高等数学 上交大 课件 PPT 第五章 定积分
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6.1 定积分的概念与性质 课件 《高等数学》(高教版)
可积的.
(2)定积分
是一个数值，它的大小仅与被积函数
和积分区间
关，而与积分区间的分法、点 的选取方法及积分变量的符号无关，即
(3)我们规定：
(4)“分割-近似-求和-取极限”是定积分的思想方法.
有
三、定积分的几何意义
在区间
1、如果函数
几何上表示由曲线
积A，即
2、如果函数
几何上表示由曲线
的相反数，即
数，且
是时间 在区间
上的连续函
，计算质点在这段时间内经过的路程 。
由于速度是变量，即速度
是随着时间
“速度×时间”来计算. 但是，若把时间区间
而变化，因此，路程s不能直接用
分成许多小时间段，因质点运动
的速度是连续变化的，则在每个小段时间内，速度变化不大，可以近似地看作是匀
速的. 于是，在时间间隔很短的条件下，可以用“匀速”近似地代替“变速”，从而
形分割成许多小曲边梯形，每个小区间上对应的小曲边梯形面积近似地看成小矩形，所有的小矩
形面积的和，就是整个曲边梯形面积的近似值. 显然分割越细，每个小曲边梯形的顶部越接近平
顶，即每个小曲边梯形越接近小矩形，从而误差就越小. 因此，将区间[, ]无限的细分，并使
每个小曲边梯形的底边长都趋近于零，则小矩形面积之和的极限就可定义为所要求曲边梯形的面
的近似值，即
为底，
.
为高的小矩
(3)求和（近似和）：把n个小曲边梯形面积的近似值累加起来，就得到曲边梯形面积A
的近似值，即
(4)取极限：若记
， 则当
时，所有小区间的长度都趋于
零．如果上述和式的极限存在，这个极限值就是曲边梯形面积的精确值，即
实例2 变速直线运动的路程
(2)定积分
是一个数值，它的大小仅与被积函数
和积分区间
关，而与积分区间的分法、点 的选取方法及积分变量的符号无关，即
(3)我们规定：
(4)“分割-近似-求和-取极限”是定积分的思想方法.
有
三、定积分的几何意义
在区间
1、如果函数
几何上表示由曲线
积A，即
2、如果函数
几何上表示由曲线
的相反数，即
数，且
是时间 在区间
上的连续函
，计算质点在这段时间内经过的路程 。
由于速度是变量，即速度
是随着时间
“速度×时间”来计算. 但是，若把时间区间
而变化，因此，路程s不能直接用
分成许多小时间段，因质点运动
的速度是连续变化的，则在每个小段时间内，速度变化不大，可以近似地看作是匀
速的. 于是，在时间间隔很短的条件下，可以用“匀速”近似地代替“变速”，从而
形分割成许多小曲边梯形，每个小区间上对应的小曲边梯形面积近似地看成小矩形，所有的小矩
形面积的和，就是整个曲边梯形面积的近似值. 显然分割越细，每个小曲边梯形的顶部越接近平
顶，即每个小曲边梯形越接近小矩形，从而误差就越小. 因此，将区间[, ]无限的细分，并使
每个小曲边梯形的底边长都趋近于零，则小矩形面积之和的极限就可定义为所要求曲边梯形的面
的近似值，即
为底，
.
为高的小矩
(3)求和（近似和）：把n个小曲边梯形面积的近似值累加起来，就得到曲边梯形面积A
的近似值，即
(4)取极限：若记
， 则当
时，所有小区间的长度都趋于
零．如果上述和式的极限存在，这个极限值就是曲边梯形面积的精确值，即
实例2 变速直线运动的路程
《高数》定积分课件
《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
上交大微积分教学课件 第五章定积分及其应用
最小值, 则
•性质9(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连
续, 则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 , 使下式成立:
·性质10设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则
a
f
(x)dx
0,
a
a
2 0 f (x)dx,
(f (x)是奇函数); (f (x)是偶函数).
第二节 微积分基本定理
则该曲线弧长L为
L r2( ) r2( ) d
注意：弧长计算公式中的下限一定要小于上限.
