图同构问题的决策神经网络模型
图神经网络研究综述
图神经网络研究综述近年来，图神经网络（graph neural networks，GNNs）成为了机器学习领域的研究热点。
图神经网络是一种用于处理图数据的神经网络模型，通过学习节点之间的关系和图的结构，实现对图数据的分析和预测。
本文将对图神经网络的研究进行综述，并介绍其应用和未来发展方向。
一、图神经网络简介图神经网络是一种基于图结构的神经网络模型，其目标是学习节点之间的关系和图的结构。
相比于传统的神经网络模型，图神经网络可以处理非结构化数据，并在节点分类、图分类、关系预测等任务中取得良好的效果。
图神经网络主要由节点嵌入和图嵌入两个部分组成。
1. 节点嵌入节点嵌入是将节点映射到低维空间中的一个过程，将图中的节点表示为向量形式，用于捕捉节点的特征和上下文信息。
常用的节点嵌入方法有GraphSage、GAT和GCN等。
2. 图嵌入图嵌入是将整个图映射到低维空间中的一个过程，用于对整个图进行特征提取和表示。
常用的图嵌入方法有Graph Convolutional Networks (GCNs)、Graph Attention Networks (GAT)和GraphSAGE等。
二、图神经网络的应用图神经网络在各个领域都有广泛的应用，包括社交网络分析、推荐系统、生物信息学和药物发现等。
以下将介绍几个典型的应用场景：1. 社交网络分析社交网络是一个充满复杂关系的图结构，传统的方法往往无法准确地分析和预测社交网络中的节点行为。
图神经网络通过学习节点之间的关系和图的结构，可以有效地进行社交网络分析，包括社区发现、影响力传播和节点分类等任务。
2. 推荐系统推荐系统需要对用户和商品之间的关系进行建模和预测，而这种关系往往可以用图结构进行表示。
图神经网络可以学习用户和商品之间的关系，提取隐含的特征信息，并用于推荐算法中的推荐和评分预测。
3. 生物信息学生物信息学研究需要对蛋白质、基因和化合物等生物实体进行建模和分析。
图神经网络训练技巧探讨(六)
图神经网络（Graph Neural Network, GNN）是一种能够处理具有图结构的数据的机器学习模型。
与传统的神经网络模型不同，GNN 能够有效地处理节点和边的特征，适用于社交网络、生物信息学、推荐系统等领域。
在实际应用中，图神经网络的训练技巧对模型的性能和收敛速度有着至关重要的影响。
本文将探讨图神经网络的训练技巧，以及一些常用的方法和技巧。
数据预处理在训练图神经网络之前，首先需要对图数据进行预处理。
对于节点的特征，通常采用 one-hot 编码或者嵌入（embedding）的方式进行表示。
对于图的结构信息，可以使用邻接矩阵或者节点对之间的关系进行编码。
在预处理过程中，需要注意处理缺失值、异常值以及对数据进行归一化处理，以确保模型的稳定性和可靠性。
图卷积网络（Graph Convolutional Network, GCN）的训练技巧图卷积网络是图神经网络的一种重要模型，能够有效地处理节点特征和图结构信息。
在训练图卷积网络时，通常采用反向传播算法和梯度下降算法进行参数更新。
此外，为了提高模型的泛化能力和防止过拟合，可以采用正则化技巧，如 L1 正则化、L2 正则化等。
在训练过程中，还可以采用学习率衰减、批量归一化等技巧，以加速模型的收敛速度和提高模型的性能。
图注意力网络（Graph Attention Network, GAT）的训练技巧图注意力网络是一种基于注意力机制的图神经网络模型，能够自适应地学习节点之间的关系权重。
在训练图注意力网络时，通常采用自注意力机制和多头注意力机制进行特征的聚合和更新。
为了提高模型的训练效果，可以采用残差连接、层归一化等技巧，以减缓梯度消失和梯度爆炸问题。
此外，为了提高模型的鲁棒性和泛化能力，还可以采用 Dropout 技巧和样本增强技巧等。
图神经网络的训练技巧总结在训练图神经网络时，需要注意以下几个方面的技巧。
首先，合理选择损失函数和优化器，适当调整学习率和正则化参数。
gnn的使用场景
gnn的使用场景
GNN（图神经网络）是一种处理图结构数据的深度学习模型，其应用场景非常广泛。
以下是一些具体的使用场景：
1.推荐系统：GNN可以用于处理用户与商品之间的交互关系，通过对用户行为的建模和节点嵌入的学习，实现更加精准的推荐。
例如，在电子商务平台上，GNN可以用于推荐系统，为用户提供个性化的商品推荐。
2.组合优化：GNN在组合优化问题中也有广泛应用，如旅行商问题、图着色问题等。
通过构建图神经网络模型，学习节点之间的关联关系，以实现高效的求解。
3.计算机视觉：GNN在计算机视觉领域的应用包括场景图生成、点云分类和动作识别等。
场景图生成是将图像解析为语义图的过程，有助于理解图像背后的意义。
点云分类是将点云数据转化为拓扑结构进行研究的过程，而动作识别则有助于从视频中提取人类动作信息。
4.物理和化学：在物理和化学领域，GNN也被用于模拟分子结构和预测化学反应等任务。
通过对分子结构的建模和嵌入学习，可以预测分子的性质和行为，进而在药物设计、材料科学等领域发挥作用。
5.药物发现：GNN在药物发现领域的应用主要涉及药物小分子的性质预测和分子设计等。
通过构建药物小分子与靶点蛋白的交互图，可以预测药物活性、毒性等性质，有助于新药的发现和设计。
综上所述，GNN在推荐系统、组合优化、计算机视觉、物理/化学以及药物发现等领域都有广泛的应用。
未来随着技术的发展和应用的深入，GNN的应用场景还将不断扩展和深化。
gnn模型原理(一)
gnn模型原理(一)GNN模型简介GNN（Graph Neural Network，图神经网络）是一种用于图数据的机器学习模型。
在各个领域，如社交网络、推荐系统、生物信息学等，图数据都广泛存在，因此GNN模型被广泛应用于这些领域。
本篇文章将逐步介绍GNN模型的相关原理。
什么是GNN模型？GNN模型是一种可以学习和提取图数据中节点之间交互关系的神经网络模型。
与传统的深度学习模型不同，GNN模型可以直接处理图结构数据，而无需将其转换为向量形式。
GNN模型的基本原理GNN模型通过逐层共享节点特征和边信息来学习节点的表示。
下面是GNN模型的主要步骤：1.初始化节点表示：给每个节点一个初始的向量表示，可以是随机生成的或者通过其他方式得到的。
2.消息传递：每个节点将其特征信息与相邻节点的特征信息进行交互。
