博弈论

博弈论（对手论）
Game Theory
主讲人：张化祥
前言
如果代理将环境中的其他代理看成 环境中的一部分，多代理问题，则多代 理问题就转化为单代理问题。 1994年的诺贝尔经济学奖授予3位 博弈论专家 ： 美国伯克利加利福尼亚 大学的约翰· 海萨尼（J.Harsanyi）、普 林斯顿大学约翰· 纳什（J.Nash）和德国 波恩大学的赖因哈德· 泽尔滕（Reinhard Selten）。
一、概论
4.几个经典例子 4.1囚徒困境（prisoner’s dilemma）：假设有两个小偷A和B联合犯 事、私入民宅被警察抓住。警方将两人分别置于不同的两个房 间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方给出的政策是：如 果两个犯罪嫌疑人都坦白了罪行，交出了赃物，于是证据确凿， 两人都被判有罪，各被判刑8年；如果只有一个犯罪嫌疑人坦白， 另一个人没有坦白而是抵赖，则以妨碍公务罪（因已有证据表 明其有罪）再加刑2年，而坦白者有功被减刑8年，立即释放。 如果两人都抵赖，则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但 可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。（Nash的合作伙伴 Tucker于50年代，matrix game）下表1给出了这个博弈的支付矩 阵：
A获利1000亿 B获利0 A获利0 B获利1000亿 A获利0 B获利0
B开发
A不开发 B不开发
二、完全信息静态博弈
1.优势战略（占优战略）及均衡(dominant strategy) 占优战略： 定义：博弈中，参与者的效用函数为所有参与者战略的函数， 效用受其他参与者战略选择的影响。有时，参与者的最优战略 可能不依赖于其他参与人的战略，即无论对方如何选择，他的 最优战略是唯一的，这样的最优战略称为优势战略。 举例：囚徒困境 坦白是其优势战略
二、完全信息静态博弈
2.占优战略求解：
小猪 行动 等待
大猪
行动
等待
5, 1
9，-1
表6
4,
4
对小猪来说;等待是占优战略， 但大猪没有占优战略。 如何求解?
0， 0
理性推理过程：假定小猪理性，只能选择等待 假定大猪知道小猪是理性的，大猪会预测到小猪 “等待”，大猪只能是选择“按”。 思想：重复剔除严格劣战略(iterated elimination of strictly dominant strategy)
前言
●
约翰· 海萨尼：分析了信息不完备情况下的博弈，提出了“海萨 尼转换”，定义了“贝叶斯纳什均衡”，从而使得不可分析问 题变成了可分析问题。
约翰· 纳什：他的两篇关于非合作博弈论的重要论文，彻底改 变了人们对竞争和市场的看法。他证明了非合作博弈及其均衡 解，并证明了均衡解的存在性，即著名的纳什均衡。从而揭示 了博弈均衡与经济均衡的内在联系。2000年北京召开的数学家 大会作主题发言 ●赖因哈德· 泽尔滕：在60年代中期将纳什均衡概念引入动态分 析，在1965年发表《需求减少条件下寡头垄断模型的对策论描 述》一文，提出了“子博弈精炼纳什均衡”的概念，又称“子 对策完美纳什均衡”。这一研究对纳什均衡进行了第一次改进， 选择了更具说服力的均衡点。
5.2纯战略与混合战略 如果决策主体的均衡策略为某一个具体的策略，如上述例子，则 称为纯战略，若为多个策略的概率组合，则称为混合战略，如 以0.1概率选上，以0.9概率选下。
二、完全信息静态博弈
示例：市场有两栋楼出售，需求大时，每栋可售1.4亿，需求小 时，每栋可售7000万，若只有一栋楼，需求大时可售1.8亿，小 时可售1.1亿 有两个开发商A和B，各有1亿元资金，是否投资开发? 特点：双方同时决策；决策时不知道对方的决策；市场需求对方 共知；一次性决策 参与人：开发商A和B 行动：开发/不开发 知识：已有竞争者知道，已有参与者知道…….
