2020届全国100所名校高考模拟金典卷高三文科数学(九)试题(word无答案)
【名校试题】2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学(一)试题(解析版)
100所名校高考模拟金典卷·数学（一）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A. {|22}x x -<< B. {|24}x x -≤≤ C. {|22}x x -≤≤ D. {|24}x x -<≤【答案】B 【解析】 【分析】直接利用并集的定义计算即可.【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2.已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】C 【解析】 【分析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模计算的公式计算即可.【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题. 3.某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A. 36.5 B. 30C. 33D. 27【答案】D 【解析】 【分析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4.已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A. 3 B. 7C. 7-D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题. 5.已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6.已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A.B.C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由(2)0a a b ⋅-=r r r ，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r， 即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r，所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r ==故选：A【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.7.已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ）A. 关于点()1,2对称B. 关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于点()3,3对称 D. 关于点()1,3对称【答案】B 【解析】 【分析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到.【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生【答案】C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到， 所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.9.函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D.【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.163πB.3π C.29π D.169π【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A. 2sin 2x - B. 2sin2xC. 2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D. 2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ，所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12.如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A.2 B.21 C. 2D.21【答案】D 【解析】 【分析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可.【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R . 四棱锥的体积112223323P ABCD ABCD V S PD -=⨯⨯==W ， 四棱锥的表面积S 2112222222242222PAD PAB ABCDS S S =++=⨯+⨯⨯=+V V W ， 因13P ABCD V S -=⨯R ⨯，所以32212142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】【分析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344zy x=-，易知截距越小，z越大，平移直线34y x=，可知当目标函数经过点A时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题. 14.曲线()e 43x f x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________. 【答案】52y x =- 【解析】 【分析】直接利用导数的几何意义计算即可.【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =-【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +-- 【解析】 【分析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可.【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--， 又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +--【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16.已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】 【解析】 【分析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意. 因为b a >，所以22211b e a=->，所以e >3.e <≤故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,856[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】 【分析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18.在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c+的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】 【分析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）. （2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===213213sin ,sin 33a A c C ∴==， 213(sin sin )3a c A C ∴+=+ 213[sin sin()]3A AB =++ 21321313sin sin sin sin cos 3233A A A A A π⎡⎤⎡⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦213sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()213a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.19.在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -3时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可．【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=222a a ⎛+ ⎝⎭= ,'2a OD =因为1'3V S OD =⨯⨯==所以2a =．【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△化简即可解决. 【详解】(1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△，1m ≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 21.设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x-=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】 【分析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<，构造函数()211ln 1h a a a a =++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->． ∴()211ln 10h a a a a =++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】 【分析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决.【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为2212x t y ⎧=-+⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23.已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x -＃；（2）[7,3]-【解析】 【分析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立， ∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
2020年高考数学全国百所名校精粹重组卷(9)试题 新人教
2020年高考全国百所名校精粹重组卷（9）数 学 试 卷第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则z=（ ）[来源A ．i 2323+-B ．3322i - C ．3322i + D ．3322i -- 2．如果执行右面的程序框图，那么输出的S = （ ）A ．2400B ．2450C ．2500D ．25503．设P ．Q 是两个非空集合，定义P*Q ＝{（a ，b ）|a∈P，b∈Q}．若P ＝{0,1,2}， [来源:学,科,网]Q ＝{1,2,3,4}，则P *Q 中元素的个数是 （ ） A ．4个 B ．7个 C ．12个 D ．16个4．下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列 的一个通项公式为 （ ）A ．a n =3n-1B ．a n =3nC ．a n =3n -2nD ．a n =3n-1+2n-3 5．已知函数22()(4)2f x x b a x a b =+--+-是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是（ ）.A - 4.B 2.C 3.D 46．在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10-B ．10C ．5-D ．57．△ABC 的内角A ．B ．C 分别对应边a ．b ．c ，若a ．b ．c 成等比数列且sinA=2sinC ，则cosB=（ ）A ．41B ．42C ．32D ．43 8．已知集合}0|){(≥+-=m y x y x A ，，集合}1|){(22≤+=y x y x B ，，若φ=B A I ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2-<mB ．2->mC ．2<mD ．2>m9．设正数y x ,满足1=+y x ，若不等式41≥+yax 对任意的y x ,成立，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．4≥aB ．a ＞1C ．1≥aD ．a ＞410．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为 （ ）A ．75 B ．107 C ．3524 D ．7047 11．三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”． 乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”． 丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是（ ）.A [1,)+∞ .B ),1[+∞- .C [1,4)-.D []1,6-[来源:学§科§网Z §X §X §K]12．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(,0)x y a b a b -=>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l 的斜率可以在下列给出的某个区间内，该区间可以是（A ．3(0,3 B ．3(3C ．2)D ．2,)+∞第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
