高中数学三角函数式的化简与求值
第9讲 三角函数的化简与求值
第九讲: 三角函数的化简与求值一、知识要点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 二、方法点拨三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点.提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题获解.对角的变形如下:角的变换：β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=,)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4(24α-π-π=α+π特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=222222cot csc tan sec cos sin 1.4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法. 常用降幂公式有:1cos sin ,22cos 1cos ,22cos 1sin 2222=α+αα+=αα-=α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的.5. 公式变形式: 根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用,逆用以及变形式的应用.如:)tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±ααα=α 等. 三、典型例题讲解:考点一、三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【训练1】 化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考点二、三角函数式的求值【例1】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值． 训练2】已知cos(α-6π)+sin α=354，则sin(α+67π)的值是（ ）训练3】已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________训练4】已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________考点三、三角函数的求角问题【例1】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．【训练2】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．考点四、 三角函数的综合应用【例1】►设0<θ<2π，曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ－y 2sin θ=1有4个不同的交点。
高中数学专题：三角函数的化简与求值
2＋3，
则常数 a＝________.
解析
1＋2cos2x－1 f(x)＝ 2cos x ＋sin
x＋a2sinx＋π4
＝cos x＋sin x＋a2sinx＋π4
＝ 2sinx＋4π＋a2sinx＋π4 ＝( 2＋a2)sinx＋4π. 依题意有 2＋a2＝ 2＋3， ∴a＝± 3.
答案 ± 3
α
＝2
2sin
α＝－2
5
5 .
答案 A
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4.已知f(x)＝sin2
x＋4π，若a＝f(lg
5)，b＝f(lg
1 5
)，则(
)
A.a＋b＝0
B.a－b＝0
C.a＋b＝1
D.a－b＝1
解析 a＝f(lg 5)＝sin2(lg 5＋4π)
1－cos2lg
2 .
又∵cosπ4－β2＝ 33，－2π<β<0， ∴sinπ4－β2＝ 36，
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
∴cosα＋2β＝cosπ4＋α－π4－β2 ＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2 ＝13× 33＋232× 36＝593. 答案 C
＝－41＋34＋1＝23.
点评 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角 函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律 技巧．
变式训练2 (1)(四川)已知sin α＋2cos α＝0， 则2sin αcos α－cos2α的值是________． 解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2， 又∵2sin αcos α－cos2α＝2sinsiαn2cαo＋s αc－osc2αos2α
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数的化简详解
三角函数的化简1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
一、化简 【例1】求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.【变式】1、求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2【变式】2、求0020210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-。
【例2】（三兄弟）已知23523sin cos παπαα<<=-，且，求αααtan 1sin 22sin 2-+的值【变式】（05天津）已知727sin(),cos 241025παα-==，求sin α及tan()3πα+．【例3】（最值辅助角）已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,2π]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。
三角函数化简求值的技巧
三角函数化简与求值常用技巧
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由 于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技 巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到 正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、 次数、结构”等几方面着手解决.
一、三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换 中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.
【例 1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
【变式演练】已知 sin
x－π
4
＝3,则
sin
2x 的值为(
)
5
A．－ 7 25
B. 7 25
C. 9 25
D.16 25
【解析】法一、sin 2x＝cos(2x－ π )＝1－2sin2(x－ π )＝1－2×(3)2＝ 7 ,选 B.
2
4
5 25
法二、依题意得 2(sin x－cos x)＝3,1(sin x－cos x)2＝ 9 ,1－sin 2x＝18,sin 2x＝ 7 ,选
C、
9 13
D、
13 9
【例
1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
C、
9 13
D、
13 9
【分析】依题意,可求得 tan α＝
三角函数化简求值常用技巧
三角函数化简求值常用技巧三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一。
掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍。
这也是解决三解函数问题的前提和出发点。
一、切割化弦例1、已知 )2(cot tan22≥=+m m x x ，求xx 4cos 14cos 3-+的值。
解： 24cos 14cos 34cos 1)4cos 3(24cos 12cos 444cos 1)2cos 1(484cos 12sin 48)4cos 1(812sin 2112sin 412sin 2112sin 41cos sin 2)cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin 2cot tan 2222222222222244222222m x x m x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+∴=-+=-+=---=--=--=-=-+=+=+∴=+Θ 点评：由已知式与待求式的差异知，若选择“从已知到未知”，必定要“切切割化弦”；利用降幂公式实现已知与未知的统一。
二、统一配凑例2、已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值. 解：注意到2α= (α－β)+(α+β)，于是可用配凑法求解。
∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π, ∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=点评：本题以凑角的形式来实现未知与已知的统一，这是三角函数化简求值的常用技巧之一。
三、异角化同例3、已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:22=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解Θ 点评：本题求解关键是将如何将已知条件中的角与目标关系式中的角统一起来。
【全程复习方略】(广西专用)高中数学 4.4三角函数的化简与求值配套课件 理 新人教A版
1.三角恒等变换的基本公式 (1)三角函数的基本关系 sin2α+cos2α=1 ； ①平方关系:________________
sin ②商数关系:__________ cos ； tan
tanαcotα=1 ③倒数关系:_____________.
