船舶动力定位系统的数学模型
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positioning system based on Kalman filtering and optimal
control. Modeling , Identification and Control. 1980 , Vol.
1 ,No. 3 :135263. 3 Fung P T K , Grimble M J . Dynamic ship positioning using a
风速和风向 。ν和ω都为零均值高斯白噪声 。
5 参考文献
1 T. Fossen. Guidance and control of ocean vehicles. New
York : Wiley ,1994. 2 Balchen J G. Jenssen N A , Mat hisen E et al. A dynamic
海交通大学博士学位论文 ,1999.
Mathematical Model of Dynamically Positioning System of Ship
——— by Tong J injun , He Liming and Tian Zuohua
Abstract :In t he paper , based on reviewing t he development history of dynamically positioning system , a mat hematical model of dynamically positioning system is established which includes high and low f requency mo2 tion of ship , t hrusters and force of wind , wave and current . And finally , a complete mat h model t hat can be used for cont rolling is given.
J ( Ψ) = sinΨ cosΨ 0
(2)
0
01
船舶工程 2002 年第 5 期
·27·
1. 2 船舶低频运动模型
根据文献[ 1 ] ,可以得知船舶的低频运动模型为
MνL + D (νL - νc)
=
τ L
+
ω L
(3)
式中
ν L
=
[
uL
,
vL
,
rL
]表示低频速度向量
,νC
=
[
uC
,
vC
,
船舶动力定位系统的数学模型
童进军 硕士 上海交通大学自动化系[ 200030 ] 何黎明 博士 上海交通大学自动化系[ 200030 ] 田作华 教授/ 博导 上海交通大学自动化系[ 200030 ]
摘 要 阐述了船舶动力定位系统的发展 ,给出了完整的动力定位系统的船舶低频与高频运 动 、推力器 、风 、浪 、流等数学模型 ,最后给出了综合运动模型 。
噪声 ;ωL 代表三维扰动变量 。矩阵定义如下 :
AL =
03 ×3 03 ×3
I3 ×3 - M - 1 D ; BL =
03 ×3 ;
M-1
EL =
03 ×3 M-1
; CL
= [ I3 ×3 03 ×3 ]
(7)
1. 3 高频运动模型
船舶的高频运动主要是由于一阶波浪力引起
的 ,并且认为纵荡 、横荡 、和艏摇三个自由度上的高 频运动是没有耦合的 。根据文献[ 1 ] ,这三个自由度 的高频运动可以分别看作是附加了阻尼项的二阶谐
2. 1 低频风模型
低频的风速 V w 和方向βω 可以认为是低速缓 慢变化的参数 :
Vω
=
ω V
βω = ωβ
(13)
其中 ,ωV ,ωβ 为高斯零均值噪声向量 ,将此模型用状 态空间表达法表示 :
x w = Ewωw
(14)
式中状态向量 x w = [ V w ,βw ] T ,ωw = [ων,ωβ] T 为 高斯零均值噪声向量 , Ew = I 。根据文献 [ 1 ] ,船舶 所受的作用力可以表示为 :
rC
]是流速度向量
,
τ L
是
控
制
力
和
力
矩
,
ω L
=
[ωu ,ωv ,ωr ]是零均值白噪声 , 用于描述船舶未建模
的动态特性和扰动 。惯量矩阵 M (包括水力附加质
