直线的参数方程最新
选修4-4 第五节几种常见的参数方程
x＝1＋2cos t， (0≤t≤π)，把它化为普通 y＝－2＋2sin t
方程，并判断该曲线表示什么图形．
所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 将它化为参
轴上，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1， 25 16 x＝4cos θ ， 故参数方程为 (θ 为参数)． y＝5sin θ
y2
x2
（x－1）2 （y＋2）2 1． 写出圆锥曲线 ＋ ＝1 的 3 5
例1
x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
解析：(1) 4x＋3y－50＝0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α ＝－ ，sin α ＝ . 5 5 3 x＝5－ u， 5 则参数方程的标准形式为： 4 y＝10＋ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在 直线 l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和 点 N(－2，6)的距离．
3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ，设直线的 4 3 3 4 则 tan α ＝ ，sin α ＝ ，cos α ＝ . 4 5 5
制作人：葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x＝x0＋tcosα ， 1． 经过点 M0(x0， y0)， 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y＝y0＋tsinα
(t 为参数)．
t0
直线的参数方程(最全)
则 t 的几何意义：t=M0M
t>0
M 在 M0 的上方
t=0 M 与 M0 重合
t<0
M 在 M0 的下方
非标准形式 一般说来，t 不具有上述 几何意义
x x0 at
y
y0
bt
(t 为参数)
表示过定点（x0，y0），斜率
为 b 的直线的参数方程
a
例1
已知直线 L 过点 M0（4，0），倾为
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin; a2 b2t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
tcos（t为参数） tsin
当b 0时，t有上述的几何意义。
基础训练
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
直线的参数方程
2020/7/4
请同学们回忆:
直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0) y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
法线式： Ax By C 0 （直线l的法向量（A,B））
t cos t sin
（t为参数）
思考
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中
参数t的几何意义吗？
解: M0M te M0M te
y M
又 e是单位向量， e 1
M0M t e t
M0
所以,直线参数方程中
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
三、例题讲解 例1 已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交于 例1.
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
三、例题讲解
x y 1 0 解：由 y x2 得：2 x 1 0 x
C. 45
0
D.135
0
130 27 和8 x 15 y 85 0, 切点为（ ， ） 17 17
练习： 1、直线{ x 2 2t y 3 2t (t为参数)上与点P(2,3)
(
距离等于 2的点的坐标是
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)
C
)
B(-3,4) D(-4,5)(0,1)
则 MA MB ( 1 1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2
3 5 3 5 4 2
（）如何写出直线的参数方程？ 1 l
①
（）如何求出交点 ，B所对应的参数1，t 2 ? 2 A t
(*)
由韦达定理得：1 x2 1，x1 x2 1 x
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解得：x1 ，x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , )，B( , ) 2 2 2 2
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上的一个固定点，a和b是表示直线方向的参数。
参数t的取值范围根据实际问题的情况来确定，可以是实数、整数或者其他范围。
1.直线与平面的交点在三维空间中，直线与平面的交点可以通过参数方程求解。
假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct将直线的参数方程代入平面的方程，可以得到一个关于参数t的二次方程：A(x0+at) + B(y0+bt) + C(z0+ct) + D = 0通过求解这个二次方程，可以得到直线与平面的交点坐标。
