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2021年上海市徐汇区九年级数学一模试卷含答案

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＜合集试卷3套＞2021届上海市徐汇区某名校中考数学六校联考模拟试题及答案

＜合集试卷3套＞2021届上海市徐汇区某名校中考数学六校联考模拟试题及答案

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c ﹣b|的结果是（ ）A ．a+bB ．﹣a ﹣cC ．a+cD ．a+2b ﹣c【答案】C【解析】首先根据数轴可以得到a 、b 、c 的取值范围，然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可．【详解】解：通过数轴得到a ＜0，c ＜0，b ＞0，|a|＜|b|＜|c|，∴a+b ＞0，c ﹣b ＜0∴|a+b|﹣|c ﹣b|=a+b ﹣b+c=a+c ，故答案为a+c ．故选A ．2．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．4【答案】B 【解析】由已知条件可得ABC DAC ~,可得出AC BC DC AC=,可求出AC 的长． 【详解】解：由题意得：∠B=∠DAC ，∠ACB=∠ACD,所以ABC DAC ~，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BC DC AC =，又AD 是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=2, 故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．3．中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（ ）A ．0.96×107B ．9.6×106C ．96×105D ．9.6×102 【答案】B【解析】试题分析：“960万”用科学记数法表示为9.6×106，故选B ．考点：科学记数法—表示较大的数．4．如图，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，BC ∥x 轴，∠OAB ＝90°，点C （3，2），连接OC ．以OC 为对称轴将OA 翻折到OA′，反比例函数y ＝k x的图象恰好经过点A′、B ，则k 的值是（ ）A．9 B．133C．16915D．33【答案】C【解析】设B（2k，2），由翻折知OC垂直平分AA′，A′G＝2EF，AG＝2AF，由勾股定理得OC＝13，根据相似三角形或锐角三角函数可求得A′（526，613），根据反比例函数性质k＝xy建立方程求k．【详解】如图，过点C作CD⊥x轴于D，过点A′作A′G⊥x轴于G，连接AA′交射线OC于E，过E作EF⊥x 轴于F，设B（2k，2），在Rt△OCD中，OD＝3，CD＝2，∠ODC＝90°，∴OC222232OD CD++13由翻折得，AA′⊥OC，A′E＝AE，∴sin∠COD＝AE CDOA OC=，∴AE＝213213kCD OAOC⨯⋅==，∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠OCD+∠AOE＝90°，∴∠OAE＝∠OCD，∴sin∠OAE＝EF ODAE OC=＝sin∠OCD，∴EF＝1331313OD AEkOC⋅==，∵cos∠OAE＝AF CDAE OC=＝cos∠OCD，∴1321313CDAF AE kOC=⋅==，∵EF⊥x轴，A′G⊥x轴，∴EF∥A′G，∴12EF AF AE A G AG AA ===''， ∴6213A G EF k '==，4213AG AF k ==， ∴14521326OG OA AG k k k =-=-=， ∴A′（526k ，613k ）， ∴562613k k k ⋅=， ∵k≠0，∴169=15k ， 故选C ．【点睛】本题是反比例函数综合题，常作为考试题中选择题压轴题，考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等，解题关键是通过设点B 的坐标，表示出点A′的坐标．5．把不等式组2010x x -⎧⎨+<⎩的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先解出各个不等式的解集，然后求出这些解集的公共部分即可．【详解】解：由x ﹣2≥0，得x≥2，由x+1＜0，得x ＜﹣1，所以不等式组无解，故选B ．【点睛】解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了． 6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a ）（a ＞3），半径为3，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为42，则a 的值是（ ）A．4 B．3＋2C．32D．33【答案】B【解析】试题解析：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=12AB=12×42=22，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=223-22=1（），∴PD=2PE=2，∴a=3+2．故选B．考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．7．下面的几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；B、的主视图是正方形，故B不符合题意；C、的主视图是圆，故C符合题意；D、的主视图是三角形，故D不符合题意；故选C．考点：简单几何体的三视图．8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )A．2B．3C．1 D．6【答案】C【解析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=22AM=2，再根据角平分线性质得BM=MH=2，则AB=2+2，于是利用正方形的性质得到AC=2AB=22+2，OC=12AC=2+1，所以CH=AC-AH=2+2，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．【详解】试题分析：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH=45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴AH=MH=22AM=222，∵CM平分∠ACB，∴2∴2∴222）2+2，∴OC=12AC=2+1，CH=AC ﹣AH=22+2﹣2=2+2， ∵BD ⊥AC ，∴ON ∥MH ，∴△CON ∽△CHM ，∴ON OC MH CH =，即21222+=+， ∴ON=1．故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．9．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，Ð1=30°，Ð2=50°，则Ð3的度数为A ．80°B ．50°C ．30°D ．20°【答案】D 【解析】试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D ．考点：平行线的性质;三角形的外角的性质．10．如图，已知抛物线21y x 4x =-+和直线2y 2x =.我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M= y 1=y 2.下列判断： ①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大；③使得M 大于4的x 值不存在；④若M=2，则x=" 1" .其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】试题分析：∵当y 1=y 2时，即2x 4x 2x -+=时，解得：x=0或x=2，∴由函数图象可以得出当x ＞2时， y 2＞y 1；当0＜x ＜2时，y 1＞y 2；当x ＜0时， y 2＞y 1．∴①错误．∵当x ＜0时， -21y x 4x =-+直线2y 2x =的值都随x 的增大而增大，∴当x ＜0时，x 值越大，M 值越大．∴②正确．∵抛物线()221y x 4x x 24=-+=--+的最大值为4，∴M 大于4的x 值不存在．∴③正确； ∵当0＜x ＜2时，y 1＞y 2，∴当M=2时，2x=2，x=1；∵当x ＞2时，y 2＞y 1，∴当M=2时，2x 4x 2-+=，解得12x 22x 22=+=-，（舍去）． ∴使得M=2的x 值是1或22+．∴④错误．综上所述，正确的有②③2个．故选B ．二、填空题（本题包括8个小题）11．因式分解：212x x --= ．【答案】()()34x x +-；【解析】根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．【详解】x 2﹣x ﹣12=（x ﹣4）（x+3）．故答案为（x ﹣4）（x+3）．12．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，BE 的长为 .【答案】1或32．【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=1，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=1，BC=4，∴2243+，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=1，∴CB′=5-1=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得3x2=，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=1．综上所述，BE的长为32或1．故答案为：32或1．13．如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF【答案】①②④【解析】试题解析：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，{A FDMAF DFAFE DFM∠=∠=∠=∠，∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF ，∴FC=FM ，故②正确；③∵EF=FM ，∴S △EFC =S △CFM ，∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC故S △BEC =2S △CEF 错误；④设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90°-x ，∴∠EFC=180°-2x ，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x ，∵∠AEF=90°-x ，∴∠DFE=3∠AEF ，故此选项正确．考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.直角三角形斜边上的中线．14．若a 是方程2310x x -+=的解，计算：22331a a a a -++=______. 【答案】1【解析】根据一元二次方程的解的定义得a 2﹣3a+1=1，即a 2﹣3a=﹣1，再代入22331a a a a -++，然后利用整体思想进行计算即可．【详解】∵a 是方程x 2﹣3x+1=1的一根，∴a 2﹣3a+1=1，即a 2﹣3a=﹣1，a 2+1=3a ∴2233=11=01-+-++a a a a 故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了整体思想的运用．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠D=30°，CD=4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则阴影部分的面积为_____．【答案】433π- 【解析】连接半径和弦AE ，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，继而可得AE 和BE 的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE 的面积与△OBE 面积的差，因为OA=OB ，所以△OBE 的面积是△ABE 面积的一半，可得结论．【详解】如图，连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=12AB=2，BE=2242-=23， ∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S 阴影=S 扇形OBE ﹣S △BOE=2120211·36022AE BE π⨯-⨯ =4142233343ππ-⨯⨯=-， 故答案为433π-．【点睛】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，求出扇形OBE 的面积和△ABE 的面积是解本题的关键．16．分解因：22424x xy y x y --++=______________________．【答案】 (x-2y)(x-2y+1)【解析】根据所给代数式第一、二、五项一组，第三、四项一组，分组分解后再提公因式即可分解.【详解】22424x xy y x y --++=x 2-4xy+4y 2-2y+x=(x-2y)2+x-2y=(x-2y)(x-2y+1)17．如图，已知函数y ＝3x+b 和y ＝ax ﹣3的图象交于点P （﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b ＞ax ﹣3的解集是_____．【答案】x ＞﹣1．【解析】根据函数y=3x+b 和y=ax-3的图象交于点P （-1，-5），然后根据图象即可得到不等式 3x+b ＞ax-3的解集．【详解】解：∵函数y=3x+b 和y=ax-3的图象交于点P （-1，-5），∴不等式 3x+b ＞ax-3的解集是x ＞-1，故答案为：x ＞-1．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，熟练掌握是解题的关键.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为A(1,0)，等腰直角三角形ABC 的边AB 在x 轴的正半轴上，∠ABC=90°，点B 在点A 的右侧，点C 在第一象限。

2021届徐汇区中考数学一模(含答案)

2021届徐汇区中考数学一模(含答案)