2020年全国100所名校高考模拟金典卷文科数学(二)试题(含解析)
100所名校高考模拟金典卷·数学（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|01}A x x =剟，1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2．复数11z i i ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为8，一条渐近线为34y x =，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2216436x y -= B ．2213664x y -= C ．221916x y -= D ．221169x y -= 4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M ，N 分别是下底面的棱11A B ，11B C 的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，13AP =，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ 等于（ ）A ．3B ．32 C ．3D5．函数())1f x x x =+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中是正确的是（ ）（注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生）．A ．互联网行业从业人员中80前占3%以上B ．互联网行业90后中，从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多C ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 7．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期T π=，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 B ．函数()f x 的图象的对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,2] 8．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ）A ．43B ．75C ．85D ．39．程序框图如下图所示，若程序运行的结果60S =，则判断框中应填入（ ）A ．4?k …B ．3?k …C ．2?k …D ．1?k …10．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．现有一个羡除如图所示，DA ⊥平面ABFE ，四边形ABFE ，CDEF 均为等腰梯形，四边形ABCD 为正方形，AB EF ∥，2AB =，6EF =，点F 到平面ABCD 的距离为2，则这个羡除的表面积为（ ）A．10+B．12+C．12+D．12+11．已知偶函数()f x 的图象经过点(1,2)-，且当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(1)2f x -<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(2,0)-B ．(,2)(0,)-∞-⋃+∞C ．(0,2)D ．(,0)(2,)-∞⋃+∞12．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos cos a b c abc a B b A+-=+，若2a b +=，则c 的最小值为（ ） A ．1B32C ．54D ．34二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若向量(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，且()b a b ⊥+r r r，则实数m 等于_________．14．已知cos α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin2α=__________． 15．若x ，y 满足200240x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为________．16．将函数ln y x =的图象绕点(0,1)-逆时针旋转0,2πθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭后与y 轴相切，则θ=_______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 满足()*112,22nn n a a a n +==++∈N．（1）判断数列{}2nn a -是否为等差数列，并说明理由；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ．18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2BC =，12CC =．点P 在平面11ABB A 中，且11PA PB ==（1）求证：1PC AB ⊥．（2）求点P 到平面11A B C 的距离．19．“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”…江南梅雨的点点滴滴都流露着浓烈的诗情．每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q 镇2009～2018年梅雨季节的降雨量（单位：mm ）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（1）计算a 的值，并用样本平均数估计Q 镇明年梅雨季节的降雨量；（2）Q 镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）．而乙品种杨梅这10年的亩产量（kg /亩）与降雨量的发生频数（年）如22⨯列联表所示（部分数据缺失）．请你完善22⨯列联表，帮助老李排解忧愁，试想来年应种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？并说明理由．（参考公式：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++）20．若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美增函数”．已知()xf x e x =+，()ln 1g x x =-．（1）判断函数()f x 是否为区间(0,)+∞上的“完美增函数”；（2）若函数()g x 是区间(0,]m 上的“完美增函数”，求实数m 的最大值．21．已知M 、N 是椭圆22:184x y C +=上不同的两点，MN 的中点坐标为2⎛ ⎝⎭． （1）证明：直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）设直线l 不经过点(0,2)P 且与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，试判断直线l 是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位．圆C的方程为ρθ=，直线l 被圆C 截． （1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为(m ，且0m >，求||||PA PB +的值．23．[选修4-5：不等式选讲] 已知()2|1||21|f x x x =++-．（1）若()(1)f x f >，求实数x 的取值范围；（2）11()(0,0)f x m n m n +>>…对任意的x ∈R 都成立，求证：43m n +…．100所名校高考模拟金典卷·数学（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案 B命题意图 本题考查集合的交集；考查学生的运算求解能力． 解题分析 由题知，1|12A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭…． 2．答案 A命题意图 本题考查复数的几何意义；考查学生的运算求解能力．解题分析 因111z i i i ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以复数z 在复平面上对应的点位于第一象限． 3．答案 D命意图本题考查双曲线的性质；考查学生的数据分析能力．解题分析 由题知，28a =，34b a =，所以4a =，3b =，所以双曲线的方程为221169x y -=． 4．答案 A命题意图 本题考查面面平行的性质；考查学生的数学运算与直观想象能力． 解题分析 如图所示，易知平面ABCD ∥平面1111A B C D ，则MN PQ ∥，因为13AP =，所以13CQ =，所以23DP DQ ==，所以PQ ==5．答案 A命题意图 本题考查函数图象；考查学生的逻辑推理能力．解题分析 因为(0)1f =，排除B 项，C项，又因为(1)1)11f -=-++<，排除D 项． 6．答案 C命题意图 本题考查统计图；考查学生的数据分析及逻辑推理的能力．解题分析 由题知，互联网行业从业人员中80前占3%，故选项A 错误；互联网行业90后中，从事设计岗位的人数占12.3%，从事市场岗位的人数占13.2%，故选项B 错误；在90后中，从事技术岗位的人数占总人数的比例为56%39.6%20%⨯>，故选项C 正确；互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后的无法确定，故选项D 错误． 7．答案 D命题意图 本题考查三角函数的性质；考查学生的数学运算的能力． 解题分析 因为函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期T π=，2ππω=，得2ω=，所以()2sin(2)3f x x π=-，故函数()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，其对称轴为512x π=，所以A ，B 选项错误．又因为2sin 26f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2[0,]3x ππ-∈，2sin [0,2]3x πω⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．8．答案 A命题意图 本题考查直线与抛物线的位置关系；考查学生的运算求解能力．解题分析 设平行直线4380x y +-=的直线l 的方程为430x y t ++=，联立方程2430,,x y t y x ++=⎧⎨=-⎩得2340x x t --=，由2(4)43()0t ∆=--⨯⨯-=，解得43t =-，所以抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为两平行直线间的距离43d ==．（也可利用函数求导，求切点坐标，利用点到直线的距离求解） 9．答案 C命题意图 本题考查程序框图；考查学生的数学运算及逻辑推理的能力．解题分析 循环前，1S =，5k =，第一次循环：5S =，4k =，继续循环，第二次循环：20S =，3k =，继续循环，第三次循环：60S =，2k =，循环终止，输出的60S =． 10．答案 B命题意图 本题考查立体几何；考查学生的空间想象及数学运算的能力．解题分析 因为DA ⊥平面ABFE ，点F 到平面ABCD 的距离为2，所以等腰梯形ABFE 的高为2，腰AE =ABCD 为正方形，且2AB =，所以等腰梯形CDEF 的高为的表面积为11122(26)2(26)2212222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=+ 11．答案 C命题意图 本题考查函数的性质；考查学生的数学运算的能力． 解题分析 因为当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，所以函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递减，又因为()f x 的图象经过点(1,2)-，所以(1)2f -=，又因为()f x 为偶函数，所以(1)2f x -<等价于(1)(1)f x f -<-，所以|1||1|x -<-，解得02x <<．12．答案 A命题意图 本题考查解三角形；考查学生的逻辑推理及运算求解能力．解题分析 因为222cos cos a b c ab c a B b A +-=+，所以2cos cos cos ab C abc a B b A=+，所以2cos 11sin sin cos sin cos sin()C C A B B A A B ==++．