第四章 第3节 平面向量的数量积及平面向量应用举例

第四节 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例

1.(2010·四平模拟)c )的最小值为 ( )

A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 2

解析：(a －c )·(b －c )＝a ·b －c ·(a ＋b )＋c 2

＝0－|c |·|a ＋b |·cos 〈c ，(a ＋b )〉＋1

≥0－| c ||a ＋b |＋1 1

1 1

＝－2＋1.

答案：D

2．(2009·广东高考)一质点受到平面上的三个力F 1、F 2、F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1、F 2成60°角，且F 1、F 2的大小分别为2和4，则F 3的

大小为 ( ) A ．27 B ．2 5 C ．2 D ．6

解析：由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)．

23F ＝21F ＋22F ＋2F 1F 2＝21F ＋22F ＋2|F 1||F 2|cos60°＝28. ∴|F 3|＝27.

答案：A

3．(2009·福建高考)设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于 ( )

A ．以a ，b 为两边的三角形的面积

B ．以b ，c 为两边的三角形的面积

C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积

D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积

解析：设〈a ，b 〉＝θ，θ∈(0，π)，

∵〈a ，c 〉＝π2，∴〈b ，c 〉＝3π2

－θ，

以a ，b 为邻边的平行四边形面积为

|a ||b |sin θ，而|b·c |＝3cos(

)2b c πθ-

＝|b ||c |sin θ，

又|a |＝|c |，∴|b·c |＝|a ||b |sin θ.

答案：C

4.(2009·全国卷Ⅰ)b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )

A ．150°

B ．120°

C ．60°

D ．30°

解析：(a ＋b )2＝c 2

，a ·b ＝－c 22，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，〈a ，b 〉＝120°. 答案：B

5．在△ABC 中，A B ·B C ＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32

]，则A B 与B C 夹角的取值范围是 ( )

A ．[π4，π3]

B ．[π6，π4]

C ．[π6，π3]

D ．[π3，π2

] 解析：设〈A B ·

B C 〉＝θ，由A B ·B C ＝|A B ||B C |cos θ＝3，得|A B ||B C |＝3cos θ

， ∴S ＝12|A B ||B C |sin θ＝12×3cos θ×sin θ＝32tan θ. 由32≤32θ≤32，得33

≤tan θ≤1， ∴π6≤θ≤π4

. 答案：B

6．设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2te 1＋7e 2与向量

e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

解：由已知，21e ＝|e 1|2＝4，2

2e ＝|e 2|2＝1， e 1·e 2＝2×1×cos60°＝1.

∴(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)＝2t 21e ＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t 2

2e ＝2t 2＋15t ＋7.

由2t 2＋15t ＋7＜0，得－7＜t ＜－12

. 由2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)(λ＜0)，得⎩⎪⎨

⎪⎧ 2t ＝λ7＝tλ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

t ＝－14

2λ＝－14

.由于2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，

故(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)＜0且2te 1＋7e 2≠λ(e 1＋te 2)(λ＜0)，故t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12

)．

7.已知向量a ( )

A ．－4

B ．4

C ．0

D ．9

解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(x ，－2)，∴a －b ＝(1－x,4)，

∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0，∴1－x ＋8＝0，∴x ＝9.

答案：D

8．(2009·广东高考)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝________.

解析：设a ＝(x ，y )，则a ＋b ＝(x ＋2，y －1)

由题意⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋2)2＋(y －1)2＝1，y －1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝1，x ＝－1或－3. ∴a ＝(－1,1)或a ＝(－3,1)．

答案：(－1,1)或(－3,1)

9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R.

(1)若a ⊥b ，求x 的值；

(2)若a ∥b ，求|a －b |.

解：(1)若a ⊥b ，

则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )

＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.

整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.

(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，

即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.

当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，

∴|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|

＝(－2)2＋02＝2.

当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，

∴|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|