反比例函数的图像与性质的常见应用

题型
1 利用反比例函数解与图形旋转相关的问题
1. 如图，△ABC的顶点坐标为A(－2，3)，B(－3，1)，C(－1，2)，以 坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，点B′，C′ 分别是点B，C的对应点．求： (1)过点B′的反比例函数的表达式； (2)线段CC′的长．
3
解： (1)由题易得点B的对应点B′的坐标为(1，3)，
16
题型
5 利用反比例函数解与最值相关的问题
5．如图，已知点A(1，a)是反比例函数y＝－ 的图像
上一点，直线y＝－ x＋ 与反比1例函数y＝1－
的图像在第四象限的交点为点B. 2
2
(1)求直线AB对应的函数表达式；
(2)动点P(x，0)在x轴的正半轴上
运动，当线段PA与线段PB的
长度之差达到最大时，求点P
∴CC′＝
OC 2 OC '2
10.
5
题型
2 利用反比例函数解与图形的轴对称相关的问题
2. 如图，一次函数y＝x＋b的图像与反比例函数y＝ k(k为常数，k≠0)的图像交于点A(－1，4)和点 x
B(a，1)． (1)求反比例函数的表达式
和a，b的值； (2)若A，O两点关于直线l对
称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交 点坐标．
4．如图，反比例函数y＝ 与一次k函数y＝ax＋b的图
像交于点A(2，2)， B (
x ，n).
1
2
(1)求这两个函数表达式；
(2)将一次函数y＝ax＋b的图像沿y
轴向下平移m个单位长度，使平
移后的图像与反比例函数y＝
k
x
的图像有且只有一个交点，
求m的值．
13
解： (1)∵A(2，2)在反比例函数y＝ 的图像上k， x
第二十七章 反比例函数
第3课时 反比例函数图像与 性质的常见题型
习题课
1Baidu Nhomakorabea
名师点金
反比例函数图像的位置及增减性由k的符号决定，|k|决定图像上一点向两坐标轴 所作垂线与两坐标轴围成的矩形面积，中考时常将反比例函数图像和性质与其他函数、 几何图像综合在一起进行考查，是中考压轴题中一个重要的命题方向．
2
易知OB＝ ，O3A＝3，
∴AB＝
OB2 OA2 2 3.
∴AB＝2OB. ∴∠OAB＝30°.
∴∠CAF＝30°.∴CF＝ t.
1
2
10
∴ AF
AC 2 CF 2
t2
12 t
2
3 t. 2
∴点C的坐标是
3
3 t,
2
又∵点C与点E均在反比例函数
1t . 2(k＞0y)的图k像上，
x
∴
3
1
解得3t1＝02(舍去t )，t22＝t 2 3t.,
设过点B′的反比例函数表达式为 ∴k＝3×1＝3.
y k, x
∴过点B′的反比例函数表达式为
y 3. x
4
(2)连接OC，OC′.
∵点C的坐标为(－1，2)，
∴OC＝
22 12
5.
∵△ABC以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋
转90°，得到△A′B′C′，点C′是点C的对应点，
∴OC′＝OC＝5，∠COC′＝90°.
∴k＝3t＝6 .
3
3
11
②点E与点D关于原点O成中心对称．理由如下：
设点D的坐标是
x, 3 x
3,
3
则 x 3x 3
3 6 3,
解得x1＝6(舍去)，x2＝－3.
∴点D的坐标是(－3，－2 )． 3
又∵点E的坐标为(3，2 )， 3
∴点E与点D关于原点O成中心对称．
12
题型
4 利用反比例函数解与图形的平移相关的问题
6
解： (1)∵点A(－1，4)在反比例函数 k≠0)的图像上，
(为常y数，k x
∴k＝－1×4＝－4.
∴反比例函数的表达式为
y
4.
x
把点A(－1，4)，B(a，1)的坐标分别代入y＝x＋b，
得
4＝－1＋b， 1＝a＋b，
解得
a＝－4，
b＝5.
7
(2)如图，设线段AO与直线l相交于点M.
∵A，O两点关于直线l对称，
的坐标．
3
x
3
x
17
解： (1)将A(1，a)的坐标代入y＝－ 中，得a＝3x－3，
∴A(1，－3)．
∵B点是直线y＝－ x＋ 与1 反比例1函数
y＝－
的图3 像在第四象限2的交点，2 x
由
y＝－ 1 x＋ 1 ， 22
y＝－ 3 . x
解得
x1＝3， y1＝－1，
x2＝－2，
y2＝
3 2
.
∴点B的坐标为(3，－1)．
6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比
例函数y＝ 在第一k象限内的图像交于点A(m， 2)．将直线y＝2x向下x平移后与反比例函数在第
一象限内的图像交于点P， 且△POA的面积为2. 求：(1)k的值； (2)平移后的直线对应的函
∴点M为线段OA的中点．
∵点A(－1，4)，O(0，0)，
∴点M的坐标为
1, 2 . 2
即直线l与线段AO的交点坐标为
1, 2 . 2
8
题型
3 利用反比例函数解与图形的中心对称相关的问题
3．如图，直线y＝ x－ B，与反比例函数y＝
3(3k＞与0x)，的ky图轴像3分交别于交点于C点，AD，，
x
过点A作x轴的垂线交该反比例函数图像于点E.
(1)求点A的坐标．
(2)若AE＝AC.
①求k的值．
②试判断点E与点D是否关
于原点O成中心对称，
并说明理由．
9
解： (1)当y＝0时，得0＝
x－ 33，解得x＝3 3.
∴点A的坐标为(3，0)．
(2)①如图，过点C作CF⊥x轴于点F.
设AE＝AC＝t，易知点E的坐标是(3，t)，
在Rt△AOB中，
∴k＝4.
∴反比例函数的表达式为y＝
又∵点B
12在, 反n 比例函数y＝
∴ n1＝4，解得n＝8， 2
即点B的坐标为
1, 8 . 2
4. x 的图像上，4
x
14
由A(2，2)，B
1在, 一8次函数y＝ax＋b的 2
图像上，
2＝2a＋b，
得 解得
8＝ 1 a＋b， 2
a＝－4，
b＝10.
15
(2)由(1)得，一次函数的表达式为y＝－4x＋10. 将直线y＝－4x＋10向下平移m个单位长度得直 线对应的函数表达式为y＝－4x＋10－m， ∵直线y＝－4x＋10－m与双曲线y＝ 有且只 4 x 有一个交点， 令 －4x＋10－m＝ ，得4x42＋(m－10)x＋4＝0， x ∴Δ＝(m－10)2－64＝0， 解得m＝2或m＝18.
设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b，
18
k＋b＝－3， 3k＋b＝－1.
k＝1， b＝－4.
∴y＝x－4. (2)当P点为直线AB与x轴的交点时，线段PA与线
段PB的长度之差最大． ∵直线AB对应的函数表达式为y＝x－4， ∴点P的坐标为(4，0)．
19
题型
6 利用反比例函数解与最值相关的问题