上海市徐汇区2021届初三一模数学试卷2021.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 将抛物线22(1)y x 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达 式是（ ）A. 22(2)2y xB. 22(2)2y xC. 22(4)2y xD. 22(4)2y x2. 在Rt △ABC 中，90A ，6AB ，10BC ，那么下列结论正确的是（ ） A. 4tan 3CB. 4cot 5CC. 3sin 4CD. 4cos 5C 3. 已知抛物线24y x x c 经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是 （ ）A. (0,2)B. (0,3)C. (0,4)D. (0,5)4. 已知海面上一艘货轮A 在灯塔B 的北偏东30°方向，海监船C 在灯塔B 的正东方向5海 里处，此时海监船C 发现货轮A 在它的正北方向，那么海监船C 与货轮A 的距离是（ ）A. 10海里B. 海里C. 5海里D. 海里 5. 下列说法中，正确的是（ ）A. 两个矩形必相似B. 两个含45°角的等腰三角形必相似C. 两个菱形必相似D. 两个含30°角的直角三角形必相似6. 定义：[]x 表示不超过实数x 的最大整数，例如：[1.7]1 ，3[05 ，1[2]34，根据 你学习函数的经验，下列关于函数[]y x 的判断中，正确的是（ ）A. 函数[]y x 的定义域是一切整数B. 函数[]y x 的图像是经过原点的一条直线C. 点2(2,2)5在函数[]y x 图像上 D. 函数[]y x 的函数值y 随x 的增大而增大二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 如果:2:3a b ，那么代数式b aa的值是8. 如图，AB ∥CD ∥EF ，如果2AC ，2CE ，1.5BD ，那么BF 的长是9. 已知点P 在线段AB 上，如果2AP AB BP ，4AB ，那么AP 的长是10. 已知二次函数23(12y a x 的图像在直线32x 的左侧部分是下降的，那么a 的 取值范围是11. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，如果△AED 和四边形DECB 的面积相等，BC ，那么DE 的长是12. 在坡度为1:3i 的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么 斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是 米13. 已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看 甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是 米14. 如图，点P 在线段BC 上，AB BC ，DP AP ，CD DP ，如果10BC ，2AB ，1tan 2C，那么DP 的长是 15. 如图，已知△ABC 是边长为2 的等边三角形，正方形DEFG 的顶点D 、E 分别在边AC 、AB 上，点F 、G 在边BC 上，那么AD 的长是16. 《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方 形ABCD 的面积是正方形EFGH 的面积的13倍，那么ABE 的余切值是17. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，将△ADE 沿直线DE 翻折后与△FDE 重合，DF 、EF 分别与边BC 交于点M 、N ，如果8DE ，23AD AB ，那么MN 的长是18. 如图，在△ABC 中，120ABC ，12AB ，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，4sin 5ADE，5ED ，如果△ECD 的面积是6，那么BC 的长是三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 计算：sin 45cot 45tan 60|2cos 45cot 30| .20. 如图：在ABCD 中，AE 平分BAD ，AE 与BD 交于点F ， 1.2AB ， 1.8BC .（1）求:BF DF 的值；（2）设AB a，BC b ，求向量DF （用向量a 、b 表示）.21. 已知抛物线2y x bx c 与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为M ，对称轴是直线1x . （1）求此抛物线的表达式及点M 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移(0)m m 个单位，所得新抛物线经过原点O ，设新抛物线的顶点为N ，请判断△MON 的形状，并说明理由.22. 为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测，某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB （如图所示），当无人机在限速道路的正上方C 处时，测得限速道路的起点A 的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D 处，此时又测得起点A 的俯角是30°，同时测得限速道路终点B 的俯角是45°（注：即四边形ABDC 是梯形）. （1）求限速道路AB 的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB 上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由.【参考数据：sin 370.06 ，cos370.80 ，tan 370.75 1.73 】23. 如图，在△ACB 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AD AB ，BE CE ，AD 与BE 交于点F ，且AF DF BF EF .求证：（1）ADC BEC ；（2）AE CD EF AC .24. 已知二次函数224(0)y ax ax a a 的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点 为点D .（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点D 的坐标；（2）设该函数图像与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴正半轴交于点B ，图像的对称轴与x 轴 交于点A ，如果DC BC ，1tan 3DBC，求该二次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，设点M 在第一象限该函数的图像上，且点M 的横坐标为(1)t t ，如果△ACM 的面积是258，求点M 的坐标.25. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ，12AC ，5BC ，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在△ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G . （1）当AE BE 时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果△BEH 和△ABG 相似，求sin ABE 的值； （3）当AG AE 时，求CD 的长.参考答案一. 选择题1. A2. D3. B4. B5. D6. C二. 填空题7.12 8. 1549. 2 10. 0a11. 2 12. 13. 30 14.15. 6 16. 3217. 4 18. 6三. 解答题19. 220.（1）23BF DF ；（2）3355DF a b .21.（1）222y x x ，(1,1)M ；（2）△MON 是等腰直角三角形. 22.（1）1507AB 米；（2）超速. 23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）开口向下，对称轴：1x ，顶点为(1,4)；（2）223y x x ；（3）57(,)24M .25.（1）494CDEF S ；（2）119sin 169ABE ；（3）12CD .。