2.直线的斜率直线的斜率是表示直线的倾斜程度的一个重要指标，可以通过直线的参数方程求得。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的斜率可以表示为：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y0+b*t2-y0-b*t1)/(x0+a*t2-x0-a*t1)=b/a因此，直线的斜率可以通过参数a和b的比值得到。
当a=0时，直线是垂直于x轴的；当b=0时，直线是垂直于y轴的。
3.直线的长度直线的长度可以通过参数方程和积分来求解。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的长度可以表示为：L = ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt (t=t1到t2)其中 dx/dt 和 dy/dt 分别是直线参数方程关于 t 的导数。
将直线的参数方程代入到上式中，化简可得：L = ∫√(a²+b²) dt (t=t1到t2)=√(a²+b²)*(t2-t1)因此，直线的长度可以通过直线参数方程中的参数a和b计算得到。
4.直线的切线和法线y = y0 + (dy/dt) * (t-t0)其中 dy/dt 是直线参数方程关于 t 的导数。
参数方程与曲线的切线
参数方程与曲线的切线参数方程是用参数表示自变量 x 和 y 的方程。
在数学中，参数方程常用于描述曲线的运动和变化规律。
与之相关的概念是曲线的切线，它表示曲线在某一点上的斜率和方向。
一、参数方程的定义参数方程是一种用参数表示自变量的方程。
通常用 t 表示参数，将自变量 x 和 y 表示为 t 的函数。
参数方程可以描述出不同种类的曲线，包括直线、圆、椭圆等。
常见的参数方程表示如下：1. 直线的参数方程：x = at + by = ct + d2. 圆的参数方程：x = r cos(t)y = r sin(t)3. 椭圆的参数方程：x = a cos(t)y = b sin(t)二、参数方程与曲线的关系参数方程描述了曲线上每个点的坐标，通过改变参数 t 的值，可以得到曲线上的不同点。
当参数方程中 t 的取值范围确定时，曲线上的点也就确定了。
例如，对于直线的参数方程 x = at + b，y = ct + d，当 t 取遍所有实数时，可以得到一条直线。
直线上的不同点由不同的 t 值确定。
同样地，对于圆的参数方程 x = r cos(t)，y = r sin(t)，通过改变 t 的值，我们可以得到圆上的不同点，当 t 取遍所有实数时，可以得到一个完整的圆。
三、曲线的切线曲线的切线是指曲线上某一点处的切线。
切线的斜率等于曲线在该点的导数。
可以通过参数方程来求解曲线的切线。
对于参数方程 x = f(t)，y = g(t)，可以先求出曲线上某一点 P 的切线斜率 k，然后利用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 或一般式方程 Ax + By + C = 0 来表示切线。
具体求解过程如下：1. 求得曲线的导数：dy/dx = dy/dt / dx/dt2. 求得某一点 P 的斜率 k：在参数方程中取 t = t0，求得点 P 的坐标 (x0, y0)，计算 dy/dx 的值，即可得到切线斜率 k。
3. 利用点斜式方程或一般式方程表示切线：根据切线的斜率 k 和点 P 的坐标 (x0, y0)，可以得到切线的方程。
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
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x2 2 4．求经过点(1,1)，倾斜角为 120° 的直线截椭圆 ＋y ＝1 所 4 得的弦长．
解：由直线经过点(1,1)，倾斜角为 120° ，可得直线的 1 x＝1－2t， 参数方程为 y＝1＋ 3t 2
(t 为参数)，代入椭圆的方
1 2 1－ t 2 3 2 程，得 ＋(1＋ t) ＝1， 4 2
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
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理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
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π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
直线的参数方程
3
直线参数方程可以用于解决一些与直线相关的 解析几何问题，如交点、距离等。
在物理中的应用
在力学中，直线参数方程可以用于描述物体的运 动轨迹。
在电磁学中，直线参数方程可以用于描述电流和 电压的关系。
在光学中，直线参数方程可以用于描述光的传播 路径。
在计算机图形学中的应用
在计算机图形学中 ，直线参数方程可 以用于绘制直线和 曲线。
在计算机图形学中，直线的参数方程可以用来描述物体的形状和轮廓。例如，在 绘制一条直线时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便地表 示出直线的方向和位置，并且可以方便地进行绘制和控制。
直线参数方程与三维建模
在三维建模中，直线的参数方程可以用来描述物体的表面和边缘。例如，在创建 一个立方体或球体时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便 地表示出物体的形状和轮廓，并且可以方便地进行修改和控制。
THANK YOU.
