矩阵对角化问题

=对应于 i 的线性无关特征向量的个数
n R( A i E ).
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A E 1 1
0 1 0
1 x (1 )
1
1
( 1)2 ( 1)
所以的特征值为 1(二重)， 1.
对应于单根 1，可求得线性无关的特征向量1个；
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x1 2 x2 2 x3
1 x1 x3 2 x2 x3
1 p3 2 得基础解系 2
p1 , p2 , p3 线性无关
即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。
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第五章 矩阵对角化问题
1. 方阵对角化的概念 对n 阶矩阵 A ， 寻找相似变换矩阵 P ，使
P 1 AP (为对角阵)
这就称为把方阵 A 对角化. 说明 如果能找到可逆矩阵 P ，使 P 1 AP ，则 A可对角化；
如果找不到这样可逆矩阵 P ，则 A 不可对角化.
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2 (2) A E
3
1 3 0
2 3 2
5 1
2 1 2 A 5 3 3 1 0 2
1 0
3 A E 5 1
1 2 3 1.
(1)求出A的所有特征值 1 , 2 ,, t , 其重数分别为 n1 , n2 ,, nt , (2)对每一个 i , 求出 (i E A) x 0的基础解系 i 1 , i 2 ,, i ,
ni
从而得对应 i 的 ni 个线性无关的特征向量
i1 , i 2 ,, i , 其中i 1,2,, t.
但是，有重根时，也有可能能对角化. 所以 特征值互不相等只是 A 与对角阵相似的充分条件.
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下述定理可将关于可对角化条件更精细地刻画出来. 定理: 设 1 , 2 ,, t 是n阶方阵A的全部不同的特征值, 其重数分别为 n1 , n2 ,, nt , 则A可以对角化的充分必要
1 pn ) n
1
2
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( Ap1 , Ap2 ,, Apn ) (1 p1 , 2 p2 ,, 2 pn )
Ap j j p j ( j 1,2,, n).
这表明 P 的第 j 个列向量 p j 是 A 的对应于特征值 j 的特征向量，
ni
(3)用(2)中求得的特征向量形成矩阵
P ( 11 , 12 ,, 1 , 21 , 22 ,, 2 ,, t 1 , t 2 ,, t )
n1 n2 nt
则有
n n n P 1 AP diag 1 1 , 2 2 , , t t
若 A ~ , 则 的主对角元素即为 A 的特征值，
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3. 方阵可对角化的充要条件 定理4 n 阶矩阵 A与对角阵相似(即 A 能对角化) 的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 推论 若 n 阶矩阵 A 的n 个特征值互不相等，则 A 与对角阵相似.(逆命题不一定成立） 说明 当 A 的特征方程有重根时，不一定有 n 个线性无 关的特征向量，从而不一定能对角化；
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例 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 1 2 2 2 1 2 (1) A 2 2 4 (2) A 5 3 3 2 4 2 1 0 2
解:
1 2
2 2 4
这表明方阵 A 能否对角化完全可用 A 的特征值和 特征向量来刻画.
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由定理证明可知,如果矩阵A相似于对角矩阵, 设
1 1 P AP
2
n
则矩阵P的列是A的线性无关的特征向量,
对角矩阵的对角元素是P中列向量对应的矩阵A的特征值.
1 2 t
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练习:
3 1.设矩阵A k 4 2 1 k ,问k为何值时, A相似于对角矩阵 ? 2 3 2
在A可对角化时, 求可逆矩阵P, 使P 1 AP成对角矩阵.
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作 业 P134
2, 8(1,2), 9, 11, 12, 16
条件为对应 i 有 ni 个线性无关的特征向量. 注: 对应于 i 的所有线性无关特征向量的基是
(i E A) x 0 的基础解系.
故n阶方阵A可对角化当且仅当对A的每一个 ni 重
特征根 i , (i E A) x 0 的基础解系恰有 ni 个向量,
当且仅当 r (i E A) n ni .
对应于二重特征值 1，若 A 能对角化，则
3 R( A E ) 2, R( A E ) 3 2 1
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1 0 1 1 0 1 r A E 1 0 x 0 0 x 1 1 0 1 0 0 0 要使 R( A E ) 1，则 x 1 0, 即 x 1. 说明
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因而 P 由 A 和 确定， 也就是由 A 确定.
由于特征向量不是惟一的，所以矩阵 P 也不 是惟一确定的.
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反过来， 设矩阵 A 的 n 个特征值为 1 , 2 , n ， p1 , p2 ,, pn 是依次与之对应的特征向量，则
Ap j j p j ( j 1,2,, n)
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2. 定理的引入 设有可逆矩阵 P，使 P 1 AP 为对角阵. 下面 回答 P能否由 A 确定.
P AP
AP P
A( p1 , p2 ,, pn ) ( p1 , p2 ,, pn ) A( p1 , p2 ,, pn ) ( p1 , p2 ,,
1 2 0 2 1 3 0 0 1 0 1 0 1 1 0
当 1 2 3 1 时，齐次线性方程组为 A E X 0
1 1 , 得基础解系 所以 A 不能化为对角矩阵. 1
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0 0 1 例 设 A 1 1 x , 问 x 为何值时，矩阵能对角化？ 1 0 0 解: 析：此例是定理的应用.
定理表明：
n 阶矩阵 A可对角化 A 有n 个线性无关特征向量.
由此可推得另一个充要条件：
对 A的每个不同的特征值
i ， i 的重数
( Ap1 , Ap2 ,, Apn ) (1 p1 , 2 p2 ,, 2 pn ) A( p1 , p2 ,, pn ) ( p1 , p2 ,, pn ) ( P ( p1 , p2 ,, pn )) AP P 当P 可逆，即 p1 , p2 ,, pn 线性无关时，有 P 1 AP
2
2 4 2
(1) A E 2
2 7 0
得 1 2 2, 3 7
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Leabharlann Baidu
当 1 2 2 时，齐次线性方程组为 A 2 E X 0
1 2 2 1 2 2 A 2 E 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0 2 2 p1 1 , p2 0 . 得基础解系 0 1 当 3 7 时，齐次线性方程组为 A 7 E X 0 1 1 0 8 2 2 2 2 5 4 0 1 1 A 7E 0 0 0 2 4 5
解答此题的关键是将 x 取值条件“ A 可对角化” 转化为“二重特征值 1 应满足 R( A E ) 3 2 1 ”， 从而求得. 矩阵 A能否对角化，取决于它的线性无关特征 向量的个数，而与 A 的秩，A 的行列式都无关.
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四.矩阵对角化的实现的步骤:若矩阵A可以对角化,