该步骤可以通过消息传递函数来实现。
3.聚合信息：每个节点将收到的消息进行聚合，生成该节点的新特征表示。
这一步骤可以通过聚合函数来实现。
4.更新节点表示：将上一步骤得到的新特征表示作为节点的新表示，用于下一轮的消息传递。
5.多次迭代：重复执行上述步骤，直到达到一定的迭代次数或达到收敛条件。
GNN模型的进阶技术除了基本原理外，GNN模型还有一些进阶技术可以提高其性能：•图注意力机制：通过引入注意力机制，使得模型能够更加关注重要的节点和边。
•图卷积网络（GCN）：GCN是GNN模型的一种扩展，在消息传递和聚合信息的过程中，利用图拉普拉斯矩阵对特征进行归一化处理，减小网络中节点特征的差异。
•图注意力池化：通过注意力机制在不同层次上对图进行池化，减少图的规模，提高计算效率。
•图生成模型：生成图的模型，通过学习生成模型可以用于生成具有特定特征的图结构。
GNN模型的应用领域GNN模型在许多领域中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：•社交网络分析：用于社交网络中的节点分类、社区发现等任务。
•推荐系统：用于推荐系统中对用户和商品的关联关系进行建模，提高推荐效果。
图神经网络使用方法详解
图神经网络（Graph Neural Networks，GNN）是一种用于处理图数据的深度学习模型，它可以有效地对节点和边进行建模，从而在推荐系统、社交网络分析、生物信息学等领域发挥重要作用。
本文将详细介绍图神经网络的使用方法，包括数据准备、模型构建、训练和调参等方面。
一、数据准备在使用图神经网络之前，首先需要准备好图数据。
图数据由节点和边组成，每个节点可以表示一个实体，比如用户、商品或者社交关系，而边则表示节点之间的连接关系。
在处理图数据时，需要将其转化为适合图神经网络处理的格式。
一种常见的表示方法是邻接矩阵（Adjacency Matrix），它可以将图中节点和边的关系以矩阵的形式进行表示。
此外，还可以使用节点特征矩阵（Node Feature Matrix）来表示每个节点的特征向量，从而将节点的属性信息引入到模型中。
二、模型构建在数据准备完成后，就可以开始构建图神经网络模型了。
图神经网络的主要思想是通过消息传递（Message Passing）的方式来更新节点的表示，从而实现节点之间的信息传递和聚合。
常用的图神经网络模型包括Graph Convolutional Network（GCN）、Graph Attention Network（GAT）和GraphSAGE等。
这些模型在消息传递的方式、节点表示的更新规则和参数设置上有所不同，可以根据具体的任务需求来选择合适的模型。
三、训练与调参在模型构建完成后，需要对模型进行训练和调参。
在训练过程中，通常会使用一些常见的深度学习技术，比如梯度下降（Gradient Descent）和反向传播（Backpropagation），来优化模型的参数。
此外，还需要对模型的超参数进行调优，比如学习率、正则化系数和隐藏层节点数等。
通过反复训练和验证，可以找到最优的模型参数和超参数。
四、应用与拓展经过训练和调参后，图神经网络模型就可以用于具体的应用场景了。
在推荐系统中，可以利用图神经网络来实现个性化推荐，通过学习用户和商品之间的关系来提高推荐的准确性。
图神经网络的应用领域与训练技巧
图神经网络的应用领域与训练技巧图神经网络（Graph Neural Networks，简称GNN）是一种可用于处理图结构数据的机器学习模型。
相比于传统的深度学习模型，GNN具有能够对图数据进行有效表示和学习的优势，因此在许多领域都得到了广泛的应用和研究。
一、图神经网络的应用领域图神经网络的应用领域十分广泛，下面将介绍其中一些重要的应用领域。
1. 社交网络社交网络是图神经网络的典型应用领域之一。
在社交网络中，节点代表个人或实体，边代表他们之间的社交关系。
通过图神经网络，可以对社交网络中的节点进行特征表示学习、节点分类、社区发现、推荐系统等任务。
2. 生物信息学生物信息学是另一个重要的应用领域。
在生物信息学中，图数据可以表示生物分子之间的相互作用关系，例如蛋白质互作网络。
通过图神经网络，可以对蛋白质结构进行表示学习、蛋白质功能预测、药物研发等任务。
3. 推荐系统推荐系统是电子商务中的重要应用之一。
通过构建用户和商品之间的关系图，图神经网络可以对用户进行个性化的表示学习，从而实现更准确和精准的推荐。
4. 自然语言处理自然语言处理是另一个可以应用图神经网络的领域。
在自然语言处理中，可以将自然语言问题建模为图结构，在图神经网络的帮助下，可以对文本进行表示学习、实体识别、关系抽取等任务。
5. 计算机视觉图神经网络也可以应用于计算机视觉领域。
在计算机视觉中，可以将图像看作是一个图结构，通过图神经网络可以对图像进行表示学习、目标检测、图像分割等任务。
二、图神经网络的训练技巧在使用图神经网络进行建模和训练时，有一些重要的技巧和策略可以提高模型的性能和效果。
1. 图结构的表示图神经网络的核心是对图结构进行表示学习。
常用的表示学习方法包括图卷积神经网络（Graph Convolutional Networks，简称GCN）、GraphSAGE、GIN等。
这些方法能够有效地将图结构转化为低维的节点嵌入表示，以便进行后续的任务。
图神经网络的特点与优势解析(Ⅲ)
图神经网络的特点与优势解析图神经网络（Graph Neural Network，GNN）是近年来兴起的一种基于图结构数据的深度学习模型。
与传统的神经网络模型不同，GNN能够更好地处理非欧几里得空间的数据，如社交网络、推荐系统、生物信息学等领域的数据。
在图数据挖掘和图结构分析方面，GNN表现出许多优势和特点，本文将对其特点与优势进行解析。
1. 灵活性与泛化能力GNN能够自适应不同的图结构数据，并且具有很强的泛化能力。
这意味着GNN可以应用于各种不同的图数据，无论是社交网络中的用户关系、推荐系统中的物品关联，还是分子结构中的原子之间的相互作用。
GNN能够通过学习图数据的局部特征，并将这些特征整合到整个图结构中，从而实现对不同图数据的灵活建模。
2. 融合图结构特征传统的神经网络模型难以直接处理图结构数据，而GNN则能够有效地融合图结构的特征。
GNN通过在节点之间建立连接，利用节点的邻居信息来更新节点的表示，从而实现对图结构的建模和特征提取。
