江苏省南通等六市2018届高三第二次调研(3月二模)数学-有答案
2018-2019学年江苏省南通市宿迁市、连云港市高三(下)第二次调研数学试卷(3月份)(解析版)
2018-2019学年江苏省南通市、泰州市、扬州市、徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市高三（下）第二次调研数学试卷（3月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1，3，a}，B={4，5}．若A∩B={4}，则实数a的值为______．2.复数（i为虚数单位）的实部为______．3.某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为______．4.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为______．5.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为______．6.函数y=的定义域为______．7.将函数y=2sin3x的图象向左平移个单位长度得到y=f（x）的图象，则的值为______．8.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右顶点A（2，0）到渐近线的距离为，则b的值为______．9.在△ABC中，已知C=120°，sin B=2sin A，且△ABC的面积为，则AB的长为______．10.设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=2m，PB=3m，PC=4m，则球O的表面积为______m2．11.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且在区间[2，4）上，f（x）=则函数y=f（x）-log5|x|的零点的个数为______．12.已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|3＜x＜4}，则的最小值为______．13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆x2+y2=4上，且AB=2，点P（3，-1），•（+）=16，设AB的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为______．14.已知集合A={x|x=2k-1，k∈N*}，B={x|x=8k-8，k∈N*}，从集合A中取出m个不同元素，其和记为S；从集合B中取出n个不同元素，其和记为T．若S+T≤967，则m+2n的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.在平面直角坐标系中，设向量=（cosα，sinα），=，，其中＜＜．（1）若 ∥，求α的值；（2）若，求•的值．16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．17.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F 在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M．已知HM=5m，BC=10m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH=θ＜＜．（1）求屋顶面积S关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k．现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1，椭圆C2：=1（a＞b＞0），C2与C1的长轴长之比为：1，离心率相同．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点P为椭圆C2上一点．①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：k1•k2为定值．19.已知函数f（x）=2ln x+-ax，a∈R．（1）当a=3时，求函数f（x）的极值；（2）设函数f（x）在x=x0处的切线方程为y=g（x），若函数y=f（x）-g（x）是（0，+∞）上的单调增函数，求x0的值；（3）是否存在一条直线与函数y=f（x）的图象相切于两个不同的点？并说明理由．20.已知数列{a n}的各项均不为零．设数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3S n2-4S n+T n=0，n∈N*（1）求a1，a2的值；（2）证明：数列{a n}是等比数列；（3）若（λ-na n）（λ-na n+1）＜0对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的所有值．21.已知m，n∈R，向量=是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M及另一个特征值．22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为，（θ为参数）．设直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．23.已知x，y，z均是正实数，且x2+4y2+z2=16，求证：x+y+z≤6．24.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=1，AP=AD=2．（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）若点M，N分别在AB，PC上，且MN⊥平面PCD，试确定点M，N的位置．25.已知a1，a2，…，a n（n∈N*，n≥4）均为非负实数，且a1+a2+…+a n=2．证明：（1）当n=4时，a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≤1；（2）对于任意的n∈N*，n≥4，a1a2+a2a3+…+a n-1a n+a n a1≤1．答案和解析1.【答案】4【解析】解：∵集合A={1，3，a}，B={4，5}．A∩B={4}，∴由交集宝定义得实数a的值为4．故答案为：4．利用交集的定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】【解析】解：∵=，∴z的实部为．故答案为：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】35【解析】解：设该单位行政人员的人数为n，由分层抽样方法有：，解得：n=35，故答案为：35由分层抽样方法即按比例抽样可得：设该单位行政人员的人数为n，则，解得：n=35，得解本题考查了分层抽样方法，属简单题．4.【答案】【解析】解：从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，基本事件总数n==6，甲、乙两人中恰有1人被选中包含的基本事件个数m==4，∴甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为p==．故答案为：．基本事件总数n==6，甲、乙两人中恰有1人被选中包含的基本事件个数m==4，由此能求出甲、乙两人中恰有1人被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5.【答案】30【解析】解：模拟执行程序代码，可得i=1，S=2满足条件i＜7，执行循环体，S=2，i=3满足条件i＜7，执行循环体，S=6，i=5满足条件i＜7，执行循环体，S=30，i=7此时，不满足条件i＜7，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=7时，不满足条件退出循环，输出S的值为30．本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．6.【答案】[2，+∞）【解析】解：∵4x-16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为：[2，+∞）．由4x-16≥0即可求得函数的定义域．本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．7.【答案】-【解析】解：将函数y=2sin3x的图象向左平移个单位长度得到y=f（x）=2sin（3x+）的图象，则=2sin（π+）=-2sin=-，故答案为：-．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x ）的解析式，从而求得的值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】2【解析】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则右顶点A（2，0）到渐近线的距离为d===，解得b=2，故答案为：2先求出双曲线的渐近线方程，求出点到直线的距离即可求出b的值．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题9.【答案】2【解析】解：∵sinB=2sinA，由正弦定理可得，b=2a，∴s△ABC===2，∴a=2，b=4，由余弦定理可得，c2=a2+b2-2abcosC==28，∴c=2，故答案为：2．由正弦定理可得，b=2a，代入三角形的面积公式可求a，b，然后由余弦定理可求c．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的简单应用，属于基础试题．10.【答案】29π【解析】解：∵PA，PB，PC两两垂直，∴可构建长方体，并利用长方体外接球直径为其体对角线长得：2R=，∴．故答案为：29π．利用三线垂直构建长方体，结合长方体外接球直径为其体对角线长可得解．此题考查了长方体外接球问题，难度不大．11.【答案】5【解析】解：∵奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），∴函数是周期为4的周期函数，∵在区间[2，4）上，f（x）=∴作出函数f（x）的图象如图：由y=f（x）-log5|x|=0得f（x）=log5|x|，则函数f（x）与h（x）=log5|x|的图象如图：则f（5）=h（5）=1，f（-3）=1＞h（-3），由图象知两个函数图象有5个交点，即函数y=f（x）-log5|x|的零点的个数为5个，故答案为：5．根据函数与方程的关系作出函数f（x）与h（x）=log5|x|的图象，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合函数的奇偶性和周期性作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．12.【答案】4【解析】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|3＜x＜4}，∴3，4是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a＜0，∴3+4=-，3×4=，∴b=-7a，c=12a，∴===[-24a+（-）]≥2=4，当且仅当-24a=-，即a=-，故的最小值为4，故答案为：4．根据不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|3＜x＜4}，可得3，4是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a＜0，可得b=-7a，c=12a，再根据基本不等式即可求出．本题考查不等式的解法，基本不等式，考查学生转化问题的方法，属于中档题．13.【答案】1，【解析】解：设M（x0，y0），∵点A，B在圆x2+y2=4上，且AB=2，∴∠AOB=90°，∴OM=，∴，…①又=16，∴=16，∴，∴（-3，1）•（x0-3，y0+1）=8，…②由①②联立可得，故答案为：1，．设AB中点M坐标，利用题中两个条件分别建立两个方程，联立即可得解．此题考查了向量的综合应用，难度适中．14.【答案】45【解析】解：要使m+2n的值最大，即使S+T≤967时，加在一起的项数最多，应使相加的项最小．将集合A，B元素分别按从小到大顺序排列，则集合A为以1为首相，以2为公差的等差数列，故S==m2，同理，T==4n2-4，∴967≥S+T=m2+4n2-4n，∴968＞m2+（2n-1）2≥2，∴m+2n-1＜44，∴m+2n＜45．故填：44．利用等差数列的前n项和将S，T分别表示出来，代入不等式，再用基本不等式可得．本题考查了等差数列的前n项公式、基本不等式、集合元素的性质等知识，属于中档题．15.【答案】解：（1）∵∥；∴；∴；∵＜＜，∴＜＜；∴；∴；（2）∵＜＜，∴0＜2α＜π，又＜，故＜＜；∵ ，∴cos2α=-7sin2α＜0；又sin22α+cos22α=1；解得，；∴===．【解析】（1）根据即可得出=，根据α的范围即可求出，从而得出，进而得出α的值；（2）根据α的范围即可求出2α的范围，再根据tan2α＜0即可得出，从而sin2α＞0，cos2α＜0，根据tan2α=即可求出，这样即可求出的值．考查平行向量的坐标关系，两角和的正余弦公式，已知三角函数值求角，弦化切公式，以及sin2x+cos2x=1．16.【答案】证明：（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面ACC 1A 1为平行四边形．又A 1C 与AC 1交于点D ，所以D 为AC 1的中点， 同理，E 为BC 1的中点．所以DE ∥AB ． 又AB ⊂平面ABB 1A 1，DE ⊄平面ABB 1A 1， 所以DE ∥平面ABB 1A 1．（2）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1． 又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1B 1，又A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，BB 1∩B 1C 1=B 1， 所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BC 1， 又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C ． 又A 1B 1∩B 1C =B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ， 所以BC 1⊥平面A 1B 1C ． 【解析】（1）推导出侧面ACC 1A 1为平行四边形，从而D 为AC 1的中点，同理，E 为BC 1的中点．从而DE ∥AB ．由此能证明DE ∥平面ABB 1A 1．（2）推导出BB 1⊥平面A 1B 1C 1．从而BB 1⊥A 1B 1，再由A 1B 1⊥B 1C 1，得A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，推导出A 1B 1⊥BC 1，BC 1⊥B 1C ．由此能证明BC 1⊥平面A 1B 1C ．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 17.【答案】解：（1）由题意FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ，又因为HM ⊂平面ABCD ，得FH ⊥HM ． 在Rt △FHM 中，HM =5，∠FMH =θ， 所以．因此△FBC 的面积为．从而屋顶面积S =2S △FBC +2S 梯形ABFE =． 所以S 关于θ的函数关系式为S =（0＜θ＜）．（2）在Rt △FHM 中，FH =5tanθ，所以主体高度为h =6-5tanθ． 所以别墅总造价为y =kS +h •16k = =-+96k =，记， ＜ ＜，所以，令f '（θ）=0，得 ，又 ＜ ＜ ，所以． 列表：所以当时，f （θ）有最小值． 答：当θ为时该别墅总造价最低． 【解析】（1）用θ表示出FM ，得出三角形FBC 的面积关于θ的式子，从而可得屋顶面积S 关于θ的函数； （2）求出屋顶高度FH ，得出造价y 关于θ的函数，利用导数判断函数单调性，再计算最小值及对应的θ的值．本题考查了函数解析式的求法，函数单调性判断与函数最值的计算，属于中档题．18.【答案】解：（1）设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意知，a =2 ，，a 2=b 2+c 2，解得b = ，因此椭圆C 2的标准方程为=1；……………………………3分（2）①1°当直线OP 斜率不存在时，PA = -1，PB = +1， 则；……………………………4分2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y =kx ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得（4k 2+1）x 2=4，所以x A 2= ，同理x P 2=；………6分所以x P 2=2x A 2，由题意，x P 与x A 同号，所以x P = ，从而，所以为定值；……………………………………8分②设P （x 0，y 0），所以直线l 1的方程为y -y 0=k 1（x -x 0），即y =k 1x +k 1y 0-x 0， 记t =k 1y 0-x 0，则l 1的方程为y =k 1x +t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得（4k 12+1）x 2+8k 1tx +4t 2-4=0， 因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以△=（8k 1t ）2-4（4k 12+1）（4t 2-4）=0，即4k 12-t 2+1=0，将t =k1y 0-x 0代入上式，整理得，（x 02-4）k 12-2x 0y 0k 1+y 02-1=0，……………12分同理可得，（x 02-4）k 22-2x 0y 0k 2+y 02-1=0，所以k 1，k 2为关于k 的方程（x 02-4）k 2-2x 0y 0k +y 02-1=0的两根， 从而k 1•k 2=；……………………………………………14分又点在P（x0，y0）椭圆C2：=1上，所以y02=2-2，所以k1•k2=为定值．………………………………………16分【解析】（1）根据题意求出a和b的值，即可写出椭圆C2的标准方程；（2）①讨论直线OP斜率不存在和直线OP斜率存在时，分别计算是值即可；②设出点P的坐标，写出直线l1和l2的方程，分别与椭圆C1的方程联立，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系，结合椭圆方程求出k1•k2的值．本题考查了直线和圆锥曲线方程的定义、标准方程与应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是难题．19.【答案】解：（1）当a=3时，函数f（x）=2ln x+-3x的定义域为（0，+∞）．则f'（x）=，令f （x）=0得，x=1或x=2．……………………2分列表：∴函数f（x）的极大值为；极小值为f（2）=2ln2-4．……………………4分（2）依题意，切线方程为y=f'（x0）（x-x0）+f（x0）（x0＞0），从而g（x）=f'（x0）（x-x0）+f（x0）（x0＞0），记p（x）=f（x）-g（x），则p（x）=f（x）-f（x0）-f'（x0）（x-x0）在（0，+∞）上为单调增函数，∴p'（x）=f'（x）-f'（x0）≥0在（0，+∞）上恒成立，即≥0在（0，+∞）上恒成立．……………………8分变形得在（0，+∞）上恒成立，∴，又x0＞0，∴x0=．……………………10分（3）假设存在一条直线与函数f（x）的图象有两个不同的切点T1（x1，y1），T2（x2，y2），不妨0＜x1＜x2，则T1处切线l1的方程为：y-f（x1）=f'（x1）（x-x1），T2处切线l2的方程为：y-f（x2）=f'（x2）（x-x2）．∵l1，l2为同一直线，∴ ……………………12分即整理得，……………………14分消去x2得，2ln=0．①令t=，由0＜x1＜x2与x1x2=2，得t∈（0，1），记p（t）=2ln t+-t，则p'（t）=＜0，∴p（t）为（0，1）上的单调减函数，则p（t）＞p（1）=0．从而①式不可能成立，∴假设不成立，从而不存在一条直线与函数f（x）的图象有两个不同的切点．……………………16分【解析】（1）把a=3代入函数解析式，求得导函数零点，分析单调性，从而求得极值；（2）求出函数在x=x0处的切线方程，得到函数y=f（x）-g（x），利用其导函数大于等于0在（0，+∞）上恒成立求解x0的值；（3）假设存在一条直线与函数f（x）的图象有两个不同的切点T1（x1，y1），T2（x2，y2），不妨0＜x1＜x2，则T1处切线l1的方程为：y-f（x1）=f'（x1）（x-x1），T2处切线l2的方程为：y-f（x2）=f'（x2）（x-x2）．利用l1，l2为同一直线，可得，进一步得到．利用导数证明该式不可能成立，说明假设不成立，从而不存在一条直线与函数f（x）的图象有两个不同的点．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，属难题．20.【答案】（1）解：∵3S n2-4S n+T n=0，令n=1，得，∵a1≠0，∴a1=1．令n=2，得，即，∵a2≠0，∴；（2）证明：∵3S n2-4S n+T n=0，①∴3S n+12-4S n+1+T n+1=0，②②-①得：，∵a n+1≠0，∴3（S n+1+S n）-4+a n+1=0，③3（S n+S n-1）-4+a n=0，④当n≥2时，③-④得：3（a n+1+a n）+a n+1-a n=0，即，∵a n≠0，∴．又由（1）知，a1=1，，∴．∴数列{a n}是以1为首项，以-为公比的等比数列；（3）解：由（2）知，，对于任意n∈N*，（λ-na n）（λ-na n+1）＜0恒成立，∴λ介于与之间，∵•＜0恒成立，∴λ=0成立；若λ＞0，当n为奇数时，＜λ＜恒成立，从而λ＜恒成立，记p（n）=（n≥4），∵p（n+1）-p（n）=＜0．∴p（n）≤p（4）=1，即≤1．∴，从而当n≥5且n时，有λ≥，∴λ＞0不符；若λ＜0，当n为奇数时，＜λ＜恒成立，从而有λ＜恒成立，由可知，当n≥5且n时，有，∴λ＜0不符．综上，实数λ的所有值为0．【解析】（1）由3S n2-4S n+T n=0，令n=1，可得a1=1，令n=2，得；（2）由3S n2-4S n+T n=0，得3S n+12-4S n+1+T n+1=0，两式作差得3（S n+1+S n）-4+a n+1=0，有3（S n+S n-1）-4+a n=0，进一步得到，结合，可得数列{a n}是以1为首项，以-为公比的等比数列；（3）由（2）知，，对于任意n∈N*，（λ-na n）（λ-na n+1）＜0恒成立，则λ介于与之间，然后分λ=0，λ＞0和λ＜0分类分析得答案．本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是难题．21.【答案】解：由题意，根据特征值和特征向量的定义，可知：Mα=3α，即：，∴m=2，n=1．即矩阵．∵矩阵M的特征多项式，即：f（λ）=λ2-2λ-3=0．解得：λ=3，或λ=-1．∴矩阵M的另一个特征值为λ=-1．【解析】本题根据特征值和特征向量的定义列出相应的矩阵等式算出m，n的值，然后写出矩阵M的特征多项式f（λ），令f（λ）=0即可得到矩阵M的另一个特征值．本题主要考查根据特征值和特征向量的定义列出相应的矩阵等式算出参数的值，以及根据矩阵的特征多项式f（λ）=0即可得到矩阵的另一个特征值．本题属基础题．22.【答案】解：由题意得，直线l的普通方程为x-y-1=0．①椭圆C的普通方程为．②由①②联立，解得A（0，-1），B，，所以．【解析】首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之进行转换，再利用两点间的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】证明：由柯西不等式得，……………5分因为x2+4y2+z2=16，所以，所以，x+y+z≤6，当且仅当“x=2y=z”时取等号．…………………………10分【解析】根据柯西不等式可证．本题考查了柯西不等式，属基础题．24.【答案】解：（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．从而，，，，，，，，，设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，即不妨取y=1，则x=0，z=1，所以平面PCD的一个法向量为=（0，1，1），设直线PB与平面PCD所成角为θ，∴sinθ=＜，＞=||=，即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为；（2）设M（a，0，0），则，，，设，则，，，而，，，∴，，，由（1）知，平面PCD的一个法向量为=（0，1，1），∵MN⊥平面PCD，所以∥ ．∴解得，．故M为AB的中点，N为PC的中点．【解析】（1）建立空间坐标系，找到平面PCD 的法向量，代入公式即得；（2）设M（a，0，0），，利用向量与共线可解得a，λ，确定M，N的位置．此题考查了利用空间坐标系求解线面所成角，向量共线等问题，难度适中．25.【答案】证明：（1）当n=4时，∵a1，a2，…，a4均为非负实数，且a1+a2+a3+a4=2，∴a1a2+a2a3+a3a4+a4a1=a2（a1+a3）+a4（a3+a1）=（a3+a1）（a2+a4）．（2）①当n=4时，由（1）可知，命题成立；②假设当n=k（k≥4）时，命题成立，即对于任意的k≥4，若x1，x2，…，x k均为非负实数，且x1+x2+…+x k=2，则x1x2+x2x3+…+x k-1x k+x k x1≤1．则当n=k+1时，设a1+a2+…+a k+a k+1=2，并不妨设a k+1=max{a1，a2，…，a k，a k+1}．令x1=（a1+a2），x2=a3，x k-1=a k，x k=a k+1，则x1+x2+…+x k=2．由归纳假设，知x1x2+x2x3+…+x k-1x k+x k x1≤1．∵a1，a2，a3均为非负实数，且a k+1≥a1，∴x1x2+x k x1=（a1+a2）a3+a k+1（a1+a2）=a2a3+a k+1a1+a1a3+a k+1a2≥a1a2+a2a3+a k+1a1．∴1≥（x1x2+x k x1）+（x2x3+…+x k-1x k）≥（a1a2+a2a3+a k+1a1）+（a3a4+…+a k a k+1），即a1a2+a2a3+…+a k a k+1+a k+1a1≤1，也就是说，当n=k+1时命题也成立．∴由①②可知，对于任意的n≥4，a1a2+a2a3+…+a n-1a n+a n a1≤1．【解析】（1）利用基本不等式的性质证明；（2）利用数学归纳法可证明．本题考查了基本不等式与数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属难题．。
2018届江苏六市高三数学二模试卷.docx
