专升本高数章节练习题

专升本高数章节练习题

【例1-9】当常数

a

为何值时，函数

2,0()ln(1),0x a x f x x x x

-≤⎧⎪

=⎨+>⎪⎩

在0x =处连续？

【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型． 1．1()x

f x e = ． 2．()sin x f x x

=

． 3．111()1

x

x

e f x e -=

+ ．4．

1arctan ,0()0,

0x f x x

x ⎧

≠⎪=⎨⎪=⎩ ．

【例1-11】证明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根．

【例1-12】证明方程21x x ⋅=至少有一个小于1的正根． 一、选择题 1．（2010年，1分）函数2

1

1arccos 2

x y x +=--的定

义域是（ ）

（A ）[3,1]- （B ）[3,1]-- （C ）[3,1)-- （D ）[1,1]-

2．（2010年，1分）极限0

sin3lim x x

x

→等于（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）

13

（D ）3

3．（2009年，1分）极限(1)lim n

n n n

→∞+-=（ ）

（A ）1 （B ）0 （C ）

∞

（D ）不存在

4．（2009年，1分）若1,0

()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩

，则0

lim ()x f x →=（ ）

（A ）1- （B ）0 （C ）

1

（D ）不存在

5．（2009年，1

分）2x π

=是函数tan x

y x

=的（

）

（A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）跳跃间断点 （D ）第二类间断点 6．（2008年，3分）设1()sin f x x x

=

，则lim ()x f x →∞

等于（ ）

（A ）0 （B ）不存在 （C ）

∞

（D ）1

7．（2008年，3分）当0x →时，23x 是2sin x 的（ ） （A ）高阶无穷小 （B ）同阶无穷小，但不等价

（C ）低阶无穷小 （D ）等价无穷小

8．（2007年，3分）当0x →时，tan 2x 是（ ） （A ）比sin3x

高阶的无穷小 （B ）比sin3x 低阶的无穷小

（C ）与

sin3x

同阶的无穷小

（D ）与sin3x 等价的无穷小 9．（2006年，2分）设

()sin f x x

= ，

,0

(),0

x x g x x x ππ-≤⎧=⎨

+>⎩ ，则[()]f g x =（ ）

（A ）sin x （B ）cos x （C ）sin x - （D ）cos x -

10．（2005年，3分）设120

lim(1)

x

x mx e →-=，则m =（ ）

（A ）1

2

-

（B ）2 （C ）2-

（D ）12

11．（2005年，3分）设1x

y e -

=是无穷大，则x 的

变化过程是（ ）

（A ）0x +→ （B ）0x -→ （C ）x →+∞ （D ）x →-∞ 二、填空题

1．（2010年，2分）若函数

21,1

(),1

x x f x x a x -+≤⎧=⎨

->⎩ 在1

x =处连续，则a = ．

2．（2010年，2分）0x =是函数1()cos f x x x

=的第

类间断点．

3．（2009年，2分）设1,1()0,

11,1

x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩

，()x g x e =，

则[(ln 2)]g f = ． 4．（2009年，2分）1sin

y x

=在

x =处是第

类间断点．

5．（2008年，4分）函数ln arcsin y x x =+的定义域为 ．

6．（2008年，4分）设数列n x 有界，且lim 0n n y →∞

=，则lim n n n x y →∞

= ． 7．（2008年，4分）函数31y x =+的反函数为 ． 8．（2007年，4分）函数21

arcsin 3

x y -=的定义域

为 ．

9．（2007年，4分）21lim()x x x x

→∞

-= ．

10．（2006年，2分）若函数

2

121212(),0()12,0x x x f x x x a x +⎧->⎪=⎨+⎪-≤⎩

在0x =处连续，则a = ． 三、计算题

1．（2010年，5分）求极限 lim x

x x c x c →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭

，其中c 为

常数．

2．（2010年，5分）求极限 3

tan lim

x x x

x

→-． 3．（2009年，5分）求极限 311

3lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝

⎭ ．

4．（2009年，5分）求极限 0lim

sin x x

x e e x

-→- ． 5．（2008年，5分）求极限 2

sin 2lim cos()x x

x π

π→- ． 6．（2007年，5分）求极限 011lim()1x x x e →-- ． 7．（2006年，4分）求极限 0

11

limcot (

)sin x x x x

→- ． 8．（2006年，4分）设1cos 2

0()sin x

f x t dt -=⎰，

56

()56

x x g x =+，

求0

()

lim

()

x f x g x →． 9．（2005年，5分）求极限

111

lim()1ln x x x

→-- ．