二次函数的最大值和最小值

ymax = 4 + a
( 2) 当 1 <
a ≤1 2
即 2≤ a ≤ 2
ymin a2 = 3 4
y
a ∴当 x = 时 2
0 ≤
-1 0 1 y
x
当 x = 1时
1≤
a < 1 即 2 < a ≤ 0时 2
ymax = 4 + a
y max = 4 a
a < 0 2
即 0 < a ≤ 2时
ymin=t2+2
t ≤ 1 (2)当 即 0 ≤ t ≤ 1时 t + 1 ≥ 1
y
0 t t+1
Q1 ∈ [t , t + 1]
∴ 当x = 1时 ymin = 2
1 1 当t + ≥ 1即 t ≥ 时 2 2 2 ∴当x = t + 1时 y max = t + 2
x
y
0
1 1 当t + < 1即 t < 时 2 2
解:
y = x 2 2 x + 3 = ( x 1) 2 + 2
对称轴 x = 1
(1) 当 t + 1 < 1 即 t < 0 时
y = x 2 2 x + 3 在 [t , t + 1] 上单调递减
0 t
y
1 t+1
x
∴当x = t 时
ymax = t 2 2t + 3
当x=t+1时 时
例1、求下列二次函数的最大值或最小值 、
(1) y = x + 2 x + 3
2
解：
1) 2+ 4 y = ( x Qx∈ R
y 4
0
x=1
1
x
∴当x=1时， max = 4 x=1时 y
2
y x=1
( 2)
y = 2x 4x
= 2 ( x 1) 2
2
解： y
∴当 ∴当 x=1时，ymin = 2 时
二次函数: y = ax + bx + c
2
( a≠ 0 )
= a( x +
a>0
y
x= b 2a
b 2 4ac b 2 ) + 2a 4a
a<0
y
b 2a
0
4ac b 2 4a
x
0
x
函数的最大值和最小值的概念
设函数f(x)在x0处的函数值是 0)，如果不等式 在 处的函数值是f(x ，如果不等式f(x)≥ f(x0 ) 设函数 对于定义域内任意x都成立， 叫做函数y=f(x0 )的最小值。 的最小值。 对于定义域内任意 都成立， 都成立 那么f(x0 )叫做函数 那么 叫做函数 的最小值 记作ymin=f(x0 ) 记作 如果不等式f(x)≤ f(x0 ), 对于定义域内任意x都成立， 都成立， 如果不等式 那么f源自文库x 叫做函数 叫做函数y=f(x0 )的最大值。记作 max=f(x0 ) 的最大值。 那么 0 )叫做函数 的最大值 记作y
a 2 a2 2 解： y = x + ax + 3 = ( x + ) + 3 2 4 a 对称轴为 x = 2
a ( 1 ) 当 < 1 即 a > 2时 2
x= a 2
y
y = x + ax + 3在[1， 上单调递增 1]
2
-1
1 0
x
∴ 当x = 1时 ymin = 4 a
当 x = 1时
x=
3 2
y
1
-3
0
x
当 x = 1时
ymax = 1 + 3 2 = 2
( 2)
1 2 y = x 2 x + 1 x ∈ [3 , 1] 5
1 解：y = ( x + 5 ) 2 + 6 5
x = 5
y
1 -3 0
Q 5 [ 3 , 1]
∴函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数 ， 上为减函数 26 ∴ 当 x = 3时 y max = 5 6 当 x = 1时 ymin = 5
当 x = 1时
-1 0 1
x
( 3) 当
a ≥ 1 即a ≥ 2时 2 y = x 2 + ax + 3 在[ 1 , 1]上单调递减
y - 01 1 x
∴ 当x = 1时
ymax = 4 a
ymin = 4 + a
当 x = 1时
求函数 y = x 2 2 x + 3 在 [ t , t + 1] 上的最大值 例4: 和最小值
Qx∈ R
1
0
x
-2
例2、求下列函数的最大值与最小值 、
( 1 ) y = x + 3 x 2 (3 ≤ x ≤ 1)
2
3 2 9 解： y = ( x + ) 2 2 4 3 2 1 = (x + ) 4 2 4
3 Q ∈ [ 3 , 1 ] 2 1 3 ∴当 x = 时 y min = 4 4 2
x
1 2 ( 3 ) y = x + 2 x 1 x ∈ [ 1 , 2] 2 1 解： y = ( x + 2 ) 2 3 2
x = 2
y
-1
Q 2 [ 1 , 2]
∴ 函数 y = f(x)在[-1，2]上为增函数 在 ， 上为增函数
0
2
x
当x = 1时
ymin
5 = 2
当x = 2时 y max = 5
1、 配方，求二次函数的顶点坐标。 、 配方，求二次函数的顶点坐标。 2、 、 判断顶点的横坐标是否在闭区间内。 判断顶点的横坐标是否在闭区间内。 3、计算闭区间端点的函数值，并比较大小。 、计算闭区间端点的函数值，并比较大小。
求函数 y = x 2 + ax + 3 ( a ∈ R ) 在区间 [ 1 , 1 ] 例3： ： 上的最大值与最小值
t t+1
x
∴ 当x = t 时
ymax = t 2 2t + 3
( 4) 当 t > 1 时
y = x 2 2 x + 3 在 [t , t + 1] 上单调递增
∴当x=t时 时 ymin=t2-2t+3 当x=t+1 时 ymax = t 2 + 2
y
1
0
x
t t+1
小结
1、定义域为R的二次函数的最大值和最小值 、定义域为 的二次函数的最大值和最小值 2、定义域为某一闭区间上的最大值和最小值 、 3、关于带有字母参数的二次函数最值的讨论 、