用点斜式推导直线参数方程
总结词
利用点斜式的直线方程，推导出直线参数方程的表达式 。
详细描述
已知直线通过点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$ 和斜率为 $k$， 则直线的点斜式方程为 $y - y_{1} = k(x - x_{1})$。为 了将其转化为参数方程形式，引入参数 $t$ 并令 $y y_{1} = t$，则 $x = x_{1} + \frac{t}{k}$
直线参数方程的特殊形式包括
当 θ = π/2 时，直线垂直于 y 轴 ，t 为任意实数；
直线参数方程的性质还包括：通 过改变 t 的值可以得到直线上不 同的点，t 的取值范围为全体实数 。
02
直线参数方程的应用
在解析几何中的应用
参数方程直线
参数方程直线在数学中，直线是一种基本的几何图形，它是由无数个点组成的，这些点在同一条直线上。
直线可以用不同的方式表示，其中一种方式是使用参数方程。
参数方程是一种用参数表示函数的方式。
在直线的参数方程中，我们使用两个参数来表示直线上的点。
这两个参数通常被称为t和s。
t表示直线上的点在x轴上的位置，s表示直线上的点在y轴上的位置。
例如，如果我们想要表示一条直线，它从点(1,2)开始，向右倾斜45度，那么我们可以使用以下参数方程：x = 1 + ty = 2 + t在这个参数方程中，t表示直线上的点在x轴上的位置。
因此，当t=0时，我们得到的点是(1,2)。
当t=1时，我们得到的点是(2,3)。
当t=-1时，我们得到的点是(0,1)。
这个参数方程表示的直线是一条从点(1,2)开始，向右倾斜45度的直线。
参数方程直线的优点是它可以很容易地表示斜率。
斜率是直线上的两个点之间的垂直距离除以它们之间的水平距离。
在参数方程中，斜率可以表示为dy/dx。
因此，如果我们有以下参数方程：x = 1 + ty = 2 + 2t那么这条直线的斜率就是2。
这意味着这条直线向上倾斜，并且每向右移动一个单位，它向上移动两个单位。
在实际应用中，参数方程直线可以用于描述物体的运动轨迹。
例如，如果我们想要描述一个物体在空中飞行的轨迹，我们可以使用参数方程直线来表示它的位置。
这个参数方程可以包括物体的速度和加速度，从而更准确地描述物体的运动。
参数方程直线是一种非常有用的数学工具，它可以用于描述直线的位置、斜率和运动轨迹。
它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中得到广泛应用。
直线的参数方程知识讲解
直线的参数方程知识讲解直线的一般方程可以写成Ax + By + C = 0的形式，其中A、B、C为常数。
为了将直线的一般方程转化为参数方程，我们需要引入一个参数t。
直线上每一个点的坐标可以用两个方向系数（m和n）与一个参考点P0的坐标表示，即(x, y) = (mx + P0_x, ny + P0_y)。
我们可以将x和y都表示为关于参数t的函数。
具体而言，设直线上一点的坐标为(x,y)，则可以写成下面的形式：x = mt + P0_xy = nt + P0_y其中m和n分别为方向系数，它们是直线在x和y方向的单位长度的增量。
P0_x和P0_y为直线上的参考点P0的坐标，t为参数。
参数t可以取任意值，当t取不同的值时，对应的(x,y)为直线上的不同的点。
通过不同的t值，我们可以遍历整条直线。
下面给出一个示例进行详细讲解。
设直线L过点A(1,2)和B(5,6)，我们利用参数方程表示L。
首先，我们需要计算出直线的方向系数m和n。
由于直线L与x轴和y轴的交点分别为A(1,2)和B(5,6)，可以得到：m=(5-1)/1=4n=(6-2)/1=4然后，我们选择P0作为参考点。
由于点A(1,2)在直线上，我们可以选择A作为参考点，即P0=A(1,2)。
接下来，我们将x和y表示为关于参数t的函数：x=4t+1y=4t+2这就是直线L的参数方程。
通过不同的t值，我们可以得到直线上的不同点的坐标。
例如，当t=0时，可以得到直线上的一个点A(1,2)；当t=1时，可以得到直线上的另一个点B(5,6)。
当t取其他值时，可以得到直线上的其他点。
需要注意的是，参数方程表示的是一条直线，而不是一条曲线。
对于平面上的曲线，我们通常需要引入更多的参数来描述。
例如，对于圆的参数方程，我们需要引入两个参数来描述圆上各个点的坐标与参数之间的关系。
直线的参数方程在几何学中具有重要的作用。
它不仅可以方便地描述直线上的各个点，还可以方便地进行直线之间的计算和推理。
(最新整理)2.2.1直线的参数方程
2021/7/26
16
练习：
（1） 直线xy3tcotss2i0n020（ 0 t为 参 数 ） 的 倾 斜B角 ）是 （ A.200 B.700 C.1100 D.1600
x 1
2t 2 （t为 参 数 ）
（2）
直x线 y10的
一
个
参
数
方程 y
2
是 2 t
。
2、(2
009
广东理)（坐标系与
点斜式: yy0k(xx0)
两点式:
y y1 xx1 y2 y1 x2 x1
y kxb
x y 1 ab
一般式: AxByC0
k
y2 x2
y1 x1
tan
2021/7/26
6
3、什么叫做向量？向量有哪些表示方法？ 4、向量的数量是怎样的？
二、新课讲解：
1、引出问题:直线的参数方程是怎样的？今天我们 来研究直线的参数方程，
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现 的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及 方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方 程.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
一、复习回顾
1、参数方程的概念
（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标x 、y都是某个变数t的函数，即
由韦达 x1定 x2 1 理 ， x1x 得 2 1：
A B 1 k 2( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 22 5 1 0