2018 届高三第二次调研测试（扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁）数学学科一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．1． 已知集合 U1，0 ，1，2 ，3 ，A1，0 ，2，则 e U A ▲ ．2． 已知复数 z 1a i ，z 2 3 4 i ，其中 i 为虚数单位．若z 1为纯虚数，则实数 a 的值为 ▲ ．z 23． 某班 40 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间40 ，100 上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于 60 分的人数为▲ ．开始频率S ←1组距i ← 1i ← i???1S ←S × 5i?< 4Y405060 70 80 90100 成绩 /分N输出 S（第 3 题）4． 如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为 ▲ ．结 束（第 4 题）5． 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C ，以线段 AC ， BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm 2 的概率为▲ ．6． 在 △ ABC 中，已知 AB1，AC2 ，B 45 ，则 BC 的长为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 与双曲线 2y 2 x 1 有公共的渐近线，且经过3点 P 2 ， 3 ，则双曲线 C 的焦距为 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过点 A (1 ，2 ) ， B ( 5 ，1) ，则 tan() 的值为 ▲ ．9． 设等比数列a n 的前 n 项和为 S n ．若 S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列，且 a 8 3 ，则 a 5 的值为▲ ．10． 已知 a ，b ，c 均为正数，且 abc 4( ab ) ，则 a bc 的最小值为▲ ．x ≤ 3 ， 11． 在平面直角坐标系 xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组x 3y 3 ≥ 0 ， 表示的平面x3 y 3 ≥ 0区域内，则面积最大的为▲ ．e x1 ， x0 ，3 个不同的零点，12． 设函数 f (x)2（其中 e 为自然对数的底数）有 x 3 3mx2 ，x ≤ 0则实数 m 的取值范围是▲ ．13． 在平面四边形 ABCD 中，已知 AB1 ，BC4 ，CD 2，DAuuur uuur3 ，则 AC BD 的值为 ▲ ． 14． 已知 a 为常数，函数 f ( x)x的最小值为223 ，则 a 的所有值为 ▲ ．a x 1 x2二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．15．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设向量 acos ，sin ， b sin ， cos ，c1， 3．22（1）若 a b c ，求 sin () 的值；（2）设5πa //b c6 ， 0π，且 ，求 的值．16．（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱ABC ?A 1B 1C 1 中， AB ??AC ，点 E ， F 分别在棱 BB 1?， CC 1 上（均异 于端点） ，且∠ ABE ?∠ ACF ， AE ⊥ BB 1 1 ．A C， AF ⊥ CC求证：（ 1）平面 AEF ⊥平面 BB 1C 1C ；B F（2） BCBl 1 yA EB 1A 1l 2C C 1QB 1 Ox（第 18 题）P（第 16 题）22B 2x 2 y 2 1( a b 0 ) y x 3 4 2 QB 1PB 1 ， QB 2PB 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 1 x xa b（第 17 题）q 1 ，d 0 c i a i b ic 1 ，c 2 ，c 3 a 1 1 q2 c 1 ，c 2 ，c3 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c4 f ( x ) x a sin x( a 0 ) yf ( x ) a1，g ( x )f ( x ) b ln x1 ( b R ，b0 )24b 2g ( x ) g ( x ) x 0 ，g ( x )0 x 0 ， g ( x 0 ) 0 g( x 1 ) g( x 2 ) ( x 1x 2 ) x 1 x 2开始B频率S←1A 组距i ←E 1OD（第 22 题）←i???1i C（第 21— A 题）S←S× 5i?< 4Y40 50 60 70 80 90 100 成绩 /分N（第 3 题）输出 S结束（第 4 题）DB DC OD 2OA212 M 1 0N 2 01A( 0，0 ) ，B( 3 ，0 ) ，C( 2 ，2 ) T T0201TT2P2，3l sin32P X600X E Xn(1 x ) 2n 1a0a1 x a2 x2a2 n 1 x2 n 1n N * T n( 2k 1) a n k T2 T n n N* T nk04n 2U 1 ，0，1，2 ，3 ，A1，0 ，2 e U A 1 ，3z1a i ，z2 3 4 i i z1440 ，100S z23△ ABC AB 1 ，AC 2 ，B45BC26 xOy C x y21P 2 ， 3C2234 3， A (1 ，2 ) B (5 ，1)tan()9a n S n S3，S9，S6 a83a567x ≤ 3 ，a ，b ，c abc4( a b )a b c C x3y 3 ≥ 0 ，(x224 1)y1 ，x3y 3 ≥ 0e x0 ，xf ( x)x32 e m1，ABCD AB1，BC4，CD 2 ，DA3uuur uuur3mx 2 ，x ≤ 0a f ( x)x2a 4，12+3C m1m m 1xOyAC BDa x 2234 1xa cos，sinb sin， cosc 1 ，3a b c sin ()225π0π a // b c a cos，sin b sin， cos 6c 1 ，3a b c1 a b cos sin sin cos sin ()22a bca 2 c 21 2sin () 11 sin ()15πb26a3 ，1 b csin1，cos3 a // bc22223 cos3 1 sin 11 sin 3 cos 1 sinπ 1222 2222 32ππ π 2ππ ππ 3 3 33 62a b cos sin sin cos sin ( ) a 2 ??2 a b ??b 2 ??1， 每个 2 分，没有先后 序。
江苏省南通市2018届高考第二次调研数学试卷含答案
4． 如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为 ▲ ． 5． 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，以线段 AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面 积 大于 32 cm2 的概率为 ▲ ． 6． 在 △ ABC 中，已知 AB 1 ，， AC 2
B 45 ，则 BC 的长为 ▲ ．
m 的取值范围是
▲
． ▲
． 14．已知 a 为常数，函数 f ( x)
x ax
2
的最小值为 2 ，则 a 的所有值为 3 1 x
2
▲
． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系xOy 中，设向量a cos ，sin ， b sin ， cos ，
y2 1 有公共的渐近线，且经过 3
7． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 与双曲线 x 2 点
P 2 ， 3 ，则双曲线 C 的焦距为
▲
．
8． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 ， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过 点
A ( 1 ，2 ) ， B ( 5 ， 1 ) ，则 tan( ) 的值为
c 1， 3 ． 2 2
（1）若 a b c ，求 sin ( ) 的值； （2）设 5π ， 0 π ，且 a // b c ，求 的值． 6 16．（本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中， AB AC ，点 E ， F 分别在棱 BB 1 ， CC 1 上（均异 于 端点） ，且 ∠ ABE ∠ ACF， AE ⊥ BB 1 ， AF⊥CC1． A （第 A F C C1 B16 1 1 题） E B 求证：（1）平面 AEF⊥平面 BB1C1C； （2）BC // 平面 AEF．
高三数学-2018年南通市高三第二次调研考试 精品
2018年南通市高三第二次调研考试注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考试证号等填写清楚，并认真核准答题卡表头及答题纸密封线内规定填写或填涂的项目．2．第Ⅰ卷选择题部分必须使用2B 铅笔填涂在答题卡上；Ⅱ卷非选择题部分必须使用0.5mm 黑色签字笔书写在答题纸上，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，书写不能超出横线或方格，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面和答题纸清洁，不折叠、不破损 ．数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,全卷满分 150分,考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )=P (A )＋P (B )如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()C (1)k k n kn nP k P P -=- 球的体积公式V 球= 343R π 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 命题“若a b >，则88a b ->-”的逆否命题是A.若a b <，则88a b -<-B.若88a b ->-，则a b >C.若a ≤b ，则88a b -≤-D.若88a b -≤-，则a ≤b2． 椭圆22143x y +=的右焦点到直线y x =的距离是A.12 C.13． 在等比数列{a n }中，572106,5,a a a a =+=则1810a a 等于 A.23-或32- B.23 C.32 D. 23或324． 将函数sin 2y x =的图象按向量a 平移后得到函数sin(2)4y x π=-的图象，则向量a 可以是A.(,0)4πB. (,0)8πC. (,0)4π-D. (,0)8π- 5． 如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∠DAD 1＝45°，∠CDC 1＝30°， 那么异面直线AD 1与DC 1所成角的大小是A.B.C. arccos4D. 2arccos 4 6．101()nk nn k C==∑∑的值为A.1022B.1023C.2186D.2187 7． 已知sin 0,cos 0,αα>>且1sin cos 4αα>，则α的取值范围是 A.5(2,2),1212k k k ππππ++∈Z B. 5(,),1212k k k ππππ++∈Z C. (2,2),63k k k ππππ++∈Z D. (,),63k k k ππππ++∈Z8． 定义在R 上的函数f （x ）对任意的实数x 满足f (x +1)＝－f (x －1)，则下列结论一定成立的是A. f (x )是以4为周期的周期函数B. f (x )是以6为周期的周期函数C. f (x )的图象关于直线x ＝1对称D. f (x )的图象关于点（1,0）对称9． 甲、乙两人玩猜骰子游戏．游戏的规则是：有三个骰子（每个骰子都是正方体，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6），乙先从1,2,3,4,5,6这六个数中报一个，然后由甲掷这三个骰子各一次，如果三个骰子中至少有1个骰子的向上一面的数字恰好是乙报的这个数，那么乙获胜，否则甲获胜．若骰子任意一面向上的概率均等，则乙获胜的概率是 A.31216 B. 91216 C. 12 D. 12521610．已知平面上点P ∈(){}22,(2cos )(2sin )16()x y x y ααα-+-=∈R ，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是A.36πB.32πC.16πD.4πAA 1BCDD 1B 1C 1（第5题）第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．11．函数()6cos cos 2f x x x =+的最小值是 ．12．已知椭圆2212516x y +=与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点F 1，F 2，设两曲线的一个交点为Q ,∠QF 1F 2＝90°，则双曲线的离心率为 ． 13．函数2()lg(1)f x x ax =--在区间（1，+∞）上是单调增函数，则a 的取值范围是 ． 14．设函数()f x 的定义域为R .若存在与x 无关的正常数M ，使()f x ≤M x 对一切实数x 均成立，则称()f x 为有界泛函．在函数2()2,(),()2,()sin xf x xg x xh x v x x x ====中，属于有界泛函的有 ．三、解答题：本大题共6小题；共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，396,,S S S 成等差数列. (1) 求数列{a n }的公比q ；(2) 试问47,a a 的等差中项是数列{a n }中的第几项？请说明理由. 16．（本小题满分14分）已知向量a =(1,2),b =(－2,1),k ,t 为正实数，向量x =a +(t 2+1)b , y =－k a +1tb .（1） 若x ⊥y ，求k 的最小值；（2） 是否存在k , t ,使x ∥y ？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.17. （本小题满分15分） 在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，PD ⊥底面ABCD，ABAD=直线P A 与底面ABCD 成60°角，点M 、N 分别是P A 、PB 的中点． （1） 求二面角P －MN －D 的大小； （2） 如果△CDN 为直角三角形，求CDAB的值．A B18．（本小题满分13分）如图，已知A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB 与BC 各等于1km ，从三点分别遥望塔M ，在A 处看见塔在北偏东45°方向，在B 处看见塔在正东方向，在点C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC 的最短距离．19．（本小题满分15分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i =0,1,2,3,4），当 x = －1时，f (x )取得极大值23，并且函数y =f (x +1)的图象关于点（－1，0）对称． （1） 求f (x )的表达式；（2） 试在函数f (x )的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（3）若+213),(N )23n n n n n nx y n --==∈，求证：4()().3n n f x f y -<20．（本小题满分13分）设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．（第18题）ACM2018年南通市高三第二次调研考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.1.D2.A3.D4.B5.C6.C7.A8.A9.B 10.B 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分. 11．－5 12.5313.(],0-∞ 14.(),()f x v x 三、解答题：本大题共6小题；共84分. 15．解：（1）1q =不适合………………2分 1q ≠时，列式………………6分解得q =………………8分 （2）47,a a 的等差中项是数列{a n }中的第10项.…………14分16．解：（1）向量x 、y 的坐标………………2分列式、整理得21t k t+=…………5分由基本不等式求得k 的最小值为2…………7分 （2）假设存在正实数k ，t ，使得x ∥y ，则 2212(21)(2)(3)().t k t k tt---+=+--整理，得2(1) t ++=……………………12分满足上述等式的正实数k ，t 不存在。
江苏省南通市高三第二次调研测试数学Word版含答案
（第4题）南通市2018届高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则UA = ▲ ．2． 已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．4． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ ．/分（第3题）5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ．6． 在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点(12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ． 9． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲ ．10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ▲ ．12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为 ▲ ． 14．已知a为常数，函数()f x 的最小值为23-，则a 的所有值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ． （1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为 （1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18．（本小题满分16分）AA 1B 1C 1B C FE（第16题）0（第17题）（第18题）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域；（3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．① 若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．南通市2018届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积． ABDOC（第21—A 题）C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3元．（1）求概率(600)P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．（第22题）（第4题）南通市2018届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则UA = ▲ ．【答案】{}13，2． 已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】433． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图 所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．【答案】304． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲ ． 【答案】1255． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ．【答案】136． 在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为 ▲ ．/分（第3题）7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为 ▲ ．【答案】8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ． 【答案】979． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲ ． 【答案】6-10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为 ▲ ． 【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ▲ ． 【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点， 则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1+∞，13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为 ▲ ． 【答案】1014．已知a为常数，函数()f x 的最小值为23-，则a 的所有值为 ▲ ．【答案】144，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．解：（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ，所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． …… 3分因为+=a b c ，所以22+=a bc ，即a 2 + 2 a ⋅b + b 2 = 1，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-． …… 6分（2）因为5π6α=，所以()12=，a ．依题意，()1sin cos 2ββ+=--+，b c ． …… 8分因为()//+a b c，所以)()11cos sin 022ββ---=．化简得，11sin 22ββ-=，所以()π1sin 32β-=． …… 12分因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<． 所以ππ36β-=，即π2β=． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异 于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．证明：（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1．因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1． …… 2分又AE ⊥BB 1，AE AF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ， 所以BB 1⊥平面AEF ． …… 5分AA 1B 1C 1BCF E（第16题）又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ． …… 7分 （2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE =∠ACF ，AB = AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC ．所以BE = CF ． …… 9分 又由（1）知，BE // CF ．所以四边形BEFC 是平行四边形．从而BC // EF ． …… 11分 又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BC // 平面AEF ． …… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为 （1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． 解：设()00P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b = 3…… 2 由222193y x a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 得()222319x x a ++=． 所以20269a x a =-+． …… 4分因为10PB x =，所以2269a a=+，解得218a =． 所以椭圆的标准方程为221189y x +=． …… 6分 （2）方法一：直线PB 1的斜率为1003PB y k x -=， （第17题）由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为1003QB x k y =--． 于是直线QB 1的方程为：0033x y x y =-+-． 同理，QB 2的方程为：0033x y x y =--+． …… 8分 联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=． …… 10分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以012x x =-． …… 12分 所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==． …… 14分 方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+．将3y kx =+代入221189y x +=，得()2221120k x kx ++=， 因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以00x ≠，从而0x =21221k k -+．