(2)和角、差角公式及二倍角公式 ①和角公式→二倍角公式
②差角公式 cosαcosβ+sinαsinβ； cos(α-β)=_____________________ sinαcosβ-cosαsinβ； sin(α-β)=_____________________
tan tan 1 tantan tan(α-β)=__________.
2 2 2 2
= tan( ) =-cotα,tanπ
2
tan( ) tan( ) 2 2 tan( ) 2 2 1 tan( )tan( ) 2 2 cot cot 0. 1 (cotcot)
a
(4)拆角，把一非特殊角拆成两个特殊角的和与差的形式，展 开化简. (5)将题中是分式的变形后约分，是整式的变形后产生相消项.
【例1】求值： (1)(2012·柳州模拟)4sin235°-cos110°-tan160°sin70° =_______. (2) sin50(1 3tan10) cos20 =_______.
【即时应用】 (1)思考：在两角和与差的正切公式中，若其中一个角为 ，
2
公式还成立吗？能用二倍角的正切公式计算tanπ吗？
提示：因为 tan 无意义，所以公式都不成立，不能用二倍角公 式计算tanπ，不妨令 ，则 tan( ) cot , tan( )
【高考风向标】高考数学一轮复习 第六章 第6讲 三角函数的求值、化简与证明课件 文
设 φ(t)＝t＋4t ，由(1)知 t∈[1， 2]， ∴φ′(t)＝1－t42<0， 即函数 φ(t)在区间[1， 2]上是减函数， 其最小值为 φ( 2)＝ 2＋ 42＝3 2. 即 x＝π4时，函数 f(x)的最小值为 3 2. 【失误与防范】认清二次函数问题是解决问题的关键，例如： 若 sinα＋cosα 是“一次”，则 sinαcosα 是“二次”；若 1＋k是“一 次”，则 2k＋1 是“二次”等．
∵x∈0，2π，∴x＋π4∈π4，34π. ∴ 2sinx＋π4∈[1， 2]． ∴sinx＋cosx 的取值范围是[1， 2]． (2)设 t＝sinx＋cosx，则 t2＝(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx,2sinxcosx＝t2－1. 则 f(x)＝2ssiinnxxc＋oscxo＋sx5＝t2＋t 4＝t＋4t .
＝－2sicno2s05°0s°in70°＝－2sicno2s05°0c°os20°
＝－cossin5400°°＝－cocso5s05°0°＝－1.
切化弦和边角统一都是基本方法．关于三角形中的 三角函数问题，边角的统一是问题的切入点，等式右边的分子分 母均为 a，b，c 的二次齐次式，所以考虑使用余弦定理．
易错、易混、易漏 11．三角函数中的二次函数问题，忽视了自变量范围的研究 例题：已知函数 f(x)＝2ssiinnxxc＋oscxo＋sx5，x∈0，2π.
(1)求 sinx＋cosx 的取值范围； (2)求函数 f(x)的最小值．
正解：(1)sinx＋cosx＝
2
22sinx＋
2
2
cosx
＝ 2cos4πsinx＋sinπ4cosx＝ 2sinx＋π4.
