长沙理工大学理论力学动量定理分解
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理论力学--动量定理
质心运动的思考与比较
F′
A F
B
两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上， 两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不 同位置上，各作用一水平力F 同位置上，各作用一水平力 和F′，使圆盘由静止开始运动 ， ，设F = F′，试问哪个圆盘的质心运动得快？ ，试问哪个圆盘的质心运动得快？ (A)．A盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (B)．B盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (C)．两盘质心的运动相同 ． (D)．无法判断 ．
1 2 h = gt 2
r P
以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理： 以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理：
mv − mv0 = (P − F )t0
v 1 1 + 0 P = 1 + F = gt 0 t0 2h g
30° °
﹡ FN
P
Q
P ∗ v0 sin 30o − 0 = (FN − P −Q)t g
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
y1
ω
o2
y
r aO 2 = eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
r x1 r aO1 m2 g
y1
r vO 2 o2
y
eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
& r x m2 g
x1
x
外壳质心的速度， 轴正向: 其中 vO1 — 外壳质心的速度，沿 x 轴正向 vO2 — 转子质心的速度，且 转子质心的速度，
例：电机在水平方向的运动规律
(m v
理论力学11 动量定理
mv
M
mv Mv
p M vC
C
（11-5）
质点系的动量等于系统的质量与质心速度的乘积。
例 图（a） ，长为l，质量为m 的均质细杆，在平面 内绕 O 轴转动，角速度为w。
细杆质心的速度为：
细杆的动量大小为：
1 vC lw 2
vC = 0 O
w
C vO C
w
C A （a） vC
11 动量定理
11.1 动量与冲量
11.1.1 动量 1.质点的动量
质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢 量，方向与v 相同。单位是kgm/s。
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
2.质点系的动量 质点系中所有各质点的动量的矢量和。
(e)
0, 则 p
(e)
x
0则 , px
mv 常矢量。 mv 常量。
x
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质 点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
例11-2 在水平面上有物体 A 与 B，m A = 2 kg， m B = 1kg，今 A以某一速度运动而撞击原来静止的 B 块。 撞击后，A 与B 一起向前运动，历时2s 而停止。设A、 B 与平面的摩擦因数 f s= 0.25，求撞击前 A 的速度，以 及撞击时 A、B 相互作用的冲量。
11.2.2 质点系的动量定理
d e i ( m v ) F F 对质点系内任一质点 ， dt 对整个质点系： d ( mv ) F e F i dt
⒈ 矢量形式
F
i
0
dp (e) F 质点系的动量定理 dt 质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力 的矢量和。 ⑴ 微分形式
12动量定理
y
s
D
A
O
B
x
理论力学
第十二章 动量定理
解：研究对象为小车D和平台AB，受力分析和运动分析如图。
系统动量在坐标轴上的投影为
y s
m2 g vr
px m1v m2 (vr v) py 0
D
v
其中：
vr
ds dt
bt
A
F
m1 g
B
O
x
dpx
dt
n
F (e) ix
i 1
y
m2
B
m3
A
C
v
m1
D
x
理论力学
第十二章 动量定理
第一节 动量与冲量
y
m2
解：该质点系的动量为：
3
p mi vi i 1
建立图示坐标系，有：
B
m3
A
px py
m2v m3vcos m1v m3vsin
1 41 4
mv(2 cos ) mv(-4 sin)
电动机不转时，基础上只有向 上的反力，可称为静反力。电 动机转动时基础的反力可称为 动反力。动约束力与静约束力 的差值则称为附加动约束力。