＊三、定积分在物理上的应用
1.变力沿直线做功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
Oa
A(x) bx
y c, y dV π d 2 ( y)dy. c
y
平行截面面积已知的立体体积
❖ 有一立体被垂直于x轴的平面相截，被截体积 位于 x a和 x b的两平面之间，而且它被垂 直于x轴的平面所截的截面积是x的已知连续 函数 A(x) ，其立体的体积为
b
V a A(x) d x
(1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, tititi1;
(2)近似: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
Siv(i)ti ( ti1< i<ti );
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
n
S v( i )ti ;
i 1
(4)取极限: 记max{t1, t2,, tn}, 物体所经过的路程为
取 ε 0 ，如果极限 lim b f (x)dx 存在，则称此极限为函 ε0 a
高中数学 定积分的概念课件PPT课件
5
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
6
7
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
8
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
9
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
14
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
15
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:a, x1,x1, x2,L xi1, xi ,L ,xn1,b,
每个小区间宽度⊿x b a
yf (x)
24
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的
面积?
y
yf (x)
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
g(x)dx
a
b
S1
ya
fg((x))dx
b
S2
g ( x)dx
a
O aa
bx
25
三: 定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf ( x )dx ka f ( x )dx
1.5.3 定积分的概念
1
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
3
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
4
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
6
7
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
8
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
9
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
14
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
15
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:a, x1,x1, x2,L xi1, xi ,L ,xn1,b,
每个小区间宽度⊿x b a
yf (x)
24
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的
面积?
y
yf (x)
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
g(x)dx
a
b
S1
ya
fg((x))dx
b
S2
g ( x)dx
a
O aa
bx
25
三: 定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf ( x )dx ka f ( x )dx
1.5.3 定积分的概念
1
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
3
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
4
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
大一高数上 PPT课件 第五章.
[a, b] — —积分
.
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ → 0 i =1
注：
） 积分仅与被积函数及积分区间有关， （1） 积分仅与被积函数及积分区间有关，
与积分变量的字母的选择无关. 而 与积分变量的字母的选择无关 .
b
n
∫a f ( x )dx = ∫a f ( t )dt = ∫a f ( u)du
2
i =1
i =1
exdx 练习 利用定义计算定积分 ∫
0
1
解 f ( x) = e x 在 [0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积 上连续， 上可积. 上连续 在 上可积 等分， 将 [0,1]n 等分，左侧取点 i −1 i −1 1 ξi = , ∆x i = f (ξ i ) = e n n n 1 2 n −1 n 1 0 ∑ f (ξ i )∆xi = n [e + e n + e n + L + e n ] i =1 1 等比数列求和 1 1 1 − (e n )n = ( e − 1) n = ⋅ 1 1 n en − 1 1 − en 1
∑
i =1 n
n
f (ξ i )∆xi = ∑ ξ i ∆xi = ∑ xi2∆xi ,
2
n
n
1 n 2 1 n( n + 1)(2n + 1) i 1 = i = 3⋅ = ∑ ⋅ 3∑ n 6 n n i =1 i =1 n 1 1 1 = 1 + 2 + , λ → 0 ⇔ n → ∞ 6 n n n 1 1 1 1 1 2 2 ∫0 x dx = lim ∑ ξ i ∆xi = lim 6 1 + n 2 + n = 3 . n→ ∞ λ → 0 i =1
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
《高数定积分》课件
05
广义积分及其收敛性判别法
广义积分的概念及分类
广义积分的定义
广义积分是相对于正常积分而言的一种特殊积分，其积分区间可能包含无穷大或者无界 函数。
广义积分的分类
根据被积函数和积分区间的不同，广义积分可分为无穷限广分的收敛性判别法
比较判别法
通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数，来判断广义积分的收敛性。
换元法求解定积分
01
换元法的基本思想
通过变量代换简化定积分的计算 。
02
常见的换元方法
03
换元法的注意事项
三角函数代换、倒代换、根式代 换等。
代换后需调整积分上下限，并验 证代换的可行性。
分部积分法求解定积分
分部积分法的基本思想
将复杂函数拆分为简单函数 进行积分。
常见的分部积分公式
幂函数与三角函数、幂函数 与指数函数、幂函数与对数 函数等。
06
定积分在经济学等领域的应用
由边际函数求原经济函数
边际函数与定积分的关系
边际函数描述的是经济量变化的瞬时速率，而定积分则可用于求取原经济函数，即总量 函数。
求原经济函数的步骤
首先确定边际函数的表达式，然后根据定积分的定义，对边际函数进行积分，得到原经 济函数的表达式。
示例
已知某产品的边际收益函数为MR(q)，通过对其进行定积分，可以得到总收益函数 TR(q)。
曲线的长度、图形的面积等。
THANKS
感谢观看
原函数与不定积分概念
原函数定义
原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。根据微积分基本定理，不定积分就是求原函数的过 程。
不定积分性质
不定积分具有线性性质、常数倍性质和积分区间可加性。这些性质在求解复杂函数的定积分时非常有 用。
第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质
性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
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4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
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d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
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d
x
.