…… 8分 因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k '=-． …… 10分 由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-．联立1323y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，则2621k x k =+，即12621k x k =+． …… 12分 所以1212201212212621PB B QB B k S xk S x kk ∆∆-+===+． …… 14分18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：（第18题）方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？ 解：（1）设所得圆柱的半径为r dm ，则()2π24100r r r +⨯=， …… 4分 解得r =． …… 6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，…… 9分 方法一：所得正四棱柱的体积3204400x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，， ……11分记函数304()400x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，，则()p x 在(0，上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减，所以当x =max ()p x =所以当x =a =max V =dm 3． …… 14分 方法二：202a x a ≤≤，从而a ……11分所得正四棱柱的体积()222020V a x a a a==≤≤．所以当a x =max V =dm 3． …… 14分答：（1 dm ；（2）当x 为 …… 16分 【评分说明】①直接“由()21002x x x ⋅+=得，x =2分；②方法一中的求解过程要体现()p x V ≤≤()p x V =≤的最多得5分， 其它类似解答参照给分．19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 解：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列， 则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+． …… 2分又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213a a a =． 所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列． …… 4分 （2）因为11a =，2q =，所以12n n a -=．因为2213c c c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+，…… 6分 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．又0d ≠，所以223b d d =+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R ，，．…… 8分 （3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，， …… 10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥ …… 12分 因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠．由⑤⑥得1q q =，从而11a c =． …… 14分 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾．所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列． …… 16分方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==． …… 10分 所以32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a a d a a d a a d a a d -+-+=-+-+． 两边同时减1得，321432213222a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． …… 12分 因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． 又()23211210a a a a q -+=-≠，所以()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=． …… 14分 这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立．所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列． …… 16分20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．① 若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <． 解：（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤． …… 3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x '=-+．若0b <，则存在02b ->，使()()11cos 0222b b g '-=---<，不合题意，所以0b >． …… 5分 取30e b x -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <． …… 8分 ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-．从而2121sin sin x x x x ->-． …… 10分因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-． 所以212120ln ln x x b x x -->>-． ……12分下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t ->()ln 0t <*．设())ln 1h t t t =>，所以()210h t -'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2b -> 即2124x x b <． ……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=． 证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-．…… 5分因为OE OA =，所以()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-． 所以22DB DC OD OA ⋅+=． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）ABDC（第21—A 题）EO在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩 阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积． 解：依题意，依次实施变换1T ，2T 所对应的矩阵=NM 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． …… 5分 则20000200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20360200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20240224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 所以(00)(30)(22)A B C ，，，，，分别变为点(00)(60)(44)A B C '''，，，，，． 从而所得图形的面积为164122⨯⨯=． (10)分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ．则点P 的直角坐标为()1． …… 2分 将直线l ：()sin 23ρθπ-=的方程变形为：sin cos cos sin 233ρθρθππ-=，40y -+=． …… 5分所以()1P 到直线l 40y -+=2=．故所求圆的普通方程为()(2214x y -+=． …… 8分化为极坐标方程得，()π4sin 6ρθ=+． …… 10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2．证明：因为a ，b ，c 为正实数，==2=（当且仅当a b c ==取“=”）． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元．（1）求概率()600P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．解：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C 种不同情形． 则事件：“600X =”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含34C 种情形，第二类包含111144C C C ⋅⋅种情形．所以()3111414439C C C C 560021C P X +⋅⋅===． …… 3分 （2）X 的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C 413008421C P X ====，()121439C C 242400847C P X ⋅====，（第22题）()1212144439C C C C 3055008414C P X ⋅+⋅====，()121439C C 637008442C P X ⋅====． 所以X 的概率分布列为：…… 8分所以()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． …… 10分23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除． 解：由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=； …… 2分（2）因为()()()()()12121!1C 11!!n kn n n k n k n k n k ++++++=++⋅++-()()()()212!!!n n n k n k +⋅=+-()221C n kn n +=+，…… 4分 所以()021nn n k k T k a -==+∑()21021C nn kn k k -+==+∑()121021C nn k n k k +++==+∑()()12102121C nn k n k n k n +++==++-+⎡⎤⎣⎦∑()()112121021C21C nnn k n kn n k k n k n ++++++===++-+∑∑()()12210221C21C nnn kn knn k k n n ++++===+-+∑∑()()()2212112212C 21222n n n n n n +=+⋅⋅+-+⋅⋅ ()221C n n n =+． …… 8分()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．因为21C n n *-∈N ，所以n T 能被42n +整除． …… 10分。
江苏省南通市2018届高考第二次调研数学试卷及答案
i <4i ←i + 1结束N YS ←S ×5输出S 开始 S ←1i ←1南通市2018届高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲． 2．已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲．4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲．5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm 2的概率为▲．6．在ABC △中，已知1245AB AC B ==︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()23P -，，则双曲线C 的焦距为▲．成绩/分 组距40 5060 70 80 90 100 0.0050.010 0.0150.025 0.030 （第3题）8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲．12．设函数31e 0()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 m 的取值范围是▲．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为▲． 14．已知a 为常数，函数22()1xf x a x x =---的最小值为23-，则a 的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()312=-，c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于 端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为42 （1）求椭圆的标准方程；AA 11C 1B CFE（第16题）l 1l 2 AB C（第18题）（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆 柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形 （各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，．记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数． （第17题）0B 1B 2PQOP xy①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．南通市2018届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）换1T ，2T 在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变对应的矩阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=()122a c c a b-++．ABDOC（第21—A 题）i < 4i ←i + 1N YS ←S ×5 输出S开始 S ←1i ←1【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张 如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元， 点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元． （1）求概率(600)P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．南通市2018届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲．【答案】{}13，2．已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 【答案】433．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为▲．【答案】30组距0.0150.025 0.0304．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲． 【答案】1255．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为▲． 【答案】136．在ABC △中，已知1245AB AC B ==︒，，则BC 的长为▲．26+7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()23P -，，则双曲线C 的焦距为▲． 【答案】438．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．【答案】99．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 【答案】6-10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲． 【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲． 【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 0()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点， 则实数m 的取值范围是▲．【答案】()1+∞，13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为▲． 【答案】1014．已知a 为常数，函数22()1xf x a x x =---的最小值为23-，则a 的所有值为▲．【答案】144，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ， ()312=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．解：（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()31=-c ，所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． ……3分因为+=a b c ，所以22+=a bc ，即a 2+ 2a ⋅b + b 2= 1，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-．……6分（2）因为5π6α=，所以()31=，a ．依题意，()31sin cos 2ββ+=--，b c ．……8分因为()//+a b c ，所以)()3311cos sin 0ββ---=．化简得，311sin ββ=，所以()π1sin β-=．…… 12分因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=．…… 14分16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异 于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．AB CFE证明：（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1． 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1．…… 2分 又AE ⊥BB 1，AEAF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF ．…… 5分又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ．…… 7分 （2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE =∠ACF ，AB = AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC ． 所以BE = CF ．…… 9分 又由（1）知，BE // CF ． 所以四边形BEFC 是平行四边形． 从而BC // EF ．…… 11分又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以BC // 平面AEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为42 （1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． 解：设()00P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b = 3． …… 2分由222193y x a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222319x x a ++=． 所以20269a x a =-+．…… 4分因为()22100032PB x y x =+-，所以2264229a a +，解得218a =． 所以椭圆的标准方程为221189y x +=．…… 6分 （2）方法一： 直线PB 1的斜率为1003PB y k -=， （第17题）0由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为100QB x k =-． 于是直线QB 1的方程为：003x y x =-+． 同理，QB 2的方程为：0033x y x y =--+．…… 8分 联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=．…… 10分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而22009x y -=-． 所以012x x =-．…… 12分 所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==．…… 14分 方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+．将3y kx =+代入221189y x +=，得()2221120k x kx ++=， 因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以00x ≠，从而0x =21221k k -+．…… 8分 因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k '=-．…… 10分 由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-．联立1323y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，则2621k x k =+，即12621k x k =+．…… 12分 所以121220112212621PB B QB B k S x k kk ∆∆-+===+．…… 14分18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方l 1l 2 AB C（第18题）形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？ 解：（1）设所得圆柱的半径为r dm ，则()2π24100r r r +⨯=， …… 4分 解得()()52π1r +=．…… 6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ， 则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，…… 9分 方法一：所得正四棱柱的体积3202104400210.x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，，……11分 记函数302104()400210.x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，， 则()p x 在(0210⎤⎦，上单调递增，在)210⎡+∞⎣上单调递减，所以当210x =max ()2010p x =所以当210x =10a =max V =2010dm 3．…… 14分 方法二：202a x a≤≤，从而10a 11分所得正四棱柱的体积()2220202010V a x a a ==≤≤．所以当10a =210x =max V =2010dm 3．…… 14分答：（1()()52π1+dm ；（2）当x 为210 16分 【评分说明】①直接“由()21002x x x ⋅+=得，210x =2分；②方法一中的求解过程要体现()210p x V ≤≤()210p x V =≤的最多得5分， 其它类似解答参照给分．19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 解：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列，则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+．……2分 又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213a a a =． 所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列．……4分 （2）因为11a =，2q =，所以12n n a -=．因为2213c c c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+，……6分 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．又0d ≠，所以223b d d =+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R ，，．……8分 （3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，，……10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥……12分 因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =．……14分 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．……16分方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c ==．……10分 所以32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a a d a a d a a d a a d -+-+=-+-+．