量) 满足正定要求 M = M T > 0 如下 :
m - Xu
0
0
Байду номын сангаасM=
0
m - Yv m x G - Y r (4)
0
m x G - Yr Iz - N r
m 表示船舶质量 , Iz 是转矩惯量 , 水力在纵荡 、横
荡 、艏摇三个方向由于各自加速度引起的附加质量
Xu 、Y v 、N r均被定义为负数 ; 而 Y r则是由于横荡和 艏摇的耦合而互相引起的附加质量 。
D 代表线性水动力系数矩阵 ,是严格正定的 :
- Xu 0
0
D = 0 - Yv - Yr
关键词 船舶 动力定位 数学模型 高频运动 低频运动
中图分类号 U661. 3
0 前 言
随着人们对海洋资源开发 ,海洋探索的范围越 来越广 。人们对深海作业的船舶以及其他浮式生产 系统 (包括半潜平台 , 钻进平台) 的动力定位系统 (Dynamic Positioning System ,简称 DP 系统) 的研究 也日益重视 。DP 系统就是如何在有风 、浪 、流的干 扰情况下 ,不借助锚泊系统 ,利用自身的推力器系统 使得船舶保持一定的位置和角度 ,或者按照预定的 运动轨迹运动 。动力定位系统通常包括三个子系 统 :a) 机械 、电子和声学装置 - 用于测量船舶角度和 位置的传感器系统 ; b) 执行机构 - 安装于船体各部 分的推进器以产生需要的推力来推动船舶运动 ;c) 控制器 - 根据由传感器系统所提供的信息来选择合 适的方法控制执行机构 。从上个世纪 60 年代以来 , 动力定位系统在商业中应用已经有很大的发展 。最 早的 DP 系统是采用传统的 PID 控制器串联低通或 陷波滤波器的方法 。到上世纪七 、八十年代后 ,基于 最优化控制理论和卡尔曼滤波的控制方法被引入到 D P 系统[1 ,2 ,3 ] 。
因此 ,建立一个完整的合理的数学模型是船舶 动力定位系统控制的首要条件 。本文给出了针对船 舶动力定位控制系统所应用的船舶运动模型 ,包括 低频运动模型 ,高频运动模型 ,同时还给出了作为环 境干扰力的风 、流等数学模型以及考虑动态特性的
推力器的数学模型 。最后提出了一个综合的运动模 型。
1 船舶运动数学模型
的高频运动模型 :
x H = A H x H + EHωH (9)
yH = CH x H
式中 x H = [ξx , x H ,ξy , y H ,ξΨ , ΨH ]分别代表三个自
由度上的位置和速度状态信号 ,ωH = [ωx ,ωy ,ωΨ ]
是零均值的高斯白噪声信号 ,三维向量 y H 分别表示
3 推力器动态模型
推力器系统主要是对安装在船体的各个推力器
(一般不少于 5 个) 进行推力分配 ,并且借助它们得
到相应的推力和力矩 ,以抵抗作用于船的干扰力和
力矩 。关于多推力器的推力分配问题也是一个优化
问题 ,可参见文献[ 4 ,6 ] 。
实际的动力定位系统中 ,推力器的动态特性也
是必须要考虑的一个问题 ,因为它可能导致控制输
舶的数学模型 :
x = A x + B u + Eω
z = Hx +ν
(17)
式中
,
x
=
[
x
T L
,
x
T H
,
x
T c
,
x
T w
,τT
]T
为状态变量 ,
u
=
τL +τw 是输入向量 ,输出向量 z = [ z x , z y , zΨ , z ws ,
z w d ]分别表示船舶纵荡位置 、横荡位置 、艏摇角度 、
图 1 固定坐标系和随船坐标系
定义固定坐标系下船舶的位置和艏摇角度向量
η= [ x , y , Ψ ] T , 以及随船坐标系下的纵荡 、横荡 、
艏摇速度向量ν= [ u , v , r ] T 。可得到如下关系 :
η = J ( Ψ)ν
(1)
其中转换矩阵 J ( Ψ) 为 :
cosΨ - sinΨ 0
出的相位延迟和幅值的降低 。推力器的动态模型是
τ = A thr (τ - τcom )
(16)
其中 :τcom 为控制输入向量 ;
A thr = diag{ - 1/ T1 , - 1/ T2 , - 1/ T3} 为包含
三个方向上的时间常数的对角矩阵 。
4 综合的运动模型
将上面的所有描述方程合在一起 ,构成整个船
0
.
5ρw
A
f
V
2 a
CX
(α)
τw =
0
.
5ρw
A
s
V
2 a
C
Y
(α)
0
.