2．三角公式的三大作用 (1)三角函数式的化简． (2)三角函数式的求值． (3)三角函数式的证明． 3．求三角函数最值的常用方法 (1)配方法． (2)化为一个角的三角函数． (3)数形结合法． (4)换元法． (5)基本不等式法等．
三角函数的化简与求值
1．三角恒等变换的两原则（1）化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式。
（2）消除异差：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构式等方面的差异。
2．三角函数式的化简 （1）化简要求①三角函数名称尽量少；②次数尽量低；③能求值的尽量求值； ④尽量使分母不含三角函数；⑤使被开方数不含三角函数． （2）化简思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用，另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法 (3)化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，和差化积，积化和差等。
3．三角恒等式的证明 (1)证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪些证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等。
(2)证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始．通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。
1. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），如 （1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ （答：322）；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）； （3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：43(1)55y x x =<<）(2)三角函数名互化(切化弦)，如 （1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
高考数学二轮复习第1讲三角函数的化简与求值课件
.
5
5
答案 2 4
25
解析 两式平方相加得13-12sin αcos β-12cos αsin β= 3 7 , 则12sin(α+β)=13-3 7
25
25
= 2 8 8 ,sin(α+β)= 2 4 .
25
25
12/11/2021
x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=
例1 (2018高考数学模拟)如图,在直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边
与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈
6
,.将2 角α的终边按逆时针
方向旋转 ,交单位圆于点B,记A(x1,y1),B(x2,y2). 3
12/11/2021
(1)若x1=
1 3
,求x2;
(2)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D,记△AOC的面积为S1,△BOD的面
1tan2αtan(αβ) 1 1
12/11/2021
【方法归纳】 解决三角函数的给值求角问题的关键是角的变换和三角公 式的选择,对于角的变换,若已知角与所求角之间有2倍的关系,则利用二倍角 公式求解,在此过程中,要注意同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1与tan α= s i n 的α 应用;若已知角与所求角之间是和或差的形式,则先用已知角和特
3
5
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
12/11/2021
解析 (1)因为tan α= s i n =α 4 ,所以sin α= 4
cosα 3
3
因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α= 9 ,
例析三角函数求值与化简的三种常用方法
题过程简单明了。
作 者 单 位 :湖 北 省 巴 东 县 第 三 高 级 中 学
(责任编辑 郭正华)
16
三 、巧 用 “1”的 变 换 法
例3
已
知
1+tanx 1-tanx
=5+2
6,则
1c -os sin 2x2x=
。
解
:由
1+tanx 1-tanx
=tan(45°+x
),可
得
tan(45°+x)=5+2 6。
1c -os sin 2x2x=1+ sic no(s 90 (9 °0+°2 +x2x ))
m
=
3。 2
(3)原
方
程
可
化
为
2x2
-(3+1)x+
3 2=
0,解
得
x1
=
23,x2
=
1 2
,所
以
ìïïsinθ= í
3, 2或
îïïcosθ=
1 2
ìïïcosθ= í
3, 2又
îïïsinθ=
1 2
。
因
为
x∈
(0,2π),所
以θ=
π 3
或θ=
π。 6
评析:已 知 sinθ+cosθ,sinθ-cosθ, sinθcosθ 中的任 何 一 个 值,则 另 两 个 式 子 的 值均可求出。
知识篇·知识结构与拓展 高一使用 2020年4月
■张红梅
三角函数求值与化简的三种常用方法:
弦切互化法、和积转换法、巧用 “1”的 变 换 法。
下 面 举 例 分 析 ,供 大 家 学 习 与 参 考 。
三角函数中的求值与化简
三角函数中的求值与化简三角函数中公式较多，这些公式应用非常广泛；对这些公式的考查常以求值与化简的形式出现；这类问题难度虽然不大，但高考卷面上失分情况仍然常见，究其原因，就是对公式记得不熟。
熟记公式必须做到：一理解记忆，即根据公式的来龙去脉去记，对每个公式是怎样得到的，要做到心知肚明，如同角三角函数关系式与诱导公式可由三角函数的定义直接推出；两角和差的正、余弦公式、正切公式、倍角公式、半角公式、和差化积公式、积化和差公式、万能公式、辅助角公式可由两角和的余弦公式推出。
二公式的结构特点、公式的变形，公式的限制条件也必须牢记。
公式记熟了，化简与求值问题就会迎刃而解，下面举例说明。
例1．（97全国高考题）︒︒︒︒︒+︒sin8sin15cos7sin8cos157sin －的值为 分析：由cos15°sin8°、sin15°sin8°的结构特点容易联想到两角差的正、余弦公式，将7°写成15°－8°解：略。
例2．（96全国高考题）tam20°＋tan40°＋3tan20°tan40°的值是分析：从式子的结构特点容易联想到两角和的正切公式有：tam20°＋tan40°＝tam （20°+40°）（1－tan20°tan40°）＝3－3tan20°tan40° 所以原式的值为3例3．（05全国高考卷Ⅲ）αα α＋αcos2cos ·cos212sin 22等于（ ） A ．tan α B ．tan2α C ．1 D ．21 分析：式子中分子有因式cos 2α，分母有因式1＋cos2α，由此可联想到二倍角的余弦公式cos2α＝2cos 2α－1，即1＋cos2α＝2 cos 2α便可得出结果选B 。