理论力学
第十二章 动量定理
第三节 质心运动定理
例题：两根均质杆AD和BD在D处用光滑铰链相连。已知两
杆长均为l，质量各为m1、m2，并且 m1 m2 。开始时，两
r
cos
r
dt
0
I y
rπ 0
v
mv2 r
理论力学11动量定理分解
0
α
解得:
P3
P2
N
u
B m1 (u sin v) m2 (u cos v)
m3 v 0
x
v u( P 1cos P2sin )/(P 1 P2 P 3)
30
§12-4
将 K MvC
质心运动定理
( e)
( e) M r F C i
( e) d 代入到质点系动量定理，得 ( MvC ) Fi dt
若质点系质量不变， 则 MaC Fi
或
1. 投影形式：
( e) ( e) ( e) C Fix C Fiy C Fiz x , MaCy M y , MaCz M z 。 ① MaCx M
根据质心运动定理，有
mi aCix Fix , m2a2 x m2e 2 cost N x
( e)
mi aCiy Fiy , m2 a2 y m2 e 2 sin t N y m1 g m2 g
( e)
N x m2 e 2 cost , N y m1 g m2 g m2 e 2 sin t
mv2 y mv1 y I y Fy dt mv2 z mv1z I z Fz dt
t1 t1 t2
t2
t1 t2
质点的动量守恒 若 F 0 ，则 m v 常矢量， 若 Fx 0 ，则 mvx 常量， 二．质点系的动量定理
(e) dP Fi dt
C
33
例题水平面上放一均质三棱柱 A, 在此三棱柱上又放一均质三 棱柱 B 两三棱柱的横截面都是 直角三角形,且质量分别为M
b
B
和m,设各接触面都是光滑的,
理论力学-动量定理讲解
y B A ω O φ D x
(a)
第三章 动 量 定 理
例题 3-1
§3-1
动量与冲量
例 题3-1
已知： 曲柄OA长 l ，质量是 m1，并以角速度ω绕定轴 O 转动。
规尺BD长2l ，质量是 2m1 ，两滑块的质量都是 m2 。
解法一: 整个机构的动量等于曲柄OA、规尺BD、 滑块B 和D的动量的矢量和，即
动 力 学
动量定理
西北工业大学
支希哲 朱西平
第三章 动 量 定 理
侯美丽
动量定理
动 力 学
第 三 章
动 量 定 理
§3-1 动量与冲量
§3-2 动量定理和冲量定理 §3-3 质心运动定理
第三章 动 量 定 理
目录
第三章 动 量 定 理
几个实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时磅秤指 示数会不会发生的变化
所以，系统的动量大小为
vA
A E D
C
p
p p
2 x
vE
φ
2 y
1 (5m1 4m2 )l 2
vD
x
方向余弦为为
p cos( p, x ) x , p
cos( p, y )
py p
第三章 动 量 定 理
§3-1
解法二:
动量与冲量
y vB B
例 题3-1
整个机构的动量等于曲柄OA、规尺BD、 滑块B 和D的动量的矢量和，即
动量与冲量
y vB B ω O
例 题3-1
因为规尺和两个滑块的公共质心在 点 A，它们的动量表示成 p´= pBD + pB + pD = 2(m1 + m2)vA 由于动量 KOA 的方向也是与 vA 的方向 一致，所以整个椭圆机构的动量方向
(a)
第三章 动 量 定 理
例题 3-1
§3-1
动量与冲量
例 题3-1
已知： 曲柄OA长 l ，质量是 m1，并以角速度ω绕定轴 O 转动。
规尺BD长2l ，质量是 2m1 ，两滑块的质量都是 m2 。
解法一: 整个机构的动量等于曲柄OA、规尺BD、 滑块B 和D的动量的矢量和，即
动 力 学
动量定理
西北工业大学
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第三章 动 量 定 理
侯美丽
动量定理
动 力 学
第 三 章
动 量 定 理
§3-1 动量与冲量
§3-2 动量定理和冲量定理 §3-3 质心运动定理
第三章 动 量 定 理
目录
第三章 动 量 定 理
几个实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时磅秤指 示数会不会发生的变化
所以，系统的动量大小为
vA
A E D
C
p
p p
2 x
vE
φ
2 y
1 (5m1 4m2 )l 2
vD
x
方向余弦为为
p cos( p, x ) x , p
cos( p, y )
py p
第三章 动 量 定 理
§3-1
解法二:
动量与冲量
y vB B
例 题3-1
整个机构的动量等于曲柄OA、规尺BD、 滑块B 和D的动量的矢量和，即
动量与冲量
y vB B ω O
例 题3-1
因为规尺和两个滑块的公共质心在 点 A，它们的动量表示成 p´= pBD + pB + pD = 2(m1 + m2)vA 由于动量 KOA 的方向也是与 vA 的方向 一致，所以整个椭圆机构的动量方向