2020-2021学年上海初三数学一模汇编-专题15 几何综合(解答题25题压轴题)教师版

2020-2021学年上海初三数学一模汇编-专题15 几何综合(解答题25题压轴题)教师版

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当AEBE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值； （3）当AG AE =时，求CD 的长．【答案】（1）494；（2）119169；（3【分析】（1）利用勾股定理求出AB 的长，设CD=x ，则AD=12-x ，利用勾股定理得出13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，求出x 的值，再利用正方形的面积公式求解即可；（2）先证∠BAC=∠EBF ，设边长为x ，利用三角函数求出x 的值，再求∠ABE 的正弦值即可；（3）设边长为x ，利用∠BCG∠∠EDG ，得出5DE DG x BC GC ==，然后联立512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，根据AG=AE ，求解即可．【详解】解：（1）Rt∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，13= ，设CD=x ，则AD=12-x ，在∠ADE 中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，在∠BFE 中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，在∠ABE 中，AE∠BE ，∠AB²=AE²+BE²，即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=72，∠正方形CDEF 的面积=CD²=72×72=494； （2）如图：延长ED 交AB 于H ，∠∠BEH∠∠ABG ，且∠ABG=∠EBH ，∠∠BEH=∠BAG ， ∠DE∠EF ，∠∠BEH=∠EBF ，∠∠BAC=∠EBF ，设边长为x ， 则tan∠EBF=5x x +，tan∠BAC=512，令5x x +=512，则x=257, ∠25125971284HDAH ADBCAB AC-====，∠59767138484AH =⋅=， ∠BH=13-AH=32584，HD=5929558484⋅=， ∠HE=HD+x=59584， 过H 作HM ，与BE 相交于M ，5sin sin 13B M AG HE ∠=∠=,595sin 84s 951419165in 81332HM HE HEM ABE BH BH ⨯⋅∠∠====；（3）∠DE//BC,∠∠BCG∠∠EDG ，设边长为x ，∠5DE DG xBC GC ==， ∠DG+GC=x ，∠DG=25x x +，GC=55x x +，则512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，令AG=AE ， 则CD=x=2或x=22-（舍去）． 【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定及利用三角函数求解，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确构造辅助线，表示相关线段的长度．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A 、B 不重合），联结CM ，作∠CMF ＝90°，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ．点G 为线段MF 的中点，联结DG ．（1）如图1，如果AD ＝AM ＝4，当点E 与点G 重合时，求∠MFC 的面积；（2）如图2，如果AM ＝2，BM ＝4．当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD ＝x ，DG 2＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM ＝6，CD ＝8，∠F ＝∠EDG ，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）【答案】（1）20；（2）()4244644x x y x =-+<<；（3）AD =【分析】（1）运用ASA 证明∠AME DFE ≅∆求出FD 的长再运用三角形面积公式即可得到答案；（2）证明FHM MHC △∽△，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；（3）分点G 在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M 作MH∠DC ，垂足为H ，如图1易得四边形ADHM 是正方形，∠AE ED =又∠FED=∠MEA∠∠()AME DFE ASA ≅∆ ∠.4AM FD DH ===∠MH FC ⊥∠∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∠90FMC ∠=︒，∠∠FMH+∠HMC=90°∠∠FMH=∠HCM∠∠FMH∠∠MCH ∠12MH HC FH MH ==∠2CH =，CF 10=∠1202MFC S CF MH =⋅=△ （2）过M 作MH∠DC ，过G 点作GP∠DC ，垂足分别为H ，P ，如图2，∠FG GM =，//GP MH ∠111222GP MH AD x ===，12FP PH FH == ∠MH∠DC ，∠∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90° ∠∠FMC=90°，∠∠FMH+∠HMC=90° ∠∠FMH=∠HCM ，∠FHM MHC △∽△∠FH MH MH HC =，即4FH x x =，∠24x FH =∠28x PH =，228x DP =-，12GP x =∠222DG DP GP =+∠424644x x y =-+由00FH DP >⎧⎨>⎩ 可得4x <∠定义域为4x <<（3）点G 在矩形内部时,延长DG 交AB 于J ，连接AG ，AF ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠∠AD BC =∠ADJ BCM ≌△△， 2AJ BM == ∠1GJ GMDG GF==，∠AG DG =∠∠12=∠∠∠1390+∠=︒∠∠3490+∠=︒ ∠∠90AGE =︒∠AG 垂直平分FM ∠6AF AM ==∠4DF MJ ==∠AD =点G 在矩形外部时，延长DG 交BA 延长线于L ，连接DM ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠，AD BC =∠ADL BCM ≌△△， ∠2AL BM ==∠∠L CMD =∠，∠FMC 为直角，∠90DGE ∠=︒，DG 垂直平分FM ∠8DM DF ==，6AM =，∠AD =AD =【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长； （3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BDx BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-（3）．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出∠DEC∠∠CEB ，进而得出结论；（2）由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ，再由∠DEC∠∠DCA ，得AD=AC ，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF ，先证∠BDC∠∠EDF ，得出FD DE CD BD =，进而得出FDMF=y ，然后结合已知条件得出结果． 【详解】解：（1）∠∠ACB=90°，∠∠B=45°，∠∠DCE=45°，∠∠B=∠DCE ，∠∠DEC=∠CEB ，∠∠DEC∠∠CEB ，∠EC DE BE CE=，故CE²=BE·DE ； （2）由题意得∠DCE 是等腰三角形，DC=CE ，由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ， 同理可得∠DEC∠∠DCA ，AD=AC ，∠BC=AC ，∠BE=AD=BC=AC ，∠AC=3，∠在Rt∠ABC中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，∠AD=2BD，∠BD=AB-AD=AB-3，6，3，∠DE=AB-BD-3)=6-（3）连接EF，由三角形相似可得∠FED=∠DBC，∠EF∠BC，∠∠EFD=∠BCD，∠∠EDF=∠BDC，∠∠BDC∠∠EDF，∠FD DECD BD=，∠tan∠FMD=y，∠FDMF=y，在Rt∠MFC中，∠MCF=45°，∠MF=CF，∠FD FDCF MF==y，∠BDxBC=，BE=BC，∠BD BDxBE BC==，∠,FD BDy xCF BE==，∠DE=1xBDx-，CD=1yFDx-，∠FD DECD BD=，11y xy x=--，则y(1-y)=x(1-y)，y-xy=x-xy，．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ． （1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S与ECFS的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值； （3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）94；（2）15；（3）17. 【分析】（1）先证明：,BEA CFE ∽可得：BE ABCF CE=，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：33,b a b +=可得：3,2b a = 再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =， 设,CF a = 再设DH x =， 利用22222,AF AH FH DF DH -==-求解x ，可得cos ,D 从而可得答案；（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG = 证明：6EH EC ==， 设,DF x = ,HG GC y == 证明：,AFE B D ECH H ∠=∠=∠=∠=∠可得：cos ,6EF ycoc AFE H AF ∠==∠=再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，90B ∠=︒， ∴ 四边形ABCD 是正方形，90B C ∴∠=∠=︒， 90BAE BEA ∴∠+∠=︒， ,EF AE ⊥ 90BEA CEF ∴∠+∠=︒，,BAE CEF ∴∠=∠ ,BEA CFE ∴∽ BE AB CF CE ∴=，,BE CFAB CE∴= 3,EC CF =3,AB BE ∴= 设,,CF a BE b == 3,CE a ∴= 3,AB BC b a ∴==+ 而33,AB BE b ==33,b a b ∴+= 3,2b a ∴=9,2AB a ∴= 22992.34ABE CEFaSAB SCE a ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FH AD ⊥于,H 连接AF ，菱形ABCD ，//,AB CD ∴ ,BAE G ∴∠=∠ E 为BC 的中点，,BE CE ∴=,AEB CEG ∠=∠ ()ABE GCE AAS ∴≌,,,AB CG AE GE ∴==,AE EF ⊥ ,AF FG ∴=设,CF a = 则3,CE BE a == 6AB BC DC CG AD a =====，75,FG AF a DF a ∴===， 设,DH x = 22222,AF AH FH DF DH ∴-==-()()()2222765,a a x a x ∴--=- ,x a ∴= ,DH a ∴= 1cos ,55DH a D DF a ∴=== 由菱形ABCD 可得：,B D ∠=∠ 1cos .5B ∴=（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG =,,ECEH H ECH ∴=∠=∠ 23,CF CE CF ==， 6CE EH ∴==，设,DF x = ,HG GC y == 则2,DC AD x ==+ ,6HG ycoc H EH ∴∠== 菱形ABCD ， ,//,B D AB CD ∴∠=∠ ,B ECH ∴∠=∠,AFE B ∠=∠,AFE B D ECH H ∴∠=∠=∠=∠=∠ cos ,6EF ycoc AFE H AF ∴∠==∠= ,AFH AFE EFH D DAF ∠=∠+∠=∠+∠ ,EFH DAF ∴∠=∠,FEH AFD ∴∽ ,EH HF EF DF AD AF ∴== 622,26y yx x +∴==+ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩，解得：15,2.4x y =⎧⎨=⎩ 经检验：152.4x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，217,CD x ∴=+= 即菱形ABCD 的边长为：17.【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）4、8-． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE由AF AE DB BE =即)4444x yxx --=-+x 的关系；（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB中，AD=AB 142ADBSDB AC ∴=⋅=12ADBSAB DH =⋅DH ∴AH==1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH∠CB 于H∠EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒∠ACD EHD ．∠AC EH CD DH = 即44EHx x EH=--． ∠()444x EH x -=+ ．∠EH∠CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∠)44x EB x -==+，AB =∠)44x AE x -=+∠EF AD ⊥，90C ∠=︒∠AFG ADC ∠=∠ ．∠EDB ADC ∠=∠∠AFG EDB ∠=∠．∠45FAE B ∠=∠=︒∠AFEBDE ．∠AF AE DB BE=即)4444x yx x --=-+()2402y x x =-+<≤；（3）在Rt∠MDB 中，DB=4-x,所以).x - 在Rt∠ADM 中，AM=AB 一MB=)).22x x -=+所以tan∠DAB=44DM x AM x -=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论∠CDF 与∠AGE 相似:①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan∠FDC=tan∠DAB,得44y x x x-=⋅+结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0.