这种特点使得GNN在处理图数据时能够更好地保留数据的局部和全局特征，从而提高了模型在图数据挖掘和分析中的效果。
3. 处理大规模图数据在现实应用中，很多图数据都是大规模的，传统的图算法往往难以处理这些大规模图数据。
GNN在处理大规模图数据方面具有一定的优势。
由于GNN采用了局部更新的方式，使得模型能够高效地处理大规模图数据，从而实现对大规模图数据的高效建模和分析。
4. 适用于复杂任务除了在图数据挖掘和分析领域有优势外，GNN还在其他领域表现出了不俗的性能。
例如，在推荐系统中，GNN能够更好地捕捉用户和物品之间的复杂关系，从而提高了推荐的准确性。
在生物信息学领域，GNN能够有效地对分子结构进行建模和预测，为药物设计和生物信息学研究提供了新的思路和方法。
5. 可解释性与可视化与传统的神经网络模型相比，GNN在一定程度上具有可解释性。
GNN能够对图结构数据进行可视化表示，帮助人们更直观地理解图数据的特征和结构。
五大神经网络模型解析
五大神经网络模型解析近年来，人工智能的快速发展使得深度学习成为了热门话题。
而深度学习的核心就在于神经网络，它是一种能够模拟人脑神经系统的计算模型。
今天，我们就来一起解析五大神经网络模型。
1.前馈神经网络（Feedforward Neural Network）前馈神经网络是最基本的神经网络模型之一。
在前馈神经网络中，信息是单向传输的，即神经元的输出只会被后续神经元接收，不会造成回流。
前馈神经网络能够拟合线性和非线性函数，因此在分类、预测等问题的解决中被广泛应用。
前馈神经网络的一大优势在于简单易用，但同时也存在一些缺点。
例如，神经网络的训练难度大、泛化能力差等问题，需要不断探索解决之道。
2.循环神经网络（Recurrent Neural Network）与前馈神经网络不同，循环神经网络的信息是可以进行回流的。
这意味着神经元的输出不仅会传向后续神经元，还会传回到之前的神经元中。
循环神经网络在时间序列数据的处理中更为常见，如自然语言处理、语音识别等。
循环神经网络的优点在于增强了神经网络处理序列数据的能力，但是它也存在着梯度消失、梯度爆炸等问题。
为了解决这些问题，一些变种的循环神经网络模型应运而生，如长短期记忆网络（LSTM）、门控循环单元（GRU）等。
3.卷积神经网络（Convolutional Neural Network）卷积神经网络是一种类似于图像处理中的卷积操作的神经网络模型。
卷积神经网络通过卷积神经层和池化层的堆叠来对输入数据进行分层提取特征，从而进一步提高分类性能。
卷积神经网络在图像、视频、语音等领域的应用非常广泛。
卷积神经网络的优点在于对于图像等数据具有先天的特征提取能力，可以自动识别边缘、角点等特征。
但是，卷积神经网络也存在着过拟合、泛化能力欠佳等问题。
4.生成对抗网络（Generative Adversarial Network）生成对抗网络可以说是最近几年最热门的神经网络模型之一。
它基于博弈论中的对抗训练模型，由两个神经网络构成：生成器和判别器。
gnn数据关联算法
gnn数据关联算法图神经网络（Graph Neural Network，简称GNN）是一种专门用于处理图结构数据的深度学习模型。
GNN的应用领域非常广泛，包括社交网络分析、推荐系统、生物信息学等。
在GNN中，数据关联算法是指用于建模和学习图结构数据中节点之间关联的方法。
以下将详细介绍GNN中的数据关联算法，包括算法的基本原理、应用场景以及在实际问题中的使用。
1. GNN基础概念1.1 图结构图由节点（或顶点）和边组成，节点表示实体，边表示节点之间的关系。
图结构是一种灵活的数据表示方式，可以用于描述复杂的关系和连接。
1.2 图神经网络（GNN）GNN是一类专门用于处理图结构数据的神经网络模型。
它通过迭代地更新节点的表示，从而捕捉节点之间的复杂关系。
GNN在节点分类、链接预测等任务中取得了显著的成果。
2. GNN数据关联算法2.1 节点嵌入（Node Embedding）节点嵌入是GNN中常用的数据关联算法之一。
它通过学习将每个节点映射到低维空间的表示，从而捕捉节点之间的关系。
常见的节点嵌入方法包括GraphSAGE、DeepWalk和Node2Vec等。
2.2 图注意力网络（Graph Attention Network，简称GAT）GAT是一种利用注意力机制学习节点之间关联的GNN模型。
通过引入注意力机制，GAT能够对每个节点的邻居赋予不同的权重，从而更好地捕捉图结构中的重要信息。
2.3 图自动编码器（Graph Autoencoder）图自动编码器是一种通过将图结构数据映射到低维表示，并在重构时保留关键信息的方法。
它可以用于学习节点之间的关联，同时实现数据的降维和还原。
2.4 深度图匹配网络（Deep Graph Matching Network）深度图匹配网络专注于图对齐和图匹配问题。
它通过学习两个图之间节点的对应关系，实现图结构数据的关联。
3. GNN数据关联算法的应用场景3.1 社交网络分析在社交网络中，GNN可以用于学习用户之间的关联，进行用户推荐、社群发现等任务。
图同构问题的决策神经网络模型
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ
Ｔｈ ｒ ｐ ｓ ｍｏ ｐ ｉ ｍ ｒ ｂ ｅ ｉ ｔ ｔ ｄ ｈ ｅａ ｉ ｎ ｈ ｐ ｂ ｔ ｅ ｗｏ ｇ ａ ｈ ｅ ｇ ａ ｈ ｉｏ ｒ ｈ ｓ ｐ ｏ ｌ ｍ ｓ ｏ ｓ ｕ ｙ ｔ ｅ ｒ ｌ ｔ ｓ ｉ ｅ ｗｅ ｎ ｔ ｒ ｐ ｓ ｏ
船 ∞
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有定 论 ， 它究 竟是 Ｐ问题还 是 ＮＰ问题 ？ 目前关 即
１ 引 言
图的 同构 问题 不 仅 是数 学 ， 别是 图论 自身 学 特 科 研究 中的一 个核 心 内容 ， 而且 具 有 良好 的应 用 背
于 图的 同构 问题 的判 定 性算 法不 少 ， 诸 如经 典判 有 定算 法口 ］对在 实 际工程 中有着 广泛应用 的图 的拟 、
第 ３ ３卷
第 ２ 期
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２１年 ２ ００ 月