理论力学第十三章 动量定理和动量矩定理
例13-10 如图所示均质鼓轮，半径为R，质量为m，在半径为r处沿水平方向 作用有力F1和F2，使鼓轮沿平直的轨道向右作无滑动滚动，试求轮心0点 的加速度以及使鼓轮作无滑动滚动时的摩擦力。
解 鼓轮作平面运动，其受力如图所示，建立鼓轮平面运动微分方程为
1）
2）
3）
因鼓轮沿平直轨道作无滑动的滚动，故有如下关系
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
解 选取整个机构为研究的质点系。作用在水平方向的外力有Q和FAx。 列出质心运动定理在x轴上的投影式
为了求质心的的加速度在x轴上的投影，先计算质心的坐标，然后把它对 时间取二阶导数，即得
应用质心运动定理，解得
显然，最大压力为
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
第十三章 动量定理和动量矩定理
主要研究内容
动量定理 质心运动定理和质心运动守恒 定律 动量矩定理 刚体的平面运动微分方程
§13－1 动量定理
动量和冲量
动量
I. 质点的动量 质点的质量与某瞬时质点速度的乘积称为质点在该瞬时的动量,用p表示质点的动量,
P=mv 质点的动量是矢量，其方向与该瞬时质点速度方向一致。动量的单位,在 国际单位制中为kg•m／s。
§13－1 动量定理
II. 质点系的动量定理
质点系的动量在任一时间间隔内的变化,等于在同一时间内作 用于该质点系所有外力冲量的矢量和。 上式为矢量方程，具体应用时常用投影式，将其在直角坐标轴上投影， 其投影式,得
与
§13－1 动量定理
动量守恒定律
若作用于质点系的外力的矢量和恒等于零，即∑Fi(e)=0，可得
第二阶段为从伞张开至降落速度达到秒v=5 m／s。在这个阶段中人当然不 再自由降落，他除了受重力P=mg作用外，还受降落伞绳子拉力FT的作用。 设在3 s内绳子拉力的合力之平均值为FT*取x轴向下，
长沙理工大学理论力学A课件第08章
8
m
d2r dt 2
mr
F
1.已知绕线轮ω，r；滑块m，f＝0，求
FT 与x的关系。
vB B r
O
A
aA vA
x
vA cos θ rω
cos θ x2 r2
x
vA
rω
1
r2 x2
8-3 质点的运动微分方程
9
aA vA
r3ω 3x
x2 r2 2
注意到: x vA
得aA
r 4ω2 x x2 r2 2
vB B r
O
A
aA vA
x
研究滑块A，运动分析和受力分析
FT
FN
A
aA mg
由FT cosθ maA得
FT
mr 4ω2 x2
5
x2 r 2 2
8-3 质点的运动微分方程
10
1. 如何可使 aA与坐标正向一致?
建立图示 x1坐标 x l x1， x1 aA
3
1.动力学的任务
研究物体的运动与力之间关系。
2.动力学的力学模型 质点： 指具有质量但几何形状和尺寸可以忽略不计的物体。 质点系： 指有限或无限个相互联系的质点所组成的系统。
通常包括刚体、弹性体及流体。 刚体： 前面有严格的定义。
8-2 牛顿三大定律
4
1.牛顿第一定律(惯性定律)
不受力的质点，保持静止或匀速直线运动状态。 表明: 任何物体具有惯性；力是改变物体运动的原因。
0
k，n c
m
2m
8-3 质点的运动微分方程
15
式(a)化为如下标准形式
x 2nx 02x 0
(b)
其特征方程为 r2 2nr 02 0 ，特征根为
理论力学第十一章,动量定理
的投影守恒。
y
α
px px0
vr m2g v
vm1
vr
A
FA m1g
x
vm1
α
B
FB
（b）
（a）
α
vm1
m2g x
p mi v i
p x mi vix
A
FA m1g
B
FB
例 题1
v
考虑到初始瞬时系统处于平衡，即有pox=0，于是有 px = m2vcos m1vm1 = 0 另一方面，对于炮弹应用速度合成定理，可得 v = ve + vr 考虑到 ve = vm1，并将上式投影到轴 x 和 y 上，就得到 vcos = vrcos vm1
质点系冲量定理投影形式
e e p2 y p1 y ( Fiy ) dt I iy t2 t1 e p2 z p1 z ( Fize ) dt I iz t2 t1
dp Fie dt
dpx e Fix dt
3，质点系动量守恒定律
Fi e 0 , 1）
y
α
vr vm1
m2g x
A
FA m1g
B
FB
(a)
例 题1
解: 取火炮和炮弹（包括炸药）这个系统作为研究对象。
设火炮的反座速度是 vm1，炮弹的发射速度是 v，对水平面的仰 角是 （图b）。 炸药（其质量略去不计）的爆炸力是内力，作用在系统上的外力 在水平轴 x 的投影都是零，即有Fx = 0；可见，系统的动量在轴 x 上
(m1 m2 ) C Fy m1 g m2 g y
质心 C 的坐标为
理论力学12动量定理
说明：在计算质点系的动量时，一般应采用投影法
[例1] 图示三个物块用绳相连，质量分别为 m1 = 2m2 = 4m3 = m。不 计绳的质量和变形，设某瞬时，三物块的速度大小同为 v，试计算
由三物块组成的质点系在此瞬时的动量.