都是对其余博弈方策略的组合
* * * * * * *
ui ∈Si都成立,则称为 对任意sij( s1 ,...si 1, si , si 1, ...sn ) ui ( s1 ,...si 1, sij , si 1, ...sn ) 为G的一个纳什均衡。
小猪 行动 大猪 行动 等待 表2 5, 1 9，-1 等待 4, 4 0， 0
举例：股市炒股；穷人富人
一、概论
4.3斗鸡博弈（chicken game）（懦夫博弈）：有一个独木桥，一次只 允许一个人经过，现在有两个人分别从桥的两头想往对面走，若各不 相让，则双双落水，若一方想让，则另一方获胜。因此，对每个人来 说，最好的结果是，对方先不走，而自己先过去。
●
前言
现代宏观、微观经济学研究，广泛应用时序理论，随机过程、 统计、回归模型，对博弈论知识，尤其是计量经济学，作为一 个经济学理论……. 最早博弈论开始于1944年，由冯· 诺依曼（Von Neumann ） 和摩根斯坦（Morgenstern ）对合作博弈的研究开始，主要研究 合作博弈。后来约翰· 纳什，于1951年发表了两篇非合作博弈方 面的文章，从而奠定了非合作博弈的基础，随后在此基础上产 生了约翰· 海萨尼、赖因哈德· 泽尔滕等人对博弈论的研究工作。 博弈论最早被归为数学，但后来博弈论在经济学方面的应用 取得了成功，同时很多经济学家也做了很多工作，人们借此认 为它成为经济学分支，实际上，博弈论在很多方向都有很好的 应用，如政治，经济，计算机科学，社会科学，生物学，军事 战略等方面。
一、概论
4.2智猪博弈：假设猪圈里有一头大猪、一头小猪。猪圈的一头 有猪食槽，另一头安装着控制猪食供应的按钮，按一下按钮会 有10个单位的猪食进槽，但是谁按按钮就会首先付出2个单位的 成本，若大猪先到槽边，大小猪吃到食物的收益比是9∶1；同 时到槽边，收益比是7:3，小猪先到槽边，收益比是6:4,那么， 在两头猪都有智慧的前提下，最终结果是小猪选择等待. 用博弈论中的收益矩阵(表2)可以更清晰的刻画出小猪的选择：
D
0,3
表8
0,1
M总比K优 B L M
A U
1,0
表9
1,2
(U,M)为占优战略
二、完全信息静态博弈
3.纳什均衡（NE）
定义： 在博弈G=﹛S1,…,Sn：u1,…，un﹜中，如果由各个博弈方的各一个
* * 策略组成的某个策略组合 ( s1 ,... sn )
中，任一博弈方i的策略si*，
* * ( s1 ,... si*1, si*1, ...sn ) 的最佳对策，也即 * * *
一、概论
1.博弈论定义： 研究决策主体的行为发生直接相互作用时的决策及这种决策 的均衡问题。 注：发生相互作用，表明主体决策受到其他主体决策的影响。 此时，主体效用（决策结果的好坏），不单纯依赖于自己的 选择，同时还依赖于决策中其他主体的选择，此时，个体的最 优选择是其他主体选择的函数。 2.博弈论分类： 一般认为，博弈主要可以分为合作博弈和非合作博弈： 合 作博弈强调的是团体理性；非合作博弈强调个体理性，个体决 策，最大化个体效用。非合作博弈又分为：完全信息静态博弈， 完全信息动态博弈，不完全信息静态博弈，不完全信息动态博 弈。从行为的时间序列性，博弈论进一步分为静态博弈、动态 两类 。按照参与人对其他参与人的了解程度分为完全信息博弈 和不完全信息博弈；按参与的人数可以分为单人博弈，双人博 弈，三人博弈……。按收益可分为零和博弈（zero-sum game）， 常和博弈（constant-sum game），变和博弈（variant sum game ）。
二、完全信息静态博弈
s i' 和 si'' 2.1定义：令
si si 成立 ，称
于
si' , si" si 是决策主体i可选的两个战略，
u 如果对于 j N , j N 的策略组合s-i，有： i ( si' , si ) ui ( si" , si ),
s
s i'
的占优均衡。它是重复剔除劣战略后剩下的唯一战略组合，如果这 个战略组合存在，我们就说该博弈是重复剔除占优可解的
(dominance solvable).