两边同时减1得，321432213222a a a a a a -+-+=．……12分 因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．又()23211210a a a a q -+=-≠，所以()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=． ……14分这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立．所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列．……16分20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <． 解：（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤．……3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x'=-+．若0b <，则存在02b ->，使()()11cos 0222b b g '-=---<，不合题意，所以0b >．……5分 取30ebx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <．……8分 ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-．……10分因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 1x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-．所以212120x x b -->>．……12分下面证明211221x x x x ->1t t ->()1ln 0t t t-<*．设()()1ln 1t h t t t t-=>，所以()2102t h t t t-'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以122b x x ->2124x x b <．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=． 证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-．……5分因为OE OA =，所以()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-． 所以22DB DC OD OA ⋅+=．……10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩 阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．ABDC（第21—A 题）EO解：依题意，依次实施变换1T ，2T 所对应的矩阵=NM 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．……5分则20000200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20360200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20240224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 所以(00)(30)(22)A B C ，，，，，分别变为点(00)(60)(44)A B C '''，，，，，． 从而所得图形的面积为164122⨯⨯=．……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ．则点P 的直角坐标为()13，．……2分将直线l ：()sin 23ρθπ-=的方程变形为：sin cos cos sin 2ρθρθππ-=，340x y -+=．……5分 所以()13P ，到直线l 340x y -+=()()224231=+-．故所求圆的普通方程为()(22134x y -+=．……8分化为极坐标方程得，()π4sin 6ρθ=+．……10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=()122a c c a b-++．证明：因为a ，b ，c 为正实数， ()()12322a c a b cc a b c a b-+++=++2a cbc +++=2=（当且仅当a b c ==取“=”）．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元． （1）求概率()600P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．解：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C 种不同情形． 则事件：“600X =”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含34C 种情形，第二类包含111144C C C ⋅⋅种情形． 所以()3111414439C C C C 560021C P X +⋅⋅===．……3分 （2）X 的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C 41300C P X ====，()121439C C 242400C P X ⋅====， ()1212144439C C C C 3055008414C P X ⋅+⋅====，()121439C C 637008442C P X ⋅====． 所以X 的概率分布列为：X 300 400 500 600 700 P12127514 521 342……8分所以()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． ……10分23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除． 解：由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；…… 2分（2）因为()()()()()12121!1C 11!!n kn n n k n k n k n k ++++++=++⋅++-()()()()212!!!n n n k n k +⋅=+-()221C n kn n +=+， …… 4分所以()021nn n k k T k a -==+∑()21021C nn kn k k -+==+∑ ()121021C nn k n k k +++==+∑ ()()12102121C nn k n k n k n +++==++-+⎡⎤⎣⎦∑ ()()112121021C21C nnn kn kn n k k n k n ++++++===++-+∑∑()()12210221C21C nnn kn knn k k n n ++++===+-+∑∑()()()2212112212C 21222n n n n n n +=+⋅⋅+-+⋅⋅ ()221C n n n =+． …… 8分()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+． 因为21C n n *-∈N ，所以n T 能被42n +整除．…… 10分。
江苏省南通市2018届高考第二次调研数学试卷含答案
上．．
1． 已知集合 U
1，0 ，1，2 ，3 ，A
1 ，0 ，2 ，则 e U A ▲ ．
2． 已知复数 z1
a i ，z2
3 4 i ，其中 i 为虚数单位． 若 z1 为纯虚数， 则实数 a 的值为 z2
▲
．
3． 某班 40 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间
40 ，100 上，其频率分布直方图如图所
0.5 毫米签字笔填写
3． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
参考公式： 柱体的体积公式 V柱体 Sh ，其中 S 为柱体的底面积， h 为高．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．．
c
1 2
，
3 2
．
（1）若 a b
c ，求 sin () 的值；（2）设56π， 0
π，且 a // b c ，求 的值．
16．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC ，点 E， F 分别在棱 BB 1 ， CC 1 上（均异
于
端点），且∠ ABE ∠ ACF ， AE ⊥ BB 1， AF ⊥ CC 1． 求证：（ 1）平面 AEF ⊥平面 BB1C1C；
（ 1）求证：数列 c1 ，c2 ，c3 不是等差数列； （ 2）设 a1 1， q 2 ．若数列 c1 ，c2 ，c3 是等比数列，求 b2 关于 d 的函数关系式及其定义 域； （ 3）数列 c1 ，c2 ，c3 ，c4 能否为等比数列？并说明理由．
江苏省2018届高三数学二模试卷 含解析
2018年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”． （Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2018年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4；当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；当l=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为15．故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tanβ的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣2，∴tan（α+β）===，整理可得：tanβ=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为+12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，结合b1018=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，∵b1018=1，∴b1b2018=b2b2018=…=b1018b1018=（b1018）2=1，∴a2018=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x 有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为﹣2﹣2018．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k （x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程x2+2y2=2b2，可得（1+2k2）x2﹣4tk2x+2k2t2﹣2b2=0，即有x1+x2=，x1x2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2018．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ． ∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9 ∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，=1+2+3+6+…+2m﹣1S2m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y，+≥2z，三式相加，可得+++x+y+z≥2（x+y+z），即为++≥x+y+z，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p，摸出白球概率为q，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n次试验总得分为S n”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 1 3PEξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2018（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2018），∴，则a2018＜1；又，∴×2018=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2018＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2018年10月17日。
优质金卷：江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研(二模)测试数学试题(解析版)
1．{}13，【解析】∵集合{}{}10123102U A =-=-，，，，，，， ∴{}1,3U C A = 故答案为{}1,3.3．30【解析】根据频率分布直方图可得成绩不低于60分的学生的频率为()0.0150.0300.0250.005100.75+++⨯=.∴成绩不低于60分的学生的人数为为400.7530⨯=. 故答案为30.4．125【解析】模拟执行程序可得： 1S =， 1i =，满足条件4i <，执行循环体， 155S =⨯=， 112i =+=，满足条件4i <，执行循环体， 5525S =⨯=， 213i =+=，满足条件4i <，执行循环体，255125S =⨯=， 314i =+=，不满足条件4i <，退出循环，输出S 的值为125.故答案为125.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构； (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题； (3)按照题目的要求完成解答并验证． 5．13【解析】设AC x =，则12BC x =-，矩形的面积为()21212S AC BC x x x x =⨯=-=-.∵21232x x -> ∴48x <<由几何概率的求解公式可得：该矩形的面积大于232cm 的概率为841123P -==. 故答案为13. 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.7．∵双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线 ∴设双曲线C 的方程为22(0)3y x λλ-=>∵双曲线C 经过点()2P - ∴413λ=-=∴双曲线C 的方程为22139x y -=∴双曲线C的焦距为=故答案为9．-6【解析】设等比数列{}n a 的公比为q .∵396S S S ，，成等差数列 ∴9362S S S =+，且1q ≠.∴()()()9361112111111a q a q a q qq q---=+---，即63210qq --=.∴312q =-或31q =（舍去） ∵83a = ∴8533612a a q ===-- 故答案为6-.10．8【解析】∵a b c ，，均为正数，且()4abc a b =+∴()4a b c ab+=∴()4448a b a b c a b a b abb a +++=++=+++≥+=，当且仅当2a =， 2b =时取等号∴a b c ++的最小值为8故答案为8.点睛：本题主要考查等差中项的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 11．()2214x y -+=【解析】由约束条件作出可行域如图所示：由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设(),0C a3a -，解得1a =或9a =（舍去）.∴面积最大的圆的标准方程为()2214x y -+=. 故答案为()2214x y -+=.12．()1+∞，【解析】当0x >时， ()12x f x e -=-，画出函数图象如图所示：∴函数()f x 此时有1个零点∵函数()f x 在R 上有3个不同的零点∴当0x ≤时， ()332f x x mx =--有2个不同的零点∵()233f x x m '=-∴令()0f x '=，则20x m -=，若0m ≤，则函数()f x 为增函数，不合题意，故0m >.∴函数()f x 在(,-∞上为增函数，在(⎤⎦上为减函数，即()max 3222f x =--=.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 13．10【解析】取AC 中点O ，连接BO ， DO .∴()()()()()1122AC BD AC BO OD AC BO AC OD BC BA BC BA DC DA DC DA ⋅=⋅+=⋅+⋅=-+--+ ()222212BC BA DA DC =-+- ∵1423AB BC CD DA ====，，， ∴()116194102AC BD ⋅=-+-= 故答案为10.14．144，【解析】由题意得函数()f x 为奇函数. ∵函数()f x =∴()f x'=①当01a <<时，函数()f x的定义域为⎡⎣，由()0f x '>得x ≤<x<≤，由()0f x '<得x <<函数()f x在⎡⎢⎣，上为增函数，在⎛⎝上为减函数. ∵(f =，f=， ∴()min 23f x f ===-，则14a = ②当1a >时，函数()fx 的定义域为[]1,1-，由()0f x '>得x << ()0fx '<得1x -≤<1x <≤，函数()f x在⎛ ⎝上为增函数，在1,⎡-⎢⎣，⎤⎥⎦为减函数. ∵f ⎛= ⎝()1f =∴()min23f x f ===-，则4a =.综上所述， 14a =或4a =. 故答案为4， 14. 15．(1) 12-；(2) π2β=.试题解析：（1）∵向量()cos ,sin a αα=， ()sin ,cos b ββ=-， 1,2c ⎛=- ⎝ ∴1a b c ===，且()cos sin sin cos sin a b αβαβαβ⋅=-+=-. ∵a b c += ∴22a bc +=，即2221a a b b +⋅+=.∴()12sin 11αβ+-+=，即()1sin 2αβ-=-. （2）∵5π6α= ∴31,2a ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭依题意， 1sin ,cos 2b c ββ⎛+=--+ ⎝. ∵a // ()b c +∴11cos sin 022ββ⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，化简得， 11sin 22ββ=. ∴π1sin 32β⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵0πβ<<∴ππ2π333β-<-<． ∴ππ36β-=，即π2β=．16．(1)证明见解析；(2)证明见解析.试题解析：证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中， 1BB // 1CC ． ∵1AF CC ⊥ ∴1AF BB ⊥又∵1AE BB ⊥， AE AF A ⋂=， AE ， AF ⊂平面AEF . ∴1BB ⊥平面AEF 又∵1BB ⊂平面11BB C C ∴平面AEF ⊥平面11BB C C（2）∵1AE BB ⊥， 1AF CC ⊥， ABE ACF ∠=∠， AB AC = ∴Rt AEB ∆≌Rt AFC ∆ ∴BE CF =又由（1）知， BE // CF ．∴四边形BEFC 是平行四边形，从而BC // EF ． 又∵BC ⊄平面AEF ， EF ⊂平面AEF ∴BC //平面AEF ．17．(1)221189x y +=；(2)证明见解析.从而求得0x ，再由P 在椭圆上，得k 与k '的数量关系，从而表示出直线2QB 的方程，即可求得1x ，进而求得12122PB B QB B S S ∆∆=.试题解析：设()00P x y ，， ()11Q x y ，． （1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b =3．由2221{ 93x y a y x +==+，得()222319x xa ++=． ∴20269a x a =-+．∵1PB ==∴2269a a =+，解得218a =． ∴椭圆的标准方程为221189x y +=．联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=．∵()00P x y ，在椭圆221189x y +=上∴22001189x y +=，从而220092x y -=-． ∴012x x =-． ∴121212PB B QB B S x S x ∆∆==． 方法二：设直线1PB ， 2PB 的斜率为k ， k '，则直线1PB 的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线1QB 的方程为13y x k=-+． 将3y kx =+代入221189x y +=，得()2221120k x kx ++=， ∵P 是椭圆上异于点1B ， 2B 的点 ∴00x ≠，从而0x = 21221kk -+．∵()00P x y ，在椭圆221189x y +=上 ∴22001189x y +=，从而220092x y -=-．∴2000200033912y y yk kx x x-+-⋅='⋅==-，得12kk'=-．点睛：本题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.18．(1)r=(2) .【解析】试题分析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，根据矩形薄铁皮的面积为1002dm，即可求得r的值；（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm，根据题意得2 {20.x aax≤≤，.方法一：表示出正四棱柱的体积324{400xxV a xxx<≤=≤>，，，构造函数，求得单调性，即可求得函数的最大值，从而得体积最大值及x的值；方法二：表示出x的范围，从而得到a的范围，再表示出正四棱柱的体积，即可求得最大值及x的值.试题解析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，则()2π24100r r r+⨯=，解得r=（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则2{ 1004x a a a x ≤≤-，，即2{20.x a a x≤≤，方法一：所得正四棱柱的体积3204{ 400x x V a x x x<≤=≤>，，记函数()304{ 400x x p x x x<≤=>，，则()p x在(0上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减.∴当x =时， ()max p x =．∴当x =，a = max V =dm 3．（2）当x为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大． 19．(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列，则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++，根据12b b ，， 3b 是等差数列及12a a ，， 3a 是等比数列，找出矛盾，假设不成立；（2）由11a =， 2q =得12n n a -=，根据数列123c c c ，，是等比数列得2213c c c =，化简求得223b d d =+，再根据2220c b =+≠，即可求得d 得范围；（3）方法一：设1c ， 2c ， 3c ， 4c 成等比数列，其公比为1q ，则1111111221111331111={ 2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=++++++，①，②，③④，解方程组即可；方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==，化简得()321321213222q a a a a a a a a d a a d -+-+=-+-+，即可求得()10q d -=，与1q ≠，且0d ≠矛盾，故可得证.（2）∵11a =， 2q = ∴12n n a -=． ∵2213c c c =∴()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+， 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠. ∴1d ≠-且2d ≠-． 又∵0d ≠，∴223b d d =+，定义域为{}120d R d d d ∈≠-≠-≠，，． （3）方法一：设1c ， 2c ， 3c ， 4c 成等比数列，其公比为1q ，则1111111221111331111={ 2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=++++++，①，②，③④将①+③－2×②得， ()()2211111a q c q -=-，⑤ 将②+④－2×③得， ()()22111111a q q c q q -=-，⑥ ∵10a ≠， 1q ≠，由⑤得10c ≠， 11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =． 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾． ∴1c ， 2c ， 3c ， 4c 不成等比数列．∵等比数列1a ， 2a ， 3a ， 4a 的公比为()1q q ≠ ∴()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．又∵()23211210a a a a q -+=-≠∴()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=．这与1q ≠，且0d ≠矛盾. ∴假设不成立．∴数列1234c c c c ，，，不能为等比数列． 点睛：用反证法证明命题的基本步骤：①反设，设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏； ②归谬，从反设出发，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论； ③否定反设，从而得出原命题结论成立．20．(1) 01a <≤；(2)①.证明见解析；②.