解：由定义式，该质点系
y
的动量为
3
p mi vi i 1
建立图示直角坐标系
F (e) ix
0
px p0x t
[例4] 质量为 m1 的平台 AB 与地面间的动摩擦因数为 f ，质量为 m2 的小车 D 相对平台的运动规律为 s = bt2/2（b为常数）。若不 计绞车质量，试求平台的加速度。
解： 选取系统为研究对象 y 受力分析
m2 g vr
运动分析
v1 v v2 v1 vr
质点系动量 p 与 x 轴夹角的正切
tan p, i py 4 sin
px 2+cos
[例2] 图示椭圆规，已知 OC = AC = BC = l ；曲柄 CO 以等角速度
绕定轴 O 转动；曲柄 CO 、连杆 AB 以及滑块 A、B 的质量均为
m，其中曲柄 CO 、连杆 AB 可视为匀质杆，试求系统的动量。
心在转轴O 上。若鼓轮以角加速度 绕轴 O 逆时针转动，试求轴承
O 的约束力。
解：选取整个系统为研究对象
受力分析
运动分析
v1 r1
v2 r2
建立图示直角坐标轴
FOy FO x
O
x
m3 g y
系统动量在 x、y 轴上的投影
px 0 py m1v1 m2v2
v1
m1
m1 g m2
v2
m2 g
得动量在 x、y 轴上投影
[例1] 图示三个物块用绳相连，质量分别为 m1 = 2m2 = 4m3 = m。不 计绳的质量和变形，设某瞬时，三物块的速度大小同为 v，试计算
由三物块组成的质点系在此瞬时的动量.
解：由定义式，该质点系
y
的动量为
3
p mi vi i 1
建立图示直角坐标系
F (e) ix
0
px p0x t
[例4] 质量为 m1 的平台 AB 与地面间的动摩擦因数为 f ，质量为 m2 的小车 D 相对平台的运动规律为 s = bt2/2（b为常数）。若不 计绞车质量，试求平台的加速度。
解： 选取系统为研究对象 y 受力分析
m2 g vr
运动分析
v1 v v2 v1 vr
质点系动量 p 与 x 轴夹角的正切
tan p, i py 4 sin
px 2+cos
[例2] 图示椭圆规，已知 OC = AC = BC = l ；曲柄 CO 以等角速度
绕定轴 O 转动；曲柄 CO 、连杆 AB 以及滑块 A、B 的质量均为
m，其中曲柄 CO 、连杆 AB 可视为匀质杆，试求系统的动量。
心在转轴O 上。若鼓轮以角加速度 绕轴 O 逆时针转动，试求轴承
O 的约束力。
解：选取整个系统为研究对象
受力分析
运动分析
v1 r1
v2 r2
建立图示直角坐标轴
FOy FO x
O
x
m3 g y
系统动量在 x、y 轴上的投影
px 0 py m1v1 m2v2
v1
m1
m1 g m2
v2
m2 g
得动量在 x、y 轴上投影
长沙理工大学理论力学A课件第02章
20
1.力的平移定理
o●
F
A
F
o●
F d
F
A
M MO( F )
F F F
M Fd
F F
o
A
可以把作用于刚体上某一点的力平移到刚体内任意其它点， 但是必须同时附加一力偶，这个附加力偶的力偶矩矢等于 原力对新作用点的矩。
20
2-4-1 力的平移定理
21
21
2-4-1 力的平移定理
M x (F ) yFz zFy 2 (5) 10N m
M y (F ) zFx xFz 45 3 1 (5) 39.64N m M z (F ) xFy yFx 25 3 17.32N m MO (F ) 10i 39.64 j 17.32k
F1 O
xA a
H
Gc
F3
Cy
b
B
MO (Fa Fc)i Fbj
13
2-3 力偶
14
作业： P85
预习：2-4 力系的简化理论
14
2-3 力偶
15
1.力偶的概念
1)定义: 两个等值、反向、不共线平行力，记为 (F , F )
F
2)实例: F
力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是产生转动效果的度量，是一个基本力学量。
3.力偶的两个性质
17
2-3 力偶
18
1. 力在轴上投影是代数量,力对轴之矩是代数量。
2. 刚体上的力是滑移矢量； 力对点之矩是定位矢量； 力偶矩矢是自由矢量。
18
19
2-4 力系的简化理论
2-4-1 力的平移定理 2-4-2 一般力系向一点简化 2-4-3 力系的简化结果
理论力学09动量定理
冲量的单位： N ⋅s = kg⋅m/s 2 ⋅s = kg⋅m/s
与动量单位同．
5
§9-1
一．质点的动量定理
动量定理及其基本方程
∵ m a = m dv = F dt
∴ d (m v ) = F dt
质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力—质点的动量定理 微分形式： 微分形式 d (mv ) = F dt = dI （动量的微分等于外力的元冲量） 积分形式： m v 2 − m v 1 = 积分形式
