径向基模型的不确定性模型区间修正与确认

中的 R 判定系数、相对方均根误差 (Root mean [15] squared error, RMSE ) 对代理模型精度进行检验。 最后，对满足精度要求的误差函数代理模型进行寻 优分析，给出了在响应不确定性基础下的不确定参 数的区间描述，并结合蒙特卡洛模拟 (Monte-Carlo simulation, MCS)对样本外的结构响应进行预测。
1 考虑不确定性因素的动力学模型修 正与确认
当刚度矩阵与质量矩阵之间存在线性关系时， 利用顶点法可以获得分散性响应与修正参数不确定 [12] 性之间的映射关系 。但在很多实际问题中，常常 面临缺乏先验知识引导，很难对参数与响应之间关 系做出预判，因此根据少量试验样本在不确定性参 数空内构造代理模型来逼近目标函数，并利用代理 模型替代真实目标函数进行模型修正无疑是一种可 取的办法。 1.1 基于 RBF 模型的不确定性的反向传递 对任意结构， 考虑材料性能分散性、 装配误差、 试件加工误差等因素的影响，不同批次或相同批次 不同装配者生产出的结构的动特性具有一定不确定 性。从生产出的结构中任意抽取 m 个，分别进行模 态试验。记 m 个结构的实测固有频率矩阵2源自130机械
工
程
学
报
第 49 卷第 11 期期
G J1 J 2 J m
T
(5)
式中， J i 为第 i 个结构的目标函数值， J i εiWεiT 。 引入 RBF 模型，对每一组目标函数
与上限。通过对每一个分量模型进行寻优，可以获得 分 散 试 验 测 试 点 所 对 应 修 正 后 参 数 值 T Θ θ1 θ2 θm ,从而获得修正后参数区间 θ θ 。 本文采用 R 判定系数以及 RMSE 对代理模型 精度进行检验。RMSE 表示误差占均值的百分比， 2 RMSE 越小，模型适合性越高，R 在 0～1 区间取 值，值为 1 时，表示代理模型计算值与响应特征值 之间完全一致。RBF 模型具有精确地穿过样本点的 特征，因此以 RBF 泛化区域的点用来评价模型适 合性。 1.2 不确定性动力学模型修正与确认流程 考虑不确定性因素的动力学模型修正与确认一 般经过如下几个步骤。 (1) 根据具有分散性的试验响应数据，进行统 计计算获得响应空间的中心点 f c 。
F f1 f 2 f m
T
(1)
式中，f i i ,1 i ,2 i , r 表示第 i 个结构固有频率 矢量， i , j 为第 i 个结构的第 j 阶实测固有频率。 令试验实测响应 F 与初始动力学模型计算响 应 F 之间的误差 Σ F F 模型计算响应表式为 F f1 f 2 f m 式中， f i i ,1 i ,2 i , r
(2)


T
(3)