又因为sin()sin 0A B C +=≠，所以1cos 2C =，又因为(0,)C π∈，所以3C π=，又因为222222222cos ()3()312a b c a b ab C a b ab a b ab a b +⎛⎫=+-=+-=+-+-= ⎪⎝⎭…，当且仅当1a b ==时取等号，故c 的最小值为1．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．答案 7-命题意图 本题考查向量的数量积运算；考查学生的数学运算的能力．解题分析 因为(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，所以(3,1)a b m +=-+r r ，因为()b a b ⊥+r r r，所以2(3)1(1)0m -⨯-+⨯+=，解得7m =-．14．答案 45-命题意图 本题考查三角恒等变换；考查学生的运算求解能力． 解题分析因为cos α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以4sin 22sin cos 25ααα⎛===- ⎝⎭． 15．答案 3命题意图 本题考查线性规划；考查学生的运算求解的能力． 解题分析 作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线2z x y =+经过点A 时，z 取得最大值，020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即点A 的坐标为(1,1)，故z 取得最大值为3． 16．答案：4π命题意图 本题考查导数的几何意义；考查学生的逻辑推理及运算求解能力．解题分析 设直线1y kx =-与函数ln y x =的图象相切，切点坐标为()00,ln x x ，1y x'=，所以01k x =，又因为001ln kx x -=，解得01x =，所以1k =，故244πππθ=-=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．命题意图 本题考查等差及等比数列的综合应用；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．解题分析 （1）设2n n n b a =-，则1112n n n b a +++=-，所以()11122n nn n n nb b a a+++-=--+()()122222n n n n n a a +=++---=，所以数列{}2n n a -是首项为0，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，202(1)n n a n -=+-，所以22(1)nn a n =+-，所以()12212[02(1)]22122n n n n n S n n +⨯-+-=+=+---．18．命题意图 本题考查线线垂直及点到平面的距离；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．解题分析 （1）证明：设11A B 的中点为D ，连接PD 与1DC ，因为11PA PB =，所以11PD A B ⊥，同理得111DC A B ⊥，所以11A B ⊥平面1PDC ，所以111A B PC ⊥，又因为11AB A B ∥，所以1PC AB ⊥． （2）因为11PA PB ==111ABC A B C -是正三棱柱且2BC =，所以等腰直角三角形11PA B 的面积为112=，点C 到平面11PA B 的距离为，所以1111111113P A B C C PA B C PA B V V V ---===⨯=，又因为11AC BC ==，所以11CA B △的面积为122⨯=，设点P 到平面11A B C 的距离为h，所以1113P A B C V h -==，解得7h =，故点P 到平面11A B C的距离为7． 19．命题意图 本题考查独立性检验；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．解题分析 （1）频率分布直方图知，100(0.0020.0040.003)1a ⨯+++=，解得0.001a =， 所以用样本平均数估计Q 镇明年梅雨季节的降雨量为1500.22500.43500.34500.13010010545280()mm ⨯+⨯+⨯+⨯=+++=．（2）根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为10100(0.0030.004)7⨯⨯+=，进而完善列联表如图．2210(2152)80 1.270 1.323734663K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%．而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅． 20．命题意图 本题考查函数与导数的综合运用；考查学生的运算求解能力．解题分析 （1）由()xf x e x =+，求导得()10xf x e '=+>，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数；又()()1x x f x e x e F x x x x +===+，求导得2(1)()x e x F x x-'=， 当(0,)x ∈+∞时，()0F x '…不恒成立，即()F x 在(0,)+∞上不是增函数． 所以函数()f x 不是区间(0,)+∞上的“完美增函数”．（2）由()ln 1g x x =-，求导得1()0g x x'=>， 即()g x 在区间(0,)+∞上单调递增．又()ln 1()g x x G x x x -==，求导得22ln ()xG x x -'=， 若()0G x '…，则2ln 0x -…，解得20x e <…，即当(20,x e ⎤∈⎦时，()0G x '…恒成立，()G x 在(20,e ⎤⎦上单调递增．于是实数m 的最大值为2e .21．命题意图 本题考查直线与椭圆的综合应用；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．解题分析 （1）由题知，(2,0)F ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121244882y y x x x x y y -+=-⨯=-=--+，又因为02212-=--，所以直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由221,84x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124280k x kmx m +++-=，设()33,A x y ，()44,B x y ，所以342412km x x k +=-+，23422812m x x k -=+，又因为1PA PB k k +=，所以3434221y y x x --+=，即3434221kx m kx m x x +-+-+=，所以34342(2)1x x k m x x ++-⋅=，化简得24840m km k -+-=，所以(2)(42)0m m k --+=，又因为2m ≠，所以42m k =-，所以直线AB 的方程为42(4)2y kx k k x =+-=+-，经检验，符合题意，所以直线AB过定点(4,2)--，又当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为x n =，221A B y y n n--+=，又因为0A B y y +=，解得4n =-，也过点(4,2)--．综上知，直线AB 过定点(4,2)--．【归因导学】错↔学（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]命题意图 本题考查坐标与参数方程；考查学生运算的能力．解题分析 （1）由ρθ=得220x y +-=，即22(5x y +-=，直线l 的普通方程为0x y m +--=，直线l 被圆C ，所以圆心到直线l=，解得3m =或3m =-．（2）∵0m >，∴3m =，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，22(3))5+=，即2220t -+=，∵24420∆=-⨯=>，设1t ，2t 是上述方程的两个实数根，∴12121,t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩又因为直线l 过点P ，故由上式及t 的几何意义， 得()()1212||||22PA PB t t t t +=+=+= 23．[选修4-5：不等式选讲]命题意图 本题考查解绝对值不等式；考查学生分类讨论得思想． 解题分析 （1）()(1)f x f >，即2|1||21|5x x ++->，①当12x >时，2(1)(21)5x x ++->，得1x >； ②当112x -≤≤时，2(1)(21)5x x +-->，得35>，不成立； ③当1x <-时，2(1)(21)5x x -+-->，得32x <-． 综上，所求x 的取值范围是3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． （2）因为2|1||21||22||21||(22)(21)|3x x x x x x ++-=++-+--=…，所以113m n +…，因为0m >，0n >时，11m n +…，所以3，得23…，所以43m n +厖．。
2020届河南省百校联盟高三9月联合检测数学（文）试题（word版）
河南省百校联盟2020届高三9月联合检测文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．本试卷满分150分，测试时间120分钟．5．考试范围：必修1～5，选修1－1，1－2．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数212izi－＝＋，则复数z的虚部为A．－1 B．－i C．1 D．i2．已知集合M＝{x∈Z｜（x＋1）（x－4）＜0}，N＝{x｜3－x＞0}，则M∩N等于A．{0，1，2，3} B．{0，1，2}C．{2，3} D．{x｜－1＜x＜3}3．已知a＝log26，b＝log53，c＝20．8，则A．b＜a＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．b＜c＜a4．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为A．13B．23C．14D．345．设直线l为平面α外的一条直线，则l⊥α的充要条件是A．α内有无数条直线都与l 垂直B．α内有两条相交直线都与l垂直C．l，α垂直于同一条直线D．l，α垂直于同一平面6．教育部日前出台《关于普通高中学业水平考试的实施意见》，根据意见，学业水平考试成绩以“等级”或“合格、不合格”呈现．计入高校招生录取总成绩的学业水平考试的3个科目成绩以等级呈现，其他科目一般以“合格、不合格”呈现．若某省规定学业水平考试中历史科各等级人数所占比例依次为：A等级15％，B等级30％，C等级30％，D、E等级共25％．现采用分层抽样的方法，从某省参加历史学业水平考试的学生中抽取100人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生中一共有A ．30人B ．45人C ．60人D ．75人7．设函数()2101x x f xx x ⎧⎪⎨⎪⎩－－，≤＝＋，＞0，且f （2a ）＝3，则f （a ＋2）＝A ．2B ．3C ．2或3D ．38．已知非零向量a ，b 满足｜a ｜＝k ｜b ｜，且b ⊥（a ＋2b ），若a ，b 的夹角为23π，则实数k 的值为A ．4B ．3C ．2D ．129．《周髀算经》向来被认为是中国最古老的天文学及数学著作，《周髀算经》的内容是以商高与周公的问答形式陈述而成，主要阐明当时的盖天说、四分历法．由《周髀算经》中关于影长的问题，可以得到从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次构成等差数列，若冬至的日影长为13．5尺，现在我们用如图所示的程序框图来求解这十二个节气日影长的和，执行该程序框图，则输出的结果是A ．94尺B ．95尺C ．96尺D ．97尺10．函数()()2ln 1x f x x －＝的图象大致是11．已知椭圆C ：22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆上一点，线段AF 1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若23AB F B ＝，则椭圆C 的离心率为A ．13B ．3C ．23D ．6 12．已知四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在球O 的球面上，AB ＝AD ＝CD ＝23，BC ∥AD ，∠ABC ＝60°，△PAB 是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则球O 的表面积为A ．56πB ．54πC ．52πD ．50π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线y ＝（2x ＋1）lnx 在点（1，0）处的切线方程为__________．14．若x ，y 满足约束条件4302901x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≤＋－≤≥，则z ＝3x －2y 的最小值为__________．15．