第十章 §10–1 §10–2 §10–3
动量定理
动量与冲量 动量定理 质心运动定理
1
动量与冲量 一、动量 1.质点的动量： 1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为 质点的动量 质点的动量。 质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是 kg⋅m/s。一般用 K 或 P 表示 ⋅ 一般用 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
只有外力才能改变质点系质心的运动, 只有外力才能改变质点系质心的运动 内力不能改变质心 的运动，但可以改变系统内各质点的运动。 的运动，但可以改变系统内各质点的运动。 4. 质心运动守恒定律 若开始时系统静止，即 vC 0 = 0 则 rC = 常矢量,质心位置守恒。 若∑ Fi
(e )
= 0 ，则
∑
Fi
(e)
中，得
若质点系质量不变， M a C = ∑ Fi 则
(e)
或
M ɺɺ = ∑ Fi rC
(e)
上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系 上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系 ）。 的质量与加速度的乘积， 的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量 外力系的主矢）。 和（外力系的主矢）。 1. 投影形式： 投影形式：
理论力学1动量定理
K K 0
K 2x K 1x 0
K 2y K 1y 0 K 2z K 1z 0
通过上面的讨论看出:只有外力才能使质 点系的动量发生变化，而内力不能改变 整个质系的动量;但是，内力可以改变质 点系内部分质点的动量.对仅受内力作用 的质点系，如果其中某一部分的动量发 生变化，则另一部分的动量也必然变化.
Σmi z i Σmi y i zC yC Σmi Σmi
rC xC i yC j zC k mi xi i mi yi j mi zi k mi ri mi ri rC M Σmi Σmi
即为质心的坐标公式，而其矢径为：
由质系的动量定理: dK
MaC F
而 K S Ft
(W N p1 p2 )t
时对管壁的 附加动反力为：
N ρ Q(v 2 v1 ) (W p1 p2 ) N ρQ(v 2 v 1 )
上式即为流体对管壁的全反力。 动反力 静反力 例题见教材. 其投影式为：
N x ρ Q(v 2x v 1x ) N y ρ Q(v 2y v 1y )
或
dK F dt
即为质点系动量定理 的微分形式
K 2 K1 Fdt S
t2
即为质点系动量定理的积分形式
将上式投影到直角坐标系上有:
K 2x K1x S x K 2y K 1y S y
K 2z K 1z S z
若在运动过程中，作用在质点系上的合力恒为0，则该质点系动量 守恒: 2 1 若在运动过程中，作用在质点系上的合力在某轴上的投影恒为0， 则该质点系在该轴上动量守恒:
§3. 质心运动定理 质点系的动量
理论力学第11章(动量矩定理)
线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕 z 轴的角速度为0。如某时 此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a 角。不计各杆的质量，求这 时系统的角速度。
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
理论力学经典课件-动量定理
动量定理
※ 几种有意义旳实际问题 ※ 动量与冲量 ※ 动量定理 ※ 质心运动定理 ※ 结论与讨论
几种有意义旳实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几种有意义旳实际问题
偏心转子电动机
？ 工作时为何会左
右运动； 这种运动有什么
规律； 会不会上下跳动； 利弊得失。
几种有意义旳实际问题
？ 蹲在磅秤上旳人站起来时
Fy(e) Fy m1g m2 g mi aiy
Fy (m1 m2 )g m2e 2 sin t
例 题7
已知：杆长为 2l； m ； ；
求： 转轴 O 处旳约束力。
O
解：取杆为研究对象
aC l; aCn l 2
aCx aC sin aCn cos l( sin 2 cos)
aCx 0
b
m2g
vCx const 0
m1g
O
x
xC 恒量
xC1
m1b m1
m2a m2
m2g m1g
xC 2
m1(b