T
表示第 i 个结构的动
力学模型固有频率矢量， i , j 为第 i 个结构的第 j 阶计算固有频率。本文选取的 m 个初始模型相同。 将式(1)和式(3)代入式(2)可得第 i 个结构的固有 频率误差矢量
Σ ε1 ε2 εm
T
(4)
εi (i ,1 1 ) (i ,2 2 ) (i ,r r ) 令W diag r ，定义目标函数矢量
月 2013 年 6 月
何
成等：径向基模型的不确定性模型区间修正与确认
2
129
性梁为研究对象，基于神经网络的修正方法探索了 [7] 非线性结构的有限元模型修正问题。刘荣贺等 研 究了基于频响函数算法的某飞行器组合舱段修正问 题，并将其算法嵌入现有大型商用有限元分析软件 中，大大提高了这一技术的工程实用效率。 一方面，在实际工程问题中，不确定性因素普 遍存在，如设计制造、安装及连接形式的不同而引 起，或是因材料变异和系统元件差异而引起等，这 些原因往往使得不同批次的工程机械结构的动力学 性能特征表现出一定的分散特征，直接影响到结构 的安全性、可靠性评估以及后续机械设计与优化等 问题的研究；另一方面，传统模型修正是在确定性 的基础上缩小模型与试验之间的差距，只能重现某 次特定情形下的试验结果，应用修正后的模型对工 程结构的动力学性能进行预报得到的结果往往不尽 如人意。基于以上考虑，引入不确定性影响的模型 修正问题日益成为动力学反问题研究中新的热点， 并具有重要意义。例如在金属切削加工过程中，切 削力是决定颤振发生的主要因素之一，切削力的大 小又与试件材料参数相关，若通过修正与识别量化 因为不确定性因素导致的材料参数区间，可以有效 避免加工过程中的颤振破坏。现有解决考虑不确定 [8-10] 性的模型修正问题通常采用概率统计的方法 。 但是对于实际问题，由于参数样本的有限性，常常 只能确定响应或者参数的分布范围；或者在设计初 始阶段缺乏经验知识的指导，无法对不确定性参数 的概率分布进行假设，此时统计学规律的可信度会 [11] 大大降低 。另外部分组合件结构由于安装位置的 不确定性，使其修正参数根本不具备统计学规律， 因此近些年使用非概率型工具解决的不确定性分析 问题近些年也得到大量研究，如区间分析法与模糊 [12-14] 分析 。当前区间分析方法可分为三类：基于区 间数学方法、顶点法、基于全局优化理论的分析方 法。区间数学方法存在区间扩展、区间边界过估计 等问题，而顶点法要求输入与输出之间存在单调关 系。相比而言基于全局优化理论进行区间分析的方 法对参数与响应之间关系没有具体要求，因此更为 适合解决实际问题，虽然近些年开展了一些利用全 局优化理论进行模型修正的工作， 但是基于此方法， 考虑模型不确定性因素影响的模型修正问题的文献 资料却十分稀少。 本文研究了不确定性结构动力学模型区间修正 方法，通过模态试验结果与动力学模型计算结果之 间的误差函数，将修正问题转化为优化问题求解， 引入径向基(Radial basis function, RBF)函数族构造 误差函数关于修正参数的代理模型，并采用统计学
1
MOTTERSHEAD 等 对模型误差的来源进行了总 [2] 结归纳。LINK 等 以 GARTEUR 为对象，通过建 立不同的有限元简化模型，讨论其能否获得同样的 [3] 修正结果。CHEN 等 研究了离散误差对模型修正 结果的影响。 在国内的一些学者也开展了不少工作。 [4-5] 杨智春等 对结构动力学中的模型修正问题进行 了大量研究，回顾了近些年该领域的发展现状，并 [6] 对这项技术进行了总结与展望。费庆国等 以非线
Abstract： The problem of interval model updating, with test structure variability is formulated. Constructing the objective function of the optimization problem, which is the residuals of natural frequencies of structure with weighting factors, based on radial basis function (RBF) and genetic algorithm, to infer the method of model uncertainty quantification and propagation from the aspect of theoretical perspective, and an iterative procedure of the interval model updating approach is given. Then, the method is validated by a three degree of freedom mass-spring system and bolt connection structures. Results show that the updated hypercube of uncertain parameters is in good agreement with the true hypercube, and the predictive space of responses, which is simulated by using Monte Carlo simulation in parameter rang, have very slight difference with the test one, they are demonstrated the accuracy and practicality of this method. In addition, the prediction range would be more conservative and reliable by using interval updating with irreducible uncertain measured data, since the noises are unavoidable in the process of test. Key words：Model updating Interval analysis Uncertainty analysis Radial basis function model
(1. 南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室 南京 210016； 2. 南京航空航天大学振动工程研究所 南京 210016)
摘要：研究基于径向基(Radial basis function, RBF)模型不确定性结构动力学模型的非概率型区间修正方法。针对响应不确定 性问题，以修正参数为变量，构造基于 RBF 的响应误差函数，通过寻求使误差函数取最小值的修正参数，将修正问题转化 为优化问题，并从理论角度出发，利用 RBF 模型结合遗传算法给出修正后的参数区间描述方式，介绍具体实施步骤；而后 将该方法分别用于考虑不确定性因素的数值算例和实际螺栓连接结构中。研究结果表明，采用该方法获得的参数边界与真实 参数边界重合度较高，通过 Monte-Carlo 模拟对修正后结构与确认结构的响应预报与试验相吻合，验证所提出的修正方法的 有效性与实用性；另外由于在实际问题中试验测试噪声不可避免，使得部分试验测试点处于预报响应空间之外，此时采用区 间方式对响应进行预报效果较好。 关键词：模型修正 中图分类号：O321 区间分析 不确定性 径向基模型 响应预报