证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意， ()1cos 0f x a x '=-≥对x R ∈恒成立，根据0a >，等价为1cos x a ≥对x R ∈恒成立，即可求得a 得取值范围；（2）①分别求得()g x 与()g x '，若0b <，则存在02b->，使02b g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭'，从而得0b >，取30e b x -=，则001x <<，即可证明()00g x <；②不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >，由（1）知函数sin y x x =-单调递增，则2211sin sin x x x x ->-，从而2121sin sin x x x x ->-，根据()()12g x g x =，推出212120ln ln x x b x x -->>-，只需证明2121ln ln x xx x ->-ln 0t <成立，设())ln 1h t t t =>，求得函数()h t 的单调性，即可证明.（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，则()11cos 2b g x x x=-+'． 若0b <，则存在02b ->，使11cos 0222b b g ⎛⎫⎛⎫-=---'< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意. ∴0b >． 取30ebx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．∴存在00x >，使()00g x <．下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t ->，只要证明()ln 0*t <． 设())ln 1h t t t =>，则()0h t '=<在()1+∞，恒成立． ∴()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证． ∴2b ->，即2124x x b <．点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1)构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21．证明见解析【解析】试题分析：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-，根据OE OA =，即可得证.试题解析：证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-． ∵OE OA =，∴()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-．∴22DB DC OD OA ⋅+=． 22．12【解析】试题分析：依次实施变换1T ， 2T 所对应的矩阵NM = 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，分别求得点A ， B ， C 在此矩阵的作用下变换后的点，即可求得面积.23．π4sin 6ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】试题分析：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ，得点P 的直角坐标，再根据{x cos y sin ρθρθ==的直线l 的普通方程，从而可得点P 到直线l 的距离，即可求得所求圆的普通方程，再化为极坐标方程.试题解析：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ． 则点P的直角坐标为()1． 将直线l ： sin 23πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的方程变形为： sin cos cos sin 233ππρθρθ-=，化为普通方程得40y -+=．∴()1P 到直线l ：40y -+=的距离为：2=．∴所求圆的普通方程为()(2214x y -+=，化为极坐标方程得， π4sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．24．证明见解析【解析】试题分析：由a，b，c，且12a b c++==，再根据基本不等式即可得证.试题解析：证明：∵a，b，c为正实数2==≥=（当且仅当a b c==取“=”）．25．(1)521；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C种不同情形，再将事件分类，根据古典概型概率公式求得概率；（2）先确定X的所有可能值为300，400，500，600，700，再分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望.（2）X的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C41300C8421P X====，()121439C C242400C847P X⋅====，()1212144439C C C C305500C8414P X⋅+⋅====，()121439C C63700C8442P X⋅====．∴X的概率分布列为：∴()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值. 26．(1)30；(2)证明见解析.试题解析：由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n+1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；（2）∵()()()()()()()()()()121221!212!1C 121C 1!!!!n k n k n nn n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-∴()()()12121002121C21C nnnn k n kn n kn n k k k T k ak k -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn kn kn kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()()122122122011221C21C 2212C 21221C 22nnn kn k n nn n nn n n k k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑．∴()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．∵*21C n n N -∈∴n T 能被42n +整除．。
2018届江苏省南通市高三第二次调研测试(数学)(含答案)word版
2018届江苏省南通市高三第二次调研测试（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 若15ii 3ia b +=+-（a b ∈，R ，i 为虚数单位），则ab = ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）． 4． 把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．6．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a = ▲ ．8．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，则111213a a a ++= ▲ ．9．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．10．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--．下列四个不等关系：()()sin cos 6π6πf f <；(sin1)(cos1)f f >；()()cos sin 332π2πf f <；(cos2)(sin 2)f f >．其中正确的个数是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：1212()d P Q x x y y =-+-，． 已知点()10B ，，点M 为直线220x y -+=上的动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐标是▲ ．13．若实数x ，y ，z ，t 满足110000x y z t ≤≤≤≤≤，则x z y t +的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OC u u u r =OA OB λμ+u u u r u u u r ，则()223λμ+-的取值范围是 ▲ ．【填空题答案】1. x －y －2=02. 825-3. 真4. 26275. 26. (){}20，7. 128. 1059. ①③④⇒②（或②③④⇒①） 10. 1 11. 21- 12. ()312， 13. 150 14. ()2+∞，二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO的中点，4AB BC AC ===，22PA PC ==．求证： （1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分PABCOEFG(第15题)因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O =I ，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分 （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△PAB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得.16．（本小题满分14分）已知函数)()2cos 3sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()31f θ=，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()31f C =，且△ABC 3，求sin A +sin B 的值．【解】（1）2()232sin cos 222x x xf x =-3(1cos )sin x x +-=()π2cos 36x +． (3)分由()π2cos 3316x ++=，得()π1cos 62x +=， ………………5分于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分因为△ABC 331πsin 26ab =，于是23ab =. ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② PABCOE FGQ(第17题)由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或 2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 于是2a b += ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1sin sin 12A B a b +=+=． ………………14分 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称． （1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由；（3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程． 【解】（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B 的倾斜角的正弦值为1313=，于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率e …………4分 （2）由e =可设()40a k k =>，c，则b =， 于是11A B的方程为：40x k -+=， 故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=， …………………………6分 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =， 所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分 （3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12k =， …………………………10分设2OA 的中点()10,关于直线11A B ：2220x y -+=的对称点为()m n , ， 则21,11222022n m m n ⎧⋅=-⎪-⎨+⎪-⋅+=⎩． …………………………12分解得4213m n ==, ．所以，圆C 的方程为()()2242113x y -+=-．…………………14分18．（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地． （1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积； （2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ，S △RST =RT SH ⋅21． ……………………2分由题意，△RST 在月牙形公园里，RT 与圆Q 只能相切或相离； ……………………4分RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT ≤4，SH ≤2，（第17题甲） DC B QPNMS MN PQ T（第17题乙）TQPN MSR甲乙当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BPA =θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．……………………8分令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． ………………… 11分若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， …………………14分函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为（km 2）． …………………16分 19． （本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA u u u r=()()11x f x ，，()()22OB x f x =u u u r ，，OM u u u u r =(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ)x 2时，记向量ON u u u r =λOA u u u r+(1－λ)OB u u u r ．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“MN u u u u r≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f (x )=x 2在区间[0，1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准k=18下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e －1)=0.541） 【解】（1）由ON u u u r =λOA u u u r +(1－λ)OB u u u r 得到BN u u u r =λBA u u u r ，所以B ，N ，A 三点共线， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON u u u r =λOA u u u r+(1－λ)OB u u u r ，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)，则有()221124MN x x x =-=--+u u u u r，故104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，u u u u r ； 所以k的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分（2）对于1e e m m +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分则直线AB 的方程11(e )eem m my m x +-=--， ……………………10分 令11()ln (e )e e m m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，，于是111()e em m h x x +'=--， ……………………13分列表如下：又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0.12318<，从而命题成立． ……………………16分 20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N L ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p ra a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ． 【解】（1）当1n =时，11a =；当*2n n ∈N ≥，时，2121(1)n a a a n -+++=-L ， 所以22(1)21n a n n n =--=-；综上所述，*21()n a n n =-∈N ． ……………………3分 （2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p r a a a ，，成等差数列，则1213221r p k pa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112x z y +=，所以2xyz x y=-， ……………………7分令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--， 所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设.……………………10分（3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ， 它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项， ……12分显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以它们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． ……………………14分下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似： 若三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，则11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++， 整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾， 因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． ……………………16分 【注】1．第（2）小题当a k 不是质数时，p ，r 的解不唯一；2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设123n n n <<，且123n n n a a a ，，符合题意，则公比q >1，因123n n n a a a <<，又123n n n a a a +>，则21q q +>，所以1q <<因为三项均为整数，所以q为1⎛ ⎝内的既约分数且1n a 含平方数因子，经验证，仅含21或23时不合，所以12*(23)()n a k p k p =+∈N ，；3．第（3）小题的构造形式不唯一．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点， 过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．【解】因为MA 为圆O 的切线，所以2MA MB MC =⋅． 又M 为PA 的中点，所以2MP MB MC =⋅． 因为BMP PMC ∠=∠，所以BMP PMC ∆∆∽． ………………5分于是MPB MCP ∠=∠． 在△MCP中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=︒，得∠MPB =20°． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α， 即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……………………5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21—A 题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 4ρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】()πcos 4ρθ-=cos sin 4ρθρθ+=，则直线l 的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离d =，即d =，其中cos sinϕϕ==…………………8分当()sin 1αϕ+=-时，max d = ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值． 【解】因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1， 所以，()()()()()2111323232111323232a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当323232a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .ABDO（第22题）E B 1A 1CC 1D 1（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，，于是()111442DE =u u u r ，，，()1011CD =-u u u u r，，. 由cos 1DE CD 〈〉u u u r u u u u r ，＝11||||DE CD DE CD ⋅⋅u u u r u u u u ru uu u r u u u u r.所以异面直线AE 与CD 1. ……………………5分（2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO u u u r＝0，m ·1CD u u u u r ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . (7)分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE u u u r =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，. 又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD u u u r ＝0，n ·DE u u u r＝0. 得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2． ……………………10分23．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到n *()n ∈N 分的概率．【解】（1）所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )= ()5551C2i - (i =5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：E ξ=()5105551C2i i i -=⋅∑= 152(分) . ……………………5分 （2）令p n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n =12p n －1， ……………………7分 即p n －23=－12()123n p --. 于是{}23n p -是以p 1－23=12－23=－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以p n －23=－16()112n --，即p n ＝()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. 答：恰好得到n 分的概率是()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. …………………10分2018届江苏省南通市高三第二次调研测试（数学）参考答案1. x －y －2=02.-8/253.真4.26/275.26.{(2,0)}7.128.1059. ①③④→②（或②③④→①） 10.1 11.-1/2 12.（1，3/2) 13.1/50 14.(2，+∞）15.16.17.18.19.20.。
2018届高三数学3月第二次调研二模试题word版本