函数()()5cos 2sin 26f x x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋＋＋（x ∈44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，）的最大值为__________． 16．已知双曲线C ：22221x y a b －＝（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （c ，0），离心率为32，直线l ：y（x －c ）与C 交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），△OAF 和△OBF 的面积分别记为S 1和S 2，则12S S ＝__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知公差不为0的等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且5S ＝25，2a 是1a 和5a 的等比中 项．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）若k S ≥2020，求整数k 的最小值．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos 2A CB ＋－＝0． （1）求角B 的大小；（2）若sin 2B ＝2sinAsinC ，且△ABC的面积为ABC 的周长．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，且AB ⊥AC ，点M 、N 分别为棱CC 1和BC 的中点．（1）证明：证明A 1C ∥平面ANB 1；（2）求点M 到平面ANB 1的距离．20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l ：y ＝x ＋1与抛物线C 相切于点P ， 过点P 作抛物线C 的割线PQ ，割线PQ 与抛物线C 的另一交点为Q ，A 为PQ 的中点．过 A 作y 轴的垂线与y 轴交于点H ，与直线l 相交于点N ，M 为线段AN 的中点．（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：点M 在抛物线C 上．21．（本小题满分12分）随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢，创新已经成为烘焙作品的衡量标准．某“网红”甜品店生产有几种甜品，由于口味独特，受到越来越多人的喜爱，好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”，已知该甜品店同一种甜品售价相同，该店为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得如下表格：（利润率是指：一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值．）（1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0．2的概率；（2）假设每类甜品利润率不变，销售一份A 甜品获利x 1元，销售一份B 甜品获利x 2元，…，销售一份E 甜品获利x 5元，设123455x x x x x x ＋＋＋＋＝，若该甜品店从五种“网红甜品”中随机卖出2种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过x 的概率．22．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝12x （1－ax ）－lnx （a ∈R ）． （1）当a ＝－12时，求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈（1，＋∞）时，()1ln 2f x ax x ＞－－恒成立，求实数a 的取值范围。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学(一)试题(word无答案)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学（一）试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知是实数，是纯虚数，则复数的模等于（）A．B．C．D．(★) 3 . 某产品的宣传费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表所示：宣传费用（万4235元）销售额（万元）252450根据上表可得回归方程，则宣传费用为3万元时销售额为（）A．36.5B．30C．33D．27(★) 4 . 已知在等差数列中，，则（）A．B．C．D．(★) 5 . 已知抛物线的准线与圆相切，则实数的值为（）A．8B．7C．6D．5(★) 6 . 已知平面向量，满足，，，则（）A．B．C．D．(★★) 7 . 已知定义在上的函数，对于任意的，总有成立，则函数的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于点对称(★★) 8 . 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生(★) 9 . 函数的图象可能是（）A．B．C．D．(★★) 10 . 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．(★★) 11 . 已知函数的图象上存在两点，的最小值为，再将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则（）A．B．C．D．(★★★★) 12 . 如图所示，在棱锥中，底面是正方形，边长为，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 设实数，满足约束条件，则的最大值是__________.(★) 14 . 曲线在点处的切线方程为__________.(★★) 15 . 已知数列满足：，，则数列的前项和__________.(★★★★) 16 . 已知双曲线（）的左、右焦点分别是 、 ， 为双曲线左支上任意一点，当最大值为时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.三、解答题(★) 17 . 某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组频数高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率； （2）在抽取的学生中，从成绩为 的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率.(★) 18 . 在 中，角 所对的边分别是 ，且 ， .（1）若，求的值；（2）求的最大值(★★) 19 . 在菱形中，，为线段的中点（如图1）．将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）当四棱锥的体积为时，求的值．(★★)20 . 已知椭圆的离心率为，过右焦点作与轴垂直的直线，与椭圆的交点到轴的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于两点（不在轴上），若，求四边形面积的最大值.(★★) 21 . 设函数．Ⅰ 求函数的单调区间；Ⅱ 记函数的最小值为，证明：．(★) 22 . 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线的参数方程为，（为参数）.直线与曲线交于两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程.（2）设，若成等比数列，求和的值.(★) 23 . 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2），求实数的取值范围.。
2020届全国100所名校高三高考模拟金典卷(九)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届全国100所名校高三高考模拟金典卷（九）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知{|13}A x x =<<，2{|log (2)}B x y x ==-，则A B =U （ ）． A ．(1,)+∞ B ．(,3)-∞C ．(2,3)-D ．(2,)-+∞答案：B先求出集合B ，再根据并集运算的定义求解即可． 解：解：∵函数2log (2)y x =-的定义域为(,2)-∞， ∴(,2)B =-∞， 又()1,3A =， ∴(,3)A B ⋃=-∞， 故选：B ． 点评：本题主要考查集合的并集，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 2．设31iz i-=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）． A ．12i -+ B ．12i --C ．12i +D ．12i -答案：C根据复数代数形式的除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求出答案． 解： 解：∵31iz i-=+， ∴(3)(1)12(1)(1)i i z i i i --==-+-，∴z 的共轭复数为12i +， 故选：C ． 点评：本题主要考查共轭复数，考查学生的运算求解能力，属于基础题．3．已知双曲线221x my -=的一条渐近线方程为30x y -=，则实数m 的值为（ ）． A ．19B ．13C ．9D ．3答案：A根据双曲线的方程求出其渐近线，从而可求出答案． 解：解：由题知0m >，双曲线的渐近线方程为0x m y ±=， ∴13m =，解得19m =，故选：A ． 点评：本题主要考查双曲线的性质，考查学生的运算求解能力，属于基础题．4．设随机变量~(1,1)X N ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） （注：若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+≈）A ．7539B ．7028C ．6587D ．6038答案：C由题意正方形的面积为1S =，再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率，即可求解，得到答案． 解：由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为1S = 又由随机变量服从正态分布()~1,1X N ， 所以正态分布密度曲线关于1x =对称，且1σ=， 又由()0.6826P X μσμσ-<<+≈，即()020.6826P X <<≈，所以阴影部分的面积为10.682610.65872S =-=， 由面积比的几何概型可得概率为10.6587SP S==，所以落入阴影部分的点的个数的估计值是100000.65876587⨯=，故选C ． 点评：本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的几何概型的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5．已知α，β满足sin cos αβ=，1sin cos 3cos sin 5αβαβ-=，则cos 2β=（ ）． A ．35B ．25C ．13D ．23答案：A由sin cos αβ=得cos sin αβ=±，再分类讨论代入到1sin cos 3cos sin 5αβαβ-=，由此即可求出答案． 解：解：∵sin cos αβ=，∴cos sin αβ=±，当cos sin αβ=时，221sin cos 3cos sin cos 3sin 5αβαβββ-=-=， ∵22cos sin 1ββ+=，∴21sin 5β=，24cos 5β=，∴223cos 2cossin 5βββ=-=；当cos sin αβ=-时，2221sin cos 3cos sin cos 3sin 12sin 5αβαββββ-=+=+≠，不合题意；综上可知，3cos25β=，故选：A ． 点评：本题主要考查三角恒等变换，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 6．在ABC V 中，点M 为BC 的中点，点N 满足3AN NC =-uuu r uuu r，若(,)MN xAB yAC x y =+∈R u u u r u u u r u u u r，则x y -=（ ）． A ．3-B ．32-C ．3D ．32答案：B由平面向量的线性运算法则可得31()22MN AN AM AC AB AC =-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r，化简即可求出答案． 解：解：∵点M 为BC 的中点，3AN NC =-uuu r uuu r，∴31()22MN AN AM AC AB AC =-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r 12AB AC =-+uuu r uuu r ，又∵MN xAB yAC =+u u u u r u u u r u u u r ，∴12x =-，1y =，∴13122x y -=--=-， 故选：B ． 点评：本题主要考查平面向量的基本定理，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 7．