2016-2017学年安徽省合肥一中高一(下)期末数学试卷

2016-2017学年安徽省合肥一中高一（下）期末数学试卷

一、选择题（每小题5分，共计10个小题．在给出的四个选项中只有一个是正确选项）

1．（5分）下列事件是随机事件的是（）

①当x≥10时，lgx≥1

②当x∈R，x2﹣1=0有解

③当a∈R，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解

④当sinα＞sinβ时，α＞β

A．①②B．②③C．③④D．①④

2．（5分）设集合，集合B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．ϕB．[0，+∞）C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）

3．（5分）数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）

A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n=D．

4．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={4，8}现从集合A中任取一个数为a，从B中任取一个数为b，则b＞a的概率为（）

A．B．C．D．

5．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）

A．10 B．C．﹣10 D．﹣

6．（5分）已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A．140 B．280 C．168 D．56

7．（5分）设方程2x+x=0，log2x+x=0，log2x﹣=0的实数根分别为a，b，c则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c

8．（5分）△ABC三边a，b，c对应的角分别是A，B，C．若c2＜a2+b2+2abcos2C，则角C的取值范围是（）

A．（0，）B．（0，）C．（） D．（，）

10．（5分）若定义在[﹣2012，2012]上的函数满足：对任意x1，x2∈[﹣2012，2012]，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2011，且x＞0时，有f（x）＞2011成立．令f（x）的最大值和最小值分别为M，N，则M+N的值为（）

A．2011 B．2012 C．4022 D．4024

二、填空题（每小题5分，共计5个小题．将正确的答案写在答题卡相应的横线上）

11．（5分）已知tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan2α=．

12．（5分）已知x，y满足|x|+|y|≤4，则z=（x+3）2+（y﹣3）2的最小值是．13．（5分）已知||=5，||=3，||=7则向量与的夹角为．14．（5分）设数列{a n}的所有项和为S（1），第二项及以后所有项和为S（2），第三项及以后所有项和为S（3），…，第n项及以后所有项和为S（n）．若数列{S（n）}是首项为，公比为2的等比数列，则a n=．

15．（5分）对任意x∈R，函数f（x）满足，设a n=[f （n）]2﹣f（n），数列{a n}的前15项的和为，则f（15）=．

三、解答题（本大题共计6小题，共75分）

16．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x．

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=﹣，且C为锐角，求sinA．

17．（12分）在文理分科前，为了了解高一学生成绩情况，某校抽取部分学生进行一次分科前数学测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

（2）若成绩在110分以上（含110分）为优秀，试估计该学校全体高一学生的优秀率是多少？

（3）在这次测试中，学生数学测试成绩的中位数落在那个小组内？请说明理由．

18．（12分）某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成（注：x成即定价为原来的（1+）倍，0＜x≤10，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍．

（1）若y=ax，其中a是满足的常数，用a来表示当售货金额最大时x 的值．

（2）若y=x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围．

19．（12分）已知数列1，1，2…它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到．求该数列的前n项和S n．

20．（13分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（x∈R，a≠0）．

（1）若a=1，b=﹣4，c=3，求f（x）＜0的解集．

（2）若a＜0，c=﹣2，方程f（x）=x的两实根x1，x2满足x1∈（0，1），x2∈（1，2）．求证：﹣4＜＜﹣1．

（3）若函数f（x）的最小值为0，且a＜b，求的最小值．

21．（14分）设函数f（x）=x2+ax+b（a、b为实常数），已知不等式|f（x）|≤|2x2+4x ﹣6|对任意的实数x均成立．定义数列{a n}和{b n}：a1=3，2a n=f（a n﹣1）+3（n=2，3，…），b n=，数列{b n}的前n项和S n．

（I）求a、b的值；

（II）求证：；

（III ）求证：

2016-2017学年安徽省合肥一中高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共计10个小题．在给出的四个选项中只有一个是正确选项）

1．（5分）下列事件是随机事件的是（）

①当x≥10时，lgx≥1

②当x∈R，x2﹣1=0有解

③当a∈R，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解

④当sinα＞sinβ时，α＞β

A．①②B．②③C．③④D．①④

【解答】解：①当x≥10时，lgx≥1，属于确定事件，

②当x∈R，x2﹣1=0有解，解得x=±1，属于确定事件

③当a∈R，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解，需要根据a的值确定解得个数，属于随机事件，

④当sinα＞sinβ时，α＞β，属于随机事件，

故选：C．

2．（5分）设集合，集合B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．ϕB．[0，+∞）C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）

【解答】解：集合={x|x≥﹣1}；

集合B={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，

所以A∩B=（﹣1，+∞）∩[0，+∞）=[0，+∞）．

故选：B．

3．（5分）数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）

A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n=D．

【解答】解：设此数列为{ a n}，则由题意可得a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…