s) m2 (a m1 m2
s
l)
பைடு நூலகம்
xC1 xC 2
s m2l m1 m2
结论与讨论
质点系旳动量定理
dp dt FRe
d (
dt
i
mi vi ) FRe
质量流旳流体形式
质量流旳气体形式
质量流旳颗粒形式
由滑流边界线定旳空气流
定常质量流 —— 质量流中旳质点流动过程中，在每一位 置点都具有相同速度。
定常质量流特点
1、质量流是不可压缩流动；
2、非粘性 —— 忽视流层之间以及质量流与管壁之间
旳摩擦力。
根据上述定义和特点，有
※ 几种有意义旳实际问题 ※ 动量与冲量 ※ 动量定理 ※ 质心运动定理 ※ 结论与讨论
几种有意义旳实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几种有意义旳实际问题
偏心转子电动机
？ 工作时为何会左
右运动； 这种运动有什么
规律； 会不会上下跳动； 利弊得失。
几种有意义旳实际问题
？ 蹲在磅秤上旳人站起来时
Fy(e) Fy m1g m2 g mi aiy
Fy (m1 m2 )g m2e 2 sin t
例 题7
已知：杆长为 2l； m ； ；
求： 转轴 O 处旳约束力。
O
解：取杆为研究对象
aC l; aCn l 2
aCx aC sin aCn cos l( sin 2 cos)
aCx 0
b
m2g
vCx const 0
m1g
O
x
xC 恒量
xC1
m1b m1
m2a m2
m2g m1g
xC 2
m1(b
s) m2 (a m1 m2
s
l)
பைடு நூலகம்
xC1 xC 2
s m2l m1 m2
结论与讨论
质点系旳动量定理
dp dt FRe
d (
dt
i
mi vi ) FRe
质量流旳流体形式
质量流旳气体形式
质量流旳颗粒形式
由滑流边界线定旳空气流
定常质量流 —— 质量流中旳质点流动过程中，在每一位 置点都具有相同速度。
定常质量流特点
1、质量流是不可压缩流动；
2、非粘性 —— 忽视流层之间以及质量流与管壁之间
旳摩擦力。
根据上述定义和特点，有
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1
第九章 动量定理
9-1 动量和冲量 9-2 动量定理 9-3 质心运动定理
9-1 动量和冲量
2
( P或K ) 1. 动量 (p)
1)质点: p mv
2)质点系: p mivi mvC
3)刚体(系统):
p mvC
或( p
mivCi )
C点为其质量中心(质心)，可以用质心坐标公式 求得质心位置；vC为质心的绝对速度。
1)常力的冲量 I F t
2)变力的冲量
t
I Fdt
0
问题 2. 求均质杆的动量 p ，p l ωm 对吗?
2
m,l
对。
方向与质心速度相同。
C
vC
9-1 动量和冲量
5
问题 1. 已知m,r,,比较两环 p1, p2 大小?(纯滚轮)
小球固结在环上
mv
o1
m
r
vO1
2m
o2
r
vO2
p
mi vCi
p1 rω m 2rω m 3mrω p2 2rmω
故 p1 p2
9-1 动量和冲量
6
1.曲柄连杆机构的曲柄OA以匀
转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆
AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质
量也为m。求当 = 45º时系统的动量。
1.运动分析
曲柄OA：
vC1
1 2
l
连杆AB（P为速度瞬心）：
1.受力分析，运动分析
vA r1 ; aA r1
vB r2
aB r2
r2
r1
O
FOy
2.利用动量定理求解
dpx
dt
Fx(e)
dpy dtFy(e)aBWB
A
aA
vB P2
P1
vA
9-2 动量定理
其中：
px
0,
py
P2 g
vB
P1 g
vA
由动量定理有：
14
FOx
r2
r1
O
FOy
0 FOx
试求半周期内绳张力冲量I
。
FT
FT
R
m
mg v
2mv
v Img
I FT
p2 p1 I (e) ;
IFT Img 2 m v
方向:
IFT
( mg π R )2 (2 mv )2 v
与 v 成 角, arctan Img
2 mv
9-2 动量定理
13
1. 在图示系统中，均质滑轮重W，绳的质量不计 且不可伸长，重物A重P1，B重P2；设A下降的 加速度为aA，试求轴承O处的反力。 FOx
dt
Fx(e)
2.积分形式 p2 p1
I (e) ; p2x p1x
I (e) x
3.守恒形式 若 F (e) 0，则p 常矢量;
若
F (e) x
0，则px
常量.
动量定理揭示了外力主矢与动量变化之间的关系， 显然动量与内力无关。
9-2 动量定理
12
问题 1.