5ρw
A
sL
V
2 a
CN
(α)
2. 2 低频流模型
与风模型相似 ,同样可以得到流的状态模型
x c = Ecωc
(15)
船舶工程 2002 年第 5 期
其中 , xc = [ V c ,βc , rc ] T 分别表示流速度和方 向以及流对艏摇方向的角度 。注意 rc 并代表实际 物理流模型 , 但是可以提高卡尔曼滤波器的性能 。 ωc 为零均值高斯白噪声过程 。
1. 1 运动学方程 在有风 、浪 、流作用下的复杂海况中 ,无约束的
船舶表现为六自由度的运动 。而在实际的 DP 系统 中 ,只需要考虑三个自由度的运动 :纵荡 、横荡 、艏摇 运动 。为了描述船舶的运动 ,需要建立两个参考坐 标系 (如图 1 所示) ,一个是相对于地球的固定坐标 系 X EO Y E ,一个是相对于船舶的随船坐标系 XO Y , 两者的 Z 轴垂直指向地心 , X Y 平面与静水面重 合 。随船坐标系的原点取在船舶的中心线上 , 离重 心点的距离是 x G 。
(5)
0
- Nv - Nr
由于坐标系转换矩阵 (2) 的存在 ,使得模型 (3) 表现
为非线性的模型 ,我们选择在一定的艏摇角的附近
线性化模型 (3) ,通常在 360°的范围内选择 36 个点
(每 10 度一个点) 线性化模型 。在这里我们可以通
过选择合适的坐标系使得 Ψd = 0 ,这样我们得到线
波振荡器 :
·28·
h ( s)
=
s2
+
Kws
2ξω0 s
+ ω20
(8)
式中 ,参数 Kw 与海况有关 , 相对阻尼系数 ξ小于 1. 0 ,一般取 0. 05～0. 3 ,ω0 表示波浪 P2M 谱中的主
要频率 , 与波浪的有义波高有关 。可见参考文献
[5]。
对于式 (8) 将其转化为状态空间形式可得如下
性化的低频运动模型如下 :
x L = A L x L + B Lτ + ELωL
yL = CL x L +ν
(6)
式中的状态变量 xL = [ηT ,νT ] T , 其中 ηT 代表位置
(纵荡 、横荡 、艏摇) 向量 ; yL 代表三维测量位置向量 (包括纵荡 、横荡 、艏摇角度) ;ν是 3 维测量高斯白
船舶在海面上的综合运动很复杂 ,一般分为风 、 流 、二阶波浪力引起的低频运动和由于一阶波浪力 引起的高频运动 。由于高频运动仅仅表现为周期性 的振荡而不会导致平均位置的改变 ,为了避免不必 要的能量浪费和推力器的磨损 ,一般从船舶测得的 综合位置信息分离出低频信号然后加以控制 ,而不 对高频信号进行控制 。
高频的纵荡 、横荡位置和艏摇角度 。
式中矩阵定义为 :
Ai 0 0
0
1
A H = 0 A i 0 A i = - 2ξω0 - ω20
0 0 Ai
(10)
EH = [0 k1 0 k2 0 k3 ] T
(11)
010000
CH = 0 0 0 1 0 0
(12)
000001
2 环境干扰力模型
self2tuning Kalman filter. IEEE transactions on automatic
control. 1983 , Vol. AC228 ,No. 3 :339249. 4 季春群. 动力定位系统的控制方程和模型实验. 海洋工
程. Vol. 17 , No 4. 5 陶尧森. 船舶耐波性. 上海交通大学出版社. 1985. 6 芮世民. 基于模糊控制海上作业系统动力定位的研究. 上
Key words :Ship Dynamically positioning Mat hematical model High f requency motion Low f requency mo t io n
行业信息
沪东中华造船 (集团) 有限公司
沪东中华造船 (集团) 公司近来推广二项新工艺 ,收到了较好的降本增益效果 。其一是对船舶水线水尺的勘划工艺予于 创新 。以往 ,水线水尺的勘划工艺基本停留在较为落后的状态中 ,难以合理地 、有效地确保船体制造精度 。有关技术人员决 定对水线水尺勘划工艺进行新的尝试 :逐渐由船台施工改为平台勘划 。该工艺的创新进一步保证了水线水尺的勘划精度 ,不 仅加快了船体制造进度 ,而且使造船精度跃上了一个新的台阶 。其二是推广实芯 CO2 焊丝应用 。CO2 气体保护焊已经在船 厂中大面积使用 ,其中药芯焊丝在 CO2 焊丝中占有主要地位 。为了有效地降低生产成本 ,沪东中华造船集团积极将实芯 CO2 焊丝在某些生产区域予于推广应用 ,达到了一定程度的突破 。实芯焊丝的价格仅为药芯焊丝的 60 %左右 ,实际应用中抗裂性 能较好 ,无需清渣 ,适合于打底层焊缝及多层多道焊 ,并在坡口间隙较小时同样可以获得满意的背面成型 。 (邵天骏)
control. Modeling , Identification and Control. 1980 , Vol.
