数值分析Euler方法讲解

斜率k y( x0 ) f ( x0 , y( x0 )) f ( x0 , y0 )
Euler法所得的折线 y 从上述几何意义上得知，由 y0 f ( x0 , y0 )( x x0 )与x x1求交点， 纵坐标记为y1， 明显偏离了积分曲线，可见此方法非常粗糙。 则y1 y0 hf ( x0 , y0 ) 过( x1 , y1 )以f ( x1 , y1 )为斜率作直线，
9 9
第五章 常微分方程数值解法
0 yn 1 yn h f ( xn , yn ) ( k 1) (k ) yn 1 yn h f ( xn 1 , yn 1 )
( k 1) (k ) yn y h f ( x , y 1 n 1 n 1 n 1 ) f ( xn 1 , yn 1 )
也称欧拉折线法.
6 6
第五章 常微分方程数值解法
3.欧拉法的局部截断误差：
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前 提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部 截断误差 定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1) ，则称该 算法有p 阶精度。
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h2 又 f xn 1 , y xn 1 y xn 1 y xn hy xn y xn 2 yn 1 hf y xn 1 , yn 1 y xn 1 y xn 3 h hy xn h 2 y xn y xn 2 而 h2 h3 y xn 1 y xn hy xn y xn y xn 2 6
h2 2
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
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第五章 常微分方程数值解法
比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差 显 式 yn1 yn h f ( xn , yn ) n 0, 1,... 公 3 h2 R y ( x ) y y ( x ) O ( h ) 式 n1 n1 n1 n 2 隐 yn1 yn h f ( xn1 , yn1 ) 式 h2 公 Rn1 y( xn1 ) yn1 2 式
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第五章 常微分方程数值解法
方法三 数值积分法
由y( x) f ( x, y( x)),两端同时[ xk , xk 1 ]在积分可得：
y( xk 1 ) y( xk )
xk 1
如何估计这种误差y(xn+1) yn+1 ？ 方法同上，基于Taylor展开估计局部截断误差。 但是注意，隐式公式中右边含有f(xn+1 , yn +1 ) , 由于yn +1不准确，所以不能直接用 y' (xn+1)代替f(xn+1 , yn +1 )
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Rn1 1 hf y xn1 , h 2

§1 Euler’s Method 第五章 常微分方程数值解法 2 3 2 h h f y xn1 , y xn y xn 3 2
2 2
第五章 常微分方程数值解法
方法二
数值微分法（用向前差商近似导数）
在点xk 处有y( xk ) f ( xk , y( xk ))
利用数值微分公式
y( xk 1 ) y( xk ) y( xk ) h
得：y( xk 1 ) y( xk ) hf ( xk , y( xk ))
由于未知数 yn+1 同时出现在等式的两边，故称为隐 式 欧拉公式，而前者称为显式 欧拉公式。隐式公 式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式得到 初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐式 公式较显式公式计算复杂，但稳定性好。
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第五章 常微分方程数值解法
几何意义：
向后差商近似导数
y( x1 )
y ( x1 ) y0 h f ( x1 , y ( x1 ))
y( x1 ) y( x0 ) h
x0
x1
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h2 h3 y xn 3 f y xn1 , y xn 2 y xn 2 6 h2 Rn1 y xn o(h2 ) 2
隐式欧拉法的局部截断误差：
Rn1 y( xn1 ) yn1 y( xn ) O(h3 )
xk
f ( x, y( x ))dx
( xk 1 xk ) f ( xk , y( xk )) hf ( xk , y( xk ))
即： y( xk 1 ) y( xk ) hf ( xk , y( xk ))
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也称Euler为单步法， 又称为显格式的单步法。
y1 , y2 ,, yn 依上述公式逐次计算可得：
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第五章 常微分方程数值解法
2
欧拉法的几何意义：
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
过( x0 , y( x0 )) ( x0 , y0 )作切线 y y0 k ( x x0 )
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y
第五章 常微分方程数值解法
Pn+1 Pn y(x)
几何意义
设已知曲线上一点 Pn (xn , yn ),过该 点作弦线，斜率为(xn+1 , yn +1 ) 点的 方向场f(x,y)方向,若步长h充分小， 可用弦线和垂线x=xn+1的交点近似 曲线与垂线的交点。
xn
xn+1
x
见上图， 显然，这种近似也有一定误差，
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§1 Euler’s Method 第五章 常微分方程数值解法
从而 Rn 1 y ( xn 1 ) yn 1 hf y xn 1 , y xn 1 yn 1 h2 h3 y xn y xn 2 3 即 1 hf x , R y n 1 n 1 h2 h3 y xn y xn 2 3
2
1 1 hf y xn 1 ,
1 hf y xn 1 , h )
f x
y
n 1
,

2
1 ( 1 x x2 1 x
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第五章 常微分方程数值解法
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi1 ) yi1
h2 [ y( xi ) hy( xi ) y( xi ) O( h3 )] [ yi hf ( xi , yi )] 2
h2 y( xi ) O( h3 ) 2 欧拉法具有 1 阶精度。
y( xn ) O(h3 )
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第五章 常微分方程数值解法
5.2.3 梯形公式
若将这两种方法进行算术平均， 即可消除误差 的主要部分而获得更高的精度, 称为梯形法
yk 1
h yk [ f ( xk , yk ) f ( xk 1 , yk 1 )] 2
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第五章 常微分方程数值解法
隐式欧拉法的局部截断误差：
由微分中值定理，得 f xn 1 , yn 1 f xn 1 , y xn 1 f y xn 1 , yn 1 y xn 1 ,
在yn 1，y xn 1 之间；
hL y
(k ) n 1
yn 1
hL
k 1
(0) yn 1 yn 1
( k 1) hL 1, yn yn 1 (k ) 1
在迭代公式中取极限，有 yn 1 yn h f ( xn 1 , yn 1 )
(k ) 因此yn 的极限就是隐式方程的解 1
k 0,1,2.....n 1
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第五章 常微分方程数值解法
在用数值积分的方法推导欧拉公式时，右端的 积分用梯形积分公式可得：
由y( x) f ( x, y( x)),两端同时 [ xk , xk 1 ]在积分可得：
则y2 y1 hf ( x1 , y1 )
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