信号与系统2-3

卷积的微分与积分性质
微分性质： 微分性质：f ′(t) = f1(t)∗ f2′(t) = f1′(t)∗ f2 (t) 积分性质： 积分性质：f (−1) (t) = f1(t) ∗ f2(−1) (t) = f1(−1) (t) ∗ f2 (t) ′ f 微积分性质： 微积分性质： (t) = f1(−1) (t) ∗ f2 (t) = f1′(t) ∗ f2(−1) (t)
例 2.14
与冲激函数的卷积
f (t)
δ(t −t1)
*
0
=
−t1
t
0
t1
t
−t1
0
t1
t
δ(t +t1)
f (t)
δT (t)
*
0
长江大学电信学院
⋯ ⋯
−T
⋯ =⋯ ⋯ ⋯
0
⋯ ⋯
T 2T
8
t
T
2T
第二章第3讲
t
−T 0
t
Signals And systems
2.6 线性系统的时域求解
y(t)=H(p)f(t)
长江大学电信学院
第二章第3讲
1
Signals And systems
卷积的解析计算
门函数的表示
ε(t)ε(1−t)
1
ε(t +1)ε(3−t)
1
ε(τ −1)ε(t −τ +3)
1
0
1
t
−1
0
3
t
0
1
t +3
τ
f (t) = x(.)ε(t −1 ) h(t) = w ε(t +3) (.)
f (τ) = x(.)ε(τ −1 )
h1(t) h1(t)∗ h2(t) ∗ h1(t) h2(t)
h(t)
yzs (t) = h(t)∗ f (t)
y(t)
子系统串联： 子系统串联： f (t) 等效于： 等效于：
f (t)
y(t)
yzs (t) = h (t)∗h2(t)∗ f (t) 1
y(t) h(t) = h (t)∗h2(t) 1
与阶跃函数的卷积
τ 即：f (t)∗ε(t) = ∫−∞ f ( )dτ 利用卷积积分的性质来计算卷积积分， 利用卷积积分的性质来计算卷积积分， 可使卷积积分的计算大大简化， 可使卷积积分的计算大大简化， 下面举例说明。 下面举例说明。
t
长江大学电信学院
第二章第3讲
5
Signals And systems
−t
=[e
−t
=2e
(
∫
t
0
e dτ]ε(t) −[e
0.5 τ
−0.5t
−e ε(t) −2 e
−t
)
(
∫
t
2
e0.5τ dτ]ε(t −2)
−0.5t
−e
−(t− ) 1
)ε(t −2)
3
长江大学电信学院
第二章第3讲
Signals And systems
卷积积分的性质
卷积的代数性质
交换律： 交换律：ƒ1(t)∗ƒ2(t)=ƒ2(t)∗ƒ1(t) ∗ ∗ 分配律： 分配律：ƒ1(t)∗[ƒ2(t)+ƒ3(t)]=ƒ1(t)∗ƒ2(t)+ƒ1(t)∗ƒ3(t) ∗ ∗ ∗ 结合律： 结合律：[ƒ1(t)∗ƒ2(t)]∗ƒ3(t)=ƒ1(t)∗[ƒ2(t)∗ƒ3(t)] ∗ ∗ ∗ ∗
h(t −τ) = w ε(t −τ +3) (.)