将函数()f x 的图象上所有的点向右平移4π-个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数()cos()0,0,||2g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）．A ．()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()sin 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭答案：C 由图可知1A =，2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，根据公式可求出2ω=，结合2cos 033g ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求出函数()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据()4f x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭平移法则即可得出结论．解：解：由图知，1A =，2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， ∴2T ππω==，解得2ω=，∴()cos(2)g x x ϕ=+， 又∵2cos 033g ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2()32k k ππϕπ+=+∈Z ， 又∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-，故()cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由题知，()cos 2sin 24266f x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：C ． 点评：本题主要考查三角函数的性质，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）．A ．18B ．20C ．22D ．24答案：B模拟程序运行即可． 解：解：循环前，0S =，2i =，2lg4S =； 第一次循环：4i =，242lg lg lg 466S =+=；继续循环，第二次循环6i =，262lg lg lg 688S =+=；继续循环，第三次循环：8i =，282lg lglg 81010S =+=；以此类推，当18i =时，2lg 120S ==-， 当20i =时，2202lg lg lg 1202222S =+=<-，循环终止， 输出的20i =， 故选：B ． 点评：本题主要考查程序框图，专查学生的运算求解能力，属于基础题．9．一个几何体是由一个四棱锥和半个圆柱组成的，其三视图如图所示．若10a b +=，则这个几何体的体积取得最大值时，表面积等于（ ）．A ．69182π+ B ．942π+ C ．1842π+ D ．1242π+答案：C106a b +=>22534-=，当且仅当5a b ==时取等号，由此可求出答案． 解：解：由三视图知，半个圆柱的体积为21273322ππ⨯⨯⨯=，四棱锥的底面积为18， 又∵106a b +=>，22534-=，当且仅当5a b ==时取等号， 此时半圆柱的侧面积为123392ππ⨯⨯⨯=， 两个半圆的面积和为239ππ⨯=， 四棱锥的侧面积为111235646542222⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故所求的表面积为1842π+， 故选：C ． 点评：本题主要考查三视图及几何体的体积，考查学生的空间想象与运算求解能力，属于中档题．。
2020届全国百校联考新高三原创精准预测考试(九)文科数学
2020届全国百校联考新高三原创精准预测考试（九）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知命题:,tan 1P x R x ∃∈=，下列命题中正确的是( ) A. :,tan 1p x R x ⌝∃∈≠ B. :,tan 1p x R x ⌝∃∉≠ C. :,tan 1p x R x ⌝∀∈≠ D. :,tan 1p x R x ⌝∀∉≠【答案】C 【解析】 试题分析：命题，使的否定为,使，故选C ．考点：特称命题的否定．2.抛物线()240y ax a =<的焦点坐标为A. (,0)aB. (,0)a -C. (0,)aD. (0,)a -【答案】A【解析】抛物线()240y ax a =<，开口向右且焦点在x 轴上，坐标为(),0a .故选A.3.“a>1”是“<1”的 ( ) A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】选A.因为a>1,所以<1.而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.4. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】试题分析：由已知中△ABC 三个顶点为A （3，3，2），B （4，-3，7），C （0，5，1），利用中点公式，求出BC 边上中点D 的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B （4，-3，7），C （0，5，1），则BC 的中点D 的坐标为（2，1，4）则AD 即为△ABC 中BC 边上的中线3AD ==故选B.考点：空间中两点之间的距离点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC 边上中点的坐标，是解答本题的关键．5.有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。
2020届全国100所名校高三高考模拟金典卷(九)数学(理)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三高考模拟金典卷（九）数学（理）试题一、单选题1．已知{|13}A x x =<<，2{|log (2)}B x y x ==-，则A B =U （ ）． A ．(1,)+∞ B ．(,3)-∞C ．(2,3)-D ．(2,)-+∞【答案】B【解析】先求出集合B ，再根据并集运算的定义求解即可． 【详解】解：∵函数2log (2)y x =-的定义域为(,2)-∞， ∴(,2)B =-∞， 又()1,3A =， ∴(,3)A B ⋃=-∞， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查集合的并集，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 2．设31iz i-=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）． A ．12i -+ B ．12i --C ．12i +D ．12i -【答案】C【解析】根据复数代数形式的除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求出答案． 【详解】 解：∵31iz i-=+， ∴(3)(1)12(1)(1)i i z i i i --==-+-，∴z 的共轭复数为12i +， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查共轭复数，考查学生的运算求解能力，属于基础题．3．已知双曲线221x my -=的一条渐近线方程为30x y -=，则实数m 的值为（ ）． A ．19B ．13C ．9D ．3【答案】A【解析】根据双曲线的方程求出其渐近线，从而可求出答案． 【详解】解：由题知0m >，双曲线的渐近线方程为0x m y ±=， ∴13m =，解得19m =，故选：A ． 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，考查学生的运算求解能力，属于基础题．4．设随机变量~(1,1)X N ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） （注：若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+≈）A ．7539B ．7028C ．6587D ．6038【答案】C【解析】由题意正方形的面积为1S =，再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率，即可求解，得到答案． 【详解】由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为1S = 又由随机变量服从正态分布()~1,1X N ， 所以正态分布密度曲线关于1x =对称，且1σ=， 又由()0.6826P X μσμσ-<<+≈，即()020.6826P X <<≈，所以阴影部分的面积为10.682610.65872S =-=，由面积比的几何概型可得概率为10.6587S P S==， 所以落入阴影部分的点的个数的估计值是100000.65876587⨯=，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的几何概型的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5．已知α，β满足sin cos αβ=，1sin cos 3cos sin 5αβαβ-=，则cos 2β=（ ）．A ．35B ．25C ．13D ．23【答案】A【解析】由sin cos αβ=得cos sin αβ=±，再分类讨论代入到1sin cos 3cos sin 5αβαβ-=，由此即可求出答案． 【详解】解：∵sin cos αβ=，∴cos sin αβ=±，当cos sin αβ=时，221sin cos 3cos sin cos 3sin 5αβαβββ-=-=， ∵22cos sin 1ββ+=，∴21sin 5β=，24cos 5β=，∴223cos 2cossin 5βββ=-=；当cos sin αβ=-时，2221sin cos 3cos sin cos 3sin 12sin 5αβαββββ-=+=+≠，不合题意；综上可知，3cos25β=，故选：A ． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查学生的运算求解能力，属于基础题．6．在ABC V 中，点M 为BC 的中点，点N 满足3AN NC =-uuu r uuu r，若(,)MN xAB yAC x y =+∈R u u u r u u u r u u u r，则x y -=（ ）． A ．3- B ．32-C ．3D ．32【答案】B【解析】由平面向量的线性运算法则可得31()22MN AN AM AC AB AC =-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r，化简即可求出答案． 【详解】解：∵点M 为BC 的中点，3AN NC =-uuu r uuu r，∴31()22MN AN AM AC AB AC =-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r 12AB AC =-+uuu r uuu r ，又∵MN xAB yAC =+u u u u r u u u r u u u r ，∴12x =-，1y =，∴13122x y -=--=-， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 7．将函数()f x 的图象上所有的点向右平移4π-个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数()cos()0,0,||2g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）．A ．()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()sin 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()sin 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图可知1A =，2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，根据公式可求出2ω=，结合2cos 033g ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求出函数()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据()4f x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭平移法则即可得出结论．【详解】解：由图知，1A =，2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， ∴2T ππω==，解得2ω=，∴()cos(2)g x x ϕ=+， 又∵2cos 033g ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2()32k k ππϕπ+=+∈Z ， 又∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-，故()cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由题知，()cos 2sin 24266f x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）．A ．18B ．