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《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
《高数》定积分-课件
性质 6 设M和m分别是函 f(x)数 在[a，b] 上的最大值和则 最小值，
b
m(ba)a f(x)dxM(ba)
又称为定积分理 的估值定
性质（ 7 积分中值定理） 设函数f (x)在[a，b]上连续，则
（a，b)内至少存在一 ，点使得
b
a f (x)dx f ()(ba)
例题1 利用定积分的性质，比较下列积分大小
y
yf(x)
x x ax0 xi1 i i
xnb
(2)、近似 在每个小区[x间i1，xi]上任取
一点i，则小曲边梯形的面 Ai积可用以
f (i)为高，以xi 为底的小矩形的面积
f (i)xi 来近似代替，即
Ai f (i)xi (i 1，2，，n)
(3)、求和 把n个小矩形的面积加，
便得曲边梯形面 A的积近似值，即
2、定积分是一种特定 式的 极和 限，它 值仅与被积函 f (x数 )及积分区[a间 ，b]有关 而与积分变量用什 母么 表字 示无关，即
b
b
b
b， 定a当 了 b时，
b
a
a f(x)dxb f(x)dx
4 、 当 ab时，bf规 (x)d定 x0 a
4
(
l
nx)2dx
3
3
例题2 估计下列各积分的值 5π
1) π 4 (1sin2x)dx 解：4在区间[π，5π]上，函数 f (x) 1 sin 2 x 44 之最大值和最小值分别 为
M f (π） 112 2， m f (π) 1 2
积分区间 b a 5πππ 44
5π
π
4 π
定积分的几何意义
对于[a区 ， b]上 间的连f(续 x)，函 其数 定
高等数学 课件 PPT 第五章 定积分
［a,b］上有界并不是可积的充分条件.例如，
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
高等数学第五章第三节定积分的换元法和分部积分法课件.ppt
∴
原式 =
3
t
2 1 2
2
t
d
t
1t
1 2
3
1
(t
2
3)
d
t
1(1t3 3t) 3
23
1
例3.
偶倍奇零
(1) 若
则 a a
f
( x) dx
a
20
f
( x) dx
(2) 若
则 a f (x) dx 0 a
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
0 f (t) d t 0 f (x) dx
两端在 [a,b] 上积分
u( x) v( x)
b a
b
a
u(
x)v(
x)
dx
b
a
u(
x)v(
x)
dx
u(x)v(x)
b a
abu(x) v(x) dx
例7. 计算
1 1
解: 原式 = x arcsin x 2 2 00
x dx 1 x2
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
1
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ ,]时， 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t) )
a
或配元
定积分及其应用(高数) PPT课件
定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
则
aabbuuddvvu[uvvba]ba
bb
vvdduu
aa
定积分的分部积分公式
由不定积分的分部积分法 及N--L公式.
类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”
（3）重要公式
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式
方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
2.定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
( k 为常数)
性质3 （区间可加性）
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f
( x)dx.
解
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求
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ii):令 x u, 原式=2 2 eudu 2(e 2 e) 1
DMU
第四节 定积分的计算方法
•定积分所特有的换元技巧
π
例 I 4 ln(1 tan x)dx 0
解 x π t
4
I
0 π 4
ln[1
tan(
π 4
t)]d(
π 4
t)
π 4
ln[1
1
tan
t
]dt
π
4 ln
2
(t
)
d
t
x
a
f
o (t) d
a t
x
b xh
x
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
x h ，0 1
(x) lim f (x h) f (x) h0 DMU
第三节 微积分基本定理
说明: 1) 上述定理证明了连续函数的原函数是存在的. 同时
为通过原函数计算定积分开辟了道路 .
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t)
d
t
s(T2
)
s(T1)
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
DMU
第三节 微积分基本定理
基本公式：
b
a f (x) dx F (b) F (a)
(F(x)
f (x))
x
推导步骤：（1）变上限函数 (x) a f (t) d t
i
DMU
第一节 定积分的概念
利用定积分定义解题
划分[a,b]为n等分：a a b a a 2(b a) b.
n
n
i(b a)
xi a n
xi
b
n
a
取i
xi出现了nlim
n i 1
ba f (xi ) n
n
lim
f (a (b a)i) b a
b
f (x)dx
n i1
取
则
f
(i
)xi
i2xi
i2 n3
DMU
y
y x2
o
i 1x
n
第一节 定积分的概念
n
i1
f
(i )xi
1 n3
n
i2
i1
1 n3
1 n(n 6
1)(2n
1)
1 (1 1)(2 1) 6n n
1 0
x2
dx
lim
0
n
i 1
i 2 xi
y
y x2
lim
n
1 3
DMU
o
i 1x
n
第一节 定积分的概念
DMU
第一节 定积分的概念
3) 近似和.