解得 4 或- 4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan∠CFD=tan∠DAB ，得4.4x x y x-=+结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+ ②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x -4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y x x x -=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得（舍去） 如果∠CFD=∠DAB,44x x y x-=+与y=2x -4整理，得238160.x x -+=此方程无解.综上，CD 的值为4、8-【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ BP =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2（3BP <<【分析】（1）证明∠BPQ∠∠BAC 即可；（2）由∠PQD<90︒，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tanAC B BC ===∠B=30，30DPC∠=︒，计算tan 30CDCP ︒===BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，证明∠EQD∠∠CDP ，得到QE EDCD CP=，设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值； （3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，由'30DD C B ∠=∠=︒求出'CD 'DP D P =，列得()'2CP D P CP DP m m +=+=+=计算求值即可；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，求出PC=tan 602CD =︒，即可得到3BP =【详解】解：（1）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =∠4AB =，∠BC AB ==，∠BQ BP =，∠BQ BP =∠BQ BC BP AB =，∠QBP CBA ∠=∠， BPQBAC ∴，∠90BQP BCA ∠=∠=︒，PQ AB ∴⊥；（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，如图1，在Rt∠ABC 中，tan3AC B BC ===，∠∠B=30， ∠9060QPB B ∠=︒-∠=︒，30DPC ∴∠=︒，∠2AC =，点D 为边AC 的中点，∠CD=1，∠tan 30CDCP ︒===，BP BC CP ∴=-=当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒， ∠∠EQD+∠EDQ=∠EDQ+∠CDP=90︒，EQDCDP ∴，QE EDCD CP∴=， 设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，∠∠B=30，∠BQP=90︒，∠PQ=12t ，∠60QPB ∠=︒，∠cos 6014PF PQ t =⋅︒=，sin 604QF PQ =⋅︒=，∠1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，1DE CE CD =-=-，134t -∴=，6t ∴=或6t =（舍去）， 综上，BP（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，'DD PQ ⊥，'30DD C B ∴∠=∠=︒，'CD ∴=30CDP ∠=︒，又'DP D P =，()'2CP D P CP DP m m ∴+=+=+=m ∴=； ②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，∠60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1，∠PC=tan 60CD =︒，∠BP =BP <<．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQMN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．【答案】（1）45；（2）45°；（3）不会发生变化，35． 【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt △ABC ，由正弦三角函数即可求得；（2）证明 △BCG ≌△DCN ，得到角相等，再由角相等，得△GMC ≌△NMC ，由DN DC =解答即可； （3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC ，再得△CPQ ∽△CNM ，由此解答即可．【详解】解：（1）连接AC ∵4AB AD ==，3CB CD ==∴AC 垂直平分BD∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=∠MCN 在Rt △ABC 中，AB=4，AC=3∴5== ∴sin MCN ∠=sin ∠ACB=45AB AC = （2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ，∵CB=CD ∠CBG=∠CBN=90° ∴△BCG ≌△DCN ∴∠G=∠CND ，CN=CG ，∠BCG=∠DCN∴∠MCN=12∠BCD ∴∠MCB+∠NCD=12∠BCD ∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=12∠BCD=∠MCN ∵CM=CM ， ∠G=∠CND,∴△GMC ≌△NMC ∴∠G=∠MNC=∠DNC 当DN=NC 时∠DNC=∠DCN=45°∴∠DNC=∠CNM=45°（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°∠ADO+∠CDO=90°∴∠ADO=∠COD=12∠BCD=∠MCN ∴∠NDP=∠NCP ∴D 、C 、N 、P 四点共圆，∴∠NPC+∠NDC=180°∵∠NDC=90°∴∠NPC=90°∴∠CPD=∠CND=∠MNC ∴△CPQ ∽△CNM ∴PQ CPMN CN= 在Rt △CPN 中，CP CN =cos ∠MCN=cos ∠ACB=35 ∴不会发生变化35PQ MN =【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，∠EBD =∠MAN ，且CE ∠BD ，sin∠MAN =35， AB =5，AC =9． （1）如图1，当CE 与边AN 相交于点F 时，求证：DF ·CE =BC ·BE ； （2）当点E 在边AN 上时，求AD 的长；（3）当点E 在∠MAN 外部时，设AD =x ，∠BCE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<+． 【分析】（1）根据CE∠BD ，得出∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE 结合题干证明出∠ABD∠∠ECB ，进而得到AD EBAB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∠CEB∠∠CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ． （3）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∠ECB∠∠ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解． 【详解】解：（1）∠CE∠BD ，∠∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE ．∠∠A=∠DBE ，∠∠A=∠BEC ．∠∠ABD∠∠ECB ，∠AD EB AB EC ＝．∠AD DF AB BC =，∠EB DFEC BC=，∠DF·CE=BC·BE ． （2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．∠CE∠BD，∠∠CEB=∠EBD=∠A，又∠∠BCE=∠ECA，∠∠CEB∠∠CAE，∠CE CACB CE=，∠2CE=CB CA⋅．∠AB=5，AC=9，∠BC=4，∠24936CE==⨯，∠CE=6．∠BD ABCE AC=，∠561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∠ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，4=．．AD=4．（3）过点B作BH∠AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∠∠ECB∠∠ABD，∠22EBCADBS BCS BD△△＝．∠1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∠21638252yx xx=-+，∠224825xyx x=-+．定义域为44x-<<+．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=，点D为斜边AB 的中点，ED AB⊥，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD QD⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△． （2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED ED B AP AD BD===，求出34EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可． （3）先证PDF BDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长．【详解】解：（1）PD QD ⊥，ED AB ⊥∠A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠， ∠ADP EDQ △△．（2）ADP EDQ △△，∠EQ ED AP AD= 又点D 为斜边AB 的中点，∠AD BD = ， EQ ED EDAP AD BD ==又ED AB ⊥在Rt BDE 中tan =ED ED EQ B BD AD AP ==，又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10D 为AB 中点， ∠BD =5， DE =154，由勾股定理得：BE =254AP x =，可得34EQ x =，BQ BE EQ =-， 253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （3）tan tan DQ ED ED FPD B DP AD BD ∠====，∠FPD B ∠=∠，又∠PDF BDQ ∠=∠， ∠PDF BDQ △△，∠PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，12cos BD B BQ =，542253544x =-，解得256x ．若BD BQ =， 253544x -=，解得53x =． ③若DQ BD =， 2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．【答案】（1）证明见解析；12；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）x =或x =【分析】（1）根据垂直关系得到ADE CDF ∠=∠，根据AA 即可证明ADE CDF ∽△△，得到12DE AD DF CD ==，再根据正切的定义即可求解tan EFD ∠； （2）先证明FCH FBE △∽△，得到FC CH FB BE =，代入得到22212x y x x-=+-，故可求解； （3）根据题意分BEG DHE △∽△和EGB HDE △∽△，分别列出比例式求出x 的值即可求解．【详解】解：（1）∠90ADE CDE ︒∠+∠=，90CDF CDE ︒∠+∠=∠ADE CDF ∠=∠在Rt EAD 和Rt FCD 中90ADE CDF EAD FCD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩90EAD FCD ︒∠=∠= ∠FAD FCD △∽△∠2AB DC ==，1AD =，∠12DE AD DF CD == ∠1tan 2DE EFD DF ∠== （2）由（1）可知ADE CDF ∽△△∠12EA DE AD FC DF CD ===∠22FC EA x ==∠AB //CD∠FCH FBE △∽△，∠FC CH FB BE =∠22212x y x x -=+-∠222(02)21x y x x +=<<+， （3）∠AE x =，DH y =，过点E 作EM∠CD 于M 点，∠四边形AEMD 为矩形∠MH=DH -DM=DH -AE=y -x ，∠2BE x =-，DE =，EH =∠AB //CD∠AEG CHG △∽△ ∠EG AE HG CH =∠EG AE EH AE CH =+∠AE EG EH AE CH=⋅+∠BEG DHE ∠=∠， 若BEG DHE △∽△， ∠BE EG DH HE =∠BE AE DH AE CH=+即22x x y x y -=+- 化简得2240x y +-=∠22221x y x +=+∠222212240x x x +⨯-++=化简得22508x x +=-解得x =或x =EGB HDE △∽△∠BE EG EH HD = ∠2AE BE HD HE AE CH⋅=⋅+即2(2)1()2x x y y x x y ⎡⎤-=⋅+-⎣⎦+- ∠22221x y x +=+代入化简得22637200x x ++=∠=372-4×26×20=-711＜0，∠方程无解综上，x =和x =BGE △与DEH △相似．【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数；()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．【答案】（1）72；（2）18°；（3）53【分析】（1）方法一：作OG BC ⊥，利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用余弦解直角三角形即可；（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出P PED PAO OEB ∠=∠=∠=∠，设ABC α∠=，利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示∠AOP 和∠OEB ，利用三角形外角的性质即可求得α即ABC ∠；（3）分当90EOB ∠=和当90OEB ∠=时两种情况讨论，画出对应图形，利用相似三角形和解直角三角形的知识求解即可．【详解】解析：方法一： 作OG BC ⊥，∠BC=2BG,7cos 4BG BO CBO =⋅∠=，722BC BG ∴==；方法二： 连接AC ，∠AB 为直径，90ACB ∴∠=7cos 2BC AB CBO ∴=⋅∠=； （2）∠AO=OP ，∠∠PAO=∠P ，∠P P ∠=∠，EDP ∆与AOP ∆相似，,DPEOPA ∴∆∆ P PED PAO OEB ∴∠=∠=∠=∠，C 是AP 中点，CO ∴平分AOP ∠，CO BO =，设,ABC α∠=2,4AOC AOP αα∴∠=∠=，18049022PAO OEB αα-∴∠==-=∠，AOP OEB ABC ∴∠=∠+∠， 即4902a a a =-+，18a ABC ∴=∠=；()3 I ．