由 (* 解 ) x 得 11： 25， x21 25
y1325， y2325
记直线与 坐 抛 A (标 1 物 5,线 35的 )， B ( 交 15点 ,35)
高等数学特殊参数曲线
高等数学特殊参数曲线1、特殊参数曲线的定义特殊参数曲线是指由参数方程表示的曲线，其中参数的取值范围或取值特点与曲线的性质密切相关。
特殊参数曲线常见的类型有直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
2、直线的参数方程直线的参数方程一般表示为：x = a + mty = b + nt其中a、b为直线上的一点坐标，m、n为方向向量，t为参数。
通过给定的参数方程，可以确定直线上的所有点。
3、抛物线的参数方程抛物线的参数方程一般表示为：x = a + bty = c + dt + et^2其中a、b、c、d、e为常数，t为参数。
抛物线的参数方程可以描述抛物线的形状、开口方向等特征。
4、椭圆的参数方程椭圆的参数方程一般表示为：x = a + rcos(t)y = b + rsin(t)其中a、b为椭圆中心的坐标，r为椭圆的半长轴、半短轴的比值，t为参数。
通过给定的参数方程，可以确定椭圆上的所有点。
5、双曲线的参数方程双曲线的参数方程一般表示为：x = a + rsec(t)y = b + rtan(t)其中a、b为双曲线中心的坐标，r为双曲线的半长轴、半短轴的比值，t为参数。
双曲线的参数方程可以描述双曲线的形状、开口方向等特征。
特殊参数曲线是描述曲线形状的一种方式。
通过给定的参数方程，可以准确地确定曲线上的各个点。
不同类型的曲线有不同的参数方程，每个参数曲线都有其独特的性质。
掌握特殊参数曲线的参数方程是研究曲线性质和解题的重要基础。
在数学学习中，我们需要通过参数方程的形式，深入理解曲线的性质，运用相关知识解决实际问题。
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
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x2 2 4．求经过点(1,1)，倾斜角为 120° 的直线截椭圆 ＋y ＝1 所 4 得的弦长．
解：由直线经过点(1,1)，倾斜角为 120° ，可得直线的 1 x＝1－2t， 参数方程为 y＝1＋ 3t 2
(t 为参数)，代入椭圆的方
1 2 1－ t 2 3 2 程，得 ＋(1＋ t) ＝1， 4 2
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
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π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
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整理，得 13t2＋4(4 3－1)t＋4＝0. 设方程的两实根分别为 t1，t2， 41－4 3 4 则 t1＋t2＝ ，t1t2＝ . 13 13 |t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝ 42 42 2 21－4 3 － 13 13
4 4 2 ＝ 1－4 3 －13＝ 49－2 3 13 13 ＝ 8 9－2 3 . 13 8 9－2 3 . 13
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[例1]
已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在
直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距 离． [思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进
而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方
直线方程的参数形式介绍
直线方程的参数形式介绍直线是平面上最基本的几何图形之一，通过直线方程我们可以描述直线在平面上的位置。
在解析几何中，直线的参数形式是描述直线的一种常用方法。
通过参数形式，我们可以更加直观地理解直线的性质和特点。
1. 参数形式的定义直线的参数形式是指通过一个点和一个方向向量来描述直线的方法。
假设直线上有一点P(x, y)和一个方向向量所组成的表示直线的方程，即可得到直线的参数形式。
2. 参数形式的具体表达设直线上有一点P(x, y)和一个方向向量a=(m, n)，其中m和n分别是向量a在x轴和y轴上的分量，则直线的参数方程可以表示为：x = x0 + mty = y0 + nt其中(x0, y0)为直线上任意一点的坐标，t为参数。
参数t的取值范围可以是整个实数集。
3. 理解参数形式参数形式可以帮助我们更好地理解直线在平面上的位置和方向。
通过参数t的取值不同，我们可以沿着方向向量a在直线上遍历得到直线上的所有点。
同时，参数形式还可以方便地进行直线的求交点、垂直平分线等相关计算。
4. 参数形式的应用参数形式在解析几何中有广泛的应用。
在计算向量方程、直线之间的夹角、直线的位置关系等问题时，参数形式往往可以简化计算，提高问题的解决效率。
此外，在三维空间中，参数形式也可以用来描述空间中的直线和平面。
5. 参数形式与其他形式的关系参数形式和点斜式、一般式等直线方程之间是可以相互转换的。
通过变换不同的形式，我们可以更灵活地处理不同的问题，提高解析几何的应用水平。
总之，直线的参数形式是解析几何中的一种重要描述方法，通过参数形式，我们可以更好地理解直线的性质和特点，方便进行相关计算和推导。
在学习和研究解析几何问题时，熟练掌握直线的参数形式是非常重要的。
希望以上介绍能够帮助你更好地理解和运用直线的参数形式。
直线的参数方程
t t ( t t ) 4t t
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2
4 17
.
