第十一章 动态最优化

u * = 0 ,如果 λ < 6
以及
λ * (t ) = 5 + 5ee t
λ * = 6, λ (t )为 t 的减函数,其在规划周期的某个时刻经过 * * * 使得 u 会从u = 10 跳到 u = 0,令t 代表该临界条件,则
*
λ * ( t ) = 5 + 5e1 t = 6
1 t = log e 2.2 = 0.7884 t = 0.2116
最优控制函数为
0 u * = 10 , ≤ t ≤ 0.2116
0.2116 < t ≤ 1 u* = 0 ,
状态方程为
x′ = x + u * 在时间区间[0,0.2116]内
x* (t ) = 10 + cet
t x* 有x* (0) = 9 ,那么 c = 19 , (t ) = 10 + 19e 在时间区间(0.2116,1]
x* (t )和 u * (t )上所得净收益为 在无限小区间内,从
dλ * dx* f ( x (t ), u (t ), t ) + x +λ dt dt
* *
那么对于规划周期内的任意t ,最优解满足
max f ( x, u, t ) + λ x′ + λ ′x
也即
u,x
u,x
max f ( x, u, t ) + λ g ( x, u, t ) + λ ′x
M ( x0 , xT ,K) = ∫ f ( x* (t ), u* (t ), t )dt
0 T
影子价格或者 x0 一单位额外变化带来的估值
M = λ (0) x0
M x* (t ) = λ (t )
λ (t ) x* (t ) ,其该变量为 在期间开始时整个存量的估值为
d dλ * dx* * x +λ λx = dt dt dt
黄金律:关于 k 最大化c ,可得黄金律 黄金律 消费最大化时,边际资本产品等于劳动力增长率和折旧率 之和. 相图分析
φ ′(k * ) = n + δ
*
*
稳态解
考虑得到点 A 的流线,如图11.4的CD 在此流线背后的初始消费水平过高,消费 持续增长直到经济体达到零资本的 D 点. 消费然后在 A点降至零.那么c 从一个正的 水平跳跃至零.但这违背了由方程(11.18) 给定的增长率的凯恩斯—拉姆齐法则.不 能代表最优解.
第十一章 动态最优化
第1节 引言
静态最优化问题中时间未起重要作用,而动态最优化问题 中最优化随着时间变化而变化 三种研究方法:变分法,最优控制理论,动态规划
第1节 动态最优化与静态最优化
现金流
pu (t ) C (u (t ), x (t ))
现值
V = ∫ [ pu (t ) C (u (t ), x(t ))]e rt dt
H c + r (ii) ′ = x
第5节经济学应用:拉姆齐/索罗模型
新古典生产函数
Y = Y ( K , L)
人均数量的生产函数为 y = φ (k ) 净投资为
K′ = I δ K = Y C δ K 其可以写作
K ′ = knL + Lk ′ 则人均净投资为 k ′ = y c (n + δ )k = φ (k ) c (n + δ )k
x(T ) ≥ xT 时,则横截条件为
x λ (T ) ≥ 0, (T ) ≥ xT ,x(T ) xT )λ (T ) = 0 , (
定理1中的条件(iv)变为 ( x λ (iv) x(0) = x0 , (T ) ≥ 0 , (T ) ≥ xT ,x(T ) xT )λ (T ) = 0 ,
动态最优化问题为
max V = ∫ U (c)e θ t dt
0 ∞
s.t. k ′ = φ (k ) c (n + δ )k k (0) = k0 , k (∞) ≥ 0 0 ≤ c(t ) ≤ φ (k )
必要和充分条件 其哈密顿函数为 H = U (c)e θ t + λ[φ (k ) c (n + δ )k ] 现值哈密顿函数为
(iii) (iv)
k′ =
H c = φ (k ) c (n + δ )k
lim lim lim k (0) = k0 , λ (T ) ≥ 0 ,→∞ k (T ) ≥ 0 , λ (T )k (T ) = 0 T →∞ T
T →∞
这些条件的解释 横截条件(iv)可写为
T →∞
lim = k (T )U ′(c(T ))eθ T = 0
利用标记效用弹性
η (c ) =
U ′′(c)c U ′(c)
将第一个微分方程改写为
c′ = σ (c)[φ ′(k ) (n + δ + θ )] c
消费增长率为正 第二个微分方程称作凯恩斯拉姆齐 凯恩斯拉姆齐规则 凯恩斯拉姆齐 则在变量不再变动的稳态 k ′ = 0的最优消费为 稳态中, 稳态 c* = φ ( k * ) ( n + δ ) k *
H =u λ
H =1 x
x = (t 2 / 2 + tc1 ) /10 + c2
c2 = 5
则最优解为 x* (t ) = (t 2 / 2 + 99t / 2) /10 + 5
u * (t ) = (t + 99 / 2) /10
而估值为
λ * (t ) = t + 99 / 2
最小化问题可以转化为基本最大化问题:
H c = Heθ t = U (c ) + [φ ( k ) c ( n + δ ) k ]
哈密顿函数为c 和 k 的凹函数,充分必要条件为 (i) H
c
c
= U ′(c) = 0
(ii)
′ =
H c + θ k
= [φ ′(k ) (n + δ )] + θ = [φ ′(k ) (n + δ + θ )]
max ∫ (5 x 6u )dt
0
s.t. x′ = x + u x(0) = 9, x(1)自由 u (t ) ∈ [0,10]
哈密顿函数为
H = (5 x 6u ) + λ ( x + u ) = (5 + λ ) x + (λ 6)u
u 的最优解为 u * = 10 ,如果 λ > 6
max ∫ h( x(t ), u (t ), t )dt 等价于 min ∫0 h( x(t ), u (t ), t )dt
T 0
T
第4节 基本问题的扩展
不同的终结条件: x (T )自由x(T ) ≥ xT 虽然没有端点条件,但有横截条件存在 x (T )自由时:横截条件为 λ (T ) = 0 ,定理1中条件(iv) 变为 (iv) x(0) = x0 , λ (T ) = 0
这表明在最后一期剩下任何资本存量都不是最优的,应该 全部消费点 条件(ii)可写为
c′ = U ′(c) [φ ′(k ) (n + δ + θ )] U ′′(c)
关于c, k 的两个自治微分方程:
c′ = U ′(c) [φ ′(k ) (n + δ + θ )] U ′′(c)
k ′ = φ (k ) c (n + δ )k
u
x
(iii)
x′ =
H λ
状态方程
x x (iv)(0) = x0 ,(T ) = xT 端点条件 定理2(Mangasarian,1966) 如果哈密顿函数 H ( x, u , λ , t ) 对于每个 t 都是 数,则定理1的条件为解的充分必要条件 例
max ∫ ( x 5u 2 )dt
λ=
x=
2 (et 1 e1t ) e + e 1
1 (et 1 + e1t ) 1 e+e
但
x(1) =
x 其小于2, (1) ≥ 2不成立,则尝试端点条件x(1) = 2 ,可得
λ * (t ) =
x* (t ) =
2 e + e 1
1 [(4 2e 1 )et + (4 2e)e t ] e e 1
0 1
x和 u 的凹函
s.t.