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图 同构 问题 的 决策 神 经 网络 模 型
南晋华
摘
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（ 中科 技 大 学 控 制科 学 与 工 程 系 华
工 神 经 网络 模 型． 该模 型 中 增加 了 一个 自然 的 约束 条 件 ， 快 了 运算 速度 ． 加
图神经网络在社交网络分析中的应用
图神经网络在社交网络分析中的应用在当今数字化的时代，社交网络已经成为人们生活中不可或缺的一部分。
从社交媒体平台到专业的工作交流网络，人们通过各种渠道建立和维护着社交关系。
而随着数据量的不断增长和数据复杂性的提高，传统的分析方法逐渐显得力不从心。
图神经网络（Graph Neural Network，GNN）作为一种新兴的技术，为社交网络分析带来了新的视角和强大的工具。
要理解图神经网络在社交网络分析中的应用，首先需要明白什么是图神经网络。
简单来说，图神经网络是一种专门用于处理图结构数据的深度学习模型。
在社交网络中，个体（用户）可以被视为节点，而他们之间的关系（如朋友关系、关注关系等）则可以被看作边。
这样，社交网络就自然地形成了一个图结构。
那么，图神经网络究竟能为社交网络分析做些什么呢？一个重要的应用是用户行为预测。
通过分析用户在社交网络中的历史行为以及与其他用户的关系，图神经网络可以预测用户未来可能的行为，例如是否会对某个内容感兴趣、是否会参与某个活动等。
这对于个性化推荐系统来说至关重要。
比如，在电商平台的社交模块中，如果能够准确预测用户的购买意向，就可以为用户推荐更符合其需求的商品，从而提高用户的购物体验和平台的销售额。
社交网络中的关系挖掘也是图神经网络的一大用武之地。
它可以帮助我们发现隐藏在复杂关系网络中的潜在模式和社区结构。
比如，在一个学术交流网络中，图神经网络可以识别出不同研究领域的学者群体，以及他们之间的合作关系和信息传播路径。
这对于研究领域的发展趋势分析和合作机会的发现具有重要意义。
另外，图神经网络在社交网络中的异常检测方面也表现出色。
通过学习正常的社交网络模式，它能够敏锐地察觉到异常的用户行为或关系，例如突然的大量关注或取消关注、异常的信息传播模式等。
这对于防范社交网络中的欺诈、谣言传播等不良行为具有重要作用。
不仅如此，图神经网络还可以用于社交网络中的情感分析。
它能够综合考虑用户之间的关系和交流内容，更准确地判断用户的情感倾向。
图神经网络的发展历程与趋势展望(Ⅰ)
图神经网络的发展历程与趋势展望图神经网络（Graph Neural Network, GNN）是一种用于处理图结构数据的深度学习模型，近年来得到了广泛的关注和研究。
它的发展历程可以追溯到20世纪60年代，但直到最近十年才开始受到广泛关注。
本文将从图神经网络的起源和发展历程着手，探讨其在各个领域的应用和未来的发展趋势。
1. 起源与发展历程图神经网络最早可以追溯到1960年代，当时科学家们开始尝试使用图论的方法来解决一些复杂的计算问题。
然而，由于当时计算机计算能力和数据规模的限制，图神经网络并没有得到广泛的应用。
直到2010年代，随着深度学习的兴起和计算机硬件性能的大幅提升，图神经网络开始受到研究者们的关注。
在这个时期，一系列重要的算法和模型被提出，包括GCN（Graph Convolutional Network）、GraphSAGE（Graph Sample and Aggregrate）、GAT （Graph Attention Network）等。
这些模型纷纷在图像识别、社交网络分析、推荐系统等领域取得了令人瞩目的成果，为图神经网络的发展奠定了基础。
2. 应用领域图神经网络的应用领域非常广泛，涵盖了社交网络分析、生物信息学、推荐系统、交通规划等各个方面。
在社交网络分析领域，图神经网络可以用于发现社交网络中的节点群组、预测用户行为等任务；在生物信息学领域，图神经网络可以用于分子结构的预测和药物设计；在推荐系统领域，图神经网络可以用于个性化推荐和用户画像构建。
除了上述领域之外，图神经网络还在交通规划、金融风控、医疗诊断等领域展现出了巨大的潜力。
随着数据规模的不断扩大和计算能力的提升，图神经网络在未来将有望在更多的领域得到应用。
3. 发展趋势展望未来图神经网络的发展将呈现出以下几个趋势：首先，图神经网络模型的进一步完善和提升。
目前已经有一些针对不同场景的图神经网络模型被提出，但是这些模型仍然存在一些局限性，比如对大规模图数据的处理能力有限，对噪声数据和稀疏数据的鲁棒性不强等。
图神经网络使用注意事项总结(九)
图神经网络 (Graph Neural Network, GNN) 是一种用于处理图数据的深度学习模型，近年来在社交网络分析、推荐系统、化学分子结构分析等领域取得了显著的成果。
然而，图神经网络的应用也面临着一些挑战和注意事项。
本文将介绍图神经网络的使用注意事项，并总结了一些相关的经验和建议。
数据预处理图数据的预处理是图神经网络应用的第一步。
在处理图数据时，需要考虑节点特征的表示、图结构的表示以及不同节点之间的联系。
在进行数据预处理时，需要注意以下几点：1. 节点特征的表示：节点特征可以是数值型、类别型或者文本型。
在进行节点特征的表示时，需要考虑特征的稀疏性、分布情况以及是否存在缺失值。
2. 图结构的表示：图结构可以是有向图、无向图、加权图等。
在表示图结构时，需要考虑图的稀疏性、密集性以及图的规模大小。
3. 节点之间的联系：节点之间的联系可以是同构的、异构的、单向的、双向的等。
在处理节点之间的联系时，需要考虑节点之间的关联性和相关性。
模型选择与调参在选择图神经网络模型时，需要考虑模型的适用场景、性能指标以及算法复杂度。
在进行模型调参时，需要注意以下几点：1. 模型选择：根据实际问题的需求，选择适当的图神经网络模型。
常用的图神经网络模型包括GCN、GAT、GraphSAGE等。
2. 性能指标：根据实际问题的需求，选择适当的性能指标。
常用的性能指标包括准确率、召回率、F1值等。
3. 算法复杂度：在进行模型选择和调参时，需要考虑算法的复杂度和运行时间。
通常情况下，需要权衡模型的性能和算法的复杂度。
数据增强与模型融合在训练图神经网络模型时，通常需要进行数据增强和模型融合。