练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
y
B
A M（x，y）
0
(t是参数）
M0（x0，y0）
0
O
x •t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
若M 0为中点, t 0 t1＋t 2 0
•t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2. （1）|AB|＝ t1 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程(标准式）
x x 0 t cos 直线的参数方程 ( t为参数) y y 0 t sin
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y y0 k ( x x0 )或x x0。 t表示几何意义： M（ （x, y )(不同于点M 0）的 0 x0 , y0 )到直线上的点M 有向线段M 0 P的数量.
（2）M是AB的中点，求M对应的参数
t1 t 2 2
1 x 1 t 2 5.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4 3
6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. x 1 9t (t为参数） y 1 12t
关于直线的参数方程
关于直线的参数方程直线是平面几何中最基础的几何图形之一，其具有简洁的参数方程表示方法，可以方便地描述直线的性质和特征。
本文将详细介绍直线的参数方程及其应用。
一、直线的定义直线是由无数个点组成的一条无宽度的线段，它没有起点和终点，只有一个方向。
直线有着重要的几何性质，例如平行、垂直等。
二、直线的一般方程一般来说，直线的方程可以用直线上的两个点表示。
假设直线上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，直线AB的斜率为k，那么直线AB的一般方程为：y = mx + b其中m为斜率，b为截距，可以通过两点的坐标计算得到。
三、直线的点斜式方程点斜式方程是直线的另一种表示方式，它由直线上的一个点的坐标和直线的斜率决定。
假设直线上有一个点A(x1,y1)和斜率k，那么直线的点斜式方程为：y-y1=k(x-x1)四、直线的截距式方程截距式方程是直线的第三种表示方式，它由直线在x轴和y轴上的截距决定。
假设直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，那么直线的截距式方程为：x/a+y/b=1参数方程是直线的一种特殊表示方式，它由直线上的一个点的坐标和直线的方向向量决定。
假设直线上有一个点A(x1,y1)和方向向量v=(a,b)，那么直线的参数方程为：x = x1 + aty = y1 + bt其中t为参数，可以取任意实数。
六、参数方程的特点与应用1.参数方程表示直线的形式简洁，可以直观地描述直线的位置和方向。
2.通过调节参数t的值，可以在直线上获取任意一点的坐标。
3.参数方程可以方便地描述直线的运动轨迹，例如在平面内做匀速直线运动的物体。
七、例题分析1.用参数方程表示过点A(2,3)且以向量v=(1,2)为方向的直线。
解：直线的参数方程为：x=2+t(1)y=3+t(2)或者简化为：x=2+ty=3+2t2.已知直线的点斜式方程为y-4=-2(x-1)，求直线的参数方程。
解：将点斜式方程转化为参数方程，得到：x-1=ty-4=-2t即：x=1+ty=4-2t八、总结直线的参数方程是一种便于描述直线性质和应用的表示方法。
直线标准参数方程
直线标准参数方程直线是平面几何中最基本的几何图形之一，而直线标准参数方程是描述直线的一种常用方式。
在数学中，直线标准参数方程的形式为：x = x1 + at。
y = y1 + bt。
其中(x1, y1)是直线上的一点，a和b是实数参数，t是参数。
直线标准参数方程的优点之一是可以方便地表示直线在平面上的方向和位置。
在实际问题中，我们经常需要描述直线的位置和方向，直线标准参数方程可以直接给出直线的参数方程，而无需通过斜率和截距等方式来描述。
另一个优点是直线标准参数方程可以方便地表示直线上的任意一点。
通过参数t的变化，我们可以得到直线上的各个点的坐标，这对于直线上点的运动和轨迹的描述非常有用。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设有一条直线，过点A(1,2)，且与向量v(3,4)平行。
我们可以使用直线标准参数方程来描述这条直线。
首先，我们知道直线上的一点A(1,2)，可以将其坐标代入直线标准参数方程中，得到：x1 = 1。
y1 = 2。
然后，由于直线与向量v(3,4)平行，我们可以取直线的参数方向向量为v(3,4)，即a=3，b=4。
这样，直线的标准参数方程为：x = 1 + 3t。
y = 2 + 4t。
通过这个参数方程，我们可以方便地得到直线上任意一点的坐标，也可以直观地看出直线的方向和位置。
