小升初22次课程18-抽屉原理-教师版

抽屉原理

内容分析

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用。许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。

知识结构

模块一：最不利原则

知识精讲

所谓“最不利原则”是指完成某一项工作先从最不利的情况下考虑，然后研究任意情况下可能的结果，由此得到充分可靠的结论。

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例题解析

【例1】一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。那么至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？

【难度】★

【答案】42

【解析】由最不利原则，先摸出2张王牌、13张红心、13张草花、13张方块，

然后无论模出哪一张必是黑桃；所以至少从中摸出2131313142

++++=张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃。

【例2】一根电缆包括20根缆线，每种相同颜色的缆线有4根。如果在黑暗中，你至少要抓住_______根缆线才能保证每种颜色都至少抓到了1根。

【难度】★

【答案】17

【解析】缆线的颜色种类有2045

÷=种；由最不利原则，至少要抓住44117

⨯+=根缆线才能保证每种颜色都至少抓到了1根。

【例3】会议室某排有15个座位，小宇去时部分座位已有人就座，他无论坐在何处都要与已坐的人相邻，那么小宇就座之前，这一排至少已坐了_______人。

【难度】★★

【答案】5

【解析】当两端各有一个空位，任意两人之间有两个空位时满足小宇无论坐在何处都要与已坐的人相邻；小宇就座之前，这一排至少已坐了1535

÷=人。

【例4】五⑴班共有47人，要从甲、乙、丙三人中投票选举出一人担任班长。已知每个人都投了一票给三人中的一人，并且在计票过程中的某一时刻，甲得到15票，乙得到13票，丙得到8票。如果得票数比其他两人都多的候选人将成为班长，那么甲最少再得_______票就能够保证当选。

【难度】★★

【答案】5

【解析】最不利原则。现在还剩下471513811

---=张选票没有统计。如果甲再得4张，乙再得7张，则乙当选为班长；如果甲再得5张选票，则无论剩余6张选票投给谁，甲必定当选为班长；所以甲最少再得5票就能够保证当选。

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抽屉原理1：如果把多于n 件物品任意放到n 个抽屉中，那么必有1个抽屉至少有2件物品。

抽屉原理2：如果把多于m n ⨯件物品任意放到n 个抽屉中，那么必有1个抽屉至少有

1m +件物品。

【例5】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？ 【难度】★ 【答案】9

【解析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把“小兔子”当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”，根据抽屉原理，要把10只小兔放进1019-=个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔。

【例6】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于三本书？ 【难度】★★ 【答案】101

【解析】把50名小朋友当作50个“抽屉”，书作为物品。

把书放在50个抽屉中，要想保证至少有一个抽屉中有三本书，

根据抽屉原理，书的数目必须大于100250=⨯，所以至少要拿1011100=+本书。

【例7】要想保证至少有5个人的属相相同，但不能保证有6个人的属相相同，那么总人数应该在什么范围内？ 【难度】★★ 【答案】4960~

【解析】要保证有至少5个人的属相相同，总人数最少为124149⨯+=人；不能保证有6个人属相相同的最多人数为12560⨯=人；所以总人数应该在4960~人之间。

模块二：简单抽屉原理

知识精讲

例题解析

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比较复杂的问题需要构造抽屉，常见的构造抽屉方法有“数的分组法”“剩余类法”“图形分割法”等。

【例8】老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得2分，不做得1分，做错得0分。老师说：“可以肯定全班同学中至少有6名同学各题的得分都相同。”那么，这个班至少有多少名同学？ 【难度】★★ 【答案】46

【解析】以同学做两道题的得分情况为“抽屉”，

由于两道题各有三种得分情况，所以共有339⨯=种得分情况， 那么共有9个抽屉，学生数量即“苹果”数为95146⨯+=人。

【例9】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。 【难度】★★

【答案】任意6个自然数除以5所得的余数只能为0、1、2、3、4 五个数中的一个,现有6个数,除以5所得余数也有6个,其中必有两个数除以5所得的余数相同,这两个数的差必为5的倍数.根据抽屉原理,把除以5所得余数不同的5个自然数看做5个抽屉,把6个数看做6个物体,即有：6除以5等于1余1,1+1=2 所以任取6个自然数,必有两个数的差是5的倍数。

【例10】在一条长50米的小路的一旁种51棵树。证明：不管怎么种，至少有两棵树间的距离不超过1米。 【难度】★★

【答案】把50米的线段50等分，每条线段长度是1米，将每条线段看作一个抽屉。 51棵树放在50个抽屉里，至少有一个抽屉中有两棵或两棵以上的树，它们之间的距离不大于1米。

模块三：复杂抽屉原理

知识精讲

例题解析

随堂检测

【习题1】有一个布袋中有5种不同颜色的球，每种都有20个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有2个小球的颜色相同？

【难度】★

【答案】6

【解析】根据最不利原则，至少需要取516

+=个球。

【习题2】口袋里有蓝色球6个，红色球2个，黄色球19个，至少要取多少个小球才能保证至少有5个小球同色？

【难度】★★

【答案】11

【解析】考虑最不利情况先取2个红球，4个蓝球，4个黄球，

然后无论取哪个球都能保证至少有5个小球同色；

所以至少要取244111

+++=个小球才能保证至少有5个小球同色。

【习题3】⑴证明：任意28个人中，至少有3个人的属相相同。⑴要想保证至少有4个人的属相相同，至少要有几个人？

【难度】★★

【答案】12

【解析】⑴把12种属相看作12个抽屉，281224

÷=L L，根据抽屉原理，至少有3个人的属相相同。

⑴要保证至少有4个人的属相相同，总人数最少为123137

⨯+=人。

【习题4】体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【难度】★★

【答案】8

【解析】以拿球配组的方式为抽屉，每人拿一个或两个球，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共9种情况，即有9个抽屉，66973

+=

÷=L L，即至少有718名同学所拿球的种类是一样的。

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