在进行数据增强和模型融合时，需要注意以下几点：1. 数据增强：通过增加样本数量、调整样本分布、引入噪声等方式，增强模型的泛化能力和鲁棒性。
2. 模型融合：通过集成学习、模型堆叠等方式，融合多个模型的预测结果，提高模型的性能和稳定性。
应对过拟合与欠拟合在训练图神经网络模型时，通常需要应对过拟合和欠拟合。
图神经网络常见问题解决方案(四)
图神经网络（Graph Neural Networks，GNN）是一种针对图数据进行学习和推理的深度学习模型，近年来在各种领域都得到了广泛应用。
然而，与传统的卷积神经网络相比，图神经网络在应用过程中也面临许多常见问题，例如节点分类、图分类、链接预测等。
本文将针对图神经网络常见问题提出解决方案。
首先，对于节点分类问题，常见的解决方案是使用图注意力网络（GAT）或图卷积网络（GCN）。
GAT通过节点间的注意力机制，对节点的邻居进行加权求和，从而更好地捕捉图结构中的信息。
而GCN则通过对节点的邻居进行聚合，逐层更新节点的表示，从而实现节点分类任务。
在实际应用中，可以根据具体的数据集和任务需求选择合适的模型，并进行参数调整和训练。
其次，针对图分类问题，常见的解决方案是使用图卷积网络（GCN）或图注意力网络（GAT）。
GCN通过对节点的邻居进行聚合，逐层更新节点的表示，从而实现对整个图的分类。
而GAT则通过节点间的注意力机制，对节点的邻居进行加权求和，从而更好地捕捉图结构中的信息。
在实际应用中，可以根据具体的数据集和任务需求选择合适的模型，并进行参数调整和训练。
另外，对于链接预测问题，常见的解决方案是使用图注意力网络（GAT）或图卷积网络（GCN）。
GAT通过节点间的注意力机制，对节点的邻居进行加权求和，从而更好地捕捉图结构中的信息，从而实现链接预测任务。
而GCN则通过对节点的邻居进行聚合，逐层更新节点的表示，从而实现链接预测任务。
在实际应用中，可以根据具体的数据集和任务需求选择合适的模型，并进行参数调整和训练。
除此之外，图神经网络在应用中还常常面临着数据稀疏、图结构不规则等问题。
针对数据稀疏的问题，可以采用图注意力网络（GAT）或图卷积网络（GCN）等模型，通过引入注意力机制或聚合节点信息的方式，更好地捕捉图结构中的信息。
而对于图结构不规则的问题，可以使用图卷积网络（GCN）等模型，通过对节点的邻居进行聚合，逐层更新节点的表示，从而实现对图结构不规则的建模和学习。
图神经网络常见问题解决方案(Ⅲ)
图神经网络常见问题解决方案图神经网络（Graph Neural Networks，GNN）是一种用于处理图数据的机器学习模型，近年来在社交网络分析、推荐系统、生物信息学等领域取得了广泛的应用。
然而，图神经网络在实际应用中也面临着一些常见的问题和挑战。
本文将针对图神经网络的常见问题进行探讨，并提出一些解决方案。
数据稀疏性问题图数据通常具有稀疏性，即节点之间的连接较为稀疏，这给图神经网络的训练和推理带来了一定的挑战。
针对这一问题，可以采取以下解决方案：1. 图卷积神经网络（GCN）：GCN 是一种有效处理稀疏图数据的神经网络模型，通过聚合节点的邻居信息来获取更丰富的特征表示。
因此，可以通过采用GCN 模型来处理稀疏图数据，提高模型的性能。
2. 节点嵌入技术：节点嵌入是将节点映射到低维向量空间的技术，可以将稀疏的图数据转化为稠密的向量表示，从而降低数据稀疏性带来的问题。
3. 图数据增强：通过数据增强技术，可以在一定程度上解决数据稀疏性问题。
例如，可以通过添加虚拟节点或边来增加图的密度，从而改善图神经网络的训练效果。
传播路径长度问题在图数据中，节点之间的传播路径长度参差不齐，这会导致在传播信息时出现信息丢失或信息过度传播的问题。
为了解决这一问题，可以采取以下策略：1. 消息传递机制：设计一种有效的消息传递机制，可以使节点之间的信息传递更加高效和准确。
例如，可以采用图注意力网络（GAT）模型，通过注意力机制来动态地调整不同节点之间的信息传递权重。
2. 图注意力池化：利用图注意力池化机制，可以在保留重要信息的同时，减少不必要的信息传递。
通过对图中节点的注意力进行聚合，可以降低传播路径长度对模型性能的影响。
3. 图结构优化：对图数据的结构进行优化，使得传播路径长度更加均衡和规整。
例如，可以通过图剪枝、图分割等技术来优化图的结构，从而改善信息传播的效果。
节点分类不平衡问题在节点分类任务中，往往会面临节点分类不平衡的问题，即不同类别的节点数量存在较大差异。
图神经网络的特点与优势解析(七)
图神经网络的特点与优势解析图神经网络（Graph Neural Network，GNN）是一种基于图结构数据的深度学习模型，近年来在各个领域都取得了显著的成就。
与传统的深度学习模型相比，图神经网络具有许多独特的特点和优势，本文将从多个方面进行解析。
1. 数据表征能力强图神经网络适用于处理图结构数据，如社交网络、知识图谱等。
在这些数据中，节点之间的相互关系非常复杂，并且往往存在大量的隐藏信息。
传统的深度学习模型往往难以处理这种复杂的图结构数据，而图神经网络则能够有效地表征节点之间的关系，从而充分挖掘数据中的信息。
2. 适用性广泛图神经网络不仅仅适用于处理社交网络和知识图谱等特定领域的数据，还可以应用于生物信息学、药物发现、推荐系统等各个领域。
这得益于图神经网络的通用性和灵活性，它可以适应不同领域的数据特点，为各种复杂任务提供有效的解决方案。
3. 具有局部连接性图神经网络在处理图结构数据时具有很强的局部连接性，这意味着每个节点只需与其相邻的节点进行信息交换，而无需与整个图的节点进行通信。
这种局部连接性使得图神经网络在处理大规模图数据时能够高效地进行计算，大大提高了模型的训练和推理速度。
4. 具有自适应性图神经网络能够根据数据的特点自适应地学习节点之间的关系，而无需依赖人工设定的规则。
这种自适应性使得图神经网络在处理复杂的、动态变化的数据时能够更好地适应数据的变化，从而提高了模型的泛化能力和鲁棒性。
5. 支持半监督学习与传统的深度学习模型相比，图神经网络在处理半监督学习任务时更加有效。
在许多实际场景中，往往只有一小部分数据带有标签，而大部分数据是无标签的。
图神经网络能够充分利用带标签数据和无标签数据的信息，从而提高了模型的训练效果。
6. 适用于图表示学习图神经网络能够学习节点的低维表示，将图结构数据映射到低维空间中。
