2015届高考数学总复习第九章 第八节几何概型精讲课件 文

(2)当甲船的停泊时间为 4 小时， 两船不需等待码头空出， 则 满足 x－y>2 或 y－x>4，设在上述条件时“两船不需等待码头空 0≤x<24， 出”为事件 B，如图 2，画出区域0≤y<24， y－x＞4或x－y＞2. 1 1 2×20×20＋2×22×22 442 221 则 P(B)＝ ＝576＝288. 24×24
点评：与体积有关的几何概型的概率问题，可根据题意列出 条件，找出试验的全部结果构成的空间图形区域及事件 A 构 成的空间图形区域，这一过程通常要用到立体几何的有关知 识与公式．
变式探究
3．(2013· 南京模拟)已知正三棱锥 SABC 的底面边长为 4， 1 高为 3，则在正三棱锥内任取一点 P，使得 VPABC< VS2 ABC 的概率 是________．
与面积有关的几何概型 【例2】 在可行域内任取一点，
规则如程序框图所示，求能输
出数对(x，y)的概率．
思路点拨：即在可行域 －1≤x＋y≤1，
－1≤x－y≤1
内取点(x，y)，求它在 1 2 2 x ＋y ≤2内的概率．
1 解析： 由题意， 求输出的数对(x，y)的概率， 即求 x ＋y ≤2所 －1≤x＋y≤1， 表示的平面区域与不等式组 所表示的平面区域 －1≤x－y≤1 面积的比．
解析：(1)如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 6 1 1 的长度为：1＋2＋3＝6，故所求概率为 P＝12＝2.
(2)f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7， 依题意， 知 f′(x)在 R 上恒大于或等于 0， 所以 Δ＝4(m2－6m ＋8)≤0，得 2≤m≤4. 4－2 1 又 m∈[1,7]，所以所求的概率为 ＝3. 7－1 1 1 答案：(1)2 (2)3
3 A.5
4 B.5
6 C.5
3 D.2
解析： 随机向正方形内投入 200 粒芝麻， 恰有 60 粒落入阴影 60 3 部分， 则样本估计为200＝10， 由此可以估计不规则图形的面积为 3 6 2 10×2 ＝5，故选 C. 答案：C
与体积有关的几何概型 【例 3】 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 O 为底 )
点评：求与长度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表
示的几何模型转化为长度，然后求解．确定点的边界位置是
解题的关键．
变式探究
1．(1)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，现作一矩形， 邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为 ( ) 1 1 2 4 A.6 B.3 C.3 D.5 (2)设 f(x)＝x2－2x－3(x∈R)，则在区间[－π，π]上随机取一 个实数 x，使 f(x)<0 的概率为( ) 1 2 3 3 A.π B.π C.π D.2π
1 解析：设三棱锥 PABC 的高为 h，因为 VPABC< VS2 ABC， 1 1 1 3 所以3S△ABC×h<2×3×S△ABC×3，所以 h<2，即点 P 位于中截 面以下，故所求概率为 3 1 1 S△ABC× × 2 7 3 4 P＝1－ 1 ＝8. 3S△ABC×3 7 答案：8
解析：(1)设 AC＝x cm(0<x<12)，则 CB＝12－x(cm)，则矩形 面积 S＝x(12－x)＝12x－x2<32，即(x－8)(x－4)>0，解得 0<x<4 4＋4 2 或 8<x<12，由几何概型概率公式，得概率为 P＝ 12 ＝3，故选 C. (2)由 f(x)＝x2－2x－3<0， 得－1<x<3， 所以 f(x)<0 的概率为 P 3－－1 2 ＝ ＝ .故选 B. π－－π π 答案：(1)C (2)B
面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P， 则点P到点O的距离大于1的概率为(
π A.12
π B．1－12
π C.6
π D．1－6
解析：依题意知，这是一个与体积有关的几何概型问题，在 正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P， 因点 P 到点 O 的距离大 于 1，因此点 P 应在以 O 为球心，以 1 为半径的半球之外，但又 在正方体内，设所求的概率为 P(A)，则 2 3 3 2 － π × 1 VABCDA1B1C1D1－V半球O 3 π P(A)＝ ＝ ＝1－12.故选 B. VABCDA1B1C1D1 23 答案：B
2 2
1 π×2 π 如上图所示，所求概率 P(A)＝ ＝4 . 2× 2
点评：求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结
果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积
的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划知识 联系在一起．
变式探究
2.如图，边长为2的正方形内有一不规则
阴影部分，随机向正方形内投入 200 粒 芝麻，恰有60粒落入阴影部分，则不规 则图形的面积为( )
思路点拨：将两艘船的到达时间分别设为x，y，依据题设条 件得到关于x，y的不等式，在坐标系中表示区域，用面积关 系求得概率． 解 析 ： (1) 设 甲 、 乙 两 船 到 达 时 间 分 别 为 x ， y ， 则
0≤x<24,0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.
0≤x＜24， 如图 1，作出区域0≤y＜24， y－x<4或y－x<－4. 设“两船无需等待码头空出”为事件 A，则 1 2×2×20×20 25 P(A)＝ ＝36. 24×24
几何概型的实际应用题 【例4】 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的
码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的． (1)如果甲船和乙船停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一
条船不需要等待码头空出的概率；
(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时， 求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．
第九章
第八节
几何概型
与长度有关的几何概型
【例1】
(1)一只蚂蚁在三边长分别顶点的距离均超过1的概 率为________．
x3 (2)已知m∈[1,7]，则函数f(x)＝ －(4m－1)x2＋(15m2－2m－ 3
7)x＋2在实数集R上是增函数的概率为________．