江苏省南通、徐州、扬州、泰州、淮安、宿迁六市2018届高三数学3月第二次调研（二模）试题(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U ＝{－1，0，1，2，3}，A ＝{－1，0，2}，则∁U A ＝________．2. 已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，其中i 为虚数单位．若z1z2为纯虚数，则实数a 的值为________．3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．(第4题)(第3题)4. 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为________．5. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为________．6. 在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，B ＝45°，则BC 的长为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C 的焦距为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 8＝3，则a 5的值为________．10. 已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧x≤3，x －3y ＋3≥0，x ＋3y ＋3≥0表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为______________．12. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x ＞0，x3－3mx －2，x≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．13. 在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC →·BD →的值为________．14. 已知a 为常数，函数f(x)＝x a －x2－1－x2的最小值为－23，则a 的所有值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)． (1) 若|a ＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；(2) 设α＝5π6，0＜β＜π，且a ∥(b ＋c )，求β的值．16. (本小题满分14分) 如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上(均异于端点)，且∠ABE ＝∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1.求证：(1) 平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； (2) BC ∥平面AEF.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2.求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l2为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0. 记c i＝a i＋b i(i＝1，2，3，4)．(1) 求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2) 设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3) 数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．设函数f(x)＝x －asin x(a ＞0)．(1) 若函数y ＝f(x)是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；(2) 设a ＝12，g(x)＝f(x)＋bln x ＋1(b ∈R ，b ≠0)，g ′(x)是g(x)的导函数．①若对任意的x ＞0，g ′(x)＞0，求证： 存在x 0，使g(x 0)＜0；②若g(x 1)＝g(x 2)(x 1≠x 2)，求证： x 1x 2＜4b 2.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，A ，B ，C 是圆O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D.求证：DB·D C ＋OD 2＝OA 2.B. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T 1，T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，求对△ABC 依次实施变换T 1，T 2后所得图形的面积．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求以点P(2，π3)为圆心且与直线l ：ρsin(θ－π3)＝2相切的圆的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝12，求证：1－a ＋cc （a ＋2b ）≥2.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元．(1) 求概率P(X ＝600)；(2) 求X 的概率分布及数学期望E(X)．23. 已知(1＋x)2n ＋1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n ＋1x 2n ＋1，n ∈N *.记T n ＝(2k ＋1)a n －k . (1) 求T 2的值；(2) 化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *，T n 都能被4n ＋2整除．参考答案1. {1，3}2. 433. 304. 1255. 136. 2＋627. 4 38. 979. －6 10. 811. (x －1)2＋y 2＝4 12. (1，＋∞) 13. 10 14. 4，1415. 解：(1) 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β)．(3分)因为|a ＋b|＝|c|，所以|a ＋b|2＝c 2，即a 2＋2a·b ＋b 2＝1，所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.(6分)(2) 因为α＝5π6，所以a ＝(－32，12)．故b ＋c ＝(－sin β－12，cos β＋32)．(8分)因为a ∥(b ＋c )，所以－32(cos β＋32)－12(－sin β－12)＝0. 化简得12sin β－32cos β＝12，所以sin(β－π3)＝12.(12分)因为0<β<π，所以－π3<β－π3<2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.(14分)16. 证明：(1) 在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1. 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1.(2分) 又AE ⊥BB 1，AE ∩AF ＝A ，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF.(5分)因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C.(7分) (2) 因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ＝∠ACF ，AB ＝ AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC.所以BE ＝CF.(9分)又由(1)知，BE ∥CF ，所以四边形BEFC 是平行四边形．故BC ∥EF.(11分) 又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BC ∥平面AEF.(14分) 17. 解：设P(x 0，y 0)，Q(x 1，y 1)．(1) 在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧x2a2＋y29＝1，y ＝x ＋3得x2a2＋（x ＋3）29＝1，所以x 0＝－6a29＋a2.(4分)因为PB 1＝x20＋（y 0－3）2＝2|x 0|, 所以42＝2·6a29＋a2，解得a 2＝18.所以椭圆的标准方程为x218＋y29＝1.(6分)(2) (方法1)直线PB 1的斜率为kPB 1＝y0－3x0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x0y0－3. 于是直线QB 1的方程为y ＝－x0y0－3x ＋3.同理，QB 2的方程为y ＝－x0y0＋3x －3.(8分)联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y20－9x 0.(10分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x218＋y29＝1上，所以x2018＋y209＝1，从而y20－9＝－x202.所以x 1＝－x02.(12分)所以S△PB1B2S△QB1B2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0x1＝2.(14分)(证法2)设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3.由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1kx ＋3.将y ＝kx ＋3代入x218＋y29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0，因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0，从而x 0＝－12k2k2＋1.(8分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x218＋y29＝1上，所以x2018＋y209＝1，从而y20－9＝－x202.所以k·k ′＝y0－3x0·y0＋3x0＝y20－9x20＝－12，得k ′＝－12k.(10分)由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3则x ＝6k 2k2＋1，即x 1＝6k 2k2＋1.(12分)所以S△PB1B2S△QB1B2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0x1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k 2k2＋16k2k2＋1＝2.(14分) 18. 解：(1) 设所得圆柱的半径为r dm, 则(2πr ＋2r)×4r ＝100，(4分)解得r ＝52（π＋1）2（π＋1）.(6分)(2) 设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤x 2，a≤100x －4a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a≤x 2，a≤20x.(9分)(方法1)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤⎩⎪⎨⎪⎧x34，0<x≤210，400x，x>210.(11分)记函数p(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x34，0<x≤210，400x，x>210，则p(x)在(0，210]上单调递增，在[210，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝210时，p max (x)＝2010.所以当x ＝210，a ＝10时，V max ＝2010(dm 3)．(14分)(方法2)2a ≤x ≤20a，从而a ≤10.(11分)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤a 2(20a)＝20a ≤2010.所以当a ＝10，x ＝210时，V max ＝2010(dm 3)．(14分)答：(1) 圆柱的底面半径为52（π＋1）2（π＋1）dm ；(2) 当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．(16分) 【评分说明】①直接“由x·(2x ＋x2)＝100得x ＝210时正四棱柱的体积最大”给2分；②方法1中的求解过程要体现V ≤p(x)≤210，凡写成V ＝p(x)≤210的最多得5分， 其他类似解答参照给分．19. (1) 证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，即2(a 2＋b 2)＝(a 1＋b 1)＋(a 3＋b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，从而2a 2＝a 1＋a 3.(2分) 因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a22＝a 1a 3.所以a 1＝a 2＝a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(4分)(2) 解：因为a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝2n －1.因为c22＝c 1c 3，所以(2＋b 2)2＝(1＋b 2－d)(4＋b 2＋d)，即b 2＝d 2＋3d.(6分)由c 2＝2＋b 2≠0，得d 2＋3d ＋2≠0，所以d ≠－1且d ≠－2.又d ≠0，所以b 2＝d 2＋3d ，定义域为{d ∈R |d ≠－1，d ≠－2，d ≠0}．(8分) (3) 解：(解法1)设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1，则⎩⎪⎨⎪⎧a1＋b1＝c1 ①，a1q ＋b1＋d ＝c1q1 ②，a1q2＋b1＋2d ＝c1q21 ③，a 1q 3＋b 1＋3d ＝c 1q31 ④.(10分)将①＋③－2×②，得a 1(q －1)2＝c 1(q 1－1)2⑤，将②＋④－2×③，得a 1q(q －1)2＝c 1q 1(q 1－1)2⑥，(12分) 因为a 1≠0，q ≠1，由⑤得c 1≠0，q 1≠1. 由⑤⑥得q ＝q 1，从而a 1＝c 1.(14分)代入①得b 1＝0. 再代入②得d ＝0，与d ≠0矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．(16分)(解法2)假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c2c1＝c3c2＝c4c3.(10分)所以c3－c2c2－c1＝c4－c3c3－c2，即a3－a2＋d a2－a1＋d ＝a4－a3＋d a3－a2＋d.两边同时减1，得a3－2a2＋a1a2－a1＋d ＝a4－2a3＋a2a3－a2＋d.(12分)因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q ≠1)，所以a3－2a2＋a1a2－a1＋d ＝q （a3－2a2＋a1）a3－a2＋d.又a 3－2a 2＋a 1＝a 1(q －1)2≠0，所以q(a 2－a 1＋d)＝a 3－a 2＋d ，即(q －1)d ＝0.(14分) 这与q ≠1，且d ≠0矛盾，所以假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．(16分)20. (1) 解：由题意，f ′(x)＝1－acos x ≥0对x ∈R 恒成立．因为a>0，所以1a≥cos x 对x ∈R 恒成立．因为(cos x)max ＝1，所以1a ≥1，从而0<a ≤1.(3分)(2) 证明：① g(x)＝x －12sin x ＋bln x ＋1，所以g ′(x)＝1－12cos x ＋bx.若b<0，则存在－b 2>0，使g ′(－b 2)＝－1－12cos(－b2)<0，不合题意，所以b>0.(5分)取x 0＝e －3b，则0<x 0<1.此时g(x 0)＝x 0－12sin x 0＋bln x 0＋1<1＋12＋bln e －3b ＋1＝－12<0.所以存在x 0>0，使g(x 0)<0.(8分)②依题意，不妨设0<x 1<x 2，令x2x1＝t ，则t>1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增，所以x 2－sin x 2>x 1－sin x 1. 从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1. (10分)因为g(x 1)＝g(x 2)，所以x 1－12sin x 1＋bln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋bln x 2＋1，所以－b(ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12(x 2－x 1)，所以－2b>x2－x1ln x2－ln x1>0.(12分)下面证明x2－x1ln x2－ln x1>x1x2，即证明t －1ln t >t ，只要证明ln t －t －1t<0 (*)．设h(t)＝ln t －t －1t (t>1)，所以h ′(t)＝－（t －1）22t t<0在(1，＋∞)上恒成立． 所以h(t)在(1，＋∞)上单调递减，故h(t)<h(1)＝0，从而(*)得证．所以－2b>x1x2， 即x 1x 2<4b 2.(16分)21. A. 证明：延长AO 交圆O 于点E ，则BD·D C ＝DE·D A ＝(OD ＋OE)·(O A －OD)．(5分)因为OE ＝OA ，所以DB·D C ＝(OA ＋OD)·(O A －OD)＝OA 2－OD 2.所以DB·D C ＋OD 2＝OA 2.(10分)B. 解：依题意，依次实施变换T 1，T 2所对应的矩阵NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2.(5分) 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤60，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤44. 所以A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)分别变为点A ′(0，0)，B ′(6，0)，C ′(4，4)．从而所得图形的面积为12×6×4＝12.(10分) C. 解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy.则点P 的直角坐标为(1，3)．(2分)将直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2的方程变形为ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2， 化为普通方程，得3x －y ＋4＝0.(5分)所以P(1，3)到直线l ：3x －y ＋4＝0的距离为4（3）2＋（－1）2＝2. 故所求圆的普通方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.(8分) 化为极坐标方程，得ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(10分) D. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以1－a ＋cc （a ＋2b ）＝a ＋2b ＋3cc （a ＋2b ）＝（a ＋c ）＋2（b ＋c ）ac ＋2bc ≥2ac ＋4bc ac ＋2bc＝2(当且仅当a ＝b ＝c 取“＝”)．(10分) 22. 解：(1)从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有C39种不同情形，则事件“X ＝600”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，1格得奖200元，1格得奖100元．其中第一类包含C34种情形，第二类包含C11·C14·C14种情形，所以P(X ＝600)＝C34＋C11·C14·C14C39＝521.(3分) (2) X 的所有可能值为300，400，500，600，700，则P(X ＝300)＝C34C39＝484＝121，P(X ＝400)＝C11·C24C39＝2484＝27， P(X ＝500)＝C11·C24＋C14·C24C39＝3084＝514，P(X ＝700)＝C11·C24C39＝684＝114. 所以X(8分)所以E(X)＝300×121＋400×27＋500×514＋600×521＋700×114＝500.(10分) 23. 解：由二项式定理，得a i ＝Ci 2n ＋1(i ＝0，1，2，…，2n ＋1)．(1) T 2＝a 2＋3a 1＋5a 0＝C25＋3C15＋5C05＝30.(2分)(2) 因为(n ＋1＋k)C n ＋1＋k 2n ＋1＝(n ＋1＋k)·（2n ＋1）！（n ＋1＋k ）！（n －k ）！＝（2n ＋1）·（2n ）！（n ＋k ）！（n －k ）！＝(2n ＋1)Cn ＋k 2n ，(4分)（8分）T n ＝(2n ＋1)Cn 2n ＝(2n ＋1)(Cn －12n －1＋Cn 2n －1)＝2(2n ＋1)Cn 2n －1.因为Cn 2n －1∈N *，所以T n 能被4n ＋2整除．(10分)。
江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研测试(二模)数学试题(含答案)(2018.03)
…… 2 分
2 x2 y 2 2 x 3 1， 2 x 由 a 得 2 1． 9 9 a y x 3
2 所以 x0 6a 2 ． 9a
…… 4 分
因为 PB1
x0 2 y0 3
2
2 2 x0 ， 所以 4 2 2 6a 2 ，解得 a 2 18 ． 9a
． … 8分
化简得， 1 sin 3 cos 1 ，所以 sin π 1 ． 3 2 2 2 2
因为 a // b c ，所以 3 cos 3 1 sin 1 0 ． 2 2 2 2 … 12 分 …… 14 分
12． 1 ，
13．10
（1）因为 a cos ，sin ， b sin ， cos ， c 1 ， 3 ， 15． 2 2 所以 a b c 1 ，且 a b cos sin sin cos sin ( ) ． 因为 a b c ，所以 a b
2 y2 1 ，得 2k 2 1 x 2 12kx 0 ， 将 y kx 3 代入 x 18 9
k ．… 8 分 因为 P 是椭圆上异于点 B1，B2 的点，所以 x0 0 ，从而 x0 12 2k 2 1
2 x2 x2 y2 y2 2 因为 P x0 ， y0 在椭圆 x 9 0 ． 1 上，所以 0 0 1 ，从而 y0 2 18 9 18 9
…… 4 分
．
…… 6 分
a ≤ x ， a ≤ x ， 2 2 （2）设所得正四棱柱的底面边长为 a dm，则 即 100 20 a ≤ 4a ， a ≤ . x x 2 方法一：所得正四棱柱的体积 V a x ≤ 记函数 p ( x) x 3 ，0 x ≤ 2 10 ， 4 400 ， x 2 10. x
江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研测试(二模)数学试题(含答案)(2018.03)
数学 参考答案及评分建议
一、填空题：
1． 2． 3．304．1255． 6． 7． 8． 9． 10．8
11． 12． 13．1014．
二、解答题：
15．（1）因为 ， ， ，
所以 ，且 ．……3分
因为 ，所以 ，即a22a bb21，
所以 ，即 ．……6分
（2）因为 ，所以 ．故 ．…8分
②依题意，不妨设 ，令 ，则 ．
由（1）知函数 单调递增，所以 ．
从而 ．…10分
因为 ，所以 ，
所以 ．
所以 ．……12分
下面证明 ，即证明 ，只要证明 ．
设 ，所以 在 恒成立．
所以 在 单调递减，故 ，从而 得证．
所以 ，即 ．……16分
徐州市2018届高三第二次调研测试
数学 参考答案及评分建议
所以 ．……14分
18．（1）设所得圆柱的半径为 dm，则 ，……4分
解得 ．……6分
（2）设所得正四棱柱的底面边长为 dm，则 即 ……9分
方法一：所得正四棱柱的体积 ……11分
记函数 则 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时， ．
所以当 ， 时， dm3．…14分
方法二： ，从而 ．……11分
（1） ；……2分（2）因为
，……4分
所以
．……8分
．
因为 ，所以 能被 整除．……10分
又 ，所以 ，即 ．
……14分
这与 且 矛盾，所以假设不成立．
所以数列 不能为等比数列．……16分
20．（1）由题意， 对 恒成立，
因为 ，所以 对 恒成立，
因为 ，所以 ，从而 ．…3分
（2）① ，所以 ．
2018-2019学年江苏省高三(下)第二次调研数学试卷(含答案)