在实际问题中，直线标准参数方程可以帮助我们更方便地描述直线的性质和特点，也可以方便地进行直线上点的运动和轨迹的分析。
总之，直线标准参数方程是描述直线的一种常用方式，它可以方便地表示直线的方向和位置，也可以方便地表示直线上任意一点。
在实际问题中，直线标准参数方程有着广泛的应用价值，可以帮助我们更好地理解和应用直线的性质和特点。
直线的参数方程公式
直线的参数方程公式直线是我们在几何学中经常遇到的一种特殊的几何图形，它具有很多独特的性质和特点。
在平面几何中，直线是由无数个点组成的，它没有宽度和厚度，只有长度。
而直线的参数方程公式则是描述直线上的每一个点与某个参考点之间的关系的一种数学表达式。
直线的参数方程公式可以表示为：x = x0 + aty = y0 + bt其中，x和y分别表示直线上某一点的横坐标和纵坐标，x0和y0分别表示直线上某一参考点的横坐标和纵坐标，a和b分别表示直线在x轴和y轴上的斜率，t表示参数。
通过这个参数方程公式，我们可以通过给定的参考点和斜率来确定直线上的任意一点。
具体来说，当我们给定一个参数t的值时，我们就可以通过代入公式计算出对应的x和y的值，从而确定直线上的一个点。
在直线的参数方程公式中，斜率a和b的值决定了直线的方向和倾斜程度。
当a和b都为0时，直线将变成一个点，即只有参考点本身。
当a为0而b不为0时，直线将与y轴平行，其斜率为无穷大。
当b为0而a不为0时，直线将与x轴平行，其斜率为0。
当a和b都不为0时，直线将具有一定的倾斜程度。
我们还可以通过参数方程公式来求解两条直线的交点。
如果给定两条直线的参数方程公式分别为：x1 = x10 + a1ty1 = y10 + b1tx2 = x20 + a2ty2 = y20 + b2t我们可以通过联立这两个方程组来求解交点的坐标。
具体来说，我们可以将x1和x2相等，y1和y2相等，并解得参数t的值。
然后再将这个参数t代入其中一个方程中，求解出交点的具体坐标。
除了参数方程公式外，直线还可以用一般方程公式或斜截式方程公式来表示。
一般方程公式可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C为常数。
斜截式方程公式可以表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
直线的参数方程公式在几何学中有着广泛的应用。
它不仅可以用来描述直线上的每一个点与参考点之间的关系，还可以用来求解两条直线的交点以及计算直线之间的夹角等问题。
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(t为参数）
直线参数方程的应用
标准形式
x x0 t cos
y
y0
t sin
(t 为参数)
表示过定点（x0，y0），倾斜角
M0重合.
辨析:
x y
1 1
9 1
t 2
t
(
t为
参
数
）
没有
请思考:此时 的t有没有前 述的几何意义?
特征分析：
若把直线的参数方程的标准形式
x
y
x0 y0
t cos（t为参数， t sin
[0,）)
改写为：xy
x0 y0
at bt
(t为参数）
当a、b满足什么条件，
可使t有上述的几何意义？
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:
xyxy00abtt(t为参数）
当a 2 b2 1且b 0时，t=M 0M
此时我们可以认为a cos ,b sin; 若 [0,），则为倾斜角。
xyxy00abtt(t为参数）
当 a2b21时 ， t没 有 上 述 的 几 何 意 义 ，
我 们 称 起 为 非 标 准 形 式 。
（
y
1
3t 2
B）
（A） 一条有向线段的长度
（B） 定点 P0（ 3 ，1）到直线上动点 P(x，y)的有向线段的数量 （C） 动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的线段的长 （D） 直线上动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的有向线段的数量
基础训练
3
已知直线
x
y
3 4
4t 3t
a 2 b 2
xyxy00ttcsoins（t为参数）
当 b 0 时 ， t 有 上 述 的 几 何 意 义 。
基础训练
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
(t
为参数),
Hale Waihona Puke 经过定点(2, - 1，)
倾斜角为 110°
2
直线
x
31t 2
(t 为参数)方程中，t 的几何意义是
设 e Mr e r 0是 M(c uu 直 o （ u su线 u xu r,,l ys的 )irn 单 (x位 )0方 y向 0) 向 (量 x， x0则 ,yy0y) M(x,y)
因 使 (x 为 M u uu M x 0u M 0 u u ,0 rM y t//e ry e ,0 即 ,) 所 以 t(存 c o 在 s实 ,s 数 in t )R, M0(x0,yer0)
x2 x1
问 题 ： 已 知 一 条 直 线 过 点 M 0 ( x 0 , y 0 ) ， 倾 斜 角 ，
求这条直线的方程.
