 都不正确。而P 正确与P 不正确在集合中体现为集合A 与集合C U A 。

解法一：P 正确⇔a=0或者011a a

⎧⎪⎨≤⎪⎩p ⇔a ≤0。∴P 不正确⇔a ＞0 Q 正确⇔∆=4a 2

－4(4a ＋5)＜0⇔－1＜a ＜5。∴Q 不正确⇔a ≤－1或a ≥5。

则P 正确但Q 不正确⇔a ≤－1；P 不正确但Q 正确⇔0＜a ＜5。∴P 与Q 有且只有一个正确⇔ a ≤－1或0＜a ＜5。

解法二：P 正确或Q 正确的a 的取值范围记为集合U ，P 和Q 都正确的a 的取值范围记为集合A ，则P 与Q 有且只有一个正确的a 的取值范围为C U A ，而U={a| a ＜5 ｝，A=｛a|－1＜a ≤0｝，∴C U A=｛a| a ≤－1或0＜a ＜5｝。

我们可以感受到：这一问题的解答过程处处闪耀着集合思想的光芒。集合与中学数学方法紧密联系，你中有我，我中有你，下面我们就一一地来欣赏它。 §1、集合与分类讨论

例1.1、设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R 。

(1)判断函数f (x )的奇偶性；

(2)求函数f (x )的最小值。

分析：（1）判断函数f (x )的奇偶性主要是看f (x )与f (–x )的关系，容易观察到当a =0时f (x )为偶函数。当a ≠0时，验证f (x )在互为相反的两个自变量值上函数值的关系来帮助判断。

（2）去绝对值使f (x )向二次函数转化，再考察对称轴与区间的关系求最值。

解：(1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数。

当a ≠0时，f (a )=a 2+1，f (–a )=a 2+2｜a ｜+1，f (–a )≠f (a )，f (–a )≠–f (a )，此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数。

（2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –

21)2+a +43。 若a ≤2

1，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减，从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1。 若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (2

1)≤f (a )。 ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +4

3 若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞）上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–2

1)≤f (a )； 若a ＞–2

1，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增，从而函数f (x )在［a ,+∞）上的最小值为f (a )=a 2+1。 综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为4

3–a ；

当–

21＜a ≤2

1时，函数f (x )的最小值是a 2+1； 当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a +43。 点评：运用数学观察力和直觉能力，先考察特殊值，再看一般值。将混合型的函数向单一的函数转化，因绝对值而分类，在此基础上，又因对称轴与区间的关系进行第二次分类。这里分类的层次分明，且做到不重不漏。从上面例题的解答中可以看出：

分类讨论实际上就是将考察的对象作为一个全集U ，按照一个确定的标准，把集合U 划分为若干个子集i A (i =1、2、…)，且使i A ∩j A =φ（i ≠j ），i i

A U =U 。只要就每个i

A 解决了问题，综合起来也就解决了U 上的问题。如果对于每个i A 仍然无法解决且还需要对i A 进行划分，这时就每个i A (i =1、2、…)，按照另一确定的标准，把集合i A 划分为若干个子集i

B （i =1、2、…），且使i B ∩j B =φ（i ≠j ），i i B

U =i A 。

只要就每个i B 解决了问题，综合起来就解决了i A ，i A (i =1、2、…)解决了，相应地U 上的问题也就解决了。

例1.2、试证：集合{1，2，3，…，2001，2002}中存在一个由1602个元素组成的子集，其中没有一个元素是另一个元素的4倍。

分析：问题的关键是要找到元素尽量多的集合，它是已知集的子集，并且没有一个元素是另一个元素的4倍。在1，2，3，…，2001，2002中，把4倍超过2002的元素全部找出来，显然这些数中没有一个能是另一个的4倍，它们组成集合1A ，余下的元素中，4倍全在1A 中的数全部去掉，这些数组成集合2A 。再在余下的元素中进行挑选。

证明：因2002÷4=500…2，故任何一个大于500的整数与4的乘积都大于2002，记1A ={501，502，…，2002}，1A 中有1502个元素。

500÷4=125，记2A ={126，127，…，500}，2A 中有375个元素，且2A 中每个元素的4倍都是1A 中的元素。

125÷4=31…1，记3A ={32，33，…，125}，3A 中有94个元素，3A 中元素的4倍都是2A 中的元素，但不是1A 中的元素。

31÷4=7…3，记4A ={8，9，…，31}，4A 中有24个元素，4A 中元素的4倍都是3A 中的元素，但不是2A 和1A 中的元素。

7÷4=1…3，记5A ={2，3，…，7}，5A 中有6个元素，5A 中的每个元素的4倍都是4A 中的元素，但不是1A 、2A 和3A 中的元素。

6A ={1}，6A 中元素的4倍是5A 中的元素。

1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A 是集合{1，2，…，2001，2002}的一个划分，由上面的关系知，1A ∪3

A