留数定理及应用

留数定理及应用

留数及其应用

摘 要 数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内

各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，

因此我们只关心该奇点处罗朗

留数理论是复积分和复级数

理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用． 关键词 留数定理；留数计算；应用

引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．

一. 预备知识 孤立奇点

1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点

则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域内解析，但在点a 不解析，

则称a 为f 的孤立奇点.例如sin z

z

，1

z e 以0=z 为孤立奇点.

z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.

11sin

z 以0=z 为奇点（又由1sin

0=z ，得1(1, 2...,)π

==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1

()()()

，

∞

∞

-===+-∑∑-n

n

n

n

n n f z c z a c z a 称()n=1

∞

-∑-n

n

c z a 为()f z 在点a 的主要部分，称

()

∞

=-∑n

n

n z a c 为()f z 在点a 的正则部分，

当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点； 当主要部分为有限项时，设为

(1)11

(0)()()------+++≠---L m m m m m c c c c z a z a z a

称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.

二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义

设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域

0z a R <⋅<内解析，则积分()()1

:,02f z dz z a R i ρρπΓ

Γ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z a

s f z =．

2. 留数定理

介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：

设D 是由复周线012C C C C --

=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()

f z 在D 内解析，在_

D D C =+上连续，则()0C

f z dz =⎰．

定理1

[]

1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除

12,,a a …,n a 外解析，在闭域_

D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”

积分） ()()1

2Re k

n

z a k C

f z dz i s f z π===∑⎰． （1）

证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得

()()1k

n

k C

f z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，

由留数的定义，有

()()2Re k

k

z a f z dz i s f z π=Γ=⎰．

特别地，由定义得 ()2Re k

k

z a f z dz i s π=Γ=⎰，

代入（1）式得 ()()1

2Re k

n

z a k C

f z dz i s f z π===∑⎰．

定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，

()()

()

n

z f z z a ϕ=

-，

其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则

()()()

()11!

n z a

a Res f z n ϕ-==

-．

这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有(

)

()()()11lim

n n z a

a z ϕϕ--→=． 推论3 设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-， 则 ()()z a

Res f z a ϕ==．

推论4 设a 为()f z 的二阶极点，()()()2

z z a f z ϕ=-， 则 ()()'z a

Res f z a ϕ==．

3. 留数的引理

引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且

()lim R zf z λ→+∞

=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则

()()21lim

R

S R f z dz i θθλ→+∞=-⎰

．