t+3 1
∫
∞
−∞
(.)ε(τ −1 ε(t −τ +3)dτ =[∫ )
第二章第3讲
(.)dτ] (t +2) ε
= (积 结 )ε(t +2) 分 果
长江大学电信学院
2
Signals And systems
例 2.12
线性非时变系统的输入信号f(t)和冲激响应 线性非时变系统的输入信号 和冲激响应h(t)由下 和冲激响应 由下 列各式给出，试求系统的零状态响应。 列各式给出，试求系统的零状态响应。
yzs (t) = h (t)∗ f (t) +h2(t)∗ f (t) 1
Σ
子系统并联： 子系统并联： f (t) h2(t) 等效于： 等效于：
长江大学电信学院
y(t)
h(t) = h (t) +h (t) 1 2
f (t)
h1(t)+ h2(t)
第二章第3讲
y(t)
12
Signals And systems
∴ yzs (t) = g(t) −2g(t −2) + g(t −3)
1
0 −1
1 2
3
t
= (2e−2t −1 ε(t) −2 2e−2(t−2) −1ε(t −2) +[2e−2(t−3) −1ε(t −3) ) [ ] ]
y 解二：利用卷积性质： 解二：利用卷积性质： zs (t) = h(t)∗ f (t) = g′(t)∗ f (t) = g(t)∗ f ′(t) ∵ f ′(t) =δ(t) −2δ(t −2) +δ(t −3) ∴ yzs (t) = g(t)∗δ(t) −2g(t)∗δ(t −2) + g(t)∗δ(t −3)
Signals And systems
几条结论
f (t) = f1(t) ∗ f2 (t)
f(t)的开始时间等于 1(t)和f2(t)的开始时间之和； f(t)的结束 的开始时间等于f 和 的开始时间之和； 的开始时间等于 的开始时间之和 的结束 时间等于f 和 的结束时间之和。 时间等于 1(t)和f2(t)的结束时间之和。 f(t)的持续时间等于 的结束时间之和 的持续时间等于 f1(t)和f2(t)的持续时间之和。 的持续时间之和。 和 的持续时间之和 两个宽度不同的矩形波其卷积波形为梯形波。梯形波平顶 两个宽度不同的矩形波其卷积波形为梯形波。 宽度为两矩形波宽度之差， 宽度为两矩形波宽度之差，梯形波的高度为宽度小的矩形 波面积乘以宽度大的矩形波的高度。 波面积乘以宽度大的矩形波的高度。 两个宽度相同的矩形波其卷积波形为三角波。 两个宽度相同的矩形波其卷积波形为三角波。三角波的高 度为一个矩形波面积乘以另一矩形波的高度。 度为一个矩形波面积乘以另一矩形波的高度。 卷积积分的变量为τ 的函数是关于τ 的常数， 卷积积分的变量为τ，t 的函数是关于τ 的常数，可以被提 出到卷积积分之外。 出到卷积积分之外。
卷积积分的性质
时移性质
若ƒ1(t)∗ƒ2(t)=ƒ(t)，则有ƒ1(t-t1)∗ƒ2(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)， ∗ ， ∗ ，
含有冲激函数的卷积
ƒ(t)=ƒ(t)∗δ ， ƒ(t-t0)=ƒ(t)∗δ 0)， ∗δ(t)， ∗δ(t-t ， ∗δ ∗δ ƒ(t)∗δ ∗δ'(t)=ƒ'(t), ƒ(t)∗δ ∗δ''(t)=ƒ"(t), … ∗δ ∗δ
长江大学电信学院
第二章第3讲
13
Signals And systems
系统的模拟图表示
f (t) df (t) dt f (t) pf (t)
f1(t)
基本模拟单元： 基本模拟单元： 积分器： 积分器：
∫
∫
t
−∞
f (τ)dτ
f (t)
∫
p−1 f (t)
f (t)
Σ
f1(t) + f2(t)
加法器： 加法器：
f2(t)
数乘器： 数乘器：
长江大学电信学院
f (t)
k
第二章第3讲
kf (t)
14
Signals And systems
例 2.18
如图所示系统，求出系统的微分方程。 如图所示系统，求出系统的微分方程。
3
f (t)
Σ
p2x
∫
−2
px ∫
x
2
Σ
y(t)
−1
f (t) 解： p x = f (t) −2px − x ∴x = 2 p +2p+1 3p+2 y(t) = 2x +3px = (3p+2)x = 2 f (t) p +2p+1 微分方程为： ′ 微分方程为： y′ (t) +2y′(t) + y(t) = 3f ′(t) +2 f (t)
∑
hb (t)
y(t)
y(t) = h(t) = h (t)∗[ha(t)∗δ(t) +δ(t) +ha (t)∗ha(t)∗δ(t)] b = hb (t) ∗[ha (t) +δ(t) + ha (t) ∗ha (t)] = hb (t) ∗[δ(t) +δ(t −1 +δ(t −2)] ) = ε(t) −ε(t −3) +ε(t −1 −ε(t −4) +ε(t − 2) −ε(t −5) )
