专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法 2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题

专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法

1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点

D，过B作BE⊥ED于点E．

求证：△BEC≌△CDA；

2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线

AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．

（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；

（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O

时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．

3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y

＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．

（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；

（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．

①求y与x的函数关系式；

①若直线DM与x轴相交于点F，当①MEF为直角三角形时，求点D的坐标．

4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．

（1）求k的值；

（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．

（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；

（①）连接AD，若①ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．

5、建立模型：

如图1，等腰Rt①ABC中，①ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD①ED于D，过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角①ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．

模型应用：

（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），①ABC是等腰直角三角形．

①若①ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；

①若AB为直角边，求点C的坐标；

（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若①MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．

6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．

（1）求出点A，点B的坐标．

（2）P是直线AB上一动点，且①BOP和①COP的面积相等，求点P坐标．

（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m 上是否存在点Q，使得①A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．

7、如图1，等腰直角三角形ABC中，①ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD①DE于点D，

过B作BE①DE于点E，则①BEC①①CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）

【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．

（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD 的长；

（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若①ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；

（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．

8、【模型建立】

（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．

求证：△CDA≌△BEC．

【模型运用】

（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．

【模型迁移】

如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．

9、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（m，0）在线

段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x 轴于点E．

（1）求m和b的数量关系；

（2）当m＝1时，如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点B′的坐标及△BCD平移的距离；

（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？

若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

10、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（1）求△AOB的面积：

（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．

（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．

11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为

射线OB上任意一点．

（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为；

（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；

（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．

2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题

专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法

1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点

D，过B作BE⊥ED于点E．

求证：△BEC≌△CDA；

解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），∴OE＝AD，

∵k＝﹣1，

∴y＝﹣x+4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

∵BE＝3，

∴OE＝，

∴AD＝；

（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，

∴A（3，0），

①当BM⊥AB，且BM＝AB时，

过点M作MN⊥y轴，

∴△BMN≌△ABO（AAS），

∴MN＝OB，BN＝OA，

∴M（4，7）；

②当AB⊥AM，且AM＝AB时，

过点M作x轴垂线MK，

∴△ABO≌△AMK（AAS），

∴OB＝AK，OA＝MK，

∴AK＝4，MK＝3，

∴M（7，3）；

③当AM⊥BM，且AM＝BM时，

过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，

∴△BMG≌△AHM（AAS），

∴BG＝AH，GM＝MH，

∴GM＝MH，

∴4﹣MH＝MH﹣3，

∴MH＝，

∴M（，）；

综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k＞0时，AO＝，

过点Q作QS⊥y轴，

∴△ABO≌△BQS（AAS），

∴Q（4，4﹣），

∴OQ＝，

∴当k＝1时，QO最小值为4；

当k＜0时，Q（4，4﹣），

∴OQ＝，

∴当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，∴OQ的最小值为4．

2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线

AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．

（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；

（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O 时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．

解：（1）∵A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），

∴OA＝6，OB＝8，

∵∠AOB＝90°，

∴AB＝10，

∵B与B'关于直线AC对称，

∴AC垂直平分BB'，

∴BC＝CB'，AB'＝AB＝10，

∴B'（﹣4，0），

设点C（0，m），

∴OC＝m，

∴CB'＝CB＝8﹣m，

∵在Rt△COB'中，∠COB'＝90°，

∴m2+16＝（8﹣m）2，

∴m＝3，

∴C（0，3），

设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），

把A（6，0），C（0，3）代入可得k＝﹣，b＝3，

∴y＝﹣x+3；

（2）∵AC垂直平分BB'，

∴DB＝DB'，

∵△BDB'是等腰直角三角形，

∴∠BDB'＝90°，

过点D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，

∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°，

∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF，∠EOF＝90°，∴∠EDF＝90°，

∴∠EDF＝∠BDB'，

∴∠BDF＝∠EDB'，

∴△FDB≌△EDB'（AAS），

∴DF＝DE，

设点D（a，a）代入y＝﹣x+3中，∴a＝2，

∴D（2，2）；

（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE，∵DF＝DE＝2，∠PDF＝∠QDE，

∴△PDF≌△QDE（AAS），

∴PF＝QE，

①当DQ＝DA时，

∵DE⊥x轴，

∴QE＝AE＝4，

∴PF＝QE＝4，

∴BP＝BF﹣PF＝2，

∴点P运动时间为1秒；

②当AQ＝AD时，

∵A（6，0）、D（2，2），

∴AD＝2，

∴AQ＝2，

∴PF＝QE＝2﹣4，

∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2，

∴点P的运动时间为5﹣秒；

③当QD＝QA时，

设QE＝n，

则QD＝QA＝4﹣n，

在Rt△DEQ中，∠DEQ＝90°，

∴4+n2＝（4﹣n）2，

∴n＝1.5，

∴PF＝QE＝1.5，

∴BP＝BF+PF＝7.5，

∴点P的运动时间为3.75秒，

∵0≤t≤4，

∴t＝3.75，

综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．

3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y

（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；

（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．

①求y与x的函数关系式；

①若直线DM与x轴相交于点F，当①MEF为直角三角形时，求点D的坐标．

解：（1）①3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，

①点B是A、C的“美妙点”；

（2）设点D（m，m+2），

①①M是点D、E的“美妙点”．

①x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+2）＝m+6，

故m＝x﹣3，

①y＝（x﹣3）+6＝x+3；

①由①得，点M（9+3m，m+6），

如图1，当①MEF为直角时，则点M（3，4），

①9+3m＝3，解得：m＝﹣2；

①点D（﹣2，）；

当①MFE是直角时，如图2，

则9+3m＝m，解得：m＝﹣，

①点D（﹣，）；

当①EMF是直角时，不存在，

综上，点D（﹣2，）或（﹣，）．

4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．

（1）求k的值；

（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．

（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；

（①）连接AD，若①ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．

解：（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：

k＝﹣3；

（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，

则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；

（i）S①BCO＝OB×CO＝2×6＝6，

直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，

则S①CDE＝2或4，

而S①CDE＝×CD×x E＝4×x E＝2或4，

则x E＝1或2，

故点E（1，3）或（2，0），

将点E的坐标代入直线l表达式并解得：

直线l的表达式为：y＝±x+2；

（①）设点E（m，﹣3m+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），

则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2，AD2＝2，ED2＝m2+（4﹣3m）2，

当AE＝AD时，（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2，解得：m＝或；

当AE＝ED时，同理可得：m＝；

综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）．