20C ．22D ．24【答案】B【解析】模拟程序运行即可． 【详解】解：循环前，0S =，2i =，2lg4S =； 第一次循环：4i =，242lg lg lg 466S =+=；继续循环，第二次循环6i =，262lg lg lg 688S =+=；继续循环，第三次循环：8i =，282lg lglg 81010S =+=； 以此类推，当18i =时，2lg 120S ==-，当20i =时，2202lg lg lg 1202222S =+=<-，循环终止， 输出的20i =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查程序框图，专查学生的运算求解能力，属于基础题．9．一个几何体是由一个四棱锥和半个圆柱组成的，其三视图如图所示．若10a b +=，则这个几何体的体积取得最大值时，表面积等于（ ）．A ．69182π+B ．942π+C ．1842π+D ．1242π+【答案】C【解析】106a b +=>22534-=，当且仅当5a b ==时取等号，由此可求出答案．【详解】解：由三视图知，半个圆柱的体积为21273322ππ⨯⨯⨯=，四棱锥的底面积为18， 又∵106a b +=>，∴22534-=，当且仅当5a b ==时取等号， 此时半圆柱的侧面积为123392ππ⨯⨯⨯=， 两个半圆的面积和为239ππ⨯=， 四棱锥的侧面积为111235646542222⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故所求的表面积为1842π+， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积，考查学生的空间想象与运算求解能力，属于中档题．10．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若A ，B ，C 成等差数列，且22ac b a =-，则ca等于（ ）．A ．3B C ．3D ．2【答案】D【解析】由题意可得3B π=，结合余弦定理可求得2ac c ac =-，由此可求出结论．【详解】解：∵A ，B ，C 成等差数列， ∴3B π=，又∵22ac b a =-，∴222222cos ac b a a c ac B a =-=+--，即22cos ac c ac B =-， ∴2ac c ac =-， ∵0c ≠，∴2ca=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查解三角形，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于基础题． 11．在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ∈平面11AA B B ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则线段1D E 的最小值为（ ）．A ．BCD 【答案】B【解析】取AB 的中点H ，连接1B H ，1D H ，11D B ，BF ，由题意，11B D CF ⊥，则1ABF BB H △≌，证1B H ⊥平面BCF ，得1B H CF ⊥，从而得出点E 在直线1B H 上，则11D E B H ⊥时，线段1D E 的值最小，最小值设为h ，由余弦定理及同角关系可得11sin 2HD B ∠=，利用三角形面积公式，由此可求出答案． 【详解】解：取AB 的中点H ，连接1B H ，1D H ，11D B ，BF ，由题知，11B D ⊥平面11ACC A ， ∴11B D CF ⊥，又∵F 是线段1AA 的中点， ∴1ABF BB H △≌， 易知1B H BF ⊥， 又∵1CB B H ⊥， ∴1B H ⊥平面BCF ， ∴1B H CF ⊥，∴CF ⊥平面11D B H ，故点E 在直线1B H 上， ∴11D E B H ⊥时，线段1D E 的值最小，最小值设为h ． 由题知，1122D B =15B H =13D H =， ∴112cos 22322HD B ∠==⨯⨯， ∴112sin 2HD B ∠=， 由11D B H △面积相等知，12322⨯⨯152h =，解得65h = ∴线段1D E 的最小值为55， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系，考查学生的空间想象与运算求解能力，属于中档题．12．已知函数24,0 (),0xx x xf x exx⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x ax=-，若()g x有4个零点，则实数a的取值范围为（）．A．2,44e⎛⎫⎪⎝⎭B．,44e⎛⎫⎪⎝⎭C．,4e⎛⎫+∞⎪⎝⎭D．2,4e⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意得函数()y f x=与y ax=有4个交点，利用导数得()f x的大致图象，求出()f x的图象在0x=处的切线的斜率为1k、过原点的切线的斜率为2k，结合图象得21k a k<<，由此可得答案．【详解】解：∵()()g x f x ax=-有4个零点，即函数()y f x=与y ax=有4个交点，当0x>时，2(1)()xx ef xx-'=，∴当(0,1)x∈时，()0f x'<，()f x单调递减；当(1,)x∈+∞时，()0f x'>单调递增，画出()f x的大致图象，如图所示，求出()f x的图象过原点的切线，()f x在0x=处的切线1l的斜率为2100(4)|(24)|4x xk x x x=='=+=+=，设()f x经过原点的切线2l的切点为()00,0xeP x xx⎛⎫≠⎪⎝⎭，切线2l的斜率为2k，又∵2(1)x xe x ex x'⎛⎫-=⎪⎝⎭，故()0002202201e ex x x k x k x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得02x =，224e k =， 由图可知，()y f x =与y ax =有4个交点，则21k a k <<，故实数a 的取值范围为2,44e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数零点的综合应用，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时，3()log (3) f x x =+．则((24))f f -=__________．【答案】3log 6-【解析】从内到外分步求解即可． 【详解】解：3(24)(24)log 273f f -=-=-=-， ∴3((24))(3)(3)log 6f f f f -=-=-=-， 故答案为：3log 6-． 【点睛】本题主要考查函数求值，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于基础题．14．若x ，y 满足2024020x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最小值为__________．【答案】2【解析】作出约束条件表示的可行域，22z x y =+表示的是可行域内的点到原点距离的平方，由此可得答案． 【详解】解：作出约束条件表示的可行域，如图所示，22z x y =+表示的是可行域内的点到原点距离的平方，∴z 的最小值为原点到直线:20BC x y -+=距离的平分， 原点到直线:20BC x y -+=的距离22211d ==+∴22z x y =+的最小值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查线性规划，考查学生的运算求解的能力，属于基础题． 15．古埃及数学中有一个独特现象：除了23用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若干个分数和的形式,例如2115315=+．可以这样来理解：假定有2个面包,要平均分给5个人,每人分13将剩余13,再将这13分成5份,每人分得115,这样每人分得11315+．同理可得2117428=+,2119545=+,…,按此规律,则2n=__________（5,7,9,11,n =…） 【答案】221(1)n n n +++ 【解析】由已知中2115315=+,可以这样来理解：假定有两个面包,要平均分给5个人每人2不够每人13余13,再将这13分成5份,每人得115,这样每人分得11315+,类比可推导出2221(1)n n n n =+++. 【详解】解: 假定有两个面包均分给()…5,7,9,11,n n =个人,每人112n - 不够,每人分112n +则余112n +,再将这112n +分成n 份,每人得()112n n +.这样每人分得221(1)n n n +++. 故2221(1)n n n n =+++ 故答案为：221(1)n n n +++ 【点睛】此题考查学生在学习了“分数的基本性质、分数加减法的计算方法"等知识后,运用它解决有一定思维难度的数学问题的能力.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，12AF AF ⊥，直线2AF 交y 轴于点M ，若126||F F OM =，则该椭圆的离心率为__________．【解析】由题意可得122||AF OM AF OF =，由126||F F OM =得1213AF AF =，结合定义可得12a AF =，232aAF =，由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵12AF AF ⊥，∴221F OM F AF ∽△△，则122||AF OM AF OF =， ∵126||F F OM =，∴1213OM OF =，∴1213AF AF =， 又∵122AF AF a +=，∴12a AF =，232aAF =， ∵2221212AF AF F F +=，即2229444a a c +=，∴c a =故答案为：4． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．三、解答题17．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：对任意的n ∈N ，都有a n +1+S n +1＝1，又a 112=． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）令b n ＝log 2a n ，求12231111n n b b b b b b L ++++（n ∈N ） 【答案】(1) a n 12n =；(2) 1n n +． 【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到112n n a a +=，计算112a =，得到答案. （2）计算得到nb n =-，()1111111n n b b n n n n +==-++，利用裂项求和计算得到答案. 【详解】（1）根据题意，由a n +1+S n +1＝1，①，则有a n +S n ＝1，②，（n ≥2） ①﹣②得：2a n +1＝a n ，即a n +112=a n ，又由a 112=， 当n ＝1时，有a 2+S 2＝1，即a 2+（a 1+a 2）＝1，解可得a 214=， 则所以数列{a n }是首项和公比都为12的等比数列，故a n 12n =； （2）由（1）的结论，a n 12n=，则b n ＝log 2a n ＝﹣n ，则()()()()()()()122311111111111223112231n n b b b b b b n n n n ++++=+++=+++-⨯--⨯--⨯--⨯⨯⨯+L L L L L ＝（112-）+（1231-）+……+（111n n -+）＝1111nn n -=++．【点睛】本题考查了求通项公式，裂项求和法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.18．某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前5年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：（1）在这5年中随机抽取两年，求平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元的概率；（2）求y 关于x 的线性回归方程．若该设备的价格是每台16万元，你认为应该使用满五年换一次设备，还是应该使用满八年换一次设备？请说明理由．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆy bx a =+的系数公式1221ˆˆˆni i i ni i x y nxy b x nx ay bx ==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑． 【答案】（1）710（2）满八年换一次设备更合理．见解析【解析】（1）属于古典概型，利用组合数公式即可求出答案；（2）依次求得3x =，2y =，代入公式即可求出回归方程，再代入求出相应平均费用，再比较即可得出结论． 【详解】解：（1）用事件A 表示“抽取的2年中平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元”，则基本事件的出现是等可能的，属于古典概型，故112322257()10C C C P A C +==；（2）3x =，2y =，29x =，6x y =，51 1.1 3.26101434.3i ii x y==++++=∑，521149162555ii x==++++=∑，∴51522134.330ˆ0.435545i ii ii x ynxybxnx ==--===--∑∑，ˆˆ20.4330.71a b y x =-=-⨯=， ∴回归方程为ˆ0.430.71yx =+．