解三角形专题复习(精编)

解

三 角 形

◆知识点梳理

（一）正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（其中R 表示三角形的外接圆半径） 适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角； （2）已知两边和对角，求其他边或其他角。 变形：① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R

C =

②sin 2a A R =

，sin 2b B R =，sin 2c C R

= ③

sin sin sin a b c

A B C

++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =

（二）余弦定理：2

b =B a

c c a cos 22

2

-+（求边），cosB=ac

b c a 22

22-+（求角）

适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。

（三）三角形的面积：① =⋅=

a h a S 21；② ==A bc S sin 2

1

；

（四）三角边角关系：

（1）在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -

cos

2A B +=sin 2C ； 2

cos 2sin C B A =+

（2）边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ；

（3）大边对大角：B A b a >⇔> （五）三角形形状判别

形状 锐角△ 钝角△ 直角△ 等腰△ 等腰Rt △ 等边△

（1）角判别：⎪⎩

⎪⎨⎧>>>0cos 0cos 0cos C B A 0cos

45==B A C B A ==

（2）边判别： 少用 少用 2

22c b a =+ c b a ≠= ⎩⎨⎧==+b

a c

b a 222

c b a ==

◆考点剖析

（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用

例1、在△ABC 中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, 8,4=+=c a b ,求c a 、的长.

例2、如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求22

11

OM ON +

的最大值和最小值．

变式1、在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为c b a ,,，已知bc ac c a ac b -=-=2

2

2

,且， （１）求∠Ａ的大小； （２）求c

B

b sin 的值

变式2、在ΔABC 中，已知6

6

cos ,364==

B AB ，A

C 边上的中线BD=5，求sinA 的值

变式3、在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且

510sin ,sin 510

A B =

= （I ）求A B +的值； （II ）若21a b -=-，求a b c 、、的值。

（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用

例3、如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？

变式4、△ABC 中的三c b a ,,和面积Ｓ满足Ｓ＝2

2

)(b a c --，且2=+b a ，求面积Ｓ的最大值。

例4、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

7,5,2

7

2cos 2sin 42

==+=-+c b a C B A ． （1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积．

变式5、已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＣＤ＝ＤＡ＝４，求四边形ＡＢＣＤ的面积

例5、（2009浙江）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos

25

A =，3A

B A

C ⋅=．

（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．

变式6、已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ⋅=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.

(1) 求角C 的大小；

（2）求sin sin A B +的取值范围.

（三）考查三角形形状的判断

例6、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为

3

1。 （1） 判断△ABC 的形状； （2） 求△ABC 的面积。

变式7、在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+. (1)判断△ABC 的形状；

(2)在上述△ABC 中，若角C 的对边1=c ，求该三角形内切圆半径的取值范围。

例7、在△ABC 中，已知2a b c =+，

2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。

变式8、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c

2c ，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为

A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形或直角三角形

D ．等腰直角三角形

变式9、△ABC 中，若sinA=2sinBcosC ，sin 2A=sin 2B+sin 2C ，试判断△ABC 的形状。

（四）考查应用：求角度、求距离、求高度

例8、在湖面上高h 处，测得云彩仰角为α，而湖中云彩影的俯角为β，求云彩高.

变式12、如图，为了计算北江岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取

A 和D 两个测量点，现测得AD CD ⊥，10AD km =，14A

B km =，60BDA ︒∠= ，135BCD ︒∠=，求两景点B 与

C 的距离（假设,,,A B C

D 在同一平面内，测量结果保留整

数；参考数据：2 1.414,

3 1.732,5 2.236===）