解把 进 : 它 一 直 x 变 步 线 0数,成 y要整 的 0,ty 都注理 普 才数通 ， 是意是y0 方 得 常:参 程 ： c sy s o i为 n is n y y 0 (x y 0 x c x o 0 t sa )x n 0 ( x x 0 )
令 该 比 例 式 的 比 值 为 t,即 ysiny0
xx0
cos
t
整 理 ， 得 到 x y= x0y 0 tcto ssin (t是 参 数 ）
问 题 ： 已 知 一 条 直 线 过 点 M 0 ( x 0 , y 0 ) ， 倾 斜 角 ，
求这条直线的方程.
uu解uuu:ur 在直线上任取一点M(x,y),则
如何将其化为
标准形式?
xx0
y
y0
a ( a2 b2t）
a2 b2
(t为参数）
b （ a2 b2t）
a2 b2
xx0
y
y0
a ( a2 b2t）
a2 b2
(t为参数）
b （ a2 b2t）
a2 b2
设 :a = c o s; b s in;a 2 b 2 t t,则
a 2 b 2
解参 : Q数 M utu的 u0ruM u几 ur何 t意 er 义 吗 M uuu0？ uM uur rter
y
M
又 Q e 是 单 位 向 量 ， e 1
uuuuuur r
M0Mt et
M0
r
所以,直线参数方程中
e
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
O
x
???我们是否可以根据这t就的是值t来的确几何定意向量Muuu0uMuur
直线的参数方程
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: yy0k(xx0) y kxb
两点式:
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: AxByC0
法线式： AxByC0（ 直 线 l的 法 向 量 （ A,B） ）
k y 2 y 1 tan
即 所 ， 以 x x x x 0 0 ttc c o o s s, ,y y y y 0 0 tts s iin n (cos,sin)
所以，该直线的参数方程的标准形 O式为
x
xyxy00ttcsoins （t为参数）
思考u u u u u u r r
由 M 0 M te ,你 能 得 到 直 线 l的 参 数 方 程 中
(t为参倾斜数 角 ）
（3）
x 1-9t y 1-12t
(t为参数）
5：将下列直线的倾斜角
（1） （2）
x y
3 2
t cos 20o +t sin 20o
(t为
参
数
）
x3-tcos20o y2+tsin20o
(t为参数）
（3）
x3tcos20o y2tsin20o
(t为参数）
（4）
x3tsin20o y2tcos20o
(t
为参数),下列命题中错．误．的是
（ D）
(A) 直线过点（7，1）
(B) 直线的斜率为 3/4 (C) 直线不过第二象限 (D) | t |是定点 M0（3，4）到该直线上对应点 M 的距离
4：将下列直线的参数方程化为标准形式
（1）
x y
1 1
9t 12t
(t为
参
数
）
（2）
x19t y 1-12t
的方向呢?r
义,要牢记
我 们 知 道 e是 直 线 l的 单 位 方 向 向 量 ， 那
么 它 的 方 向 应 该 是 向 上 还 是 向 下 的 ？ 还
是 有 时 向 上 有 时 向 下 呢 ？ 分析Q又 就 那:t总 么 Q是eMrs会的直 i0n向终 M线 上表 点的 MuMuu。 uu示 就 此0u倾 u0MuuMuuerr会时u斜 的 r 的都 若若的,角 纵若在 方tt， 坐 方=<t第>向标向当 00一 0,,， 向向0则则,<，则上下erM的二<;与;纵象时点坐限,标，s都iern的大方 >于0向0