若满五年换一次设备，则每年每台设备的平均费用为110165.25y +==（万元）， 若满八年换一次设备，则每年每台设备的平均费用为2100.43(678)30.711637.164.64588y ++++⨯+===（万元），∵12y y >，∴满八年换一次设备更合理． 【点睛】本题主要考查线性回归方程，考查学生的数据分析与运算求解能力，属于基础题． 19．如图①，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，224CD AB EF ===，M 为DF 中点现将四边形BEFC 沿EF 折起,使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体在图②中，（1）证明：EF MC ⊥；（2）求二面角M AB D --的余弦值． 【答案】（1）见证明；（2）223【解析】（1）由已知可得EF ⊥AB ，EF ⊥CD ，折叠后，EF ⊥DF ，EF ⊥CF ，利用线面垂直的判定得EF ⊥平面DCF ，从而得到EF ⊥MC ；（2）由平面BEFC ⊥平面AEFD ，得 DF ⊥平面BEFC ，得DF CF ⊥，进一步得DF ，CF ，EF 两两垂直.以F 为坐标原点，分别以FD ，FC ，FE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系F yz -，求平面MAB ，平面ABD 的法向量，求解即可 【详解】（1）由题意，可知在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ， ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EF AB ⊥，EF CD ⊥. ∴折叠后，EF DF ⊥，EF CF ⊥. ∵DF CF F ⋂=，∴EF ⊥平面DCF . 又MC ⊂平面DCF ，∴EF MC ⊥.（2）∵平面BEFC ⊥平面AEFD ，平面BEFC ⋂平面AEFD EF =，且DF EF ⊥， ∴DF ⊥平面BEFC ，∴DF CF ⊥，∴DF ，CF ，EF 两两垂直.以F 为坐标原点，分别以FD ，FC ，FE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.∵DM 1=，∴FM 1=.∴()M 1,0,0，()D 2,0,0，()A 1,0,2，()B 0,1,2.∴()MA 0,0,2=u u u u v ，()AB 1,1,0=-u u u v ，()DA 1,0,2=-u u u v.设平面MAB ，平面ABD 的法向量分别为()111x ,y ,z m =r ，()222x ,y ,z n =r. 由MA?0AB?0m m ⎧=⎨=⎩u u u u v r u u u v r ，得1112z 0x y 0=⎧⎨-+=⎩. 取1x 1=，则()m 1,1,0=.由DA?0AB?0n n ⎧=⎨=⎩u u u v ru u u v r ，得2222x 2z 0x y 0-+=⎧⎨-+=⎩. 取2x 2=，则()n 2,2,1=.∵·22cosm,n 23m n m n ===⨯r r r r ，∴二面角M AB D --22. 【点睛】本题考查空间中直线与平面垂直的判定，空间向量求二面角，考查空间想象能力与思维能力，熟练计算是关键，是中档题．20．已知抛物线2:2(0)C x py p =->的焦点到准线的距离为12，直线:(1)l y a a =<-与抛物线C 交于A ，B 两点，过这两点分别作抛物线C 的切线，且这两条切线相交于点D ．（1）若点D 的坐标为(0,2)，求a 的值；（2）设线段AB 的中点为N ，过(0,2)M a 的直线l '与线段DN 为直径的圆相切，切点为G ，且直线l '与抛物线C 交于P ，Q 两点，求||||PQ MG 的取值范围．【答案】（1）2a =-（2）||0,||3PQ MG ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）由定义可得12p =，设切线AD 的方程为2y kx =+，代入2x y =-，得220x kx ++=，由280k ∆=-=得k =±，分类讨论即可求出答案；（2）由（1）可得点以线段ND 为直径的圆的方程为222x y a +=，根据对称性，不妨设直线l '的斜率为正数，由OG MG ⊥可求得l k '=联立直线与抛物线方程并整理得220x a ++=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，利用韦达定理即可求出答案． 【详解】解：（1）∵抛物线2:2(0)C x py p =->的焦点到准线的距离为12， ∴12p =，故抛物线C 的方程为2x y =-， 设切线AD 的方程为2y kx =+， 代入2x y =-，得220x kx ++=，由280k ∆=-=得k =±，当k =A 的横坐标为2k-=2a =-，当k =-2a =-， 综上可得2a =-；（2）由（1）知，(0,)N a =，(0,)D a =-， ∴以线段ND 为直径的圆的方程为222x y a +=， 根据对称性，不妨设直线l '的斜率为正数， ∵G 为直线l '与圆222x y a +=的切点，∴OG MG ⊥，||1cos |2|2a MOG a ∠==，∴3MOG π∠=，∴|||MG a =，l k '=∴直线l '的方程为2y a =+，由22y ax y⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，整理得220x a ++=， ∵0a <，∴380a ->，设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=122x x a =，∴||||PQ MG == ∵1a <-，∴1(1,0)a∈-， ∴238(0,11)a a-∈，∴||0,||3PQ MG ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．21．设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．（1）当2b =时，求函数()y f x =的图象在点(0,0)处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当*n ∈N ，且n 2≥时，证明不等式33311111111ln (1)(1)(1)232321n n n ⎡⎤+++++++>-⎢⎥+⎣⎦……．【答案】（1）2y x =．（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）求导后求出斜率，点斜式即可求出答案；（2）求导得211222()1x b f x x ⎛⎫++-⎪⎝⎭'=+，分12b ≥和12b <讨论，借助导数即可求出单调性；（3）当1b =-时，2()ln(1)f x x x =-+，令3()()g x x f x =-32ln(1)x x x =-++，利用导数可得函数()y g x =在区间[0,)+∞上单调递增，得(0,)x ∈+∞时，32ln(1)x x x ++>，对任意正整数n ，取1x n =，有32111ln 1n n n⎛⎫++> ⎪⎝⎭，利用裂项相消法即可证明． 【详解】解：（1）当2b =时，2()21f x x x '=++， ∴(0)2f '=，故切线的斜率为2，∴函数()y f x =的图象在点(0,0)处的切线方程为2y x =；（2）211222()2(1)11x b b f x x x x x ⎛⎫++-⎪⎝⎭'=+=>-++， 当12b ≥时，()0f x '≥，函数()f x 在区间(1,)-+∞上单调递增， 当12b <时，()0f x '=，解得1x =2x =， ①当0b <时，11x <-，21x >-，令()0f x '>，解得2x x >，令()0 f x '<，解得21x x -<<，∴函数()f x在区间⎛- ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增， ②当102b <<时，12,(1,)x x ∈-+∞， 令()0f x '>，解得11x x -<<或2x x >，令()0f x '<，解得12x x x <<， ∴函数()f x在区间⎝⎭上单调递减，在⎛- ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增； （3）证明：当1b =-时，2()ln(1)f x x x =-+，令332()()ln(1)(0)g x x f x x x x x =-=-++≥，323(1)()1x x g x x +-'=+在区间[0,)+∞上恒为正， ∴函数()y g x =在区间[0,)+∞上单调递增， 当[0,)x ∈+∞）时，()(0)0g x g ≥=， ∴当(0,)x ∈+∞时，32ln(1)0x x x -++>， 即32ln(1)x x x ++>，对任意正整数n ，取1x n =，有32111ln 1n n n⎛⎫++> ⎪⎝⎭，∴3311111ln 1112323n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (31)n +…11ln 1ln 123⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (333111)1ln 123n n ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭…331111ln 1ln 12233⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311ln 1n n⎛⎫++++ ⎪⎝⎭…22211123n>+++ (111)2334(1)n n >+++⨯⨯⨯+… 111112334n =-+-++-…11n + 1121n =-+． 【点睛】本题主要考查函数与导数的综合应用，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于难题． 22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l的参数方程为122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线1C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设D 为曲线1C 上在第二象限内的点，且在点D 处的切线与直线l 平行，求点D 的直角坐标．【答案】（Ⅰ）1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）20y -+=（Ⅱ）32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）先把曲线C 化成直角坐标方程，再化成参数方程；消去参数t 可得直线l 的直角坐标方程．（Ⅱ）根据切线和半径垂直，以及斜率公式可得．【详解】（Ⅰ）由已知得22sin ρρθ=，得222x y y +=，即()2211x y +-=， 所以1C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）直线l 20y -+=（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线1C 是以()0,1C 为圆心、半径为1的圆，设点()cos ,1sin D αα+，因为点D 在第二象限，所以直线CD 的斜率tan CD k α==得56πα=，得点D 的直角坐标为32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中合理消去参数、以及熟记互化公式是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．23．已知函数1()||||f x x a x a=++-． （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若x ∀∈R ，0a ∀<，()|1|f x m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U （2）[1,3]- 【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =++-，分类讨论法解不等式；（2）利用绝对值的三角不等式可得|1|2m -≤，由此可求．【详解】解：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =++-，当1x ≤-时，()1125f x x x x =---+=-≥，解得52x ≤-， 当11x <<时，()1125f x x x =+-+=≥，解集为∅，当1x ≥时，()1125f x x x x =++-=≥，解得52x ≥， 综上可知，当1a =时，不等式()5f x ≥的解集为55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ； （2）由绝对值的三角不等式得 1()||f x x a x a =++-11x a x a a a ≥+-+=+1||2a a=+≥， ∴|1|2m -≤，解得13m -≤≤，即实数m 的取值范围是[1,3]-．【点睛】本题主要考查绝对值不等式及不等式恒成立求参数范围，考查学生的运算求解能力，属于中档题．。
2020届全国100所名校高三高考模拟金典卷(十)数学(文)试题(解析版)
【答案】D
【解析】利用复数的运算，化简C，D选项，即可得答案；
【详解】
， ，
四个选项中只有D项中的复数的实部比虚部小.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的运算、实部与虚部的概念，考查运算求解能力，属于基础题.