4) 取极限 .
•定积分的定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数 在区间
上的定积分, 记作
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ]
b
f (x)dx
a
上可积 .
lim 0
则至少存在一点
使
b
a f
( x) dx
f
( )(b a)
证 设 f (x) 在[a,b]上的最小值与最大值分 别为 m, M ,
则由性质7 可得
根据闭区间上连续函数介值定理, 在[a ,b]上 存在一 因此定理成立.
DMU
第三节 微积分基本定理
•引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数
之间有关系:
0
0
证 (1) 令x π t
0
π
I π (π t) f (sin t)dt π0 f (sin t)dt I
n i 1
f ( i ) xi
DMU
第一节 定积分的概念
积分上限 [a , b] 称为积分区间
b
n
a
f
( x) dx
lim
0
i 1
f
(i ) xi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
注：定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
a f (x) dx a f (t) d t a f (u) d u
x
x
证
x f (x)0 f (t) d t f (x)0 t f (t) d t
x
0
f
(t
)
d
t
2
x
f
(x)0 (x t)
x
0
f
(t
)
d
t
f (t) d t
2
f
(x) (x ) f ( ) x
x
0
f
(t
)
d
t
2
(0
0 x)
DMU
第三节 微积分基本定理
3.与函数的奇偶性结合
f (x)偶 x f (t)dt为奇函数 0 f (x)奇 x f (t)dt为偶函数 0
n
n
a
DMU
第一节 定积分的概念
例 求 lim( 1 1 n n2 1 n2 22
1 ). n2 n2
解 1 1
n2 i2 n 1 ( i )2
n
原式= lim n 1(
1
)
n n i1 1 (1+ i )2
n
1
dx
1
ln(x 1 x2 ) ln(1+ 2) ln1 ln(1+ 2)
(i
)xi
DMU
y o a x1 xi1 xi
i
第一节 定积分的概念
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度
且
o x 求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤:
t T1 1 ti1
i
ti
T2
1) 大化小.
将它分成
n 个小段
在每个小段上物体经
过的路程为
2) 常ห้องสมุดไป่ตู้变.
得
si v(i )ti (i 1, 2,,n)
例 用定积分表示下列极限:
(1)
lim 1 n
n n i1
1 i n
(2)
lim 1p
n
2
p
n
p1
n
p
解 (1)
lim 1 n
n n i1
1
i n
n
lim
n i1
1 i 1 nn
x i
1
0 1 x dx
i
0
i1 i
1x
nn
(2)
lim 1p
n
2
p
n
p1
n
p
lim
n
n
i1
i n
p
1 n
x i
1 x p dx 0
则在
(0 ,
π 2
)上
sin
x
cos x x2
(x
,有
tan
x)
0
f ( π ) f (x) f (0 )
2
即
2
π f (x) 1,
x (0,
π 2
)
π
π
π
故
2
0
2 π
dx
2 f (x) dx
0
2 1dx
0
即
1
π 2
sin
x
dx
π
0x
2
DMU
第二节 定积分的性质
8. 积分中值定理
DMU
第四节 定积分的计算方法
定理 设函数
单值函数
1) (t) C1[ , ], ( ) a , ( ) b;
2) 在[ , ] 上
则
(t) (t)
满足:
证 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 .
则 (t) 是 (t) (t)的原函数 , 因此有
F(b) F(a) F[( )] F[()] (t) (t)
证 若 f (x)为偶函数 ，则 f (x) f (x)
x
x
x
(x) f (t)dt f (u)du f (u)du
0
t u 0
0
(x) 即 x f (t)dt为奇函数 0
DMU
第三节 微积分基本定理
•求定积分
例 求 2 1 dx. 1 x (1 x)
解
原式 2 2 d x 2 arctan
1 1 x
π
x
2 1
2(arctan 2 )
4
例 计算正弦曲线
上与x轴所围成
的面积 .
y y sin x
解
π
A 0 sin x dx
cos x π
0
[11] 2
o
πx
DMU
第四节 定积分的计算方法
不定积分 换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
分部积分法
•定积分的换元法 •定积分的分部积分法
注: 定积分与不定积分换元的关系 1.联系:不定积分的所有技巧可用于定积分 2.区别:不定积分换元后最后要换回到原变量 定积分换元后没必要换回原变量,只要上下限 改变即可,但是定积分中,如变量没改变,上下限 就不要改变 .
例
2e
x
dx
解
1x
(i)
2e
x
dx 2
2