例谈寻找最优解的方法总结

例谈寻找最优解的方法总结

学生解简单的线性规划及相关类问题的难点是：如何利用可行域求得最优解.这里介绍五种方法供同学们参考.

1 直线平移法

平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等.

例1求Z=10x+15y的最大值，使得x、y满足约束

条件：

解：作出约束条件所表示的平面区域（如图1），

即可行域.

作直线l：10x+15y=0,即直线l：2x+3y=0,把直线l

向上方移至m的位置，直线经过可行域上的点P.

此时Z=10x+15y取最大值.解方程组

得P点坐标x=6，y=9，代入计算得Z

=195.

max

说明：在直线向上平移过程中，Z的值是变大还是变小，这可以通过直线的法向量来判断，当直线沿直线对应的法向量方向平移时，Z值变大，反之则变小.如例1中直线l的法向量为(2,3)，所以直线l向上平移时Z的值变大.

另外，通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性.

2 斜率比较法

平移法的缺陷在于，当可行域的顶点数较多时，不易直观地判断出哪个或哪几个顶点的坐标是最优解.这时若进一步考虑直线斜率的大小，则可以确定出最优解. 例2求Z=600x+1000y的最大值，使得x、y满足约束条件：

解：作出约束条件所表示的平面区域（如图

2），即可行域.

作直线l：600x+1000y=0,即直线l：3x+5y=0.

因为-<-<-<-，即k

EN

MN

l

FN

，所以把直线l向上方移至m的位置，直

线经过可行域上的点M，此时Z=600x+1000y取最大值.

解方程组得M的坐标x=，y=，代入计算得Z

max

=．

说明：确定了直线斜率的大小，实质是确定了直线在向上平移的过程中，经过可行域顶点的先后顺序，从而得到最优解并求得相应Z的最大值.

3 代入检验法

代入检验法在涉及最优解为近似解或整格解的问题时，是一种行之有效的方法，具有其它方法不可替代的作用.另外如例2，由于最优解对应的顶点应是M，N中的一个，所以我们也可以通过“代入检验法”将M，N点坐标对应的x，y代入计算得Z值，从而求得Z的最大值及相应的最优解.

例3某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t .甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？

解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，那么，z=600x+1000y.根据例2得最优解x=，y=.由于12.5>>12.4,

34.5>>34.4,设直线n ：3(x-12.4)+5(y-34.4)=0，结合图2,再设直线n与

直线MF交点A，直线n与直线MN交点B.AMB内及边界上精确到0.1的点有

(11.9,34.7)，（12.1,34.6），(12.3,34.5)，(12.4,34.4),代入检验得当x=12.3，y=34.5时对应z值大.所以在可行域内，精确到0.1的所有点中当x=12.3，y=34.5时z值最大.

答：应生产甲产品约12.3t,乙产品34.5t，能使利润总额达到最大.

说明：这是高中新教材第二册上册第七章，“简单的线性规划”一节中的例3（P62～63）.原解中的答案为x=12.3，y=24.4，这个结果直接来自于取x=，

y=的不足近似值.显然这个答案过于简单化了，实际是给出了一个不良的导

向，使得学生在后续解题中，不知到底应该取不足近似值，还是过剩近似值，引起解题中的思维混乱.其实从“代入检验法”可知，这里x，y的近似取值应由目标函数值的大小来确定，而不是简单取近似值的问题.对于x，y要求整数的情况也可以类似例3求得相应解.

4 直线旋转法

当目标函数涉及到某定点的距离问题时，我们可以考虑“直线旋转法”.

例4已知平面区域，函数z=x2+y2.问z在哪一点处取得最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？

解一：作出约束条件所表示的平面区域（如图3），即可行

域ABC.

过原点作直线EF，设与可行域ABC边界的交点为E、F.因

为=，所以z2表示点(x,y)到原

点的距离，所以线段EF上到原点距离最小点为E.将直线绕

原点旋转，则E点跑遍线段AB，又线段AB上到原点距离最

小点为过原点作直线AB垂线的垂足H.求得垂直OH的方程

为：2y-x=0,并求得垂足H的坐标为（，），计算得z

min

=.

同理，距离最大点为F，将直线绕原点旋转，则F点跑遍线段AC和BC，由于k

AC

、

k BC 都大于0，所以C点到原点的距离最大.计算得C点的坐标（2，3），z

max

=12.

说明：用旋转直线法求最优解，实质是一种整体局部化思想.

5曲线扩张法

通常将二元的目标函数中的Z看作一常数，则方程的几何意义为一曲线，如例4中方程Z==x2+y2表示的曲线为以原点为圆心，半径为的圆.利用这一特点往往可以轻松找到最优解.

解二：因为方程Z==x2+y2表示的曲线为以原点为圆心，半径为的圆.考察图3知，当圆与直线AB相切时Z值最小.

RT ABC中OH AB，所以有|OH|·|AB|=|OA|·|OB|，计算得|OH|=.

H的坐标x=|OH|cos HOB=|OH|cos OAB=,

y=|OH|sin HOB=|OH|sin OAB=,即可行域内点（，）使Z取得最小，最小值为.

当圆过C点时Z值最大，C为已知直线AB与BC的交点，易计算得C点的坐标（2，=12.

3），此时z

max

说明：由于圆的半径为，所以同一圆弧上的点对应的Z值相等，且圆的半径越大相应的Z值越大，这是判断最优解的依据.而且这一思路可以适用于更为一般的曲线问题.