锐角三角函数的实际应用

锐角三角函数的实际应用
１ ．（ ２ ０ １ ５南充） 如图， 一艘海轮位于灯塔 Ｐ的北偏东 ５ ５ ʎ 方向， 距离灯塔 ２海里 的点 Ａ处 ． 如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向， 海 Ｂ长是 轮航行的距离 Ａ Ａ ． ２海里 Ｂ ． ２ ｓ ｉ ｎ ５ ５ ʎ 海里 Ｃ ． ２ ｃ ｏ ｓ ５ ５ ʎ海里 Ｄ ． ２ ｔ ａ ｎ ５ ５ ʎ海里 Ｃ ㊀【 解析】 根据题意得 ∠Ａ＝ ５ ５ ʎ ， Ａ Ｐ＝ ２ ， 在Ｒ ｔ Ｐ Ｂ中， △Ａ Ａ Ｂ ｏ ｓ 可得 Ａ Ｂ＝Ｐ Ａ ·ｃ ｏ ｓ 根据三角函数定义 ｃ ∠Ａ＝ ， ∠Ａ＝ Ｐ Ａ ʎ 海里 ． ２ ｃ ｏ ｓ ５ ５ 第 １题解图 ２ ．（ ２ ０ １ ５济宁） 如图， 斜面 Ａ Ｃ的坡度（ Ｃ Ｄ与 Ａ Ｄ的比） 为１ ʒ ２ ， Ａ Ｃ＝ ３ ５米， 坡面 槡 有旗杆 Ｂ Ｃ ， 旗杆顶端 Ｂ点与 Ａ点有一条彩带相连， 若Ａ Ｂ＝ １ ０ 米， 则旗杆 Ｂ Ｃ的高度为 Ａ ． ５米 Ｂ ． ６米 Ｃ ． ８米 Ｄ ．（ ３＋ ５ ） 米 槡 Ａ ㊀【 解析】 本题考查锐角三角函数的实际应用— — —坡度． ȵ Ｃ Ｄ １ ＝ ， 设Ｃ Ｄ＝ Ａ Ｄ ２ 第 ２题图 （ ㊀㊀ ） 第 １题图 （ ㊀㊀）
２ ２ ２ ２ ｋ ， 则Ａ Ｄ＝ ２ ｋ ， ʑ在 Ｒ ｔ Ｃ Ｄ中， 由 勾股定理 可 知 Ａ Ｃ ＝Ｃ Ｄ ＋Ａ Ｄ ， 即ｋ ＋ △Ａ ２ ２ （ ２ ｋ ） ＝（ ３槡 ５ ） ， ʑ ｋ＝３ ． 则Ｃ Ｄ ＝３米， Ａ Ｄ ＝６米． 在 Ｒ ｔ ２ ２ Ｂ Ｄ中， Ａ Ｄ ＝６米， Ａ Ｂ＝１ ０米， ʑＢ Ｄ＝ 槡 Ａ Ｂ － Ａ Ｄ ＝８ △Ａ
在Ｒ ｔ Ｍ Ｎ中， Ａ Ｍ＝ １ ０ ２ 米， Ａ Ｎ＝ ４ ５ ʎ ， （ １分） △Ａ ∠Ｍ 槡 Ｍ Ｎ 由ｓ ｉ ｎ Ａ Ｎ＝ ， 得 ∠Ｍ Ａ Ｍ ２ Ｍ Ｎ 槡 ＝ ， （ ２分） ２ １ ０ ２ 槡 解得 Ｍ Ｎ＝ １ ０ （ 米） ． （ ３分） ʑ 测速点 Ｍ 到该公路的距离为 １ ０米． ４分） （ （ ２ ） 【 思路分析】 结合（ １ ） ， 在Ｒ ｔ Ｂ Ｎ中， 求出 Ｂ Ｎ的值， 即可求出 Ａ Ｂ的长， △Ｍ 根据 Ａ Ｂ长及从 Ａ到 Ｂ所用时间求出汽车实际速度， 与限速进行比较即可得 到答案 ． 解： 由（ １ ） 知Ａ Ｎ＝ Ｍ Ｎ＝ １ ０米，
第 ６题图
３