3．已知向量 ， ，若 ，则 （）
A． B．1C．4D．
(2)平面QDB将几何体分成四棱锥B－PADQ和三棱锥Q－BDC两部分，
过B作BO⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，
所以PA⊥BO，又AD⊥OB，PA∩AD＝A，
所以BO⊥平面PADQ，即BO为四棱锥B－APQD的高，
因为BO＝ ，S四边形PADQ＝3，
所以VB－PADQ＝ ·BO·S四边形PADQ＝ ，
(1)求证：平面PAB⊥平面QBC；
(2)求该组合体QPABCD的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】(1)证明：因为QD⊥平面ABCD，PA∥QD，所以PA⊥平面ABCD.
又BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，因为AB⊥BC，且AB∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面QBC，所以平面PAB⊥平面QBC.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ∵函数 满足：当 时， 恒成立，∴函数 为 上的偶函数，且在 上为单调递增函数，且有 ，∴ ， 恒成立 恒成立，只要使得定义域内 ，由 ，得 ，即函数 的周期 ，∵ 时， ，求导得 ，该函数过点 ，如图，且函数在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ，即函数 在 上的最大值为2，∵ ，函数的周期是 ，∴当 时，函数 的最大值为2，由 ，即 ，则 ，解得 或 .
三、解答题
17．在 中，角 的对边分别为 ，且 .
2020届年全国100所名校高三模拟金典卷文科数学(五)试题(word无答案)
2020届年全国100所名校高三模拟金典卷文科数学（五）试题一、单选题(★) 1 . 若（为虚数单位，），则等于（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知集合，则（）A．B．C．D．(★) 3 . 从0，1，2，3这四个数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为（）A．B．C．D．(★) 4 . 已知函数在上可导，则“ ”是“ 为函数的极值”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(★) 5 . 执行下面的程序框图，输出的为（）A．B．C．D．(★) 6 . 已知数列为等差数列，其前项和为，则为（）A．66B．55C．D．(★) 7 . 若、、均为正数，且，则（）A．B．C．D．(★) 8 . 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为（）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为A．B．C．D．(★) 9 . 数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，纵坐标缩短到原来的，横坐标不变B．向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变C．向右平移个单位长度，纵坐标缩短到原来的，横坐标不变D．向右平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变(★) 10 . 《九章算术》卷第五《商功》中，提到这样一种立体图形：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．”对于这个立体图形，如果将上棱长缩短至1丈，那么它的体积为（）A．立方丈B．5立方丈C．4立方丈D．6立方丈(★★) 11 . 已知抛物线,过焦点且斜率为的直线与相交于两点,且两点在准线上的投影分别为两点,则（）A．B．C．D．(★★) 12 . 已知递增数列对任意均满足，记，则数列的前项和等于（）A ．B ．C ．D ．二、填空题(★) 13 . 已知 ， ，若，则实数 等于 ________ ．(★) 14 . 已知 ，函数 在上是单调增函数，则 的最大值是_______． (★) 15 . 实数满足则 的最小值是___________．(★★★★) 16 . 已知在等腰梯形中， ， ， ，双曲线以 ， 为焦点，且与线段，（包含端点， ）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 __________ ．三、解答题(★) 17 . 已知锐角的角所对边分别是，且．（1）求角 ； （2）若角 的平分线交于点，且，求 ．(★) 18 . 某城市对一项惠民市政工程满意程度（分值：分）进行网上调查，有2000位市民参加了投票，经统计，得到如下频率分布直方图（部分图）：现用分层抽样的方法从所有参与网上投票的市民中随机抽取 位市民召开座谈会，其中满意程度在 的有5人．（1）求 的值，并填写下表（2000位参与投票分数和人数分布统计）；满意程度（分数）人数（2）求市民投票满意程度的平均分（各分数段取中点值）；（3）若满意程度在的5人中恰有2位为女性，座谈会将从这5位市民中任选两位发言，求男性甲或女性乙被选中的概率．(★) 19 . 如图，平面平面．（1）求证：平面．（2）求三棱锥的高．(★★) 20 . 已知函数．（1）若的最大值为，求的值；（2）若存在实数且，使得，求证：．(★★)21 . 如图，椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于另一个点，且点在轴上的射影恰好为点．（1）求点的坐标；（2）过点且斜率大于的直线与椭圆交于两点，若，求实数的取值范围．(★) 22 . 已知直线的参数方程为（为参数）在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(1)求直线普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)设直线与曲线交于两点，求.(★) 23 . 已知．（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．。
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2020届全国100所名校高考模拟金典卷高三文科数学（九）试题一、单选题
(★) 1 . 已知，，则（）
A．B．C．D．
(★) 2 . 设（为虚数单位），则的共轭复数为（）
A．B．C．D．
(★) 3 . 如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不超过甲的平均成绩的概率为（）
A．B．C．D．
(★) 4 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为（）A．B．C．D．3
(★) 5 . 设等差数列的前项和为，若，，则（）
A．6B．5C．4D．3
(★) 6 . 若，满足，则的最小值为（）
A．B．2C．D．4
(★) 7 . 在中，点为的中点，点满足，若
，则（）．
A．B．C．3D．
(★) 8 . 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）．
A．B．
C．D．
(★) 9 . 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）．
A．18B．20C．22D．24
(★★) 10 . 一个几何体是由一个四棱锥和半个圆柱组成的，其三视图如图所示．若，则这个几何体的体积取得最大值时，表面积等于（）．
A．B．C．D．
(★★) 11 . 设，是椭圆的左，右焦点，点的坐标为，则的角平分线所在直线的斜率为（）
A．B．2C．D．
(★★) 12 . 设实数，且不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
(★) 13 . 已知定义在上的奇函数满足：当时，．则
__________．
(★★) 14 . 数列中，，，则数列的前项和等于__________.
(★★) 15 . 埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如：，它可以这样理解，假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人，这样每人得.形如的分数的分解，，，按此规律，__________ .
(★★) 16 . 在边长为2的正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则线段的最小值为__________.
三、解答题
(★★) 17 . 的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求；
（2）过点作交的延长线于，若，，求的面积. (★) 18 . 某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前5年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：
年份（年）12345
维护费（万
1.1 1.62
2.5 2.8
元）
（1）在这5年中随机抽取两年，求平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元的概率；（2）求关于的线性回归方程．若该设备的价格是每台16万元，你认为应该使用满五年换一次设备，还是应该使用满八年换一次设备？请说明理由．
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式．
(★) 19 . 如图，在四棱锥中,底面是矩形，, 是棱的中点.
求证：平面平面；
设，求点到平面的距离.
(★★) 20 . 已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于，两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点．（1）若点的坐标为，求的值；
（2）设线段的中点为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于，两点，求的取值范围．
(★★) 21 . 已知函数.
(1)若时,函数取得极值,求函数的单调区间；
(2)证明：.
(★★) 22 . 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．
（Ⅰ）求曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上在第二象限内的点，且在点处的切线与直线平行，求点的直角坐标．
(★★) 23 . 已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若，，恒成立，求实数的取值范围．。