当90EOB ∠=时，作DH AB ⊥∠DH//OP ，∠∠ADH∠∠APO ，∠23AH DH AD AD AO OP AP AD DP ====+， 23AH AO ∴=，∠AB=4，∠OA=OB=2，428,,333AH HO BH ∴===， 2,AO OP ==43AH DH ∴==，∠DH//OP ，∠∠BOE∠∠BHD ， 28433EO OB EO DH HB ∴===，1EO ∴=， AHD AOED HOEDS S S ∆∴=+四边形梯形21414251232333⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； II ．当90OEB ∠=时连接,AC由()1得//AC DP ，∠∠ACD∠∠PED ，∠ACB∠∠OEB ，2AD DP =， ∠2CD AC AD DE PE DP ===，2AC EP ∴=，又,AO BO =∠=2CB AC AB BE OE BO==，2,AC EO ∴=2,30AC OP ABC ∴==∠=，60,EOB CAO ∴∠=∠=∠AO=OP ，∠∠PAO=∠APO ，∠PAO+∠APO=∠EOB=60°，∠30CAD AP O O PA ∠=∠==∠，ABC OEB ACD AOED S S S S ∆∆∆∴=--四边形111222AC BC OE BE CD AC =⋅-⋅-⋅4,AB =2,AC BC BE ∴===1OE =，CD =111212222AOED S ∴=⨯⨯⨯=四边形．综上所述，四边形AOED 的面积为53 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DF AB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切；（3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）3cot 61x ADG x -∠=-；（3）92-． 【分析】（1）证明ADF ABE △∽△，根据相似的性质即可求解；（2）作GH CF ⊥于点H ，得到13GH FH FG CE FC FE ===，进而得到33x GH -=，313x FH +=，613x DH DF FH -=-=，根据余切定义即可求解； （3）根据FGD AFE ∠=∠，得到 FAD ADG ∠=∠，进而得到1cot cot FAD BAE x ∠=∠=，根据（2）结论得到关于x 方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）∠四边形ABCD 为矩形，∠∠B=∠ADF=∠BAD=90°，∠∠BAE+∠EAD=90°，∠AE∠AF ，∠∠EAD+∠FAD=90°，∠∠BAE=∠DAF ，∠ADF ABE △∽△，AD DF AB BE∴=； （2）由（1）可得3DF x =，作GH CF ⊥于点H ，∠GH∠EC ，∠∠FGH∠∠FEC ， ∠13GH FH FG CE FC FE ===，33x GH -∴=，313x FH +=，613x DH DF FH -=-=， 3cot cot 61GH x ADG HGD DH x -∴∠=∠==-；（3）如图，∠FGD AFE ∠=∠，∠AF∠GD ，∠ FAD ADG ∠=∠，∠1cot cot FAD BAE x ∠=∠=，由（2）得3cot 16x ADG x-∠=-，1316x x x -∴=-，解得1x =（大于3．舍去）2x =，BE ∴．【点睛】本题考查了相似三角形，三角函数等知识，综合性较强，难度较大，根据题意证明ADF ABE △∽△，理解余切的定义，并构造方程是解题关键．13. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．【答案】（1）FB =（2）()243604520x y x x +=<<+；（3）94AD =或32或78．【分析】29)(944x x ++【详解】（1）Rt △ABD 中，AD=1，AB=3，∴，∵//AM BC ，∴△ADF ∽△CBF ，∴F AD CB DF B ==14，∴BF=4DF ，∴FB =（2）∵△ADF ∽△CBF ，∴4DF BF AF AD x CF CB ===，∵=，∴，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，∴，∴AF=54x x+，∵AM ∥BC ，∴∠CAD=∠C ， ∵DBE C ∠=∠，∴∠CAD=∠DBE ，∵∠AFD=∠BFG ，∴△ADF ∽△BGF ， ∴F GBF A DF F =，∴AF FG BF DF ⋅=⋅，∵FG y =，∴54x y x ⋅=+，∴()243604520x y x x +=<<+；（3）∵△ADF ∽△BGF ，∴D G BG A DF F =，∴42054BG x x=++，∴BG =AM ∥BC ，∴∠DBE=∠C ，∠DEB=∠CBG ，∴△BDE ∽△CGB ，∴BE CG BC BD ⋅=⋅，∴4xBE =-，∴GE=BE -BG=(45(4)x x +-AM ∥BC ，∴△DEG ∽△HBG ，∴DE BG BH EG ⋅=⋅， ∴BH=29)(944x x ++，分三种情况：①当BD=BH 时，29()494x x =++78x =； ②当BD=DH 时，则BH=2AD=2x ，∴29)24(94x x x ++=，解得x=32；③当BH=DH 时，过H 作HP ⊥BD 于P ，此时BP=122BD = ∵∠ABD+∠PBH=∠ABD+∠ADB=90︒，∴∠ADB=∠PBH ，∵∠BAD=∠BPH=90︒,∴△ABD ∽△PHB ，∴BP BD BH AD ⋅=⋅，∴229)92(449x x x =+++，解得x=94， 综上，线段AD 的长为94或32或78．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，分情况讨论问题进行解答，（3）多次证明三角形相似，目的是求出线段BH 的长度，再根据等腰三角形的性质进行解答，如用（2）的思路进行求解BH 的长度，则无法进行求值，只能是通过其他方法求BH ，这是此题的难点．14.（2021宝山一模） 如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-（3）．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出△DEC ∽△CEB ，进而得出结论；（2）由△DEC ∽△CEB 得BC=BE ，再由△DEC ∽△DCA ，得AD=AC ，最后利用勾股定理求解即可； （3）连接EF ，先证△BDC ∽△EDF ，得出FD DE CD BD =，进而得出FD MF=y ，然后结合已知条件得出结果． 【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠B=45°，∵∠DCE=45°，∴∠B=∠DCE ，∵∠DEC=∠CEB ，∴△DEC ∽△CEB ，∴EC DE BE CE=，故CE²=BE·DE ； （2）由题意得△DCE 是等腰三角形，DC=CE ，由△DEC ∽△CEB 得BC=BE ，同理可得△DEC ∽△DCA ，AD=AC ，∵BC=AC ，∴BE=AD=BC=AC ，∵AC=3，∴在Rt △ABC 中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，AD=2BD ，∴BD=AB -AD=AB -3，6，3，∴DE=AB -BD -3)=6-（3）连接EF ，由三角形相似可得∠FED=∠DBC ，∴EF ∥BC ，∴∠EFD=∠BCD ，∵∠EDF=∠BDC ，∴△BDC ∽△EDF ，∴FD DE CD BD =，∴tan ∠FMD=y ，∴FD MF=y ， 在Rt △MFC 中，∠MCF=45°，∴MF=CF ，∴FD FD CF MF ==y ，∵BD x BC=，BE=BC ， ∴BD BD x BE BC ==，∵,FD BD y x CF BE ==，∴DE=1x BD x -，CD=1y FD x-，∴FD DE CD BD =，11y x y x=--，则y(1-y)=x(1-y)，y -xy=x -xy ，． ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．15. （2021松江一模）如图，已知在等腰ABC 中，AB AC ==，tan 2ABC ∠=，BF AC ⊥，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）（1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG 4=，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，连接DF ，如果DQF △和ABC 相似，求线段BD 的长．【答案】（1）10；（2（3 【分析】（1）如图作AH BC ⊥交BC 于点H ，设BH =x ，根据正切可求出AH =2x ，再根据勾股定理解出x 即可．（2）作//DE BC 交AC 于点E ，利用三角形面积公式可求出BF 的长，再利用勾股定理可求出CF ，从而得到AF ．再利用ADE ABC 和DEF GCF 结合边的等量关系得到两个关于未知边的方程组，解出方程组即可．（3）根据题意可证明C DQF ∠=∠，所以分两种情况讨论①当DQ=DF 时，如图，作DP BF ⊥交BF 于点P ，BE x =，再反复利用正切函数结合勾股定理求出x 的值，最后再利用正切函数即可求出BD 的长②当DF=QF 时，如图，作FO DQ ⊥ 交DQ 于点O ，同理设BE x =，解出x 的值，最后再利用正切函数即可求出BD 的长．【详解】（1）如图作AH BC ⊥交BC 于点H ，设BH =x ，根据题意，tan 2AH ABC BH∠==，∴AH =2x ，在Rt ABH 中，222AB AH BH =+，∴222(2)x x =+解得x =5．∴BH = 5． 又∵ABC 是等腰三角形，即H 点为BC 中点，∴BC =2BH =10．（2）根据题意可知1122ABCS AH BC BF AC=⨯⨯=⨯⨯，即1010BF⨯=⨯BF=∴CF===，AF AC CF=-==作//DE BC交AC于点E，∴ADE ABC，得到：DE AEBC AC=，即10DE=．DEF GCF，得到：DE EFCG CF=．又∵EF AF AE AE=-=∴4DE=，由104DEDE⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3DE=，2AE=∵//DE BC，ABC是等腰三角形，∴ADE也是等腰三角形，∴AD AE==．（3）∵90BQE QBE∠+∠=︒，90C QBE∠+∠=︒，∴BQE C∠=∠，又∵BQE DQF ∠=∠，∴C DQF ∠=∠当DQ=DF 时，如图，作DP BF ⊥交BF 于点P ，设BE x =，∵tan tan tan tan 2ABC C BQE DQP ∠=∠=∠=∠=,∴2x QE =，∴BQ x ===，∴QF BF BQ x =-=，∵12QP PF QF x ===，∵tan 2DQP ∠=,∴5104DQ x ==-， ∴531010424x DE DQ QE x x =+=-+=-，∵tan 2DE ABC BE ∠==，即31042x x-=， 解得x =4011，经检验是原方程的解，即4011BE =．∴BD ==．当DF=QF 时，如图，作FO DQ ⊥ 交DQ 于点O ，设BE x =， 同理2x QE =，BQ x =，QF x =，∵ tan tan 2OQF BQE ∠=∠=,∴142OQ x ==-，∴28DQ OQ x ==-，∴8822x x DE DQ QE x =+=-+=+，同理∵tan 2DE ABC BE ∠==，即822x x+=，解得165x =，经检验是原方程的解，165BE =．∴BD == ．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，边的等量关系等知识，作出每一个问的辅助线是解答本题的关键，综合性较强，较难．需特别注意最后问的分情况讨论．16.（2021嘉定一模）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2DAE ∠=.点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF .（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长； （2）如图12，如果12CF BC =， ①求证：∠CFE =∠DAE ；②求线段EF 的长.证明：（1）过点F 作FH ⊥AB ，垂足为H .得FH ∥BC ∥AD ，∠BFH =∠CBF ，∠AFH =∠DAE. ∵1tan 2EAD ∠=，3tan 4CBF ∠=，∴1tan 2AFH ∠=，3tan 4BFH ∠=. 在Rt △BFH 中，设BH =3k ，由3tan 4BFH ∠=易得FH =4k . ······································· 1分在Rt △AFH 中，由FH =4k ，1tan 2AFH ∠=易得AH =2k ，AF = ························ 1分 又∵AB =6，∴2k+3k=6，解得65k =. ············································································· 1分∴125AH =，AF = ······················································································ 1分（2）方法1.如图12-1，延长AE 交BC 的延长线于G .易得AD ∥BG ，DAE G ∠=∠,ADDECG CE = ······························································· 1分在Rt ADE △中，∵90D ∠=︒，1tan 2EAD ∠=，8AD =，∴tan 4DE AD EAD =⋅∠=，642CE CD DE =-=-=.·········································· 1分 ∴842CG =.解得4CG = ····························································································· 1分 又∵1=42CF BC =，∴CG CF =，∴CFG G ∠=∠. ················································· 1分 ∴∠CFE =∠DAE. ·········································································································· 1分（3）方法1.如图13-1，联结BD 交AE 于P ，类似（1）可求AP = ··················· 1分∵AB CD ∥，∴DP AB BP DE =.将6AB =，4DE =代入，得32DP BP =. 又∵10BD =，∴4DP DE ==. ∴DPE DEP ∠=∠. ··············································· 1分 又∵180-180-APD DPE CEF DEP ∠=︒∠∠=︒∠，，∴APD CEF ∠=∠ ·························· 1分 又∵∠CFE =∠DAE ，∴△CEF ∽△APD . ·············································································· 1分 ∴AP DP EF CE=.将AP ==4DP 、=-=2CE CD DE 代入，得EF = ··································· 1分。