这种图表示学习能够有效地提取图数据的特征，为后续的任务提供更加高效的输入。
与传统的图表示学习方法相比，图神经网络能够更好地保留数据的结构信息，从而获得更好的表示效果。
图神经网络的基本原理与应用
图神经网络的基本原理与应用图神经网络是一种新兴的神经网络模型，其基本原理是通过对图结构数据进行有效的建模和学习，实现对节点和边的特征提取和预测。
本文将介绍图神经网络的基本原理，并探讨其在各个领域的应用。
一、图神经网络的基本原理图神经网络是由节点和边构成的图结构数据上的神经网络模型，主要包括节点表征学习和图结构学习两个部分。
1. 节点表征学习节点表征学习是指通过神经网络对节点的特征进行学习和表示。
传统方法中，节点特征通常采用手工设计的特征表示，如节点的度、邻居节点的信息等。
而图神经网络则通过自动学习节点嵌入表示，将节点映射到低维空间中的向量，捕捉节点的语义信息和连接关系。
2. 图结构学习图结构学习是指通过神经网络对图的结构和拓扑信息进行学习和建模。
传统方法中，通常采用图的统计特征来描述图的结构，如聚类系数、节点的中心性等。
而图神经网络则通过卷积操作、图注意力机制等方式，对图的邻居节点进行信息传递和聚合，从而实现对图结构的学习和分析。
二、图神经网络的应用领域图神经网络具有较强的建模能力和表达能力，因此在许多领域都有广泛的应用。
1. 社交网络分析社交网络中的节点代表个体，边代表个体之间的关系。
图神经网络可以对社交网络进行建模，并分析节点之间的社交特征、信息传播等。
这一应用有助于理解社交网络的形成机制、预测用户行为等。
2. 分子化学分子化学中的化学物质可以看作一个图结构，节点代表原子，边代表化学键。
通过图神经网络，可以对分子进行学习和表示，从而实现分子属性的预测、药物发现等。
这一应用对于药物研发和有机化学领域有重要意义。
3. 推荐系统推荐系统可以看作是一个用户-商品图，节点代表用户和商品，边代表用户对商品的行为。
通过图神经网络，可以对用户和商品进行建模，实现个性化推荐和用户行为预测。
这一应用在电子商务等领域具有广泛的应用价值。
4. 非结构化数据分析除了图数据外，图神经网络还可以应用于非结构化数据，如文本数据、图像数据等。
在数据科学中使用图神经网络进行图像分类
在数据科学中使用图神经网络进行图像分类近年来，随着人工智能技术的快速发展，图像分类成为了计算机视觉领域的一个重要研究方向。
而在这个过程中，图神经网络作为一种新兴的方法，逐渐引起了研究者们的关注。
本文将探讨在数据科学中使用图神经网络进行图像分类的方法和应用。
首先，我们来了解一下图神经网络的基本原理。
图神经网络是一种基于图结构的神经网络模型，它能够有效地处理非欧几里得结构数据，例如社交网络、蛋白质相互作用网络等。
与传统的卷积神经网络不同，图神经网络能够捕捉到图中节点之间的关系和拓扑结构，从而更好地进行图像分类任务。
然后，我们来看一下图神经网络在图像分类中的具体应用。
在图像分类任务中，我们需要将输入的图像映射到不同的类别标签上。
传统的方法通常是将图像转换为向量表示，然后使用传统的神经网络模型进行分类。
而图神经网络则直接处理图像的结构信息，不需要进行特征提取和向量化，从而更加高效和准确。
为了更好地理解图神经网络在图像分类中的应用，我们可以以一个例子来说明。
假设我们有一组动物的图像数据集，包括猫、狗和鸟三类。
传统的方法需要对图像进行特征提取，例如提取颜色、纹理等特征，然后将这些特征转换为向量表示。
而图神经网络则可以直接处理图像的像素信息，将每个像素点作为图中的一个节点，然后通过节点之间的连接关系进行分类。
在实际应用中，图神经网络可以结合其他深度学习技术进行进一步优化。
例如，可以使用卷积神经网络提取图像的局部特征，然后将提取的特征作为图神经网络的输入。
这样可以充分利用卷积神经网络在图像处理中的优势，同时又能够捕捉到图像的全局结构信息。
除了在图像分类中的应用，图神经网络还可以在其他领域发挥重要作用。
例如，在社交网络分析中，可以使用图神经网络进行用户行为预测和社区发现；在推荐系统中，可以利用图神经网络进行物品推荐和用户兴趣建模。
由于图神经网络能够处理非欧几里得结构数据，因此在这些领域中具有广泛的应用前景。
尽管图神经网络在图像分类中具有很大的潜力，但仍然存在一些挑战和问题。
图神经网络综述
图神经网络综述图神经网络综述近年来，图神经网络（Graph Neural Networks, GNNs）作为一种强大的机器学习方法，吸引了广泛的关注和研究。
它为处理图结构化数据开启了新的可能性，同时也在社交网络分析、推荐系统、化学方向等领域取得了令人瞩目的成果。
本文将对图神经网络进行综述，介绍其基本概念、发展历程以及一些具有代表性的应用案例。
一、图神经网络的基本概念图神经网络是一种专门用于处理图结构化数据的深度学习模型。
与传统的神经网络不同，GNNs能够直接对图中的节点和边进行建模，并通过层次化的信息传播和特征更新，进行全局的图结构推理和预测。
这种全局信息传播的能力使得GNNs在处理社交网络、推荐系统、生物信息学等问题时具备了优势。
图神经网络的基本组成包括节点特征、边信息和图结构。
节点特征是指每个节点自身的属性，在传统的神经网络中通常表示为向量或矩阵的形式。
边信息则表示节点之间的关系和连接方式，通常可以通过邻接矩阵或者边的权重来表示。
图结构则用于描述节点和边之间的拓扑结构，可以是有向图或无向图。
二、图神经网络的发展历程图神经网络起源于传统的图表示学习方法，如PageRank算法和DeepWalk算法。
这些方法主要关注于图中节点的表示学习，但无法进行全局的图结构推理。
直到2014年，Bruna等人提出的谱卷积网络（Spectral Graph Convolutional Networks）引入了图信号处理的概念，才真正将图结构融入到神经网络中。
随后，Kipf等人提出了图卷积网络（GraphConvolutional Networks, GCNs），进一步促进了图神经网络的发展。
GCNs通过局部邻居信息的聚合和特征更新，实现了对整个图结构的推理能力。
这种基于邻居传播的更新策略被广泛应用于图神经网络的后续研究中。
此外，图神经网络还涌现了一系列的扩展模型，如图注意力网络（Graph Attention Networks, GAT）、图生成模型（Graph Generative Models）、图时空网络（Graph Temporal Networks）等。
