2011年期末考试试卷(B)—弹性力学

左边界 x=0:
h
2 h
x
dy
2
h
2 h
2
12kxy h3
dy
0
h
2 h
x
ydy
2
h 2
12kxy2
h 2
h3
dy
0
h
h
2 h
xydy
2
h
2 h
2
6k y2 h3
3k 2h
dy
2ky3 h3
3ky 2h
2
h
k
2
右边界 x=l:
h
2 h
x
dy
2
h
2 h
2
12kly h3 dy
0
问题。式中 k 为常数。(10 分)
2k xy3 h3
3kxy 2h
O
h
x
l
y
解：1、应力分量：
x
2 y 2
12 k x h3
y
Hale Waihona Puke Baidu x 2
0
xy
2 xy
6k y2 h3
3k 2h
2、边界条件：上下边界
y y h 0 2
xy
y h 2
6k
h
2
2 h3
3k 2h
0
显然上下边界无面力作用。
匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。 在两种平面问题中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的 E 换为
E 1 2
,
换为 1
，就得到平面应变问题的物理方程。
3、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？（5 分）
解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解 法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解 的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近 似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似 的。所以，严格来说，不成立。
h
h
2 h
x
ydy
2
h 2
12kly2
h 2
h3
dy
12kly3 3h3
2 h
kl
2
h
h
2 h
xydy
2
h
2 h
2
6k y2 h3
3k 2h
dy
2ky3 h3
3ky 2h
2
h
2
k
结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。
解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。 （1）选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程 M（x）与截面位置坐
连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
(2 分)
2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，
亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。
（4 分）
3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，
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华南理工大学 2011 年期末考试试卷（B）卷
Y 方向力等效：
h
h
(
y
) dx y0
P sin
对 O 点的力矩等效：
h
(
h
y
) xdx y0
P
h 2
sin
解： 1、 矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的玩具方程为
轴)的惯性矩为 面上的剪力为
，根据材料力学公式，弯应力 ,剪应力
挤压应力
。
2、 经验证，上述表达式能满足平衡微分方衡
，横截面对 z 轴(中性 ；该截 ；并取
反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量 E 和泊松比 μ 等）就不随位置坐标而变化。
（6 分）
4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步
地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。
（8 分）
5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照 原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘 积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。
《弹性力学》
注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；
2. 所有答案请直接答在答题纸上；
3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共三大题，满分 100 分， 考试时间 120 分钟。
题号
一
二
三
得分
评卷人
总分
一、简答题（共 20 分）
1、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？（10 分）
答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是
也能满足相容方程
再考察边界条件：在
的主要边界上，应精确满足应力边界条件：
能满足。
在次要边界
上，列出三个积分的应力边界条件：
满足应力边界条件。
在次要边界
上，列出三个积分的应力边界条件：
满足应力条件。因此，它们是该问题的正确解答。
2.3 图示矩形板，长为 l ，高为 h，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么
在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 （10 分）
2、在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什 么？（5 分） 答：1、在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，
小变形和均匀性。 在两种平面问题中，平衡微分方程和几何方程都适用。 2、在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均
（10 分）
左侧面： l 1, m 0 X Y 0
代入应力边界条件公式：
l( x )s m( xy)s X m( y )s l( xy )s Y
x
xh
0
x
y
xh
0
右侧面： l 1, m 0 X y,Y 0
代入应力边界条件公式：
x xh y
xy xh 0
上端面为次要边界可由圣维南原理求解。
标 x 成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标 y 成正比，因此可设
(a)
(3 分)
式中 的为待定常数。将式（a）对 y 积分两次，得
(b) 式中的 ， 为 x 的待定函数，可由相容方程确定。将式（b）代入相容方程
二、计算题（80 分）
2.1 如图所示为一矩形截面水坝，其右侧面受静水压力，顶部受集中力 P 作用。试写出水坝的 应力边界条件。(10 分)
h
X 方向力等效：
h
(
yx
)
dx
y0
P cos
2.2 图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力 P 作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯
曲应力 x 和剪应力 xy 的表达式，并取挤压应力 y0 ，然后说明这些表达式是否代表正确解。