2018-2019学年江苏省南通市、泰州市、扬州市、徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市高三（下）第二次调研数学试卷（3月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3，a}，B＝{4，5}．若A∩B＝{4}，则实数a的值为．2．（5分）复数（i为虚数单位）的实部为．3．（5分）某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为．4．（5分）从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为．5．（5分）执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为．6．（5分）函数y＝的定义域为．7．（5分）将函数y＝2sin3x的图象向左平移个单位长度得到y＝f（x）的图象，则的值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右顶点A （2，0）到渐近线的距离为，则b的值为．9．（5分）在△ABC中，已知C＝120°，sin B＝2sin A，且△ABC的面积为，则AB的长为．10．（5分）设P，A，B，C为球O表面上的四个点，P A，PB，PC两两垂直，且P A＝2m，PB＝3m，PC＝4m，则球O的表面积为m2．11．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），且在区间[2，4）上，f（x）＝则函数y＝f（x）﹣log5|x|的零点的个数为．12．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|3＜x＜4}，则的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆x2+y2＝4上，且AB＝2，点P （3，﹣1），•（+）＝16，设AB的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为．14．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈N*}，B＝{x|x＝8k﹣8，k∈N*}，从集合A中取出m 个不同元素，其和记为S；从集合B中取出n个不同元素，其和记为T．若S+T≤967，则m+2n的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）在平面直角坐标系中，设向量＝（cosα，sinα），＝，其中．（1）若∥，求α的值；（2）若，求•的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．17．（14分）图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M．已知HM＝5m，BC＝10m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的 2.2倍．设∠FMH＝θ．（1）求屋顶面积S关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k．现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＝1，椭圆C2：＝1（a＞b＞0），C2与C1的长轴长之比为：1，离心率相同．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点P为椭圆C2上一点．①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：k1•k2为定值．19．（16分）已知函数f（x）＝2lnx+﹣ax，a∈R．（1）当a＝3时，求函数f（x）的极值；（2）设函数f（x）在x＝x0处的切线方程为y＝g（x），若函数y＝f（x）﹣g（x）是（0，+∞）上的单调增函数，求x0的值；（3）是否存在一条直线与函数y＝f（x）的图象相切于两个不同的点？并说明理由．20．（16分）已知数列{a n}的各项均不为零．设数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3S n2﹣4S n+T n＝0，n∈N*（1）求a1，a2的值；（2）证明：数列{a n}是等比数列；（3）若（λ﹣na n）（λ﹣na n+1）＜0对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的所有值．【选做题】A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知m，n∈R，向量＝是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M及另一个特征值．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数）．设直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知x，y，z均是正实数，且x2+4y2+z2＝16，求证：x+y+z≤6．【必做题】第24题、第25题，每小题10分，共计20分．24．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AB＝1，AP＝AD＝2．（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）若点M，N分别在AB，PC上，且MN⊥平面PCD，试确定点M，N的位置．25．（10分）已知a1，a2，…，a n（n∈N*，n≥4）均为非负实数，且a1+a2+…+a n＝2．证明：（1）当n＝4时，a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≤1；（2）对于任意的n∈N*，n≥4，a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n+a n a1≤1．2018-2019学年江苏省南通市、泰州市、扬州市、徐州市、淮安市、宿迁市、连云港市高三（下）第二次调研数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．【解答】解：∵集合A＝{1，3，a}，B＝{4，5}．A∩B＝{4}，∴由交集宝定义得实数a的值为4．故答案为：4．2．【解答】解：∵＝，∴z的实部为．故答案为：3．【解答】解：设该单位行政人员的人数为n，由分层抽样方法有：，解得：n＝35，故答案为：354．【解答】解：从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，基本事件总数n＝＝6，甲、乙两人中恰有1人被选中包含的基本事件个数m＝＝4，∴甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为p＝＝．故答案为：．5．【解答】解：模拟执行程序代码，可得i＝1，S＝2满足条件i＜7，执行循环体，S＝2，i＝3满足条件i＜7，执行循环体，S＝6，i＝5满足条件i＜7，执行循环体，S＝30，i＝7此时，不满足条件i＜7，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．6．【解答】解：∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为：[2，+∞）．7．【解答】解：将函数y＝2sin3x的图象向左平移个单位长度得到y＝f（x）＝2sin（3x+）的图象，则＝2sin（π+）＝﹣2sin＝﹣，故答案为：﹣．8．【解答】解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则右顶点A（2，0）到渐近线的距离为d＝＝＝，解得b＝2，故答案为：29．【解答】解：∵sin B＝2sin A，由正弦定理可得，b＝2a，∴s△ABC＝＝＝2，∴a＝2，b＝4，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝＝28，∴c＝2，故答案为：2．10．【解答】解：∵P A，PB，PC两两垂直，∴可构建长方体，并利用长方体外接球直径为其体对角线长得：2R＝，∴．故答案为：29π．11．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），∴函数是周期为4的周期函数，∵在区间[2，4）上，f（x）＝∴作出函数f（x）的图象如图：由y＝f（x）﹣log5|x|＝0得f（x）＝log5|x|，则函数f（x）与h（x）＝log5|x|的图象如图：则f（5）＝h（5）＝1，f（﹣3）＝1＞h（﹣3），由图象知两个函数图象有5个交点，即函数y＝f（x）﹣log5|x|的零点的个数为5个，故答案为：5．12．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|3＜x＜4}，∴3，4是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0，∴3+4＝﹣，3×4＝，∴b＝﹣7a，c＝12a，∴＝＝＝[﹣24a+（﹣）]≥2＝4，当且仅当﹣24a＝﹣，即a＝﹣，故的最小值为4，故答案为：4．13．【解答】解：设M（x0，y0），∵点A，B在圆x2+y2＝4上，且AB＝2，∴∠AOB＝90°，∴OM＝，∴，…①又＝16，∴＝16，∴，∴（﹣3，1）•（x0﹣3，y0+1）＝8，…②由①②联立可得，故答案为：1，．14．【解答】解：要使m+2n的值最大，即使S+T≤967时，加在一起的项数最多，应使相加的项最小．将集合A，B元素分别按从小到大顺序排列，则集合A为以1为首相，以2为公差的等差数列，故S＝＝m2，同理，T＝＝4n2﹣4，∴967≥S+T＝m2+4n2﹣4n，∴968＞m2+（2n﹣1）2≥2，∴m+2n﹣1＜44，∴m+2n＜45．故填：44．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．【解答】解：（1）∵；∴；∴；∵，∴；∴；∴；（2）∵，∴0＜2α＜π，又，故；∵，∴cos2α＝﹣7sin2α＜0；又sin22α+cos22α＝1；解得；∴＝＝＝．16．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB⊂平面ABB1A1，DE⊄平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1，又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1＝B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1，又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1，又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．17．【解答】解：（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM⊂平面ABCD，得FH⊥HM．在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ，所以．因此△FBC的面积为．从而屋顶面积S＝2S△FBC+2S梯形ABFE＝．所以S关于θ的函数关系式为S＝（0＜θ＜）．（2）在Rt△FHM中，FH＝5tanθ，所以主体高度为h＝6﹣5tanθ．所以别墅总造价为y＝kS+h•16k＝＝﹣+96k＝，记，，所以，令f'（θ）＝0，得，又，所以．列表：所以当时，f（θ）有最小值．答：当θ为时该别墅总造价最低．18．【解答】解：（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意知，a＝2，，a2＝b2+c2，解得b＝，因此椭圆C2的标准方程为＝1；……………………………3分（2）①1°当直线OP斜率不存在时，P A＝﹣1，PB＝+1，则；……………………………4分2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，代入椭圆C1的方程，消去y，得（4k2+1）x2＝4，所以x A2＝，同理x P2＝；………6分所以x P2＝2x A2，由题意，x P与x A同号，所以x P＝，从而，所以为定值；……………………………………8分②设P（x0，y0），所以直线l1的方程为y﹣y0＝k1（x﹣x0），即y＝k1x+k1y0﹣x0，记t＝k1y0﹣x0，则l1的方程为y＝k1x+t，代入椭圆C1的方程，消去y，得（4k12+1）x2+8k1tx+4t2﹣4＝0，因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，所以△＝（8k1t）2﹣4（4k12+1）（4t2﹣4）＝0，即4k12﹣t2+1＝0，将t＝k1y0﹣x0代入上式，整理得，（x02﹣4）k12﹣2x0y0k1+y02﹣1＝0，……………12分同理可得，（x02﹣4）k22﹣2x0y0k2+y02﹣1＝0，所以k1，k2为关于k的方程（x02﹣4）k2﹣2x0y0k+y02﹣1＝0的两根，从而k1•k2＝；……………………………………………14分又点在P（x0，y0）椭圆C2：＝1上，所以y02＝2﹣2，所以k1•k2＝为定值．………………………………………16分19．【解答】解：（1）当a＝3时，函数f（x）＝2lnx+﹣3x的定义域为（0，+∞）．则f'（x）＝，令f′（x）＝0得，x＝1或x＝2．……………………2分列表：∴函数f（x）的极大值为；极小值为f（2）＝2ln2﹣4． (4)分（2）依题意，切线方程为y＝f'（x0）（x﹣x0）+f（x0）（x0＞0），从而g（x）＝f'（x0）（x﹣x0）+f（x0）（x0＞0），记p（x）＝f（x）﹣g（x），则p（x）＝f（x）﹣f（x0）﹣f'（x0）（x﹣x0）在（0，+∞）上为单调增函数，∴p'（x）＝f'（x）﹣f'（x0）≥0在（0，+∞）上恒成立，即≥0在（0，+∞）上恒成立．……………………8分变形得在（0，+∞）上恒成立，∴，又x0＞0，∴x0＝．……………………10分（3）假设存在一条直线与函数f（x）的图象有两个不同的切点T1（x1，y1），T2（x2，y2），不妨0＜x1＜x2，则T1处切线l1的方程为：y﹣f（x1）＝f'（x1）（x﹣x1），T2处切线l2的方程为：y﹣f（x2）＝f'（x2）（x﹣x2）．∵l1，l2为同一直线，∴……………………12分即整理得，……………………14分消去x2得，2ln＝0．①令t＝，由0＜x1＜x2与x1x2＝2，得t∈（0，1），记p（t）＝2lnt+﹣t，则p'（t）＝＜0，∴p（t）为（0，1）上的单调减函数，则p（t）＞p（1）＝0．从而①式不可能成立，∴假设不成立，从而不存在一条直线与函数f（x）的图象有两个不同的切点．……………………16分20．【解答】（1）解：∵3S n2﹣4S n+T n＝0，令n＝1，得，∵a1≠0，∴a1＝1．令n＝2，得，即，∵a2≠0，∴；（2）证明：∵3S n2﹣4S n+T n＝0，①∴3S n+12﹣4S n+1+T n+1＝0，②②﹣①得：，∵a n+1≠0，∴3（S n+1+S n）﹣4+a n+1＝0，③3（S n+S n﹣1）﹣4+a n＝0，④当n≥2时，③﹣④得：3（a n+1+a n）+a n+1﹣a n＝0，即，∵a n≠0，∴．又由（1）知，a1＝1，，∴．∴数列{a n}是以1为首项，以﹣为公比的等比数列；（3）解：由（2）知，，对于任意n∈N*，（λ﹣na n）（λ﹣na n+1）＜0恒成立，∴λ介于与之间，∵•＜0恒成立，∴λ＝0成立；若λ＞0，当n为奇数时，＜λ＜恒成立，从而λ＜恒成立，记p（n）＝（n≥4），∵p（n+1）﹣p（n）＝＜0．∴p（n）≤p（4）＝1，即≤1．∴，从而当n≥5且n时，有λ≥，∴λ＞0不符；若λ＜0，当n为奇数时，＜λ＜恒成立，从而有λ＜恒成立，由可知，当n≥5且n时，有，∴λ＜0不符．综上，实数λ的所有值为0．【选做题】A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．【解答】解：由题意，根据特征值和特征向量的定义，可知：Mα＝3α，即：，∴m＝2，n＝1．即矩阵．∵矩阵M的特征多项式，即：f（λ）＝λ2﹣2λ﹣3＝0．解得：λ＝3，或λ＝﹣1．∴矩阵M的另一个特征值为λ＝﹣1．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．【解答】解：由题意得，直线l的普通方程为x﹣y﹣1＝0．①椭圆C的普通方程为．②由①②联立，解得A（0，﹣1），B，所以．C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．【解答】证明：由柯西不等式得，……………5分因为x2+4y2+z2＝16，所以，所以，x+y+z≤6，当且仅当“x＝2y＝z”时取等号．…………………………10分【必做题】第24题、第25题，每小题10分，共计20分．24．【解答】解：（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．从而，设平面PCD的法向量＝（x，y，z），则，即不妨取y＝1，则x＝0，z＝1，所以平面PCD的一个法向量为＝（0，1，1），设直线PB与平面PCD所成角为θ，∴sinθ＝＝||＝，即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为；（2）设M（a，0，0），则，设，则，而，∴，由（1）知，平面PCD的一个法向量为＝（0，1，1），∵MN⊥平面PCD，所以∥．∴解得．故M为AB的中点，N为PC的中点．25．【解答】证明：（1）当n＝4时，∵a1，a2，…，a4均为非负实数，且a1+a2+a3+a4＝2，∴a1a2+a2a3+a3a4+a4a1＝a2（a1+a3）+a4（a3+a1）＝（a3+a1）（a2+a4）．（2）①当n＝4时，由（1）可知，命题成立；②假设当n＝k（k≥4）时，命题成立，即对于任意的k≥4，若x1，x2，…，x k均为非负实数，且x1+x2+…+x k＝2，则x1x2+x2x3+…+x k﹣1x k+x k x1≤1．则当n＝k+1时，设a1+a2+…+a k+a k+1＝2，并不妨设a k+1＝max{a1，a2，…，a k，a k+1}．令x1＝（a1+a2），x2＝a3，x k﹣1＝a k，x k＝a k+1，则x1+x2+…+x k＝2．由归纳假设，知x1x2+x2x3+…+x k﹣1x k+x k x1≤1．∵a1，a2，a3均为非负实数，且a k+1≥a1，∴x1x2+x k x1＝（a1+a2）a3+a k+1（a1+a2）＝a2a3+a k+1a1+a1a3+a k+1a2≥a1a2+a2a3+a k+1a1．∴1≥（x1x2+x k x1）+（x2x3+…+x k﹣1x k）≥（a1a2+a2a3+a k+1a1）+（a3a4+…+a k a k+1），即a1a2+a2a3+…+a k a k+1+a k+1a1≤1，也就是说，当n＝k+1时命题也成立．∴由①②可知，对于任意的n≥4，a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n+a n a1≤1．。
2018年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)含答案 精品
2018年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 设全集{2,1,0,1,2},{2,1,2}U A =--=-，则U A =ð ▲ .2． 复数z 满足1(1i)i z -=-，则复数z 的模z = ▲ .3. 在区间[1,3]-上随机地取一个数x ，则1x ≤的概率为 ▲ .4. 棱长均为2的正四棱锥的体积为 ▲ .5. 一组数据,1,,3,2a b 的平均数是1，方差为0.8，则22a b += ▲ .6.7. 若01,02x y ≤≤≤≤，且2y 4的最小值为 ▲ .8. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线是340x y -=，则该双曲线的离心率为▲ .9. 将函数sin 21y x =-的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为▲ .10. 三个正数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91，则这三个数的和为 ▲ . 11. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,)B b ，右焦点为F ，直线BF 与椭圆的另一交点为M ，且2BF FM =，则该椭圆的离心率为 ▲ . 12．已知函数()f x 是定义在()0+∞，上的单调函数，若对任意的()0x ∈+∞，，都有()()12f f x x-=，则()f x = ▲ ．13. 函数sin ([0,])y x x π=∈图像上两个点11(,)A x y ，2212(,)()B x y x x <满足//AB x 轴，点C 的坐标为(,0)π，则四边形OABC 的面积取最大值时，11tan x x += ▲ .14. 设集合{,222,xy t x y M a a t+==+=其中,,,x y t a 均为整数}，则集合M = ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在三角形ABC 中，AB =2，AC =1，1cos 3BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D .（1）求边BC 长及BDDC 的值；（2）求BA BC ⋅的值.16．（本小题满分14分）在正三棱柱'''ABC A B C -中，D 、E 、F 分别为棱,',BC A A AC 的中点. （1）求证：平面'AB D ⊥平面''BCC B ； （2）求证://EF 平面'AB D .17．（本小题满分14分）上海磁悬浮列车工程西起龙阳路地铁站，东至浦东国际机场，全线长35km.已知运行中磁悬浮列车每小时所需的能源费用（万元）和列车速度（km/h ）的立方成正比，当速度为100km/h 时，能源费用是每小时0.04万元，其余费用（与速度无关）是每小时5.12万元，已知最大速度不超过C （km/h ）（C 为常数， 0500C <≤）.（1）求列车运行全程所需的总费用y 与列车速度v 的函数关系，并求该函数的定义域； （2）当列车速度为多少时，运行全程所需的总费用最低？18．（本小题满分16分）已知定点(1,0)A -，圆C：22230x y x +--+=， （1）过点A 向圆C 引切线，求切线长；（2）过点A 作直线1l 交圆C 于,P Q ，且AP PQ =，求直线1l 的斜率k ；（3）定点,M N 在直线2:1l x =上，对于圆C 上任意一点R都满足RN =，试求,M N 两点的坐标.ADCB'C 'B 'A D CBA FE19．（本小题满分16分）设数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项的和， （1）若,15,m n a S 成等差数列，lg ,lg9,lg m n a S 也成等差数列（,m n 为整数），求,m n a S 和,m n 的值； （2）是否存在正整数m ，(2)n n ≥，使11lg(),lg(),lg()n n n S m S m S m -++++成等差数列？若存在，求出,m n 的所有可能值；若不存在，试说明理由.20．（本小题满分16分）已知函数()e ,()ln 1(1)x f x g x x x ==+≥， （1）求函数()(1)()(1)h x f x g x x =--≥的最小值； （2）已知1y x ≤<，求证：e 1ln ln x y x y -->-；（3）设2()(1)()H x x f x =-，在区间(1,)+∞内是否存在区间[,](1)a b a >，使函数()H x 在区间[,]a b 的值域也是[,]a b ？请给出结论，并说明理由.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修４－１：几何证明选讲） 如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，2,,CD DE AB =⊥垂足为E ，且:4:1,AE EB =求BC 的长．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵1011,0201A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（1）求矩阵AB ；（2）求矩阵AB 的逆矩阵.C ．（选修４－４：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点,M N的极坐标分别为)2π,圆C的参数方程22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩ (θ为参数).(1)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系.D ．（选修４－５：不等式选讲） 设x y 、均为正实数，且312121=+++y x ，求xy 的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，PA ⊥面ABCD ，点Q 在棱PA 上，且44PA PQ ==，2AB =，1CD =，AD ，2CDA BAD π∠=∠=，M N ，分别是PD PB、的中点．（1）求证：//MQ PCB 面；（2）求截面MCN 与底面ABCD 所成的锐二面角的大小.23．（本小题满分10分）在数列012n a a a a ，，，，，中，已知0121231,3,32(3)n n n n a a a a a a a n ---====--≥. （1）求34a a ，；（2）证明：12(2)n n a n ->≥.2018年高考模拟试卷(2) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. {1,0}-．2.． 3. 12．4. ．5. 10．6. 24．7. 5．8. 54． 9. cos 2y x =． 10. 13． 11.12. ．13. ()11f x x =+ .【解析】 因为在 (0,)+∞内单调 ，所以由1(())2f f x x-=可知，000000111()(0),(),()2,f x x x f x x f x x x x x -=>∴=+∴=+=解得011,() 1.x f x x==+从而14. {0,1,3,4}.【解析】 由222x y t +=得1221y x t x --+=>，则t x >，且指数均为整数，因此右边一定为偶数，则左边21y x -=即y x =，且1222t x -==即1t x =+. 22211x y x a t x x +===-++为整数，则1x +为2的约数，则3,2,0,1x =--，3,4,1,0a =.故M ={0，1，3，4}. 二、解答题15．（1）2224112cos 533BC AB AC AB AC A =+-⋅=-=BC ∴== ................4分 ,sin sin sin sin()BD AB DC AC αβαπβ==- ， 2,BD ABDC AC ∴==.............7分（直接用角平分线性质得到结果不扣分） （2）BA BC AB CB ⋅=⋅ 22()1221310.3AB CB AB AB AC AB AB AC ∴⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯= ............14分16. （1）因为三角形ABC 是正三角形，D 是边BC 的中点，所以.AD BC ⊥ ..2分 因为ABC-A 1B 1C 1为正三棱柱，所以'B B ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ， 所以'B B AD ⊥， .....4分又'B B BC B ⋂=，AD ∴⊥平面''BCC B ，AD ⊂平面ABC ，∴平面'AB D ⊥平面''BCC B .......7分（2）连结','A C A B ，'A B 交'AB 于O ，连OD ， 因为,E F 分别是',A A AC 的中点，所以//'EF A C . B'C'A D CAO FE由于O ，D 分别为',BC A B 的中点， 所以//'OD A C ，从而//EF OD 又OD ⊂平面',EF AB D ⊄平面',AB D//EF ∴平面'AB D . ..........14分17. （1）设列车每小时使用的能源费用为m ，由题意得3m kv =（k 为常数） 又100v =时，0.04m =，代入解得8410k -=⨯ 8235 5.12( 5.12)35(410)y m v v v-=+=⨯+ 列车运行全程所需的总费用y 与列车速度v 的函数关系为 82 5.1235(410)y v v-=⨯+，定义域为(0,]C ，其中0500C <≤. ............................6分 （2）82625.1212835(410) 1.4(10)y v v v v --=⨯+=+，令62128()10(0)f x x x x-=+>， 则636226222128210128210(400)(400400)()2100x x x x f x x x x x---⨯-⨯-++'=⨯-===，解得 400x =. 