深度学习中的图结构数据处理与建模方法(七)
深度学习中的图结构数据处理与建模方法随着计算机技术的不断发展，人工智能领域也迎来了飞速的发展。
深度学习作为人工智能领域的一个重要分支，已经在各个领域展现出了巨大的潜力和应用价值。
在深度学习中，图结构数据处理与建模方法是一个备受关注的研究方向。
本文将从数据处理和建模两个方面来探讨深度学习中图结构数据的处理与建模方法。
一、图结构数据的处理方法在深度学习中，图结构数据是一类非常重要的数据类型，它包括了各种各样的网络结构，比如社交网络、推荐系统中的用户-物品交互网络、生物信息学中的蛋白质相互作用网络等。
这些数据的特点是节点之间存在着复杂的关联关系，因此如何有效地处理这些图结构数据成为了一个挑战。
在图结构数据的处理方法中，图卷积网络（Graph Convolutional Network, GCN）是一个备受关注的技术。
GCN是一种专门用于处理图结构数据的深度学习模型，它可以有效地捕捉节点之间的关联关系，并在此基础上进行特征的学习和表示。
GCN的基本思想是通过邻接矩阵来表示节点之间的连接关系，然后利用这种连接关系来更新节点的特征表示。
通过多层的图卷积操作，GCN可以逐步地扩展节点的特征表示，最终实现对整个图结构数据的有效表示和处理。
除了GCN之外，还有一些其他的图结构数据处理方法，比如图注意力网络（Graph Attention Network, GAN）、图自编码器（Graph Autoencoder, GAE）等。
这些方法都在不同程度上解决了图结构数据处理中的一些关键问题，为深度学习中的图结构数据处理提供了新的思路和方法。
二、图结构数据的建模方法在深度学习中，图结构数据的建模是一个非常重要的问题，它涉及到如何利用深度学习技术来对图结构数据进行建模和预测。
在图结构数据的建模方法中，图神经网络（Graph Neural Network, GNN）是一个备受关注的技术。
GNN是一种专门用于处理图结构数据的神经网络模型，它可以有效地捕捉图结构数据中的全局信息和局部信息，并在此基础上进行节点的表示和预测。
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图同构问题的决策神经网络模型南晋华，齐欢(华中科技大学控制科学与工程系武汉430074)摘要图的同构问题是研究两个图之间相互关系范畴。
这对图表面上似乎不同，但本质上完全相同。
由于图的同构问题在以系统建模、电路布线等众多问题中有直接的应用，因而，吸引了不少的学者从事这方面的研究。
本文意在建立一种局域连接的、模拟人脑决策思维模式的、可用于优化信息处理的神经网络模型。
文中在过去建立求解图的同构问题人工神经网络模型的基础上，拟应用人脑决策局域化的思想，提出了一种新的用于图的同构问题的人工神经网络模型。
该模型中增加了一个自然的约束条件，加快了运算速度。
关键词图；同构；决策；神经网络中图分类号TP301The decision-making neural networks model for solving the graphisomorphism problemNAN Jin-Hua1)QI Huan1)1) (Department of Control Science and Engineering，Huazhong University of Science andTechnology，Wuhan 430074)Abstract The graph isomorphism problem is to study the relationship between two graphs which seem to be different, but essentially identical. This problem can be widely used in the system modeling, circuit wiring and many other issues. Therefore, this paper is aimed to establish a kind of neural networks model that are of local-connection, simulation human’s decision-making thinking, and also can be applied to solve the optimization for information. On this basis, we use a natural constraint in this model in order to speed up the operations, and then a new artificial neural network model is proposed to solve the graph isomorphism problem.Keywords Graph; Isomorphism; Decision-making; Neural networks model1引言图的同构问题不仅是数学，特别是图论自身学科研究中的一个核心内容，而且具有良好的应用背景，在工程技术领域，特别是大系统建模、电路设计、机械设计、模式识别以及系统建模中有着广泛的应用。
对于系统建模，如果能够证明需建模型与已知模型同构，则可以节省大量人力物力财力。
多数学者认为图的同构判定问题属于NP-完全问题。
但至今没有定论，即它究竟是P问题还是NP问题？目前关于图的同构问题的判定性算法不少，有诸如经典判定算法[1-8]、对在实际工程中有着广泛应用的图的拟同构问题算法[9-12]、进化计算方法[13]、人工神经网络求解算法[14-18] 以及最新的DNA计算模型[19-20]等。
在经典的图同构算法中，在此主要介绍两种算法，一种是所谓的矢量列表法，另一种是回溯算法。
研究图的同构问题，一个重要的环节是如何表示图的信息。
在这个问题上，Comeil 与Hffman等人曾引入“模块”这一概念来表示各个顶点及其邻接顶点信息。
在此基础上Riaz提出一种有效的判定图同构问题的算法-矢量列表法，即把各顶点所代表的信息用模块表示，所有模块组合在一起构成矢量列表。
设计算法依次比较各模块，最终得到同构信息。