1 ,No. 3 :135263. 3 Fung P T K , Grimble M J . Dynamic ship positioning using a
风速和风向 。ν和ω都为零均值高斯白噪声 。
5 参考文献
1 T. Fossen. Guidance and control of ocean vehicles. New
York : Wiley ,1994. 2 Balchen J G. Jenssen N A , Mat hisen E et al. A dynamic
海交通大学博士学位论文 ,1999.
Mathematical Model of Dynamically Positioning System of Ship
——— by Tong J injun , He Liming and Tian Zuohua
Abstract :In t he paper , based on reviewing t he development history of dynamically positioning system , a mat hematical model of dynamically positioning system is established which includes high and low f requency mo2 tion of ship , t hrusters and force of wind , wave and current . And finally , a complete mat h model t hat can be used for cont rolling is given.
J ( Ψ) = sinΨ cosΨ 0
(2)
0
01
船舶工程 2002 年第 5 期
·27·
1. 2 船舶低频运动模型
根据文献[ 1 ] ,可以得知船舶的低频运动模型为
MνL + D (νL - νc)
=
τ L
+
ω L
(3)
式中
ν L
=
[
uL
,
vL
,
rL
]表示低频速度向量
,νC
=
[
uC
,
vC
,
船舶动力定位系统的数学模型
童进军 硕士 上海交通大学自动化系[ 200030 ] 何黎明 博士 上海交通大学自动化系[ 200030 ] 田作华 教授/ 博导 上海交通大学自动化系[ 200030 ]
摘 要 阐述了船舶动力定位系统的发展 ,给出了完整的动力定位系统的船舶低频与高频运 动 、推力器 、风 、浪 、流等数学模型 ,最后给出了综合运动模型 。
噪声 ;ωL 代表三维扰动变量 。矩阵定义如下 :
AL =
03 ×3 03 ×3
I3 ×3 - M - 1 D ; BL =
03 ×3 ;
M-1
EL =
03 ×3 M-1
; CL
= [ I3 ×3 03 ×3 ]
(7)
1. 3 高频运动模型
船舶的高频运动主要是由于一阶波浪力引起
的 ,并且认为纵荡 、横荡 、和艏摇三个自由度上的高 频运动是没有耦合的 。根据文献[ 1 ] ,这三个自由度 的高频运动可以分别看作是附加了阻尼项的二阶谐
2. 1 低频风模型
低频的风速 V w 和方向βω 可以认为是低速缓 慢变化的参数 :
Vω
=
ω V
βω = ωβ
(13)
其中 ,ωV ,ωβ 为高斯零均值噪声向量 ,将此模型用状 态空间表达法表示 :
x w = Ewωw
(14)
式中状态向量 x w = [ V w ,βw ] T ,ωw = [ων,ωβ] T 为 高斯零均值噪声向量 , Ew = I 。根据文献 [ 1 ] ,船舶 所受的作用力可以表示为 :
rC
]是流速度向量
,
τ L
是
控
制
力
和
力
矩
,
ω L
=
[ωu ,ωv ,ωr ]是零均值白噪声 , 用于描述船舶未建模
的动态特性和扰动 。惯量矩阵 M (包括水力附加质
量) 满足正定要求 M = M T > 0 如下 :
m - Xu
0
0
Байду номын сангаасM=
0
m - Yv m x G - Y r (4)
0
m x G - Yr Iz - N r