解： 如解图， 作Ｂ Ｅ Ｄ于点 Ｅ ， 则Ｃ Ｅ＝ Ａ Ｂ＝ １ ２ ． ⊥Ｃ Ｃ Ｅ １ ２ 在Ｒ ｔ Ｃ Ｅ中， Ｂ Ｅ＝ ＝ ＝ １ ２ ３ ． △Ｂ 槡 ｔ ａ ｎ Ｂ Ｅ ｔ ʎ ａ ｎ ３ ０ ∠Ｃ ３分） （ 在Ｒ ｔ Ｄ Ｅ中， ȵ∠Ｄ Ｂ Ｅ＝ ４ ５ ʎ ， Ｅ Ｂ＝ ９ ０ ʎ ， △Ｂ ∠Ｄ ʑ∠Ｂ Ｄ Ｅ＝ ４ ５ ʎ ， ʑＤ Ｅ＝Ｂ Ｅ ·ｔ ａ ｎ Ｂ Ｅ＝ １ ２ ３ ·ｔ ａ ｎ ４ ５ ʎ ＝ ∠Ｄ 槡 １ ２ ３ ． （ ６分） 槡 ʑＣ Ｄ＝ Ｃ Ｅ＋ Ｄ Ｅ＝ １ ２＋ １ ２ ３ ２ ． ４ ， ≈３ 槡 ʑ 楼房 Ｃ Ｄ的高度约为 ３ ２ ． ４米． （ ８分） ７ ．（ ２ ０ １ ５贺州 ８分） 根据道路管理规定， 在贺州某段笔直公路上行驶的车辆， 限 速４ ０千米 ／ 时， 已知交警测速点 Ｍ 到该公路 Ａ点的距离为 １ ０ ２ 米， Ａ Ｂ＝ ∠Ｍ 槡 ４ ５ ʎ ， Ｂ Ａ＝ ３ ０ ʎ （ 如图所示） ， 现有一辆汽车由 Ａ ∠Ｍ 往 Ｂ方向匀速行驶， 测得此车从 Ａ点行驶到 Ｂ点 所用的时间为 ３秒． （ １ ） 求测速点 Ｍ 到该公路的距离； （ ２ ） 通过计算判断此车是否超速． （ 参考数据： ２ ． ４ １ ， ３ ． ７ ３ ， ５ ． ２ ４ ） ． ≈１ ≈１ ≈２ 槡 槡 槡 （ １ ） 【 思路分析】 如解图， 过点 Ｍ 作 Ｍ Ｎ Ｂ于点 ⊥Ａ Ｎ ， 在Ｒ ｔ Ｍ Ｎ中， 根据已知条件可求出 Ｍ Ｎ的 △Ａ 长， 即可求得测速点 Ｍ 到该公路的距离． 解： 如解图， 过点 Ｍ 作 Ｍ Ｎ Ｂ于点 Ｎ ， ⊥Ａ 第 ７题解图 第 ７题图 第 ６题解图
第 ８题解图
２ ２ ２ ２ ʑ 由勾股定理得 Ｐ Ｈ＝槡 Ｐ Ａ － Ａ Ｈ ＝槡 ３ ９ － １ ５ ＝ ３ ６ （ 米） ． （ ３分）
解： 如解图， 过点 Ｐ作 Ｐ Ａ Ｎ于点 Ａ ， 由题意得 ⊥Ｍ Ｍ Ａ＝９ ０ ʎ－４ ５ ʎ＝４ ５ ʎ ， Ｎ Ａ＝９ ０ ʎ－６ ０ ʎ＝ ∠Ｐ ∠Ｐ ３ ０ ʎ ． Ｐ Ａ ʑＰ Ａ＝ Ｍ Ａ ， Ａ Ｎ＝ ＝３ Ｐ Ａ ． ３分） （ ｔ ａ ｎ ３ ０ ʎ 槡 第 ４题解图
（ 米） ． ʑＢ Ｃ＝ Ｂ Ｄ－ Ｃ Ｄ＝ ８－ ３＝ ５ ． 【 解题突破】 对于以坡度为背景的锐角三角函数实际应用 第 ２题解图 题， 坡面的铅直高度 ｈ 和水平宽度 ｌ 的比叫坡度（ 坡比） ， 用字母 ｉ 表示， 坡面
１
ｈ 与水平线的夹角 α叫坡角， ｉ ＝ ｔ ａ ｎ 如解图） ． α＝ （ ｌ ３ ．（ ２ ０ １ ５邵阳） 如图， 某登山运动员从营地 Ａ沿坡角为 ３ ０ ʎ 的斜坡 Ａ Ｂ到达山顶 Ｂ ， 如果 Ａ Ｂ＝ ２ ０ ０ ０米， 则他实际上升了㊀㊀㊀㊀米 ．