2021年上海中考数学一模各区182425整理试题及答案

2021年上海中考数学一模各区182425整理试题及答案

18.已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =15，CD=13，AD =8，∠B 是锐角，∠B 的正弦值为45，那么BC 的长为___________24.如图，抛物线22y ax ax b =-+经过点C （0，32-）， 且与x 轴交于点A 、点B ，若tan ∠ACO =23． （1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M ，点P 是线段OB 上一动点 （不与点B 重合），∠MPQ=45°，射线PQ 与线段BM 交于点Q ，当△MPQ 为等腰三角形时，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分，第（3）小题2分）如图，在正方形ABCD 中，AB =2，点P 是边BC 上的任意一点，E 是BC 延长线上一点，联结AP 作PF ⊥AP 交∠DCE 的平分线CF 上一点F ，联结AF 交直线CD 于点G ． (1) 求证：AP=PF ；(2) 设点P 到点B 的距离为x ，线段DG 的长为y ，试求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3) 当点P 是线段BC 延长线上一动点，那么(2)式中y 与x 的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．（第24题）ABCDFGP(第25题)E18.在Rt△ABC中，∠C=90°，3cos5B=，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B' 正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D，那么B DCD'=．24．（本题满分12分，每小题各4分）已知，二次函数2y=ax+bx的图像经过点(5,0)A-和点B，其中点B在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2．（1）求点B的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图像的另一个交点为C，联结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△P AB相似，求点P的坐标．第18题图25．（本题满分14分，其中第（1）小题8分，第（2）小题6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，P A为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD 交射线BC于点E．（1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．C B2014闵行等六区联考18．如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△ABC 中，AB =6，BC =7，AC =5，△A 1B 1C 是△ABC 以点C 为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点C 为转似中心的另一个转似三角形△A 2B 2C （点A 2、B 2分别与A 、B 对应）的边A 2B 2的长为 ▲ ． 24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数c bx x y ++-=22的图像经过点A （-3,0）和点B （0,6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图像向右平移5个单位后的顶点设为C ，直线BC 与x 轴相交于点D ，求∠ABD 的正弦值；（3）在第（2）小题的条件下，联结OC ，试探究直线AB 与OC 的位置关系，并说明理由． 25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，34tan =A ，点D 是斜边AB 上的动点，联结CD ，作DE ⊥CD ，交射线CB 于点E ，设AD =x ． （1）当点D 是边AB 的中点时，求线段DE 的长；（2）当△BED 是等腰三角形时，求x 的值； （3）如果y =DBDE，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．A (B 1)BC A 1（第18题图） A CBDE （第25题图）2014长宁18.如图，△ABC 是面积为3的等边三角形，△ADE ∽△ABC ，AB =2AD ，∠BAD =45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积是 .24．（本题满分12分）如图，在直角坐标平面上，点A 、B 在x 轴上（A 点在B 点左侧），点C 在y 轴正半轴上，若A （-1,0），OB =3OA ，且tan ∠CAO =2. （1）求点B 、C 的坐标；（2）求经过点A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（3）P 是（2）中所求抛物线的顶点，设Q 是此抛物线上一点，若△ABQ 与△ABP 的面积相等，求Q 点的坐标.第18题图FEDCBA25．（本题满分14分）在△ABC 中，∠BAC =90°，AB ＜AC ，M 是BC 边的中点，MN ⊥BC 交AC 于点N .动点P 从点B 出发，沿射线BA 以每秒3个长度单位运动，联结MP ，同时Q 从点N 出发，沿射线NC 以一定的速度运动，且始终保持MQ ⊥MP ，设运动时间为x 秒（x ＞0）. （1）求证：△BMP ∽△NMQ ；（2）若∠B =60°，AB =34，设△APQ 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式； （3）判断BP 、PQ 、CQ 之间的数量关系，并说明理由.第25题 图①NQP MCBA第25题 图②NMCB A2014虹口18．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5， AC=3，在边AB 上取一点D ，作DE ⊥AB 交BC 于点E ．现将△BDE 沿DE 折叠，使点B 落在线段DA 上（不与点A 重合），对应点记为B 1；BD 的中点F 的对应点记为F 1．若△EFB ∽△A F 1E ，则B 1D = ▲ ．24．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，已知抛物线214y x bx c =++经过点B （-4，0）与点C （8，0），且交y 轴于点A .（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移m 个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为P ，联结BP ，直线BP 将△ABC 分割成面积相等的两个三角形，求m 的值．ABF 1第18题图CD EFB 1第24题图25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知：正方形ABCD 的边长为4，点E 为BC 边的中点，点P 为AB 边上一动点，沿PE 翻折△BPE 得到△FPE ，直线PF 交CD 边于点Q ，交直线AD 于点G ，联结EQ .（1）如图，当BP =1.5时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线AD 上时，设BP=x ，DG=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）延长EF 交直线AD 于点H ，若△CQE ∽△FHG ，求BP 的长．A BCD G 第25题图P E FQ备用图2014徐汇18. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =9，点P 在BC 边上，CP =3，点Q 为线段AP 上的动点，射线BQ 与矩形ABCD 的一边交于点R ，且AP=BR ，则QRBQ= ．24. （本题满分12分，每小题各6分）如图，直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3．（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标；（2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求P 点坐标．第18题P25. （本题满分14分,其中第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）如图，△ABC 中，AB =5，BC =11，cos B =35，点P 是BC 边上的一个动点，联结AP ， 取AP 的中点M ，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得线段PN ，联结AN 、NC ．设BP=x （1）当点N 恰好落在BC 边上时，求NC 的长； （2）若点N 在△ABC 内部（不含边界），设BP=x ， CN=y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出函数的定义域；（3）若△PNC 是等腰三角形，求BP 的长．2014闸北18．如图6，已知等腰△ABC ，AD 是底边BC 上的高， AD ：DC =1：3，将△ADC 绕着点D 旋转，得△DEF ，点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合， 设AC 与DF 相交于点O ，则:AOF DOC S S ∆∆= ．B C图6DCBA24．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分已知：如图12，抛物线2445y x mx =-++与y 轴交于点C 与x 轴交于点A 、B ，（点A 在点B 的左侧）且满足OC =4OA ． 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ： （1）求抛物线的解析式及点M 的坐标；（2）联接CM ，点Q 是射线CM 上的一个动点，当 △QMB 与△COM 相似时，求直线AQ 的解析式．25．（本题满分14分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）已知：如图13，在等腰直角△ABC 中， AC = BC ，斜边AB 的长为4，过点C 作射线CP //AB ，D 为射线CP 上一点，E 在边BC 上（不与B 、C 重合），且∠DAE =45°，AC 与DE 交于点O ．（1）求证：△ADE ∽△ACB ；（2）设CD =x ，tan ∠BAE = y ，求y 关于x 的函数 解析式，并写出它的定义域；（3）如果△COD 与△BEA 相似，求CD 的值．图13PD OEC BABAC E DF 18、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 的坐标为（9，0）．tan ∠BOA=33，点C 的坐标为（2，0），点P 为斜边OB 上的一个动 点，则PA+PC 的最小值为_________．.25、如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知B 点的坐标为B （8，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；（2）连接AC 、BC ，试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；（3）M 为抛物线上BC 之间的一点，N 为 线段BC 上的一点，若MN ∥y 轴，求MN 的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．（本题满分4+3+2+3=12分）26、如图△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm ；△DEF 中，∠D=90°，∠E=45°，DE=3cm ．现将△DEF 的直角边DF 与△ABC 的斜边AB 重合在一起，并将△DEF 沿AB 方向移动（如图）．在移动过程中，D 、F 两点始终在AB 边上（移动开始时点D 与点A 重合, 一直移动至点F 与点B 重合为止）．(1)在△DEF 沿AB 方向移动的过程中，有人发现：E 、B 两点间的距离随AD 的变化而变化, 现设AD=x ，BE=y ，请你写出y 与x 之间的函数关系式及其定义域． (2) 请你进一步研究如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，E 、B 的连线与AC 平行? 问题②：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠EBD=22.5°?如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．问题③：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、EB 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?（本题满分6+8=14分）18．如图，在AOB ∆中，已知90AOB ∠=︒，3AO =，6BO =，将AOB ∆绕顶点O 逆时针旋转到A OB ''∆处，此时线段A B ''与BO 的交点E 为BO 的中点，那么线段B E '的长度为 ．24、（本题满分12分，其中每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）联结AC ，BC ，求ACB ∠的正切值；（3）点P 是抛物线的对称轴上一点，当PBD ∆与CAB ∆相似时，求点P 的坐标．（第18题图）AA ′B O B ′E25、（本题满分14分，其中第(1)、(2)小题各5分，第(3)小题4分）如图，在ABC ∆中，8AB =,10BC =,3cos 4C =,2ABC C ∠=∠, BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ，点E 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），F 是AC 边上一点，且AEF ABC ∠=∠，AE与BD 相交于点G ．（1）求证：AB BGCE CF=； （2）设BE x =,CF y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当AEF ∆是以AE 为腰的等腰三角形时，求BE 的长．（第25题图）BCEFDGA（备用图1）BCDA（备用图2）BCDA2014黄浦18.如图7，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，cot 34A =，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，且∠EDC=∠A ，将△ABC 沿DE 对折，若点C 恰好落在边AB 上，则DE 的长为 .24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题满分各4分）如图11，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B（1）求点M 、A 、B 坐标；（2）联结AB 、AM 、BM ，求ABM ∠的正切值；（3）点P 是顶点为M α，当ABM α=∠时，求P 点坐标．EB图7图1125.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 如图12，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，sin 45B =，D 为边AC 中点，P 为边AB 上一点 (点P 不与点A 、B 重合) ，直线PD 交BC 延长线于点E ，设线段BP 长为x ，线段CE 长为y .（1）求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（2）过点D 作BC 平行线交AB 于点F ，在DF 延长线上取一点 Q ，使得QF =DF ， 联结PQ 、QE ，QE 交边AC 于点G ， ①当△EDQ 与△EGD 相似时，求x 的值；②求证：PD DEPQQE=.2014嘉定18. 如图4，在矩形ABCD 中，已知12AB =，8AD =，如果将矩形沿直线l 翻折后，点A 落在边CD 的中点E 处，直线l 与分别边AB 、AD 交于点M 、N ，那么MN 的长为 ▲ .24．（本题满分12分，每小题满分4分）在平面直角坐标系xOy （如图9）中，已知A （1-，3）、B （2，n ）两点在二次函数4312++-=bx x y 的图像上. （1）求b 与n 的值；（2）联结OA 、OB 、AB ，求△AOB 的面积；（3）若点P （不与点A 重合）在题目中已经求出的二次函数的图像上，且︒=∠45POB ，求点P 的坐标.B图12图425．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：⊙O 的半径长为5，点A 、B 、C 在⊙O 上，6==BC AB ，点E 在射线BO 上.（1）如图10，联结AE 、CE ，求证：CE AE =；（2）如图11，以点C 为圆心，CO 为半径画弧交半径OB 于D ，求BD 的长； （3）当511=OE 时，求线段AE 的长.图10图11备用图2014奉贤18．我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂三角形。