二、完全信息静态博弈
示例：
对于A: U总比D优
B
B L A U D 1,0 0,3
表7
L K 0,1 2,0 对于B: A U 1,0
M 1,2
Байду номын сангаас
M 1,2 0,1
一、概论
A\B 坦白 抵赖 坦白 -8，-8 -10, 0 抵赖 0，-10 -1，-1
表1 囚徒困境反映了个体理性与具体环境的矛盾，即使建立攻守同 盟也没用，它不构成均衡 举例:(1)现在的贪官与夫人，朋友等建立攻守同盟 (2)国家与国家之间用来购买武器，生产武器的钱都用来发 展经济，人类社会会进步得很快 (3) 小国在大国之间求生存也是一种博弈
一、概论
3.博弈的基本要素 主体（参与者）、行动、信息、战略、收益函数、均衡；其中， 主体、战略、收益函数是三个最基本的组成要素。 主体：决策的参与者，最大化自己的效用 行动：参与者的决策变量 战略：参与者选择行动的规则 信息：决策主体在博弈中有关的知识 效用函数：参与者从博弈中收益的一个指标，用于衡量决策的 “好”、“坏”。 均衡：是所有决策主体的最优战略或行动的组合
二、完全信息静态博弈
分析如下： 有八种可能结果：
B开发
A获利4000万 B获利4000万
A获利8000万 B获利0 A获利0 B获利8000万 A获利0 B获利0
A开发 B不开发 需求大
B开发
A不开发 B不开发
二、完全信息静态博弈
B开发 A开发 B不开发 需求小
A获利-3000万 B获利-3000万
一、概论
劣战略1： 在n个参与者标准式博弈G中，如果重复剔除严格劣战略，剔除掉 除NE以外的所有战略，则称该博弈有唯一的NE. 若战略如下：
2
左 中 1，2
0，1
表4
右 0，1
2，0
上
1，0
0，3
1
下
对于2来说：不管1为上或下，“中”总比“右”好，“右”为劣战略 对于1来说：“上”总比“下”好；
一、概论
A\B 坦白 抵赖 坦白 -8，-8 -10, 0
表5
抵赖 0，-10 -1，-1
对于A来说，坦白是占优战略
二、完全信息静态博弈
形式化： s* si* 称为决策主体i的严格占优战略，如果对应已有的s-i，i 是u 的严格最优选择， s-i为除i外，其他已有决策参与者的策略组 ' * u 合， i ( si* , si ) ui ( si' , si ) si s1 i si' si* 已有的 si si 称为“劣战略”。 占优战略均衡(dominant-strategy equilibrium) * s 定义：在博弈战略式表达中，如果对于任一决策参与者i ， i * * 是i的占优战略，则战略组合s*( s1 ,....sn ) ,称为该博弈的占优 战略均衡。 如上例：对于A和B来讲，坦白都是最好的选择，此时（坦白， 坦白）就是一个占优战略均衡。 对于开放商的例子：当市场需求大时，（开发，开发）就是一 个占优战略均衡。
赢利矩阵(payoff matrix)如下表3 ： B 前进 A 前进 后退 -3, -3 0，2 表3 后退 2, 0 0， 0
分析： 有两个均衡： (进，退)、(退，进)
举例：夫妻双方因琐事吵架
一、概论
5.博弈的表示（标准式） 5.1定义 ni：参与者，i=1,2……n si: 表示第i个参与者的战略集合 ui：表示第i个参与者的收益 定义1：在一个n人的博弈中，参与者的战略空间 S = {s1，..sn}， 收益函数 U = {u1，u2…un}， G U S 称为博弈的标准式。 定义2：在n个参与者的标准式博弈 G ={s1…sn,u1…un}中，如果战 * s 略组合 {s1* ,...sn } 满足对每个参与者i， i* 为针对其他n-1个参与者所 * * * 选策略 {s1* , s2 ...si*1 , si*1 ,...sn } 的最优反应策略，则称 {s1* ,...sn } 为该博弈 的纳什均衡（NE： Nash Equilibrium ）.
' 为相对于 i
s
'' 的劣战略，称 i
' si'为相对
的占优战略。
2.2求解占优战略：对于决策参与者的每个战略，不断地剔出相 对于它的劣战略，如果最后剩下唯一的战略组合，此战略组合就
是该博弈重复剔除的占优均衡。
二、完全信息静态博弈
2.3博弈的占优可解性：战略组合
* * s * ( s1 ,..., sn ) 称为重复剔除