m 表示船舶质量 , Iz 是转矩惯量 , 水力在纵荡 、横
荡 、艏摇三个方向由于各自加速度引起的附加质量
Xu 、Y v 、N r均被定义为负数 ; 而 Y r则是由于横荡和 艏摇的耦合而互相引起的附加质量 。
D 代表线性水动力系数矩阵 ,是严格正定的 :
- Xu 0
0
D = 0 - Yv - Yr
关键词 船舶 动力定位 数学模型 高频运动 低频运动
中图分类号 U661. 3
0 前 言
随着人们对海洋资源开发 ,海洋探索的范围越 来越广 。人们对深海作业的船舶以及其他浮式生产 系统 (包括半潜平台 , 钻进平台) 的动力定位系统 (Dynamic Positioning System ,简称 DP 系统) 的研究 也日益重视 。DP 系统就是如何在有风 、浪 、流的干 扰情况下 ,不借助锚泊系统 ,利用自身的推力器系统 使得船舶保持一定的位置和角度 ,或者按照预定的 运动轨迹运动 。动力定位系统通常包括三个子系 统 :a) 机械 、电子和声学装置 - 用于测量船舶角度和 位置的传感器系统 ; b) 执行机构 - 安装于船体各部 分的推进器以产生需要的推力来推动船舶运动 ;c) 控制器 - 根据由传感器系统所提供的信息来选择合 适的方法控制执行机构 。从上个世纪 60 年代以来 , 动力定位系统在商业中应用已经有很大的发展 。最 早的 DP 系统是采用传统的 PID 控制器串联低通或 陷波滤波器的方法 。到上世纪七 、八十年代后 ,基于 最优化控制理论和卡尔曼滤波的控制方法被引入到 D P 系统[1 ,2 ,3 ] 。
因此 ,建立一个完整的合理的数学模型是船舶 动力定位系统控制的首要条件 。本文给出了针对船 舶动力定位控制系统所应用的船舶运动模型 ,包括 低频运动模型 ,高频运动模型 ,同时还给出了作为环 境干扰力的风 、流等数学模型以及考虑动态特性的
推力器的数学模型 。最后提出了一个综合的运动模 型。
1 船舶运动数学模型
的高频运动模型 :
x H = A H x H + EHωH (9)
yH = CH x H
式中 x H = [ξx , x H ,ξy , y H ,ξΨ , ΨH ]分别代表三个自
由度上的位置和速度状态信号 ,ωH = [ωx ,ωy ,ωΨ ]
是零均值的高斯白噪声信号 ,三维向量 y H 分别表示
3 推力器动态模型
推力器系统主要是对安装在船体的各个推力器
(一般不少于 5 个) 进行推力分配 ,并且借助它们得
到相应的推力和力矩 ,以抵抗作用于船的干扰力和
力矩 。关于多推力器的推力分配问题也是一个优化
问题 ,可参见文献[ 4 ,6 ] 。
实际的动力定位系统中 ,推力器的动态特性也
是必须要考虑的一个问题 ,因为它可能导致控制输
舶的数学模型 :
x = A x + B u + Eω
z = Hx +ν
(17)
式中
,
x
=
[
x
T L
,
x
T H
,
x
T c
,
x
T w
,τT
]T
为状态变量 ,
u
=
τL +τw 是输入向量 ,输出向量 z = [ z x , z y , zΨ , z ws ,
z w d ]分别表示船舶纵荡位置 、横荡位置 、艏摇角度 、
图 1 固定坐标系和随船坐标系
定义固定坐标系下船舶的位置和艏摇角度向量
η= [ x , y , Ψ ] T , 以及随船坐标系下的纵荡 、横荡 、
艏摇速度向量ν= [ u , v , r ] T 。可得到如下关系 :
η = J ( Ψ)ν
(1)
其中转换矩阵 J ( Ψ) 为 :
cosΨ - sinΨ 0
出的相位延迟和幅值的降低 。推力器的动态模型是
τ = A thr (τ - τcom )
(16)
其中 :τcom 为控制输入向量 ;
A thr = diag{ - 1/ T1 , - 1/ T2 , - 1/ T3} 为包含
三个方向上的时间常数的对角矩阵 。
4 综合的运动模型
将上面的所有描述方程合在一起 ,构成整个船
0
.
5ρw
A
f
V
2 a
CX
(α)
τw =
0
.
5ρw
A
s
V
2 a
C
Y
(α)
0
.