例4．（95年全国高考题）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值分析：降次是三角变换中常用的方法，于是： 原式＝21（1－cos40°）＋21（1＋cos100°）＋21（sin70°－sin30°） ＝1＋21（cos100°－cos40°）＋sin70°－41＝43－sin70°sin30°＋21sin70°＝43 由此式的结构特点易联想到余弦定理：在△ABC 中，由正、余弦定理易得：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2 sinAsinBsinC ，于是：原式＝sin 220°＋sin 240°－2sin20°sin40°cos120°＝sin 2120°＝43 联想到sin 2θ＋cos 2θ＝1及两角和差的正弦公式，还可得到下面解法：设M ＝sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°N ＝cos 220°＋sin 250°＋cos 20°sin 50°则M ＋N ＝2＋sin70°M －N ＝－cos40°＋cos100°＋sin （－30°）＝－2sin 70°sin 30°－21∴2M ＝23即M ＝43 例5．(04全国高考卷)已知α为第二象限角，用sin α=415，求：1cos2sin24sin α＋α＋）π（α＋的值。
三角函数的化简与求值
φ=
2
a
2
a b
,sin φ=
b
2
a b2
).
二、二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α;
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第四章 4.2 三角函数的化简与求值
cos 2α=cos α-sin α=1-2sin α=2cos α-1; tan 2α=
7 2 = sin( -x).
第四章 4.2 三角函数的化简与求值
题型1 三角函数式的化简
例1 (1)化简sin(3x+ )cos(x- )+cos(3x+ )cos(x+ );
3
6
3
3
(2)化简
tan α tan2α tan2α tan α
+ 3 (sin α-cos α).
2
2
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第四章 4.2 三角函数的化简与求值
三、半角公式 sin =±
2 θ
1 cos θ , 2
cos =±
2
θ
1 cos θ , 2
tan =±
2
θ
1 cos θ , 1 cos θ
θ 其中符号“±”的选取由 角的范围确定. 2
用正余弦来表示正切的半角公式: tan =
α 2
s in α 1 cos α = 1 cos α s in α
= 1 m2
m
2 ,tan 5 = 1 ta n 2 5
2 ta n 5
=
1 m m 2 1 1 m
2
m
2
2022届高三数学一轮复习三角函数之三角公式的化简与求值 题型方法归纳
高考数学专题—三角函数（三角公式的化简与求值）高中阶段三角函数公式主要包括：同角三角公式、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、和差化积与积化和差关系式。
（1）同角三角公式—主要用于正弦、余弦、正切之间的计算与推导（2）诱导公式—将角的三角函数值推广到全体实数（3）两角和差与二倍角公式—研究不同角度之间的公式一、三角函数求值与化简必会的三种方法（常用）(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则A．B．C．D．【答案】A【解析】，得， 即，解得或（舍去），又.故选：A ． 例2、cos 150−sin 150cos 150+sin 150=A,−√3 B,0 C√3 D,√33法一：利用两角和差公式，求出cos 150，sin 150因为cos 150=cos (450−300)=cos 450cos 30°−sin 450sin 300=√6+√24同理可得sin 150=√6−√24所以cos 15o −sin 150cos 150+sin 150=√6+√24−√6−√24√6+√24+√6−√24=√33故选D法二:利用利用同角的正弦与余弦平方和为1，求解。
因为sin 150>0，cos 150>0 所以令cos 150−sin 150cos 150+sin 150=t (t >0)t 2=cos 2150−2cos 150sin 150+sin 2150cos 2150+2cos 150sin 15°+sin 215°=1−sin 3001+sin 300=13故选D法三：利用平方差公式，将非特殊角转化为特殊角。
三角函数的化简、求值——诱导公式
三角函数的化简、求值——诱导公式
三角函数的化简和求值是解决三角函数问题中常见的任务，而诱导公式是一种常用的化简工具。
首先，让我们回顾一下三角函数的基本定义。
对于任意角θ，正弦函数sin(θ)定义为对边与斜边的比值，余弦函数cos(θ)定义为邻边与斜边的比值，而正切函数tan(θ)定义为对边与邻边的比值。
现在，让我们来讨论一下诱导公式。
诱导公式是指一组用于将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数的公式。
最常用的诱导公式包括：
1. 正弦函数的诱导公式，sin(α±β) = sinαcosβ ±
cosαsinβ。
2. 余弦函数的诱导公式，cos(α±β) = cosαcosβ ∓
sinαsinβ。
3. 正切函数的诱导公式，tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)。
这些诱导公式可以帮助我们化简复杂的三角函数表达式，或者求解包含多个角的三角函数表达式。
通过使用这些诱导公式，我们可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数，从而更容易地进行计算和分析。
当我们需要化简或求解涉及多个角的三角函数表达式时，诱导公式是非常有用的工具。
通过灵活运用这些公式，我们可以更加高效地解决各种三角函数相关的问题。
因此，熟练掌握诱导公式是学习和应用三角函数的重要一步。
高一数学。三角函数化简和求值超难方法汇总
高一数学。
三角函数化简和求值超难方法汇总第九讲三角函数式的恒等变形1.基本知识与基本方法1.1 基本知识介绍①两角和与差的基本关系式：cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta $$sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $$tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\a lpha\tan\beta}$$②和差化积与积化和差公式：sin\alpha+\sin\beta=2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\co s\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$cos\alpha+\cos\beta=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\c os\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\al pha-\beta)\right)$$cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right)$$cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\ alpha-\beta)\right)$$sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right)$$③倍角公式：sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$④半角公式：sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$$tan\frac{\alpha}{2}=\pm\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\fra c{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$$⑤辅助角公式：如果$a,b$是实数且$a^2+b^2\neq0$，则：a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi)$$其中$\phi$满足：sin\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$cos\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$1.2 基本方法介绍①变角思想：在三角化简、求值中，往往出现较多相异的角，可根据角与角之间的关系，通过配凑，整体把握公式，消去差异，达到统一角的目的，使问题求解。