t
(1) 2
0
3
1
2
t
长江大学电信学院
第二章第3讲
6
Signals And systems
例 2.14
f (t)
与冲激函数的卷积
f (t)
*
0
δ(t)
=
t
f (t)
0
t
0
t
δ(t −t1)
f (t)∗δ(t −t1)
*
0
=
0
t
t1
t
0
t1
t
长江大学电信学院
第二章第3讲
7
Signals And systems
线性系统为
Kn N( p) N( p) K1 K2 = = + +⋯ + 其中 H( p) = D( p) ( p−λ )( p−λ2)⋯ p−λn ) p−λ p−λ2 ( p−λn 1 1
=∑ j= p −λj 1
n
Kj
n
零输入响应 零状态响应 全响应
yzi (t) = ∑ je j ε(t) C
f (t) = e−0.5t [ε(t) −ε(t −2)]
解 yzs (t) = f (t)∗h(t)=
h(t) = e−tε(t)
∞
∫
∞
百度文库
−∞
e−0.5τ [ε(τ) −ε(τ −2)]e−(t−τ )ε(t −τ)dτ
=∫ e
−∞
∞
−0.5 −(t− ) τ τ
e
ε(τ)ε(t −τ)dτ −∫−∞e−0.5τ e−(t−τ )ε(τ −2)ε(t −τ)dτ
例 2.13
计算。 利用卷积的微积分性质 f (t) = f1(−1) (t)∗ f2′(t) = f1′(t) ∗ f2(−1) (t) 计算。
f1(t)
f2(t)
1 2
1
0
f1 (t)
(−1)
1
t
0
1
2
3
t
1 2
f (t) = f1(−1) (t)∗ f2′(t)
′ f2(t)
1
0
0
1
2
3
4
t
1
第二章第3讲
长江大学电信学院
10
Signals And systems
例 2.16
) 已知某线性系统单位阶跃响应为 g(t) = (2e−2t −1 ε(t) ,试利用卷 试利用卷 e(t) 积的性质求如图信号激励下的零状态响应。 积的性质求如图信号激励下的零状态响应。
解一：利用非时变特性： 解一：利用非时变特性： f (t) =ε(t) −2ε(t −2) +ε(t −3)
yzi (t) =Ce−t +C2e−2t 1
−1
t ≥0
C 1 1 1 2 1 1 4 1 C = −1 −2 2 = −1 −1 2 = −3 2
∴ yzi (t) = 4e−t −3e−2t
t −τ t
t ≥0
t ≥0
1 1 −2t −2τ −t 零状态响应： 零状态响应： yzs (t) = h(t)∗e(t) = ∫ 2e dτ −∫ e dτ = 2−2e − + e 0 0 2 2
5 −2t 3 −t ∴ y(t) = yzi (t) + yzs (t) = +2e − e ε(t) 2 2
= g(t) −2g(t −2) + g(t −3) = (2e−2t −1 ε(t) −2 2e−2(t−2) −1ε(t −2) +[2e−2(t−3) −1ε(t −3) ) [ ] ]
长江大学电信学院
第二章第3讲
11
Signals And systems
系统的方框图表示
H(p)
f (t)
y(t) f (t)
例 2.17
hb (t) = ε(t) −ε(t −3) 试求系统的冲激响应。 试求系统的冲激响应。
解：冲激响应为
如图所示系统，它由几个子系统组成。 如图所示系统，它由几个子系统组成。各子系统的冲激响应分 别为： 别为：ha (t) =δ(t −1 ， )
ha (t)
f (t)
h (t) a ha (t)
t
应用(1),(3)两个性质的条件是 ∫ f1′( )dτ = f1(t) 必须成立 两个性质的条件是 应用 τ −∞
lim 即必须有； 否则不能应用。 即必须有； −∞ f1(t) = f1(−∞) = 0 否则不能应用。 t→
第二章第3讲
长江大学电信学院
4
Signals And systems
1 j=
λt
yzs (t) = h(t)∗ f (t)
y(t) = yzi (t) + yzs (t) =∑ je j ε(t) +h(t)∗ f (t) C
j= 1 n
λt
长江大学电信学院
第二章第3讲
9
Signals And systems
例 2.15
p +3 , 已知 p2 +3p + 2
系统的转移算子为 H( p) = 试求全响应。 试求全响应。
f (t) =ε(t), y(0−) =1 y′(0−) =2 ， ,
解：将转移算子按部分分式展开有： H( p) = 将转移算子按部分分式展开有： 冲激响应为 零输入响应： 零输入响应：
p +3 2 1 = − ( p +1 p + 2) p +1 p + 2 )(
h(t) = (2e−t −e−2t )ε(t)