中考数学一模试题含解析试题

中考数学一模试题含解析试题

2021年徐汇区中考数学一模试卷一、选择题：〔本大题一一共6题，每一小题4分，满分是24分〕【以下各题的四个选项里面，有且只有一个选项是正确的】1．假如2x=3y，那么以下各式中正确的选项是〔〕A． =B． =3 C． = D． =2．假如一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是〔〕A．B．C．D．3．假如将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2〔x﹣1〕2，那么原抛物线的表达式是〔〕A．y=2〔x﹣3〕2﹣2 B．y=2〔x﹣3〕2+2 C．y=2〔x+1〕2﹣2 D．y=2〔x+1〕2+2 4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么以下条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是〔〕A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC5．一飞机从间隔地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的间隔是〔〕A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米6．二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，假如y随x的增大而减小，那么x的取值范围是〔〕A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2二、填空题：〔本大题一一共12题，每一小题4分，满分是48分〕7．线段a=9，c=4，假如线段b是a、c的比例中项，那么b= ．8．点C是线段AB延长线的点，=， =，那么= ．9．如图，AB∥CD∥EF，假如AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．10．假如两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是．11．假如点P是线段AB的黄金分割点〔AP＞BP〕，那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB 之间的数量关系的等式，你的结论是：．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，假如CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，假如DE=1，那么AF= ．14．抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的间隔都是1，假如AB：BC=3：4，那么AB的长是．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，假如△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD 翻折，点A落在点E处，那么AE的长是．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值是．三、解答题：〔本大题一一共7题，第19-22题每一小题10分，第23、24题每一小题12分，第25题14分，满分是78分〕19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：〔1〕点B、C、D坐标；〔2〕△BCD的面积．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：〔1〕向量〔用向量、表示〕；〔2〕tanB的值．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，间隔小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段间隔后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．〔1〕求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短间隔〔记过保存根号〕；〔2〕假如该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间是〔结果准确到0.1小时〕．〔参考数据： =1.41， =1.73〕23．如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．〔1〕求证：DE∥AB；〔2〕假如点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．〔1〕求点D的坐标；〔2〕联结CD、BC，求∠DBC余切值；〔3〕设点M在线段CA延长线，假如△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25．如图，△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC 于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．〔1〕求y关于x的函数解析式及定义域；〔2〕当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；〔3〕连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．2021年徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：〔本大题一一共6题，每一小题4分，满分是24分〕【以下各题的四个选项里面，有且只有一个选项是正确的】1．假如2x=3y，那么以下各式中正确的选项是〔〕A． =B． =3 C． = D． =【考点】比例的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的选项是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．应选：B．【点评】此题主要考察了比例的性质和应用，要纯熟掌握．2．假如一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是〔〕A．B．C．D．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，程度直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．【解答】解：如下图：由题意，得：tanα=i==，设竖直直角边为5x，程度直角边为12x，那么斜边==13x，那么cosα==．应选D．【点评】此题主要考察坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．3．假如将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2〔x﹣1〕2，那么原抛物线的表达式是〔〕A．y=2〔x﹣3〕2﹣2 B．y=2〔x﹣3〕2+2 C．y=2〔x+1〕2﹣2 D．y=2〔x+1〕2+2 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2〔x﹣1〕2，抛物线的表达式为y=2〔x﹣1〕2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2〔x+1〕2﹣2，应选：C．【点评】此题考察了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么以下条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是〔〕A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC【考点】相似三角形的断定．【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的断定定理进展解答即可．【解答】解：如图，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．应选D．【点评】此题考察了相似三角形的断定，属于根底题，关键是掌握相似三角形的几种断定定理．5．一飞机从间隔地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的间隔是〔〕A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：如下图：由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，在Rt△ABC中，∵sin∠A=，∴AC===2000米．应选C．【点评】此题考察理解直角三角形的应用，解答此题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．6．二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，假如y随x的增大而减小，那么x的取值范围是〔〕A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2〔x﹣1〕2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而减小，应选A．【点评】此题主要考察二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a〔x﹣h〕2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为〔h，k〕．二、填空题：〔本大题一一共12题，每一小题4分，满分是48分〕7．线段a=9，c=4，假如线段b是a、c的比例中项，那么b= 6 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义，假设b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．【解答】解：假设b是a、c的比例中项，即b2=ac．那么b===6．故答案为：6．【点评】此题主要考察了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．8．点C是线段AB延长线的点，=， =，那么= ﹣．【考点】*平面向量．【分析】根据向量、的方向相反进展解答．【解答】解：如图，向量、的方向相反，且=， =，所以=+=﹣．故答案是：﹣．【点评】此题考察了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．9．如图，AB∥CD∥EF，假如AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5，AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，故答案为：．【点评】此题考察平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．10．假如两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是：2 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是：2，∴它们的周长比为：2．故答案为：：2．【点评】此题考察的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段〔对应中线、对应角平分线、对应边上的高〕的比等于相似比是解答此题的关键．11．假如点P是线段AB的黄金分割点〔AP＞BP〕，那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB 之间的数量关系的等式，你的结论是：AP2=BP•AB．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念解答即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴AP2=BP•AB，故答案为：AP2=BP•AB．【点评】此题考察的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC〔AC＞BC〕，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，假如CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出tan∠BCD即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴tanA=tan∠BCD==，故答案为：．【点评】此题考察了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，那么sinA=，cosA=，tanA=．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，假如DE=1，那么AF= ．【考点】相似三角形的断定与性质；正方形的性质．【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．【解答】解：按照题意画出图形，如下图．∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，∴△ABF∽△DEF，∴==3，∵AF+DF=AD=3，∴AF=AD=．故答案为：．【点评】此题考察了相似三角形的断定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．14．抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．【解答】解：y=ax2﹣4ax=a〔x2﹣4x+4〕﹣4a=a〔x﹣2〕2﹣4a，那么顶点坐标是〔2，﹣4a〕，那么﹣4a=﹣2，解得a=．故答案是：．【点评】此题考察了配方法确定函数的顶点坐标，正确进展配方是关键．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的间隔都是1，假如AB：BC=3：4，那么AB的长是．【考点】相似三角形的断定与性质；平行线之间的间隔；矩形的性质．【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，那么CF=1，AE=2，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠BAE=∠CBE，∴△ABE∽△BCF，∴，∴，∴BE=，在Rt△ABE中，AB==，故答案为：．【点评】此题考察了矩形的性质、相似三角形的断定与性质、两平行线的间隔以及勾股定理；纯熟掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，假如△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是16 ．【考点】相似三角形的断定与性质；梯形．【分析】如图，设△AOD的面积为x，那么△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推出△AOD∽△COB，可得=〔〕2，因为=，得到=〔〕2，解方程即可．【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，那么△ODC的面积为4﹣x．∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴=〔〕2，∵=，∴=〔〕2，解得x=1或者16〔舍弃〕，∵S△ABD=S△ADC=1，∴S△AOB=S△DOC=3，∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，故答案为16．【点评】此题考察相似三角形的断定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是纯熟掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想考虑问题，属于中考常考题型．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD 翻折，点A落在点E处，那么AE的长是2．【考点】翻折变换〔折叠问题〕；勾股定理．【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，∴AB=4，由旋转得：EC=AC=5，∴BE=5﹣3=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===2，故答案为：2．【点评】此题考察了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，假如知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值是．【考点】相似三角形的断定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC 于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF 即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH ⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，∴CH=a，DH=a，在Rt△DFH中，DF===2a，在Rt△ECG中，∵CE=a，∴CG=a，GE=a，在Rt△BEG中，BE===a，∴•AP•BE=•DF•AQ，∴==，故答案为．【点评】此题考察平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：〔本大题一一共7题，第19-22题每一小题10分，第23、24题每一小题12分，第25题14分，满分是78分〕19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先根据特殊角的三角函数进展代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2×﹣|1|+，=+1+，=﹣2﹣3．【点评】此题主要考察了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：〔1〕点B、C、D坐标；〔2〕△BCD的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】〔1〕首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；〔2〕过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．【解答】解：〔1〕抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．y=x2﹣4x﹣5=〔x﹣2〕2﹣9，那么D的坐标是〔2，﹣9〕．在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，那么y=﹣5，那么C的坐标是〔0，﹣5〕，令y=0，那么x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或者5，那么B的坐标是〔5，0〕；〔2〕过D作DA⊥y轴于点A．那么S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=〔2+5〕×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点评】此题考察了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：〔1〕向量〔用向量、表示〕；〔2〕tanB的值．【考点】*平面向量；梯形；解直角三角形．【分析】〔1〕首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出==，==， =+．〔2〕由△DFC∽△BAC，推出==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC===2，由tanB=，即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴AC平分∠DCB，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∵DE∥AB，AB⊥AC，∴DE⊥AC，∴AF=CF，∴BE=CE，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∴==， ==，∴=+．〔2〕∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，∴△DFC∽△BAC，∴==，∵CD=AD=3，∴BC=6，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，∴AC===2，∴tanB===．【点评】此题考察平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的断定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵敏运用所学知识，属于根底题．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，间隔小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段间隔后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．〔1〕求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短间隔〔记过保存根号〕；〔2〕假如该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间是〔结果准确到0.1小时〕．〔参考数据： =1.41， =1.73〕【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】〔1〕首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；〔2〕通过解直角△BCD来求BC的长度．【解答】解：〔1〕如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意，得∠ACD=30°．在直角△ACD中，∠ADC=90°，∴cos∠ACD=，∴CD=AC•cos30°=120×=60〔海里〕；〔2〕在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，∴cos∠BCD=，∴BC===60≈60×2.44=146.4〔海里〕，∴÷≈7.3〔小时〕．答：〔1〕求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短间隔是60海里；〔2〕假如该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间是约为7.3小时．【点评】此题考察了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．23．如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．〔1〕求证：DE∥AB；〔2〕假如点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．【考点】相似三角形的断定与性质．【分析】〔1〕根据条件得到，根据等腰三角形的断定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；〔2〕由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出=，根据相似三角形的性质得到==1，于是得到结论．【解答】证明：〔1〕∵AE•CD=AD•CE，∴，∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴，∴DE∥AB；〔2〕∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2=DF•AB，∵AD=BD，∴AD2=DF•AB，∴=，∵DE∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴==1，∴DF=AF．【点评】此题考察了相似三角形的断定和性质，纯熟掌握相似三角形的断定和性质是解题的关键．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．〔1〕求点D的坐标；〔2〕联结CD、BC，求∠DBC余切值；〔3〕设点M在线段CA延长线，假如△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；〔2〕根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；〔3〕运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为〔x，3x+3〕，根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：〔1〕∵抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，∴点C的坐标为：〔0，3〕，∵OB=OC，∴点B的坐标为：〔3，0〕，∴﹣9+3b+3=0，解得，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，∴顶点D的坐标为〔1，4〕；〔2〕如图1，作DH⊥y轴于H，那么CH=DH=1，∴∠HCD=∠HDC=45°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠DCB=90°，∴cot∠DBC===3；〔3〕﹣x2+2x+3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为：〔﹣1，0〕，∴=，又=，∴=，∴Rt△AOC∽Rt△DCB，∴∠ACO=∠DBC，∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，∴∠E=45°，∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，∴∠ACB=∠BME，∴BM=BC，设直线CA的解析式为：y=kx+b，那么，解得，，那么直线CA的解析式为：y=3x+3，设点M的坐标为〔x，3x+3〕，那么〔x﹣3〕2+〔3x+3〕2=18，解得，x1=0〔舍去〕，x2=﹣，x2=﹣时，y=﹣，∴点M的坐标为〔﹣，﹣〕．【点评】此题考察的是二次函数的综合运用、相似三角形的断定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．25．如图，△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．〔1〕求y关于x的函数解析式及定义域；〔2〕当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；〔3〕连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．【考点】三角形综合题；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的断定与性质．【专题】压轴题．【分析】〔1〕过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，进而根据DF∥AC，求得y=，定义域为：0＜x＜3；〔2〕当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；〔3〕先根据条件断定四边形BCED是等腰梯形，断定△BDQ∽△QEC，得出=，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值即可．【解答】解：〔1〕如下图，过点D作DF∥AC，交BP于F，那么根据QE=2DQ，可得==，又∵DE∥BC，∴==1，∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，∵DF∥AC，∴=，即=，∴y=，定义域为：0＜x＜3；〔2〕∵DE∥BC，∴△PEQ∽△PBC，∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，∴BC2=CP•AC，即4=3〔3﹣y〕，解得y=，∴=，解得x==BD；②当PC=BC=2时，AP=y=1，∴=1，解得x==BD；③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；〔3〕∵DE∥BC，∴∠BDQ+∠CBD=180°，又∵∠CQB和∠CBD互补，∴∠CQB+∠CBD=180°，∴∠CQB=∠BDQ，∵BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形，∴∠BDE=∠CED，∴∠CQB=∠CED，又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，∴∠DQB=∠ECQ，∴△BDQ∽△QEC，∴=，即2DQ2=x2，∴DQ=，DE=，∵DE∥BC，∴=，即=，解得x=．【点评】此题属于三角形综合题，主要考察了相似三角形的断定与性质，等腰梯形的断定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进展求解．在断定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公一共角、公一共边等隐含条件，以充分发挥根本图形的作用．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2020-2021学年最新上海市中考数学一模试卷及答案