圆锥摆，已知
m、v、R
d (mvx ) dt
Fx
2)积分形式 3)守恒形式
t
mv2 mv1
Fdt I;
0
t
mv2x mv1x 0 Fxdt I x
若F 0，则mv 常矢量;
若Fx 0，则mvx 常量。
9-2 动量定理
2. (p) 质点系的动量定理
1.微分形式 dp dt
F (e);
11
dpx
maCz
F (e) z
maC maCn
F (e) F (e)
n
maCb 0
F (e) b
9-3 质心运动定理
18
①描述了质点系中质心加速度与外力主矢的关系。 例例如如炮弹在空中爆炸后，其质心仍沿抛物线运动， 直到一个碎片落地。跳水运动员质心作抛体运动。 ②对刚体仅描述了随质心平移的一个侧面。
③ maC mi ai , m xC mi xi
9-3 质心运动定理
19
2.质心守恒定律 —多用于求位移
若 F (e) 0，则p mvC 常矢量;
若
F (e) x
0，则px
mvCx
常量,
若初始质心静止，则vCx 0
xC const .或(xC1 xC 2 ) 或 miΔxi 0
2
2
2 2ml
Py (vC1 cos vC2 sin )
m(1 l cos 45 5 l sin )
2
2
2 ml
2
P 2ml[2i 1 j]
2
9-1 动量和冲量
8
作业：P721； P723
9-1 动量和冲量
9
9-2 动量定理
10
1. (p) 质点的动量定理
1)微分形式
d (mv) F ; dt
PC2
5 2
l;AB
vA PA
vC 2
5 2
l AB
5 l
2
滑块B： vC3 PB AB 2l
9-1 动量和冲量
7
2.求动量
p mvC1 mvC2 mvC3 Pxi Py j
Px m[(vC1 sin vC2 cos vC3)
m( 1 l sin 45 5 l cos 2l)
9-1 动量和冲量
质心坐标公式
rc
mi ri m
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi zi m
3
z
ri
o
mi c
rc zc
y
xc
yc
x
p
mivi
mi
dri dt
d
d
( dt
miri ) dt (mrC )
mvC
9-1 动量和冲量
4
( I ) 2. 冲量 (I)
vrx M m Srx M m vm Sm
S
m M
m
S
rx
m M
m
(a
b)
9-3 质心运动定理
17
1.质心运动定理 p m vC
dp
dt
m aC
F e
1.矢量形式
maC
F (e)
2.投影形式 (a)直角坐标形式
(b)自然坐标形式
maCx
maCy
F (e) x
F (e) y
p2 g
aB
p1 g
aA
FOy
W
P1
P2
解得：
aB
W
B
A
aA
vB P2
P1
FOx 0;
vA
FOy
P1(1
aA g
)
P2 (1
r2 a A r1 g
) W
9-2 动量定理
15
2.质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体 滑到底时,大三角形柱体的位移。
1.选系统为研究对象
受力分析:
Fx(e) 0, 水平方向 px 常量。
运动分析:
设大三角块速度为 v
小三角块相对大三角块速度为 vr ，
则小三角块的速度: va ve vr
9-2 动量定理
16
由水平方向动量守恒及初始静止，设大三角块向左移动了S，则
M (v)mvax 0
M (v)m(vrx v)0
若xC 常量，则 mixi 0，对吗?
对! mxC mi xi 经Δ t，
有 mxC mi xi m xC mi xi
当 xC 0时，故有
miΔxi 0
9-3 质心运动定理
20
问题 1. 均质杆长为l，在铅垂面内滑倒，f=0,求杆端A运动轨迹?
第九章 动量定理
9-1 动量和冲量 9-2 动量定理 9-3 质心运动定理
9-1 动量和冲量
2
( P或K ) 1. 动量 (p)
1)质点: p mv
2)质点系: p mivi mvC
3)刚体(系统):
p mvC
或( p
mivCi )
C点为其质量中心(质心)，可以用质心坐标公式 求得质心位置；vC为质心的绝对速度。
1)常力的冲量 I F t
2)变力的冲量
t
I Fdt
0
问题 2. 求均质杆的动量 p ，p l ωm 对吗?
2
m,l
对。
方向与质心速度相同。
C
vC
9-1 动量和冲量
5
问题 1. 已知m,r,,比较两环 p1, p2 大小?(纯滚轮)
小球固结在环上
mv
o1
m
r
vO1
2m
o2
r
vO2
p
mi vCi
p1 rω m 2rω m 3mrω p2 2rmω
故 p1 p2
9-1 动量和冲量
6
1.曲柄连杆机构的曲柄OA以匀
转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆
AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质
量也为m。求当 = 45º时系统的动量。
1.运动分析
曲柄OA：
vC1
1 2
l
连杆AB（P为速度瞬心）：
1.受力分析，运动分析
vA r1 ; aA r1
vB r2
aB r2
r2
r1
O
FOy
2.利用动量定理求解
dpx
dt
Fx(e)
dpy dtFy(e)aBWB
A
aA
vB P2
P1
vA
9-2 动量定理
其中：
px
0,
py
P2 g
vB
P1 g
vA
由动量定理有：
14
FOx
r2
r1
O
FOy
0 FOx
试求半周期内绳张力冲量I
。
FT
FT
R
m
mg v
2mv
v Img
I FT
p2 p1 I (e) ;
IFT Img 2 m v
方向:
IFT
( mg π R )2 (2 mv )2 v
与 v 成 角, arctan Img
2 mv
9-2 动量定理
13
1. 在图示系统中，均质滑轮重W，绳的质量不计 且不可伸长，重物A重P1，B重P2；设A下降的 加速度为aA，试求轴承O处的反力。 FOx
dt
Fx(e)
2.积分形式 p2 p1
I (e) ; p2x p1x
I (e) x
3.守恒形式 若 F (e) 0，则p 常矢量;
若
F (e) x
0，则px
常量.