5ρw
A
sL
V
2 a
CN
(α)
2. 2 低频流模型
与风模型相似 ,同样可以得到流的状态模型
x c = Ecωc
(15)
船舶工程 2002 年第 5 期
其中 , xc = [ V c ,βc , rc ] T 分别表示流速度和方 向以及流对艏摇方向的角度 。注意 rc 并代表实际 物理流模型 , 但是可以提高卡尔曼滤波器的性能 。 ωc 为零均值高斯白噪声过程 。
1. 1 运动学方程 在有风 、浪 、流作用下的复杂海况中 ,无约束的
船舶表现为六自由度的运动 。而在实际的 DP 系统 中 ,只需要考虑三个自由度的运动 :纵荡 、横荡 、艏摇 运动 。为了描述船舶的运动 ,需要建立两个参考坐 标系 (如图 1 所示) ,一个是相对于地球的固定坐标 系 X EO Y E ,一个是相对于船舶的随船坐标系 XO Y , 两者的 Z 轴垂直指向地心 , X Y 平面与静水面重 合 。随船坐标系的原点取在船舶的中心线上 , 离重 心点的距离是 x G 。
(5)
0
- Nv - Nr
由于坐标系转换矩阵 (2) 的存在 ,使得模型 (3) 表现
为非线性的模型 ,我们选择在一定的艏摇角的附近
线性化模型 (3) ,通常在 360°的范围内选择 36 个点
(每 10 度一个点) 线性化模型 。在这里我们可以通
过选择合适的坐标系使得 Ψd = 0 ,这样我们得到线
波振荡器 :
·28·
h ( s)
=
s2
+
Kws
2ξω0 s
+ ω20
(8)
式中 ,参数 Kw 与海况有关 , 相对阻尼系数 ξ小于 1. 0 ,一般取 0. 05～0. 3 ,ω0 表示波浪 P2M 谱中的主
要频率 , 与波浪的有义波高有关 。可见参考文献
[5]。
对于式 (8) 将其转化为状态空间形式可得如下
性化的低频运动模型如下 :
x L = A L x L + B Lτ + ELωL
yL = CL x L +ν
(6)
式中的状态变量 xL = [ηT ,νT ] T , 其中 ηT 代表位置
(纵荡 、横荡 、艏摇) 向量 ; yL 代表三维测量位置向量 (包括纵荡 、横荡 、艏摇角度) ;ν是 3 维测量高斯白
船舶在海面上的综合运动很复杂 ,一般分为风 、 流 、二阶波浪力引起的低频运动和由于一阶波浪力 引起的高频运动 。由于高频运动仅仅表现为周期性 的振荡而不会导致平均位置的改变 ,为了避免不必 要的能量浪费和推力器的磨损 ,一般从船舶测得的 综合位置信息分离出低频信号然后加以控制 ,而不 对高频信号进行控制 。
高频的纵荡 、横荡位置和艏摇角度 。
式中矩阵定义为 :
Ai 0 0
0
1
A H = 0 A i 0 A i = - 2ξω0 - ω20
0 0 Ai
(10)
EH = [0 k1 0 k2 0 k3 ] T
(11)
010000
CH = 0 0 0 1 0 0
(12)
000001
2 环境干扰力模型
self2tuning Kalman filter. IEEE transactions on automatic
control. 1983 , Vol. AC228 ,No. 3 :339249. 4 季春群. 动力定位系统的控制方程和模型实验. 海洋工
程. Vol. 17 , No 4. 5 陶尧森. 船舶耐波性. 上海交通大学出版社. 1985. 6 芮世民. 基于模糊控制海上作业系统动力定位的研究. 上
Key words :Ship Dynamically positioning Mat hematical model High f requency motion Low f requency mo t io n
行业信息
沪东中华造船 (集团) 有限公司
沪东中华造船 (集团) 公司近来推广二项新工艺 ,收到了较好的降本增益效果 。其一是对船舶水线水尺的勘划工艺予于 创新 。以往 ,水线水尺的勘划工艺基本停留在较为落后的状态中 ,难以合理地 、有效地确保船体制造精度 。有关技术人员决 定对水线水尺勘划工艺进行新的尝试 :逐渐由船台施工改为平台勘划 。该工艺的创新进一步保证了水线水尺的勘划精度 ,不 仅加快了船体制造进度 ,而且使造船精度跃上了一个新的台阶 。其二是推广实芯 CO2 焊丝应用 。CO2 气体保护焊已经在船 厂中大面积使用 ,其中药芯焊丝在 CO2 焊丝中占有主要地位 。为了有效地降低生产成本 ,沪东中华造船集团积极将实芯 CO2 焊丝在某些生产区域予于推广应用 ,达到了一定程度的突破 。实芯焊丝的价格仅为药芯焊丝的 60 %左右 ,实际应用中抗裂性 能较好 ,无需清渣 ,适合于打底层焊缝及多层多道焊 ,并在坡口间隙较小时同样可以获得满意的背面成型 。 (邵天骏)