x′ = u x(0) = 5, x(1) = 10
哈密顿函数
H = ( x + 5u 2 ) + λu 其为凹函数,定理1的条件为充分必要条件
H = 10u + λ = 0 u
和
2 H = 10 u 2
则
u = λ /10
共态方程和状态方程为
λ′ =
x′ =
代入u ,可得两微分方程 λ′ = 1 x′ = λ /10 由第一个方程可得λ = t + c1 ,代入第二个方程有 由端点条件可得 c1 = 99 / 2
则 λ ′′ = 2x′ = λ ,其通解为 另外
H x′ = =u =λ/2 λ
λ = c1et + c2 e t
终点条件为 x (1) ≥ 2,横截条件为 尝试 λ (1) = 0 ,可得
x = λ ′ / 2 = (c1et c2 e t ) / 2
λ (1) ≥ 0, x(1) ≥ 2,[ x(1) 2]λ (1) = 0
T
∫
0
F ( x, u )e rt dt
哈密顿函数为
H ( x, u , λ , t ) = F ( x, u )e rt + λ g ( x, u )
现值哈密顿函数
H c ( x, u , ) = He rt = F ( x, u ) + g ( x, u )
其中 = λ e rt 定理1的条件(ii)重写为
x′ = x
状态变量的解为
0 x* (t ) = 10 + 19et , ≤ t ≤ 0.2116
x* = 10.9071et , 0.2116 < t
≤1
在 t = 0.2116 处最优控制函数为分段连续的,这样的最优 控制函数叫做碰碰 碰碰控制函数 碰碰 自治问题 时间并不进入目标函数或者状态方程,哈密顿函数为 H ( x, u , λ ) = f ( x, u ) + λ g ( x, u ) 存在折现的自治问题
1 [(4 2e 1 )et (4 2e)e t ] 1 2(e e )
u * (t ) = λ * (t ) / 2
不同的规划周期 无限规划周期,若终结条件为 Biblioteka Baidu (∞ ) ≥ x ,则横截条件 lim λ (T ) ≥ 0 , x(T ) ≥ x 和 lim( x (T ) x )λ (T ) = 0 lim T →∞ T →∞ T →∞ 控制区域 控制区域:控制变量所受限制 例 1
例
max ∫ 1 x 2 u 2 dt
0 1
s.t. x′ = u x(0) = 1, x(1) ≥ 2
哈密顿函数为 其为 x 和
H = 1 x 2 u 2 + λu
u 的凹函数,而
u =λ/2
则
H 2 H = 2u + λ 和 = 2 2 u u
共态方程和状态方程为:
λ′ =
H = 2x x
0 T
最优化问题
max V = ∫ [ pu (t ) C (u (t ), x(t ))]e rt dt
0 T
端点条件
s.t.
x′(t ) = f ( x(t )) u (t )
x x(0) = x0 , (T ) = xT
动态最优化问题与静态最优化的差异 (i)最优化在一个规划周期内进行 (ii)被积函数为泛函而非函数 (iii)两类变量:存量与流量,也即状态变量与控制变量 (iv)第一类约束条件为微分方程,即状态方程 (v)第二类关于状态变量初始值和终结值,即端点条件
第3解 基本最优控制问题与庞特里亚 金最大值原理
max ∫ f ( x(t ), u (t ), t )dt
0 T
约束状态方程
dx = g ( x(t ), u (t ), t ) dt
端点条件
x(0) = x0 , x(T ) = xT
最优化原理 "最优化决策具有如下性质:不论初始状态和初始决策如 何,剩余决策仍然构成关于由第一个决策而形成状态的最 优解." 最大值函数
考虑得到 B 点的流线,如图11.4中的 FB . k 在B 附近, 近似于一个常数,其大于资本的黄金 律水平 k g ,有 n + δ φ ′( k ) > 0
dU ′(c) dt = n + δ φ ′(k ) + θ > θ U ′(c)
定义 哈密顿函数为 哈密顿函数
H ( x , u , λ , t ) = f ( x, u , t ) + λ g ( x, u , t ) 庞特里亚金最大值原理
定理 I 哈密顿函数
H ( x , u , λ , t ) = f ( x , u , t ) + λ g ( x, u , t )
最优解的必要条件为对于每个时刻 t ,有 (i) 最大化 H ( x, u , λ , t ) (ii) λ ′ = H 共态方程