三角函数的求值与化简
三角函数的求值与化简一 三角函数式的化简与证明 1．两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(C α＋β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C α－β) tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(T α＋β)tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β(T α－β)2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；(S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α)3．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan (α＋β)/(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan (α－β)/(1＋tan αtan β)． (2)升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2.(3)降幂公式 sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2. (4)其他常用变形sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22； tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.5．角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝⎝⎛⎭⎫α－π3＋π3. 例1化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________.即时训练1化简：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝________.例24cos 50°－tan 40°＝( ) A.2B.2＋32C.3D.22－1 (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－513，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝45且0<β<π2<α<π，则sin(α＋β)的值为________．即时训练2．(1)已知α为锐角，且sin α(1＋3tan 10°)＝1，则α的值为________． (2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．。
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三角函数三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值. 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维.解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.(3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则 x =4π，故f -－1(1)= 4π. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan2βα+的值是( ) A.21 B.－2C.34 D.21或－2 二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=_________.3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________.三、解答题4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π, ∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) .6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯= 解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0.tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2. 答案：B2.解析：∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-⨯-+---=β⋅α+β-α=β-α-=---⨯=β-β=β答案：2473.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π)=53. 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即 答案：6556 三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin 2csc )cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解 π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ） ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－1.7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ. 于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π)－63.∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为的中点，P (21,23). 8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t ..21,232,2,258log 2log 82log ,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max 2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=∴x x t y M M y M t t t tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当第四章 三角函数§4-1 任意角的三角函数 一、选择题：1．使得函数 有意义的角在（ ）（Ａ）第一，四象限 （Ｂ）第一，三象限 （Ｃ）第一、二象限 （Ｄ）第二、四象限２．角α、β的终边关于У轴对称，（κ∈Ζ）。