2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2_6_1曲线与方程学案苏教版选修2_1

2．6.1 曲线与方程

[学习目标] 1.了解曲线和方程的概念.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义．

知识点曲线的方程、方程的曲线

如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．

思考(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．

(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？

答案(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．

(2)若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.

题型一曲线与方程的概念

例 1 (1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么下列说法正确的是________．(填序号)

①曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0；

②凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；

③不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0；

④不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0.

答案③

(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：

①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；

②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．

解①与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.

②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.

反思与感悟 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点： 一是检验点的坐标是否适合方程；

二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上． 跟踪训练1 判断下列命题是否正确．

(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是y ＝r 2

－x 2

； (2)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程为|x |＝2.

解 (1)不正确．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2

－x 2

的解，则y 0＝r 2

－x 2

0，即x 2

0＋y 2

0＝r 2

.两边开平方取算术平方根，得x 2

0＋y 2

0＝r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、r 为半径的

圆上的一点如点(r 2，－32

r )在圆上，却不是y ＝r 2－x 2

的解，这就不满足曲线上的点的坐

标都是方程的解．所以，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程不是y ＝r 2

－x 2

，而应是y ＝±r 2

－x 2

.

(2)不正确．直线l 上的点的坐标都是方程|x |＝2的解．然而，坐标满足|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是直线l 的方程，直线l 的方程为x ＝2. 题型二 由方程判断其表示的曲线

例2 方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？ 解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，

所以可得⎩⎪⎨

⎪⎧

2x ＋3y －5＝0，

x －3≥0，

或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方

程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.

反思与感悟 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线． 跟踪训练2 “(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0”，其表示什么曲线？ 解 因为(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0，

所以可得⎩⎪⎨

⎪

⎧

2x ＋3y －5＝0，x ＋2y >0，

或者x ＋2y ＝8，即2x ＋3y －5＝0(x <10)或者x ＋2y ＝8，故方

程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x <10)(去除端点)和一条直线x ＋2y ＝8. 题型三 曲线与方程关系的应用

例3 若曲线y 2

－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R )，求k 的取值范围．

解 ∵曲线y 2

－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2

＋a 2

＋2a ＋k ＝0.

∴k ＝－2a 2

－2a ＝－2(a ＋12)2＋12.

∴k ≤12，∴k 的取值范围是(－∞，1

2

]．

反思与感悟 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上． (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．

跟踪训练3 (1)已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是________． 答案 a >1

解析 ∵a >0，∴方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)的图象大致如图，要使方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y ＝a |x |在y 轴右侧的斜率大于y ＝x ＋a 的斜率，∴a >1.

(2)已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2

有两个公共点，求b 的取值范围．

解 由方程组⎩⎨

⎧

y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2，

得⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋b ，x 2＋y 2

＝1y ≥0.

消去x ，得到2y 2

－2by ＋b 2

－1＝0(y ≥0)．

l 与C 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，

可得⎩⎪⎨

⎪⎧

Δ＝4b 2－8b 2－1>0，

y 1

＋y 2＝b >0，y 1y 2

＝b 2

－12

≥0，

解得1≤b < 2.

所以b 的取值范围为[1，2)．

1．“点M 在曲线y 2

＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的________条件． 答案 必要不充分

解析 ∵y ＝－2x ≤0，而y 2

＝4x 中y 可正可负，