并在此基础上建立了判定图同构的矢量列表法。
图同构的回溯算法是一种利用K-算子表示图结构，然后通过比对序列求解图同构映射的方法。
K-算子这一概念最初由Kride 等人提出，文献[11-12]对这一算法进行深入的探讨改进，并对这一方法进行了系统的论述，并给出了适合计算机求解的算法。
虽然通过仿真结果证明了这种回溯算法的可行性，但是要严格地给出时间复杂度估计不是很容易的事情，尽管如此，这种试图从图的结构上来判定同构性的思想无疑是值得借鉴的，它通过引入算子，把给定图表示成字符串的形式，然后通过回溯模式识别，逐步求得可能的同构序列，最终得到两图是否同构。
遗传算法由John Holland等人于20世纪60年代末提出，模拟生化机制进行优化计算[21]。
图的同构问题稍加扩充，引入成具有一定应用背景的所谓的拟同构的概念。
当两个图相近程度达到要求误差范围之内时，称两个图为拟同构图的拟同构的一个很重要的应用就是在模式识别中，通常把事物的特征及其相互作用表示成赋权图。
该算法把一个图同构的判定问题分解在GA中进行求解。
通过引入初始匹配，进化速度加快，用顶点映射来代替常规算法中的行列交换，鉴于GA求解随机搜索问题的有效性，在图的拟同构判定中，该算法也就显得十分有效。
DNA计算是一种以DNA分子与相关生物酶为基本材料，以某些生化反应为基础的一种全新的计算模式。
利用DNA特殊的双螺旋结构和碱基互补规律进行信息编码，把运算对象映射DNA分子链，生成数据池，然后把数据运算高度并行的映射成DNA的可控生化过程最后利用分子生物技术，检测出需要的结果。
在利用DNA计算求解图论中的问题这一领域已经取得了不少的成果，文献[19]中利用粘贴DNA计算模型建立求解图同构问题的DNA计算模型，文献[22]利用k-臂DNA计算模型建立了另外一种求解图同构问题的模型。
应用Hopfield网络研究图的同构问题始于马颂德[15]、陈国良[16-17]等人。
其后，有一些学者利用神经网络模型来研究图的同构问题，如Brijnesh与Fritz提出了一种解决严格与非严格赋权图同构的神经网络方法。
有别于其他的启发式及关联式算法，该方法巧妙设计了神经计算程序，通过一能量最小化匹配处理减小了搜索空间[23]。
本章在已有工作的基础上，通过加入顶点邻域的思想，将顶点度加入到能量函数之中，进而加入到网络的运行方程之中，使得网络的运行速度得以加快，自然也减少了一些局部极小值，建立了一种新的神经网络求解图的同构问题的改进算法。
2 图的同构两个表面上似乎很不相同的图，本质上可能是完全一样的，或者说，这两个图是同构的。
如图1中所示的三组图：M、与M'；H与'H；G与'G，它们表面上不同，但实际上每组图之间是同构的。
其中的图M 就是著名的Petersen图。
在本文中分别用()V G，()E G分别表示图G的顶点集和边集。
M M'H'H341'3'7'5'4'6'2'8'G 'G图1 三组同构的图本文所言之图皆指无自环、无重边的有限无向简单图，用)(G V 、)(G E (或E V ,)分别表示图G 的顶点集和边集，两个图G 与'G ，称为是同构的，如果存在一个从)(G V 到)'(G V 之间的保持相邻性的1-1映射，换言之，存在1-1映射：σ：)(G V →)'(G V ，且),(,G V v u ∈∀ )(G E uv ∈当且仅当)'()()(G E v u ∈σσ，称σ是从G 到'G 的一个同构映射。
全体从G 到G '的同构映射构成的集合记作)',(G G I 。
3 模型及算法设G 与'G 是两个同构的图，},,,,{)(21p x x x G V =, },,,{)'(21p y y y G V =，)'(G G I ，∈σ且满足p l i y x l i ,,2,1,,)( ==σ (3.1)置),(l i y x 为网络的神经元，它表示同构映射σ把图G 的顶点i x 映射到图'G 的顶点l y 。
显然，由此而构成的神经网络共有p p ⨯个神经元。
当网络稳定时，用il v 表示神经元),(l i y x 的输出，定义:⎩⎨⎧==否则若0)(1li il y x v σ (3.2)例如，图1中第三组中所示的两个图G 和'G 是同构的，其中一个同构映射为⎪⎪⎭⎫⎝⎛='2'8'3'5'6'4'7'187654321σ由同构映射σ可构成一个p p ⨯阶矩阵p p il v V ⨯=)(σ，称为置换矩阵，如图1给出了两个8-阶的3-正则图G 和'G ，σ是一个保持相邻性的从)(G V 到)'(G V 的同构映射，由(3.2)式可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000001010000000000001000001000000100000000010000100000000000001σV 下面来分析一下σV 的一些基本性质：由σ是1－l 映射，保证了σV 的每一行、每一列有且仅有一个元素为1，而其余的元素均为0。
由此获得：pi vpl il,,2,1,11==∑= (3.3)p l vpi il,,2,1,11==∑=(3.4)设图G 与'G 的相邻矩阵分别为A 与'A ， p p ij a A ⨯=)(，p p ij a A ⨯=)'(', 于是，由σ可保持相邻性有：对于)(,G V x x j i ∈∀⎭⎬⎫∉=⇔∉∈=⇔∈)'()()()()'()()()(G E lm j i G E ij G E lm j i G E ij σσσσ (3.5)即 ⎭⎬⎫=⇔==⇔=0'01'1lm ij lm ij a a a a (3.6)基于(3.2)和(3.6)，有p m l j i v v a a jm il lm ij ,,2,1,,,,0)('==- (3.7) 令},,,{)(21p x x x G V =。
设)(G V x i ∈，用)(i x Γ来表示顶点i x 在图G 中的邻域，用|)(|i i x d Γ=来表示顶点i x 的度数，p i ,,2,1 =。
我们约定，一个图G 的度序列，记做)(G π，是指满足单调递增的度序列：),,,()(21p d d d G =π其中，p d d d ≤≤≤ 21同样，},,,{)'(21p y y y G V =，且令''')(jj G d y d =来表示图'G 中顶点j y 的度数，p j ,,2,1 =。