动量定理揭示了外力主矢与动量变化之间的关系， 显然动量与内力无关。
9-2 动量定理
12
问题 1.
圆锥摆，已知
m、v、R
d (mvx ) dt
Fx
2)积分形式 3)守恒形式
t
mv2 mv1
Fdt I;
0
t
mv2x mv1x 0 Fxdt I x
若F 0，则mv 常矢量;
若Fx 0，则mvx 常量。
9-2 动量定理
2. (p) 质点系的动量定理
1.微分形式 dp dt
F (e);
11
dpx
maCz
F (e) z
maC maCn
F (e) F (e)
n
maCb 0
F (e) b
9-3 质心运动定理
18
①描述了质点系中质心加速度与外力主矢的关系。 例例如如炮弹在空中爆炸后，其质心仍沿抛物线运动， 直到一个碎片落地。跳水运动员质心作抛体运动。 ②对刚体仅描述了随质心平移的一个侧面。
③ maC mi ai , m xC mi xi
9-3 质心运动定理
19
2.质心守恒定律 —多用于求位移
若 F (e) 0，则p mvC 常矢量;
若
F (e) x
0，则px
mvCx
常量,
若初始质心静止，则vCx 0
xC const .或(xC1 xC 2 ) 或 miΔxi 0
2
2
2 2ml
Py (vC1 cos vC2 sin )
m(1 l cos 45 5 l sin )
2
2
2 ml
2
P 2ml[2i 1 j]
2
9-1 动量和冲量
8
作业：P721； P723
9-1 动量和冲量
9
9-2 动量定理
10
1. (p) 质点的动量定理
1)微分形式
d (mv) F ; dt
PC2
5 2
l;AB
vA PA
vC 2
5 2
l AB
5 l
2
滑块B： vC3 PB AB 2l
9-1 动量和冲量
7
2.求动量
p mvC1 mvC2 mvC3 Pxi Py j
Px m[(vC1 sin vC2 cos vC3)
m( 1 l sin 45 5 l cos 2l)
9-1 动量和冲量
质心坐标公式
rc
mi ri m
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi zi m
3
z
ri
o
mi c
rc zc
y
xc
yc
x
p
mivi
mi
dri dt
d
d
( dt
miri ) dt (mrC )
mvC
9-1 动量和冲量
4
( I ) 2. 冲量 (I)
vrx M m Srx M m vm Sm
S
m M
m
S
rx
m M
m
(a
b)
9-3 质心运动定理
17
1.质心运动定理 p m vC
dp
dt
m aC
F e
1.矢量形式
maC
F (e)
2.投影形式 (a)直角坐标形式
(b)自然坐标形式
maCx
maCy
F (e) x
F (e) y
p2 g
aB
p1 g
aA
FOy
W
P1
P2
解得：
aB
W
B
A
aA
vB P2
P1
FOx 0;
vA
FOy
P1(1
aA g
)
P2 (1
r2 a A r1 g
) W
9-2 动量定理
15
2.质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体 滑到底时,大三角形柱体的位移。
1.选系统为研究对象
受力分析:
Fx(e) 0, 水平方向 px 常量。
运动分析:
设大三角块速度为 v
小三角块相对大三角块速度为 vr ，
则小三角块的速度: va ve vr
9-2 动量定理
16
由水平方向动量守恒及初始静止，设大三角块向左移动了S，则
M (v)mvax 0
M (v)m(vrx v)0
若xC 常量，则 mixi 0，对吗?
对! mxC mi xi 经Δ t，
有 mxC mi xi m xC mi xi
当 xC 0时，故有
miΔxi 0
9-3 质心运动定理
20
问题 1. 均质杆长为l，在铅垂面内滑倒，f=0,求杆端A运动轨迹?