当0400x <<时，()0f x '<；当400x >时，()0f x '>；所以，当400C <，()f x 在(0,]C 上单调递减，所以列车速度为C （km/h ）时，运行全程所需的总费用最低；当400500C ≤≤，列车速度为400（km/h ）时，运行全程所需的总费用最低. ............14分 18. （1）设切线长为d，由题意，AC =C的标准方程为22(1)(1x y -+=，半径1r =，所以d A 向圆C..........................4分 （2）设11(,)P x y ，由AP PQ =知点P 是AQ 的中点，所以点Q 的坐标为11(21,2)x y +. 由于两点P ,Q 均在圆C 上，故221111230x y x +--+=， ①221111(21)(2)2(21))30x y x y ++-+-+=又，即22111102x y ++=， ②②—①得115202x -=，③由③得1154x y =-代入②整理得21128330y -+=，所以1y =，再由③得1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11114x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，k ∴=. ...............10分（2）设(1,),(1,b),M a N 11(,)R x y ，则2211(1)(1x y -+= ④ 又222222111113(1)()[(1)()]3RM RN x y a x y b =⇒-+-=-+-，即2221112(1)()3()x y b y a -=--- ， ⑤由④、⑤得2221112[1(]()3()y y b y a -=---，化简得221(62(34)0a b y b a --+-+= ， ⑥由于关于1y的方程⑥有无数组解，所以22620340a b b a ⎧--⎪⎨-+=⎪⎩，解得a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩0a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以满足条件的定点有两组M N或(1,0)M N . ................16分 19. （1）111(1)(1)22n a n n =+-⨯=+，2(1)111(3).224n n n S n n n -=⨯+⨯=+ .................................................................2分 据条件30m n a S +=，且lg lg 2lg9m n a S +=，3081m n m na S a S +=⎧⇒⎨⋅=⎩，所以,m n a S 是方程230810x x -+=的两根，解得327m n a S =⎧⎨=⎩①或273m na S =⎧⎨=⎩②. ............4分据①得2135293274m m n n n +⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩；据②得223331204n nn n +=⇒+-=，n N *∴=，故方程组②无解. 3,27,6,9.m n a S m n ∴==== .................6分（2）假设存在m 及正整数n ，使112lg()lg()lg()n n n S m S m S m -++=+++，211()()()n n n S m S m S m -+⇒+=++，2222111[(3)]{[(1)3(1)]}{[(1)3(1)]}444n n m n n m n n m ⇒++=-+-+⋅++++，2222(34)(42)(544)n n m n n m n n m ⇒++=++-+++，即22222222168(3)(n 3)168(n 31)(2)(54)m m n n n m m n n n n n ++++=+++++-++ 进一步化简得2344n n m ++=. .....................10分 当43(2,3,4,)n k k =-=⋅⋅⋅时，上述方程有解为2431m k k =-+；当42(1,2,3,)n k k =-=⋅⋅⋅时，上述方程变形为22821m k k =-+，方程无解； 当41(1,2,3,,)n k k =-=⋅⋅⋅时，上述方程变形为22821m k k =++，方程无解； 当4(1,2,3,)n k k ==⋅⋅⋅时，上述方程有解为2431m k k =++.综上，当43(2,3,4,)n k k =-=⋅⋅⋅时，上述方程有解为2431m k k =-+；当4(1,2,3,)n k k ==⋅⋅⋅时，上述方程有解为2431m k k =++. .................16分20. （1）1()ln 1x h x e x e =--，11'()x h x e e x =-，当1x ≥时，11x e e ≥，11x≤，'()0h x ∴≥，函数()h x 在[1,)+∞上是增函数，所以1x =时，函数()h x 的最小值为(1)0h =. .......................4分 （理科学生可直接使用复合函数的求导公式）（2）由（1）可知，当1x ≥时，1()ln 10x h x e x -=--≥， 1y x ≤<，(1)ln(1)10x y h x y e x y -∴-+=--+-≥，1ln(1)x y e x y -⇒-≥-+①， ...........................6分又(1)y ()ln(1)(ln ln )lnlnx y y x y yx y x y x x-+-+-+--==， ()(1)()0y x y y x y x y -+-=--≥()1y x y yx-+∴≥ ()ln0y x y yx-+∴≥，则ln(1)ln ln x y x y -+≥-② 由①②可知：1ln ln x y e x y --≥-.1y x ≤<，所以等号不可能取到，即1ln ln x y e x y -->-. .....................10分（3）由于2'()(1)x H x x e =-，当1x >时，假设存在区间[,]a b ，使函数()H x 在区间[,]a b 的值域也是[,]a b . 当1x >时，'()0H x >，所以函数()H x 在区间(1,)+∞上是增函数. .....................12分()()H a a H b b =⎧⎨=⎩所以，即22(1)(1)aba e ab e b⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，亦即方程2(1)x x e x -=有两个大于1的不等实根. .....................14分上述方程等价于2(1)(1)xxe x x -=>-，令2()(1)xx u x e x =--，31'()(1)xx u x e x +=+-，1,'()0x u x >>，()u x 在(1,)+∞上是增函数，所以()u x 在(1,)+∞上至多有一个零点，即()0u x =不可能有两个大于1的不等实根，故假设不成立， 从而不存在区间[,]a b 满足要求. .................16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A .由444AE EB AO OE EB OE EB OE EB =∴+=∴++=,23OE EB ∴=，即35,22OE EB OD EB ==，在RT OED ∆中,2DE EB =， 又在RT ODC ∆中，2DE OE EC =，所以得53BC EB =,在由2DC EC OE =，得1,EB =故53BC =B .（1）101111020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ...................5分（2）1110()()01AB AB AB AB E --⎡⎤⋅=⋅==⎢⎥⎣⎦，1112()102AB -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ..................10分 C. (1)由题意，点,M N的直角坐标分别为(20)(0，、,P 为线段MN 的中点，点P的直角坐标为(1，直线OP的直角坐标方程为y ； ..............5分(2)由题意知直线l的直角坐标方程为20x -=，圆心C 到直线l 的距离 |232|3222d +-==<，所以直线l 与圆C 相交. .................10分 D ．由312121=+++y x 可化为8xy x y =++,因为,x y 均为正实数所以88xy x y =++≥+x y =时等号成立）即80xy -≥4,即16xy ≥,故xy 的最小值为16.22. （1）以点A 为坐标原点，以{}AD AB AP 、、为一组正交基底建立空间直角坐标系.由题意可得(000)(020)0)0)(004)(003)02)(012).A B C D P Q M N ，，、，，、，、，、，，、，，、，、，，2(2,1,0),(0,2,4),(BC PB MQ ∴=-=-=-设平面的PBC 的法向量为()n x y z =，，，则(,,)1,0)00,(,,)(0,2,4)0240n BC x y z y n PB x y z y z ⎧⊥⇒⋅-=⇒-=⎪⎨⊥⇒⋅=⇒-=⎪⎩取(221)n=，，为平面PBC 的一个法向量， (01)1)0MQ n ⋅=-⋅=，，，.MQ n ∴⊥ 又MQ PCB ⊄面， 则//MQ PCB 面. .................5分 （2）设平面MCN 的法向量为1()n x y z =，，，2(,1,2),(2,0,2)CM CN =--=-,则11(,,)(1,2)020,(,,)(020n CM x y z y z n CN x y z z ⎧⊥⇒⋅-=⇒-+=⎪⎨⎪⊥⇒⋅=⇒+=⎩, 取1(211)n =，，为平面MCN 的一个法向量， 又(004)AP =，，为平面ABCD 的一个法向量，1111cos ,=2||||n AP n AP n AP ⋅=，所以截面MCN 与底面ABCD 所成的锐二面角的大小为3π. .....10分 23.（1）346,13.a a == ............3分 （2）由（1）及527a =猜想4n ≥时，12n n a a ->.（i ）当4,5n =时，上述不等式成立，即有43542,2a a a a >>， ............5分 （ii ）假设(4)n k k =≥时，1122,2k k k k a a a a --->>，则1n k =+时， 11212112322(2)2(2)(2)2.k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a +-------=--=+--=+-+->即1(4)n k k =+≥时，则12k k a a +>， 综上，4n ≥时，12n n a a ->. 则2331123222262n n n n n n a a a a ----->>>>=>,即12(4)n n a n ->≥，又2131233262a a --=>=>，，所以12(2)n n a n ->≥. ............10分。
2018届江苏六市高三数学二模试卷扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁
2018 届高三第二次调研测试（扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁）数学学科一、填空题：本大题共 14 小题，每 小题 5 分，共计 70 分．1． 已知会集 U1，0 ，1，2 ，3 ，A1，0 ，2 ，则 e U A▲ ．2． 已知复数 z 1 ai ，z 2 3 4 i ，此中 i 为虚数单位．若z 1为纯虚数，则实数 a 的值为 ▲．z 2 3． 某班 40 名学生参加普法知识比赛，成绩都在区间40 ，100 上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60 分的人数为▲．开始S ←1i ←1i ← i1S ←S × 5i < 4YN40 5060 7080 90 100 成绩 /分输出 S（第 3 题）4． 如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为 ▲ ．结 束（第4题）5． 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C ，以线段 AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm 2 的概率为▲ ．6． 在 △ ABC 中，已知 AB 1 ，AC 2，B 45 ，则 BC 的长为▲ ．7． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线C 与双曲线 x 2y 21 有公共的渐近线，且经过3点 P 2 ， 3 ，则双曲线 C 的焦距为 ▲．8． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过点 A(1，2)，B(5，1)，则 tan() 的值为▲ ．9． 设等比数列a n 的前 n 项和为 S n ．若 S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列，且 a 83 ，则 a 5 的值为▲．10． 已知 a ，b ，c 均为正数，且 abc 4( ab ) ，则 a bc 的最小值为▲．x ≤ 3 ，11． 在平面直角坐标系 xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组x 3 y 3≥ 0 ，表示的平面x3 y 3 ≥ 0地域内，则面积最大的为▲ ．e x 1 ，x0 ，3 个不一样的零点，12．设函数 f (x)2（此中 e 为自然对数的底数）有x33mx 2 ，x ≤ 0则实数 m 的取值范围是▲ ．13．在平面四边形 ABCD 中，已知 AB1，BC 4 ，CD 2 ，DAuuur uuur3 ，则 AC BD 的值为▲ ．14．已知a为常数，函数 f ( x)x的最小值为2，则a 的全部值为▲ ．3a x21x2二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．15．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量 a cos，sin， b sin， cos，c1，3．22（1）若 a b c ，求 sin () 的值；（2）设5πa //b c6， 0π，且，求的值．16．（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱 ABC A 1B1C1中， AB AC，点 E，F于端点），且∠ ABE∠ ACF ，AE⊥ BB1， AF⊥CC1．求证：（ 1）平面 AEF ⊥平面 BB1C1C；（ 2）BC // 平面 AEF．A1分别在棱BB 1， CC1上（均异A CBFEC1B1（第 16 题）17．（本小题满分14 分）xOy 中， B12y2如图，在平面直角坐标系2是椭圆x1( a b 0 ) 的短轴端点， P 是，B a2b2椭圆上异于点 B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为 y x 3 时，线段 PB1的长为4 2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点 Q 满足：QB1PB1， QB212 1 2PB2．求证：△PB B与△ QB B 的面积之比为定值．yB1QO xPB2（第 17 题）18．（本小题满分 16 分）100 dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿将一铁块高温消融后制成一张厚度忽视不计、面积为虚线 l 1，l 2裁剪成 A，B， C 三个矩形（ B， C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以 l1为母线，将A作为圆柱的侧面张开图，并从B， C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以 l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面张开图，并从B，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与l1或l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设 B， C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（ 2）设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？lB 1Al 2C （第 18 题）19．（本小题满分 16 分）设等比数列 a 1 2 34123 4的公差为 d ，且 q1，d 0 ．，a ，a，a 的公比为 q ，等差数列b ，b ，b ，b 记c i a i b i （ i 1， 2， 3， 4）．（ 1）求证：数列 c 1 ，c 2 ，c 3 不是等差数列；（ 2）设 a 1 1 ，q 2 ．若数列 c 1 ，c 2 ，c 3 是等比数列，求 b 2 关于 d 的函数关系式及其定义域；（ 3）数列 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 能否为等比数列？并说明原由．20．（本小题满分 16 分）设函数 f ( x ) x asin x ( a0 ) ．（1）若函数 yf ( x ) 是 R 上的单调增函数，务实数 a 的取值范围；（2）设 a 1，g ( x ) f ( x ) b ln x1 ( b R ，b 0 ) ， g ( x ) 是 g ( x ) 的导函数．2 x 0 ， 使 g( x 0 )① 若对任意的 x 0 ，g ( x ) 0 ，求证：存在 0 ；② 若 g( x 1 ) g( x 2 ) ( x 1 x 2 )，求证： x 1 x 2 4b 2 ．数学 Ⅱ（附带题）21．【选做题】 本题包含 A 、B 、C 、D 四小题， 请选定此中两题， 并在相应的答题地域内作答 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．A ．[ 选修 4 1：几何证明选讲 ] （本小题满分 10 分）-如图， A ，B ， C 是⊙ O 上的 3 个不一样的点，半径 OA 交弦 BC 于点 D ． 求证： DB DC OD 2OA 2 ．BAEODC（第 21—A 题）B ． [ 修 4- 2：矩与 ] （本小分 10 分）在平面直角坐系xOy 中，已知 A( 0 ，0 ) ，B( 3 ，0 ) ，C ( 2 ，2 ) ． T1， T2的矩分1020M N，求△ ABC 挨次施12后所得形的面．0021C ．[ 修 4- 4：坐系与参数方程] （本小分10 分）在极坐系中，求以点 P 2 ，心且与直l ：sin 2 相切的的极坐33方程．D ．[ 修 4- 5：不等式 ] （本小分10 分）【必做】第22、 23，每小10 分，共20 分．在答卡指定地域内作答，解答．．．．．．．写出文字明、明程或演算步．22．（本小分10 分）在某公司行的年典活中，主持人利用随机抽件行抽：由随机生成一如所示的 3 3 表格，此中 1 格 300 元， 4 格各 200 元，其他 4 格各 100 元，点某一格即示相金．某人在一表中随机不重复地点 3 格，中的金X 元．（1）求概率P X 600；（2）求 X 的概率分布及数学希望 E X．（第 22 题）23．（本小分10 分）n已知 (1 x ) 2n 1a0 a1 x a2 x2⋯a2 n 1 x2 n 1， n N *． T n( 2k 1) a n k．k0（1）求 T2的；（2）化 T n的表达式，并明：任意的n N *， T n都能被 4n 2 整除．2018 届高三第二次调研测试数学学科参照答案及评分建议一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70 分．1．已知会集 U1，0 ，1，2 ，3 ，A1，0 ，2，则 e U A▲ ．【答案】1，32．已知复数 z1a i ，z23 4 i ，此中i为虚数单位．若z1为纯虚数，则实数 a 的值为▲．z2【答案】433．某班 40 名学生参加普法知识比赛，成绩都在区间40 ，100上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60 分的人数为▲．开始【答案】 30S←1i ←1i← i1S←S× 5i < 4YN4050607080 90 100成绩 /分输出 S（第 3题）4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲．【答案】 125结束（第4题）5．在长为 12 cm 的线段AB 上任取一点 C，以线段 AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm2的概率为▲ ．1【答案】36．在△ ABC 中，已知 AB 1 ，AC 2 ，B45，则 BC 的长为▲．【答案】26227．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线 C 与双曲线2y1有公共的渐近线，且经过x3点 P 2 ， 3，则双曲线 C 的焦距为▲．【答案】 4 38．在平面直角坐标系xOy 中，已知角，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则 tan() 的值为▲．【答案】9 79．设等比数列a n的前 n 项和为 S n．若 S3，S9，S6成等差数列，且a8 3 ，则 a5的值为▲ ．【答案】610．已知 a ，b ，c 均正数，且 abc4( a b ) ， a b c 的最小▲．【答案】 8x≤ 3 ，11．在平面直角坐系xOy 中，若 C 上的点都在不等式x 3 y3≥ 0 ，表示的平面x 3 y 3 ≥ 0地域内，面最大的▲．【答案】( x2241)yx1，，e x（此中 e 自然数的底数）有12．函数 f (x)2 3 个不一样的零点，x33mx 2 ，x ≤ 0数 m 的取范是▲．【答案】 1 ，uuur uuur13．在平面四形 ABCD 中，已知 AB1，BC 4 ，CD 2 ，DA3， AC BD 的▲ ．【答案】 1014．已知a常数，函数 f ( x)ax1的最小2， a 的全部▲ ．x2x23【答案】 4 ，14填空要求：第 6 ：答案写成 2+ 3 ，复合根式也算正确。
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江苏省南通等六市2018届高三第二次调研（3月二
模）数学-有答案
做题破万卷，下笔如有神
2018届高三模拟考试试卷(十三)
数学
(满分160分，考试时间120分钟)
2018．3
参考公式：
柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合U＝{－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，2}，则?UA＝________．
z12. 已知复数z1＝a＋i，z2＝3－4i，其中i为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为
z2
________．
3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．(第4题)
(第3题)
4. 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为________．
5. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为________．
6. 在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，B＝45°，则BC的长为________．
y22
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x－＝1有公共的渐近线，且经
3
过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为________．
8. 在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．天才出于勤奋
做题破万卷，下笔如有神
9. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________．10. 已知a，b，c均为正数，且abc ＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为________．
x≤3，
?
11. 在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组?x －
?x＋
3y＋3≥0，表示的平面区3y＋3≥0
域内，则面积最大的圆C的标准方程为______________．
1??e－x－2，x＞0，
12. 设函数f(x)＝?(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m
3??x－3mx－2，x≤0
的取值范围是________．
→→
13. 在平面四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝4，CD＝2，DA ＝3，则AC・BD的值为________．
x2
14. 已知a为常数，函数f(x)＝的最小值为－，则a的所有值为________．
3a－x2－1－x2二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)
13
在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝(－，)．
22
(1) 若|a＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；
5π
(2) 设α＝，0＜β＜π，且a∥(b＋c)，求β的值．
6
16. (本小题满分14分) 如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC，点E，F分别在棱BB1，CC1上(均异于端点)，且
∠ABE＝∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1.求证：
(1) 平面AEF⊥平面BB1C1C；(2) BC∥平面AEF.
17. (本小题满分14分)
x2y2
如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆2＋2＝1(a＞b ＞0)的短轴端点，P是椭圆上异
ab
天才出于勤奋
做题破万卷，下笔如有神
于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y＝x＋3时，线段PB1的长为42. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2.求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．天才出于勤奋。