(完整版)选修4-4-一、平面直角坐标系
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（1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
y
y=sin2x
O
2
x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 标不变，将横坐标x缩为原来的 1 ，就得到正弦
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，
边AB所在的直线x轴，建立直角 y
坐标系，由已知，点A、B、F的
C
坐标分别为
E
c
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ). O (A) F
Bx
设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（ x2 ，y2 ）. 由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
故双曲线方程为 x2 6802
5
y2 3402
1(x
0)
用y=－x代入上式，得 x 680 5，
∵|PA|>|PB|,
x 680 5, y 680 5, 即P(680 5,680 5),故PO 680 10
答：巨响发生在接报中心的西偏北
450距中心 680 10m 处.
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上 的中线，建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。
直角坐标系下进行伸缩变换。
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换
x'=2x (1)2x+3y=0;
y'=3y (2)x2+y2=1;
后的图形。
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x'2+y'2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
4.将坐标代入条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; 5.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式; 6.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
某信息中心接到位于正东、正西、正北
方向三个观测点的报告：正东、正西两个观 测点同时听到一声巨响，正东听到的巨响时 间比它们晚4秒.已知各观测点到中心的距离 都是1020m.试确定巨响发生的位置.(假定声 音传播的速度为340m/s,个观测点均在同一 个平面上.)
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
作业： P8 1, 2，4, 6 预习： 极坐标系（书本P9-P11）
y
设点P（x,y） 经变换得到
y=3sinx
P'
点为P'(x',y')
x'=x O 2
y'=3y
伸长变换
P
y=sinx
2
x
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
y=sin2x y
y=3sin2x
设点P（x,y） 经变换得到 O 点为P'(x',y')
伸缩变换
参数方 1.了解参数方程，了解参数的意义. 程 2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆 锥曲线的参数方程.
一．平面直角坐标系的建立
坐标法
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系; 2.设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
3.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M );
怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题？ yC
P
B
o
信息中心
A
x
L Γ
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
设P（x,y）为巨响发生点，由B、C同时听
到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分
换 x'=3x 后， y'=y
曲线C变为x'2+9y'2 =1，求曲线C的方 程并画出图形。
思考：在伸缩 4 下，椭圆是否可以 变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲 线？
能把椭圆（x 1）2 （x 1）2 1变为中心在原点的单位 圆吗？
9
4
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
即 x2 y2 c2 5[(x c)2 y2 ].
整理得 2x2 2 y2 2c2 5cx 0.
因为
uuuv BE
(
x
c,
y ),
uuuv CF
(
c
x, y),
22
2
所以
uuuv uuuv x c
y2
BEgCF ( c)( x) 0.
22
2
因此，BE与CF互相垂直.
你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这 个问题吗？你认为建立直角坐标时应该注意些什 么？
线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s
听到爆炸声，
y
C
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
P
B
|PA|－ |PB|<|AB| |PA|> |PB|
o Ax
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左支上，
a 680 ,c 1020
b2 c2 a2 10202 6802 5 3402
Baidu Nhomakorabea
y=sinx
1
x'= 2 x
y'=3y
2
x
3
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应
P’(x’,y’).称
为把图平形面看成直点角的运坐动标轨系迹，中平的面图伸形缩的伸变缩换变。换
可以用坐标伸缩变换得到； 在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一
2
曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持
纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 1 ，得到点
P'(x',y').坐标对应关系为：x'=
通常把叫做平面
1 2
2
x
1
直角坐标系中的一 y'=y
个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
选修4-4 坐标系与参数方程
知识点
考纲
1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩 坐标系与简 变换作用下平面图形的变化情况. 单曲线的极 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐
坐标方程 标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
y
y=sin2x
O
2
x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 标不变，将横坐标x缩为原来的 1 ，就得到正弦
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，
边AB所在的直线x轴，建立直角 y
坐标系，由已知，点A、B、F的
C
坐标分别为
E
c
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ). O (A) F
Bx
设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（ x2 ，y2 ）. 由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
故双曲线方程为 x2 6802
5
y2 3402
1(x
0)
用y=－x代入上式，得 x 680 5，
∵|PA|>|PB|,
x 680 5, y 680 5, 即P(680 5,680 5),故PO 680 10
答：巨响发生在接报中心的西偏北
450距中心 680 10m 处.
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上 的中线，建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。
直角坐标系下进行伸缩变换。
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换
x'=2x (1)2x+3y=0;
y'=3y (2)x2+y2=1;
后的图形。
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x'2+y'2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
4.将坐标代入条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; 5.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式; 6.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
某信息中心接到位于正东、正西、正北
方向三个观测点的报告：正东、正西两个观 测点同时听到一声巨响，正东听到的巨响时 间比它们晚4秒.已知各观测点到中心的距离 都是1020m.试确定巨响发生的位置.(假定声 音传播的速度为340m/s,个观测点均在同一 个平面上.)
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
作业： P8 1, 2，4, 6 预习： 极坐标系（书本P9-P11）
y
设点P（x,y） 经变换得到
y=3sinx
P'
点为P'(x',y')
x'=x O 2
y'=3y
伸长变换
P
y=sinx
2
x
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
y=sin2x y
y=3sin2x
设点P（x,y） 经变换得到 O 点为P'(x',y')
伸缩变换
参数方 1.了解参数方程，了解参数的意义. 程 2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆 锥曲线的参数方程.
一．平面直角坐标系的建立
坐标法
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系; 2.设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
3.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M );
怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题？ yC
P
B
o
信息中心
A
x
L Γ
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
设P（x,y）为巨响发生点，由B、C同时听
到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分
换 x'=3x 后， y'=y
曲线C变为x'2+9y'2 =1，求曲线C的方 程并画出图形。
思考：在伸缩 4 下，椭圆是否可以 变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲 线？
能把椭圆（x 1）2 （x 1）2 1变为中心在原点的单位 圆吗？
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课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
即 x2 y2 c2 5[(x c)2 y2 ].
整理得 2x2 2 y2 2c2 5cx 0.
因为
uuuv BE
(
x
c,
y ),
uuuv CF
(
c
x, y),
22
2
所以
uuuv uuuv x c
y2
BEgCF ( c)( x) 0.
22
2
因此，BE与CF互相垂直.
你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这 个问题吗？你认为建立直角坐标时应该注意些什 么？
线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s
听到爆炸声，
y
C
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
P
B
|PA|－ |PB|<|AB| |PA|> |PB|
o Ax
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左支上，
a 680 ,c 1020
b2 c2 a2 10202 6802 5 3402
Baidu Nhomakorabea
y=sinx
1
x'= 2 x
y'=3y
2
x
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定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
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的作用下，点P(x,y)对应
P’(x’,y’).称
为把图平形面看成直点角的运坐动标轨系迹，中平的面图伸形缩的伸变缩换变。换
可以用坐标伸缩变换得到； 在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一
2
曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持
纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 1 ，得到点
P'(x',y').坐标对应关系为：x'=
通常把叫做平面
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x
1
直角坐标系中的一 y'=y
个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
选修4-4 坐标系与参数方程
知识点
考纲
1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩 坐标系与简 变换作用下平面图形的变化情况. 单曲线的极 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐
坐标方程 标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.