设Ｐ Ａ＝ ｘ ， 则Ｍ Ａ＝ ｘ ， Ｎ Ａ＝ ３ ｘ ， 则ｘ ＋ ３ ｘ ＝ ２ ， ５分） （ 槡 槡 解得 ｘ ＝ ３－ １ ． ７ ３－ １＝ ０ ． ７ ３ ， ≈１ 槡 ȵ０ ． ７ ３＞ ０ ． ６ ， （ ８分） ʑ 这个小区的居民不需要搬迁． （ ９分）
２
５ ．（ ２ ０ １ ５绍兴 ８分） 如图， 从地面上的点 Ａ看一山坡上 的电线杆 Ｐ Ｑ ， 测得杆顶端点 Ｐ的仰角是 ４ ５ ʎ ， 向前走 ６ｍ到达 Ｂ点， 测得杆顶端点 Ｐ和杆底端点 Ｑ的仰角 分别是 ６ ０ ʎ 和３ ０ ʎ ． （ １ ） 求∠Ｂ Ｐ Ｑ的度数； （ ２ ） 求该电线杆 Ｐ Ｑ的高度（ 结果精确到 １ｍ ） ． （ 备用数据： ３ ． ７ ， ２ ． ４ ． ） ≈１ ≈１ 槡 槡 解： （ １ ） 如解图， 延长 Ｐ Ｑ交直线 Ａ Ｂ于点 Ｃ ， 由题意可得： Ａ Ｂ＝ ４ ５ ʎ ， Ｂ Ｃ＝ ６ ０ ʎ ， Ｂ Ｃ＝ ３ ０ ʎ ， Ａ Ｂ＝ ６ｍ ． ∠Ｐ ∠Ｐ ∠Ｑ ʑ∠Ｂ Ｐ Ｑ＝ ９ ０ ʎ － Ｂ Ｃ＝ ９ ０ ʎ － ６ ０ ʎ ＝ ３ ０ ʎ ． （ ２分） ∠Ｐ （ ２ ） 如解图， 设Ｐ Ｑ＝ ｘ ， ȵ∠Ｐ Ｂ Ｑ＝∠Ｐ Ｂ Ｃ－∠ Ｑ Ｂ Ｃ＝６ ０ ʎ －３ ０ ʎ ＝３ ０ ʎ ， Ｐ Ｑ＝ ∠Ｂ ９ ０ ʎ － Ｂ Ｃ＝ ３ ０ ʎ ， ∠Ｐ ʑ∠Ｐ Ｂ Ｑ＝ Ｐ Ｑ ， ∠Ｂ ʑＱ Ｂ＝ Ｑ Ｐ＝ ｘ ， （ ４分） ３ １ 槡 在Ｒ ｔ Ｃ Ｑ中， Ｂ Ｃ＝ Ｑ Ｂ ·ｃ ｏ ｓ ３ ０ ʎ ＝ ｘ ， Ｑ Ｃ＝ Ｑ Ｂ ·ｓ ｉ ｎ ３ ０ ʎ ＝ ｘ ， △Ｂ ２ ２ ｔ Ｃ Ｐ中， ȵ∠Ｐ Ａ Ｃ＝ ４ ５ ʎ ， ʑ∠Ａ Ｐ Ｃ＝ ９ ０ ʎ － Ａ Ｃ＝ ４ ５ ʎ ， 在Ｒ △Ａ ∠Ｐ ʑＣ Ａ＝ Ｃ Ｐ ， （ ６分） ３ １ ３ １ 槡 槡 ȵＣ Ａ＝ Ａ Ｂ＋ Ｂ Ｃ＝ ６＋ ｘ ， Ｃ Ｐ＝ Ｃ Ｑ＋ Ｑ Ｐ＝ ｘ ＋ ｘ ， ʑ６＋ ｘ ＝ ｘ ＋ ｘ ， ２ ２ ２ ２ 解得 ｘ ＝ ２ ３＋ ６ ， 槡 ʑＰ Ｑ＝ ２ ３＋ ６ ｍ ） ， 即该电线杆 Ｐ Ｑ的高度约为 ９ｍ ． （ ８分） ≈９（ 槡 ６ ．（ ２ ０ １ ５安徽 ８分） 如图， 平台 Ａ Ｂ高为 １ ２米， 在 Ｂ处测得楼房 Ｃ Ｄ顶部点 Ｄ的 仰角为 ４ ５ ʎ ， 底部点 Ｃ的俯角为 ３ ０ ʎ ， 求楼房 Ｃ Ｄ的高度． （ ３ ． ７ ） ≈１ 槡 第 ５题解图 第 ５题图
