10.4 变量间的相关关系__统计案例

第四节

变量间的相关关系__

统计案例

1．变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是________；与函数关系不同，________是一种非确定性关系．

(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为________．

2．两个变量的线性相关

(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有________________，这条直线叫做________．

(2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^

＝

∑i ＝1

n

x i y i －n x － y

－

∑i ＝1

n x 2i －n x －

2

， a ^＝y －－b ^x －． (3)通过求Q ＝∑i ＝1

n

y i －bx i －a 2

的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点

到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．

(4)相关系数：

当r ＞0时，表明两个变量________； 当r ＜0时，表明两个变量________．

r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关性．

3．独立性检验

假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

K 2

＝n ad －bc 2

a ＋

b a ＋

c b ＋

d c ＋d

(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．

[小题体验]

1．(教材习题改编)已知x ，y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y ^＝0．95x ＋a ^，则a ^

＝________．

2．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

已知P (K 2≥3．841)≈0．05，P (K 2≥5．024)≈0．025．

根据表中数据，得到K 2

的观测值k ＝50× 13×20－10×7 2

23×27×20×30

≈4．844．则认为选修文科

与性别有关系出错的可能性为________．

1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．

2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x －，y －

)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．

3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值，而实质上是预测值(期望值)．

[小题纠偏]

1．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组

样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^

＝0．85x －85．71，则下列结论中不正确的是( )

A ．y 与x 具有正的线性相关关系

B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )

C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0．85 kg

D ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58．79 kg

2．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是( )

A ．l 1和l 2必定平行

B ．l 1与l 2必定重合

C ．l 1和l 2一定有公共点(s ，t )

D ．l 1与l 2相交，但交点不一定是(s ，t )

考点一 相关关系的判断 基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．(2015·湖北高考)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0．1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )

A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关

B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关

C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关

D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 故x 与z 负相关．

2．某公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x 对产量y 影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：

(1)画出散点图．

(2)判断是否具有相关关系．

[谨记通法]

判断相关关系的2种方法

(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关．

(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强．

考点二回归分析 重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

1．(2016·全国丙卷)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0．01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

[由题悟法]

1．回归直线方程中系数的2种求法

(1)利用公式，求出回归系数b，a．

(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数．