解直角三角形及圆的证明专题复习

（2）解直角三角形

1．某地一居民楼,窗户朝南,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β.小明想为自己家的窗户设计一个圆弧形遮阳蓬ECD,小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β的相应数据;∠α=24°,∠β=73°,小明又量得窗户的高AB=1.65米，圆弧形的圆心刚好是B 点.若同时满足下列两个条件,(1)当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2) 当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内.请你借助下面的图形帮助小明算一算, 遮阳蓬ECD 中与墙BE 垂直的支杆CD 的长是多少?若要固定遮阳蓬ECD ，固定点E 点应在什么位置？(精确到0.01米)

2．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒30，看这栋高楼底部的俯角为︒60，热气球与高楼的水平距离为66 m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈）

E

A C D

B

C

A

B

3．如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形， 得 ABC S △=

1

2

bc·sin ∠A ． ① 即 三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半． 如图22（2），在⊿ABC 中，CD ⊥AB 于D ，∠ACD=α， ∠DCB=β． ∵ ABC ADC BDC S S S =+△△△， 由公式①，得

12AC·BC·sin(α+β)= 12AC·CD·sin α+1

2

BC·CD·sin β， 即 AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sin α+BC·CD·sin β． ②

你能利用直角三角形边角关系，消去②中的AC 、BC 、CD 吗？不能， 说明理由；能，写出解决过程．

（3）圆中的综合题

1如图，点D 是⊙O 直径CA 的延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ．

（1）求证：BD 是⊙O 的切线；

（2）若点E 是劣弧BC 上一点，弦AE 与BC 相交

于点F ，且CF ＝9，cos ∠BF A ＝3

2

，求EF 的长．

2．如图，扇形OAB 的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C 是»AB 上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连结DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG=GH=HE （1）求证：四边形OGCH 是平行四边形（2）当点C 在»AB 上运动时，在CD 、CG 、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度（3）求证：2

2

3CD CH 是定值

3．如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D ， 与边AC 交于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于F . （1） 求证：DF 为⊙O 的切线； （2） 若DE =2

5

，AB =25，求AE 的长.

、

(第3题图)

4 如图，已知两点A （-1，0）、B （4，0）在x 轴上，以AB 为直径的半⊙P 交y

轴于点C.

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）设AC 的垂直平分线交OC 于D ，连结AD 并延长AD 交半圆P 于点E ，弧

AC 与弧CE 相等吗？请证明你的结论.

5.如图13①②，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题，如图②.已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm ），设铁环中心为O ，铁环钩与铁环相切点

为M ，铁环与地面接触点为A ，∠MOA ＝α，且sinα＝3

5

.（1）求点M 离地面AC 的

高度BM （单位：厘米）；（2）设人站立点C 与点A 的水平距离AC 等于11个单位，求铁环钩MF 的长度（单位：厘米）.

6．如图，直线EF 交⊙O 于A 、B 两点，AC 是⊙O 直径，DE 是⊙O 的切线，且DE ⊥EF ，垂足为E ．（1）求证：AD 平分∠CAE ；（2）若DE ＝4cm ，AE ＝2cm ，求⊙O 的半径．

②

①

图13

7．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，点A 是弧BDC 的中点，AE⊥AC 于点A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且弧BD=弧AD ，EM 切⊙O 于点M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1

2 BC·CE；

⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。

8．已知：如图，△ABC 中，AB=AC =6，1

cos 3

B =

，⊙O 的半径为OB ，圆心在AB 上，且分别与边AB 、BC 相交于D 、E 两点，但⊙O 与边AC 不相交，又EF AC ⊥，垂足为F ．设OB =x ，CF =y ． （1）判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）设OB =x ，CF =y ．①求y 关于x 的函数关系式； ②当直线DF 与⊙O 相切时，求OB 的长．

O

F

E

D

C

B

A

C A B E

F M N 图① C A B E F M N 图② 9已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．

（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=； （Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

10．如图：⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4的半径都为1，其中⊙O 1与⊙O 2外切，⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4两两外切，并且O 1、O 2、O 3三点在同一直线上。（1）请直接O 2O 4写出的长；

（2）若⊙O 1沿图中箭头所示方向在⊙O 2、的圆周上滚动，最后⊙O 1滚动到⊙O 4的位置上，试求在上述滚动过程中圆心O 1移动的距离（精确到0.01）。