第 ３题图 １ ０ ０ ０ ㊀【 解析】 ȵ本题考查直角三角形的实际应用． 在Ｒ ｔ Ｂ Ｃ中， Ａ Ｃ＝ △Ａ ∠Ｂ １ ３ ０ ʎ ， Ａ Ｂ＝ ２ ０ ０ ０米， ʑＢ Ｃ＝ Ａ Ｂ＝ １ ０ ０ ０米， ʑ 他实际上升了 １ ０ ０ ０米． ２ ４ ．（ ２ ０ １ ５内江 ９分） 我市准备在相距 ２千米的 Ｍ、 Ｎ 两工厂 间 修 一 条 笔直 的公 路， 但在 Ｍ 地北偏东 ４ ５ ʎ 方向、 Ｎ地北偏西 ６ ０ ʎ 方向的 Ｐ处， 有一个半径 第 ４题图 ２ １ ． ４ １ ， ３ ． ７ ３ ） 这个小区是否有居民需要搬迁？（ 参考数据： ≈ ≈ 槡 槡 １ 【 信息梳理】 原题信息 一 二 Ｎ 我市准备在相距 ２千米的 Ｍ、 两工厂间修一条笔直的公路 Ｍ 地北偏东 ４ ５ ʎ 方向， Ｎ地北偏 西６ ０ ʎ 方向的 Ｐ处 整理后信息 Ｍ Ｎ＝ ２千米 Ｍ Ｎ ＝９ ０ ʎ－４ ５ ʎ＝４ ５ ʎ ， ∠Ｐ Ｎ Ｍ＝ ９ ０ ʎ － ６ ０ ʎ ＝ ３ ０ ʎ ∠Ｐ 为０ ． ６千米的住宅小区 （ 如图） ， 问修筑公路时，
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Hale Waihona Puke 在Ｒ ｔ Ｂ Ｎ中， Ｂ Ｎ＝ ３ ０ ʎ ， △Ｍ ∠Ｍ ０ Ｍ Ｎ 槡 ３ １ 由ｔ ａ ｎ Ｂ Ｎ＝ ， 得 ＝ ， ５分） ∠Ｍ （ Ｂ Ｎ ３ Ｂ Ｎ ʑＢ Ｎ＝ １ ０ ３ （ 米） ， ６分） （ 槡 ʑＡ Ｂ＝ Ａ Ｎ＋ Ｎ Ｂ＝ １ ０＋ １ ０ ３ ７ ． ３ （ 米） ， （ ７分） ≈２ 槡 ʑ 汽车由 Ａ点到 Ｂ点的平均速度为： ２ ７ ． ３ː ３＝ ９ ． １ （ 米／ 秒） ， ȵ９ ． １米 ／ 秒＝ ３ ２ ． ７ ６千米 ／ 时＜ ４ ０千米 ／ 时， ʑ 此车没有超速 ． （ ８分） ８ ．（ ２ ０ １ ５上海 １ ０分） 如图， Ｍ Ｎ表示一段笔直的高架道路， 线段 Ａ Ｂ表示高架道 路旁的一排居民楼 ． 已知点 Ａ到 Ｍ Ｎ的距离为 １ ５米， Ｂ Ａ的延长线与 Ｍ Ｎ相交 ， 且 ∠Ｂ Ｄ Ｎ＝ ３ ０ ʎ ． 假设汽车在高架道路上行驶时， 周围 ３ ９米以内会受 于点 Ｄ 到噪音的影响． （ １ ） 过点 Ａ作 Ｍ Ｎ的垂线， 垂足为点 Ｈ ． 如果汽车沿着从 Ｍ 到 Ｎ的方向在 Ｍ Ｎ 上行驶， 当汽车到达点 Ｐ处时， 噪音开始影响这一排居民楼， 那么此时汽车与 点 Ｈ的距离为多少米？ （ ２ ） 降低噪音 的一 种 方法是在 高架道路 旁 安装隔音板 ． 当汽车行驶到点 Ｑ时， 它与这 一排居民楼的距 离 Ｑ Ｃ为 ３ ９米， 那么对 于 这一排居民楼， 高架道路旁安装的隔音板至 少需要多少米 长？（ 精 确到 １米） （ 参考 数 据： ３ ． ７ ） ≈１ 槡 （ １ ） 【 题图分析】 原题信息 一 点 Ａ到 Ｍ Ｎ的距离为 １ ５ 米，且 Ｄ Ｎ＝ ３ ０ ʎ ∠Ｂ 图中表示 Ａ Ｈ＝ １ ５米， Ｄ Ｎ＝ ３ ０ ʎ ∠Ｂ Ｈ Ａ＝ ９ ０ ʎ ∠Ｄ Ｐ Ａ＝ ３ ９米 第 ８题图