2020-2021学年最新上海市中考数学一模试卷及答案

中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y关于x的二次函数是（） A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；tanA= = ，则 BC=2tanA，故选项 C 正确；则选项 D 错误．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键．3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（）B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A．当时，能判断ED∥BC；B.当时，能判断ED∥BC；C.当时，不能判断ED∥BC；D.当时，能判断ED∥BC；故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα= ．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在 Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在 Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且 BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO= ∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB= =．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y= （1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。

2024年徐汇区初三一模数学23题

2024年徐汇区初三一模数学23题

2024年徐汇区初三一模数学23题解析：题目：针对这道数学题，我们将逐步解析题目，给出解题思路，并通过详细的步骤和推导，最终解答出正确答案。

题目内容描述如下：23. 下列等式组中，有解的是（）A. 2x + 3y = 7, 4x + 6y = 10B. 3x - 4y = 3, 5x - 10y = 3C. 6x + 8y = 20, 2x + 8y = 20D. 7x - 2y = 9, x - 2y = 3解题思路：这道题目考察了线性方程组的解法，需要我们判断哪个等式组有解。

我们将逐个分析选项，并采用消元法进行求解。

解题步骤：选项 A: 2x + 3y = 7, 4x + 6y = 10我们将第一个等式乘以2，得到4x + 6y = 14。

与第二个等式比较，可以发现矛盾。

因为4x + 6y ≠ 10。

因此，选项 A 没有解。

选项 B: 3x - 4y = 3, 5x - 10y = 3我们将第一个等式乘以5，得到15x - 20y = 15。

与第二个等式比较，可以发现矛盾。

因为15x - 20y ≠ 3。

因此，选项 B 没有解。

选项 C: 6x + 8y = 20, 2x + 8y = 20我们将第二个等式减去第一个等式，得到-4x = 0。

通过简单计算，我们可以得出x = 0。

带入任意一个等式，我们可以计算出y = 2。

因此，选项 C 存在解，且解为x = 0，y = 2。

选项 D: 7x - 2y = 9, x - 2y = 3我们将第二个等式乘以7，得到7x - 14y = 21。

与第一个等式比较，可以发现矛盾。

因为7x - 14y ≠ 9。

因此，选项 D 没有解。

综上所述，只有选项 C 是有解的。

解为x = 0，y = 2。

答案：C总结：通过逐步分析和运算，我们得出了最终答案为选项 C。

这道题目考察了线性方程组的解法，其中消元法是解决这类问题的常用方法。

通过认真思考和合理推导，我们能够准确解答数学题目，提高解题能力和思维逻辑能力。

2023-2024学年上海市徐汇区九年级(上)期末数学试卷(一模)及答案解析

2023-2024学年上海市徐汇区九年级(上)期末数学试卷(一模)及答案解析

2023-2024学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列抛物线中，对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝x2+2x D．y＝x2﹣2x 2．（4分）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα的值是（）A．B．C．D．3．（4分）下列两个三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个等腰三角形C．两个等边三角形D．两个面积相等的三角形4．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，设，，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（）A．B．＝﹣C．﹣D．5．（4分）世博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是60°，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是（）A．米B．米C．200米D．米6．（4分）如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别联结AD、AE、CE，如果，那么下列结论正确的是（）A．CE∥AD B．BD＝ADC．∠ABE＝∠CBE D．BO•AE＝AO•BC．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）求值：2sin60°﹣cot30°＝．8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，那么BP ＝．9．（4分）已知△ABC∽△DEF，如果它们对应高的比AM：，那么△ABC和△DEF的面积比是．10．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：AB＝2：3，AE＝4，CE ＝2，DE＝3，那么BC的长是．11．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，那么BE的长是．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果△BCD和△ABD的面积比为9：16，CD＝12，那么AB的长是．13．（4分）如图，一段东西向的限速公路MN长500米，在此公路的南面有一监测点P，从监测点P观察，限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西60°方向，端点N在监测点P的东北方向，那么监测点P到限速公路MN的距离是米（结果保留根号）．14．（4分）将抛物线y＝﹣x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联结OA、AB，如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是．15．（4分）如图，在△ABC中，AD和BE是△ABC的高，且交于点F，已知AB＝13，BC ＝14，AC＝15，那么∠AFE的正切值是．16．（4分）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即EA＝8里），出西门往前直走2里到B处（即DB＝2里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是里．17．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，如果将△ABC绕着点B旋转，使得点C落在边AC上，此时，点A落在点A′处，联结AA′，那么AA′的长是．18．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，，如果点P在△ABC的内部，且满足∠APC＝∠BPC＝135°，那么CP的长是．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）已知：．（1）求代数式的值；（2）当2a+3b﹣3＝35时，求a、b的值．20．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，顶点为D．（1）求此抛物线的表达式及顶点D坐标；（2）联结CD、BD，求∠CDB的余弦值．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，CD＝BD＝8，AB＝5．（1）求BC的长；（2）设，，求向量（用向量，表示）．22．（10分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：（1）求高楼AB的高度；（2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，＝1.73）23．（12分）如图，在▱ABCD中，点E在边AB上，DE2＝AE•CD．（1）求证：AD•CD＝CE•DE；（2）当点E是边AB的中点时，分别延长DE、CB交于点F，求证：AB2＝2EF2．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，第二象限的点M在抛物线y＝ax2（a＞0）上，点M到两坐标轴的距离都是2．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝ax2（a＞0）先向右平移个单位，再向下平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线与x轴交于点A（m，0）和点B（n，0），已知m＜n，且mn＝﹣4，与y 轴负半轴交于点C．①求k的值；②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为D，点P是直线上位于点D下方的一点，分别联结CD、CP，如果，求点P的坐标．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，点D是边AB上的动点（点D不与点B重合），以CD为斜边在直线BC上方作等腰直角三角形DEC．（1）当点D是边AB的中点时，求sin∠DCB的值；（2）联结AE，点D在边AB上运动的过程中，∠EAC的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠EAC的大小；（3）设DE与AC的交点为G，点P是边BC上的一点，且∠CPD＝∠CGD，如果点P 到直线CD的距离等于线段GE的长度，求△CDE的面积．2023-2024学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列抛物线中，对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝x2+2x D．y＝x2﹣2x【分析】分别求出题目中四个选项中所给出的抛物线的对称轴即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+1的对称轴为y轴；∴选项A不符合题意；∵抛物线y＝x2﹣1的对称轴为y轴；、∴选项A不符合题意；∵抛物线y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴该抛物线的对称轴为x＝﹣1；∴选项C不符合题意；∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴该抛物线的对称轴为x＝1，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法与技巧是解决问题的关键．2．（4分）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα的值是（）A．B．C．D．【分析】过点A作x轴的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为B，由点A的坐标为（4，3）可知，OB＝4，AB＝3，所以AO＝．在Rt△AOB中，sinα＝．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，能构造出直角三角形是解题的关键．3．（4分）下列两个三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个等腰三角形C．两个等边三角形D．两个面积相等的三角形【分析】由相似三角形的判定，即可判断．【解答】解：A、B、D中的两个三角形不一定相似，故A、B、D不符合题意；C、两个等边三角形相似，故C符合题意．故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形、等腰三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法．4．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，设，，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（）A．B．＝﹣C．﹣D．【分析】根据平行四边形对角线互相平分结合平面向量的运算法则逐一判断即可．【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，，，∴，，＝，＝，故选项A、C、D错误，选项B正确，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的运算法则，平行四边形的性质，熟记平面向量的运算法则是解题的关键．5．（4分）世博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是60°，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是（）A．米B．米C．200米D．米【分析】根据正切的定义求出AB，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝200米，∠ABC＝60°，∵sin B＝，∴AB＝＝＝（米），故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（4分）如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别联结AD、AE、CE，如果，那么下列结论正确的是（）A．CE∥AD B．BD＝ADC．∠ABE＝∠CBE D．BO•AE＝AO•BC．【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵，∴△ADE∽△ABC，∴∠ACB＝∠AED，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠AOE＝∠BOC，∴△AOE∽△BOC，∴，∴BO•AE＝AO•BC．∴D选项的结论正确．∵，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABE＝∠ACE，显然OE与OC不一定相等，∴∠ACE与∠BEC不一定相等，∴CE与BD不一定平行，∴A，C不一定正确，∵BD与AD不一定相等，∴B不一定正确．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）求值：2sin60°﹣cot30°＝0．【分析】把sin60＝，cot30°＝代入原式得到2×﹣，然后进行二次根式的运算即可．【解答】解：原式＝2×﹣＝﹣＝0．故答案为0．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°＝，cot30°＝．8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，那么BP＝3﹣．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以AP＝AB，代入数据即可得出AP的长度，进而得出BP．【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP＞BP，则AP＝a＝＝﹣1．BP＝2﹣（﹣1）＝；故答案为：3﹣【点评】此题考查黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．9．（4分）已知△ABC∽△DEF，如果它们对应高的比AM：，那么△ABC和△DEF的面积比是2：9．【分析】相似三角形面积的比等于相似比的平方，由此即可计算．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们对应高的比是AM：，∴△ABC和△DEF的相似比是：3，∴△ABC和△DEF的面积比是：32＝2：9．故答案为：2：9．【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．10．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：AB＝2：3，AE＝4，CE＝2，DE＝3，那么BC的长是．【分析】根据题意推出＝，结合∠A＝∠A，即可推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，∵AE＝4，EC＝2，∴AC＝AE+EC＝6，∴＝＝，∵AD：AB＝2：3，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝3，∴BC＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．11．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，那么BE的长是 4.2．【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，∴＝，解得BE＝4.2．故答案为：4.2．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果△BCD和△ABD的面积比为9：16，CD＝12，那么AB的长是．【分析】先证明△ABD∽△BCD，根据相似三角形的性质求出AD和BD，进而求出AB 即可．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵BD⊥AC，∴∠ABD+∠A＝90°，∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠CBD＝∠A，∴△ABD∽△BCD，∴，∵△BCD和△ABD的面积比为9：16，∴＝，∵CD＝12，∴BD＝16，AD＝，∴AB＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．13．（4分）如图，一段东西向的限速公路MN长500米，在此公路的南面有一监测点P，从监测点P观察，限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西60°方向，端点N在监测点P的东北方向，那么监测点P到限速公路MN的距离是（250﹣250）米（结果保留根号）．【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则∠PAM＝∠PAN＝90°，设PA＝x米，证△PAN是等腰直角三角形，得NA＝PA＝x米，再由锐角三角函数定义得MA＝x米，然后由MA+NA＝MN，求出x＝250﹣250，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，则∠PAM＝∠PAN＝90°，设PA＝x米，由题意可知，∠MPA＝60°，∠NPA＝45°，∴△PAN是等腰直角三角形，∴NA＝PA＝x米，∵tan∠MPA＝＝tan60°＝，∴MA＝PA＝x（米），∵MA+NA＝MN＝500，∴x+x＝500，解得：x＝250﹣250，即监测点P到限速公路MN的距离是（250﹣250）米，故答案为：（250﹣250）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．（4分）将抛物线y＝﹣x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联结OA、AB，如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是（2，0）．【分析】由题意设A点的坐标为（m，﹣m2），然后根据等边三角形的性质得到B（2m，0），m＝m2，解得m＝，从而求得B（2，0）．【解答】解：∵点A抛物线y＝﹣x2上，∴设A点的坐标为（m，﹣m2），∵△AOB是等边三角形，∴B（2m，0），m＝m2，∴m＝或m＝0（舍去），∴B（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．15．（4分）如图，在△ABC中，AD和BE是△ABC的高，且交于点F，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，那么∠AFE的正切值是．【分析】利用勾股定理求出BE的长，再将∠AFE转化成∠C即可解决问题．【解答】解：令AE＝x，在Rt△ABE中，BE2＝132﹣x2．在Rt△BCE中，BE2＝152﹣（14﹣x）2．则132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，所以BE＝，CE＝14﹣5＝9．又因为∠AFE+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，所以∠AFE＝∠C．在Rt△BCE中，tan C＝，所以tan∠AFE＝tan C＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，利用勾股定理求出BE的长是解题的关键．16．（4分）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即EA＝8里），出西门往前直走2里到B处（即DB＝2里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是8里．【分析】先根据正方形的性质得出OB∥CE，再根据相似三角形的性质列方程求解．【解答】解：设正方形是灭一面城墙的长度为2x里，∵正方形的中心为O，∴OD＝CD＝OE＝CE＝x里，OB∥CE，∴△ACE∽△ABO，∴，即：，解得：x＝4，或x＝﹣4（不合题意，舍去），∴2x＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了正方形的性质，掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解题的关键．17．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，如果将△ABC绕着点B旋转，使得点C落在边AC上，此时，点A落在点A′处，联结AA′，那么AA′的长是4．【分析】作出图形，可以利用SAS证明△BA'A≌△ABC，从而得到AA'＝BC，进而得到AA'的长．【解答】解：作出符合题意的图形如下：由题意，知△A'BC'≌△ABC，∴∠A'BC'＝∠ABC，∴∠A'BC'﹣∠ABC'＝∠ABC﹣∠ABC′，即∠A'BA＝∠C'BC，∵AB＝AC，BC＝BC'，∴∠ABC＝∠C＝∠BC'C，∴∠C'BC＝∠BAC，∴∠A'BA＝∠BAC，∵A'B＝AB＝AC，∴△BA'A≌△ABC（SAS），∴AA'＝BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，准确画出图形是解题的关键．18．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，，如果点P在△ABC的内部，且满足∠APC＝∠BPC＝135°，那么CP的长是．【分析】通过证明△ACP∽△CBP，可得CP＝AP，BP＝CP，由勾股定理可求解．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝，∴BC＝AC＝，∠ACB＝45°，∵∠APC＝∠BPC＝135°，∴∠ACP+∠CAP＝45°＝∠ACP+∠BCP，∠APB＝90°，∴∠BCP＝∠CAP，∴△ACP∽△CBP，∴，∴CP＝AP，BP＝CP，∴BP＝2AP，∵BP2+AP2＝AB2，∴5AP2＝5，∴AP＝1，∴CP＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△ACP∽△CBP是解题的关键．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）已知：．（1）求代数式的值；（2）当2a+3b﹣3＝35时，求a、b的值．【分析】令a＝2k，b＝5k，（1）把a＝2k，b＝5k，代入即可求值；（2）把a＝2k，b＝5k，代入2a+3b﹣3＝35，求出k＝2，即可得到a＝4，b＝10．【解答】解：∵，∴令a＝2k，b＝5k，（1）＝＝＝﹣2；（2）∵2a+3b﹣3＝35时，∴2×2k+3×5k﹣3＝35，∴k＝2，∴a＝2k＝4，b＝5k＝10．【点评】本题考查比例的性质，关键是令a＝2k，b＝5k，即可求解．20．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，（1）求此抛物线的表达式及顶点D坐标；（2）联结CD、BD，求∠CDB的余弦值．【分析】（1）依据题意，将（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3求出b进而的表达式，再化成顶点式可得D的坐标；（2）依据题意，令y＝0，可求得B的坐标，令x＝0，求得C的坐标，再分别求出BC，BD，CD的长，由勾股定理逆定理可得∠DCB＝90°，进而求出cos∠CDB的值．【解答】解：（1）由题意，将（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3得，﹣1﹣b+3＝0，∴b＝2．∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3．又y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D为（1，4）．（2）如图，由题意，令y＝0，即﹣x2+2x+3＝0．∴x＝3或x＝﹣1．∴B（3，0）．又令x＝0，∴y＝3．∴CD＝＝，DB＝＝2，BC＝＝3．∴BC2+CD2＝BD2．∴∠BCD＝90°．∴cos∠CDB＝＝＝．【点评】本题主要考查了抛物线的图象与性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，CD＝BD＝8，AB＝5．（1）求BC的长；（2）设，，求向量（用向量，表示）．【分析】（1）证明△ABD∽△DBC，得出比例式求出BC的长即可；（2）过点D作DE∥AB，求出，再根据平行四边形法则求出即可．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD＝5，∵CD＝BD＝8，∴∠DBC＝∠C，∴∠ABD＝∠DBC，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△DBC，∴，∴，∴BC＝；（2）如图，过点D作DE∥AB，则四边形ABED是菱形，∴BE＝AD＝5，∴BE＝BC，∴，∵，∴＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△ABD∽△DBC，是解（1）的关键．22．（10分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：（1）求高楼AB的高度；（2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，＝1.73）【分析】（1）根据正切的定义求出AB；（2）过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H，设DG＝x米，根据坡度的概念用x 表示出DH，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝20米，∠ACB＝60°，∵tan∠ACB＝，∴AB＝BC•tan∠ACB＝20×＝60（米），答：高楼AB的高度为60米；（2）过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H，则四边形HBGD为矩形，∴BH＝DG，DH＝BG，设DG＝x米，∴AH＝AB﹣BH＝（60﹣x）米，∵斜坡CD的坡比是i＝1：6，∴CG＝6x米，∴BG＝（20+6x）米，在Rt△AHD中，tan∠ADH＝，∴≈0.75，解得：x＝≈6.2，经检验，x是原方程的解，答：点D离地面的距离约为6.2米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（12分）如图，在▱ABCD中，点E在边AB上，DE2＝AE•CD．（1）求证：AD•CD＝CE•DE；（2）当点E是边AB的中点时，分别延长DE、CB交于点F，求证：AB2＝2EF2．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解即可；（2）结合平行四边形的性质利用AAS证明△ADE≌△BFE，根据全等三角形的性质得出DE＝EF，等量代换即可得解．【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠AED＝∠CDE，∵DE2＝AE•CD，∴＝，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴AD•CD＝CE•DE；（2）如图，在▱ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，∴∠A＝∠FBE，∠ADE＝∠F，∵点E是边AB的中点，∴AE＝BE，∴△ADE≌△BFE（AAS），∴DE＝EF，∵DE2＝AE•CD，∴EF2＝AB•AB，∴AB2＝2EF2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，第二象限的点M在抛物线y＝ax2（a＞0）上，点M到两坐标轴的距离都是2．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝ax2（a＞0）先向右平移个单位，再向下平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线与x轴交于点A（m，0）和点B（n，0），已知m＜n，且mn＝﹣4，与y 轴负半轴交于点C．①求k的值；②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为D，点P是直线上位于点D下方的一点，分别联结CD 、CP ，如果，求点P 的坐标．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①令y ＝（x ﹣）2﹣k ＝0，解得：x ＝±，即可求解；②由直线OD 的表达式知，tan ∠CPH ＝，则tan ∠POH ＝，在Rt △OPH 中，tan ∠POH＝＝＝，即可求解．【解答】解：（1）由题意得，点M （﹣2，2），将点M 的坐标代入抛物线表达式得：2＝4a ，解得：a ＝，则抛物线的表达式为：y ＝x 2；（2）①平移后的抛物线表达式为：y ＝（x ﹣）2﹣k ，令y ＝（x ﹣）2﹣k ＝0，解得：x ＝±，∵mn ＝﹣4，则（+）（﹣）＝﹣4，解得：k ＝；②由①抛物线的表达式为：y ＝（x ﹣）2﹣k ＝x 2﹣x ﹣2，其对称轴为直线x ＝，则点C （0，﹣2），当x ＝时，＝﹣2，即点D （，﹣2），∵点C 、D 的纵坐标相同，则CD∥x轴，由直线OD的表达式知，tan∠CPH＝，则tan∠POH＝，∵＝tan∠CPH，设CH＝3x，则PH＝4x，在Rt△OPH中，tan∠POH＝＝＝，解得：x＝，则点P的坐标为：（，﹣）．【点评】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，点D是边AB上的动点（点D不与点B重合），以CD为斜边在直线BC上方作等腰直角三角形DEC．（1）当点D是边AB的中点时，求sin∠DCB的值；（2）联结AE，点D在边AB上运动的过程中，∠EAC的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠EAC的大小；（3）设DE与AC的交点为G，点P是边BC上的一点，且∠CPD＝∠CGD，如果点P 到直线CD的距离等于线段GE的长度，求△CDE的面积．【分析】（1）作DH⊥CB于点H，由勾股定理求出CD的长，则可得出答案；（2）连接AE，证出A，D，C，E四点共圆，得出∠EAC＝∠EDC，由等腰直角三角形的性质可得出答案；（3）过点D作DN⊥BC于点N，PM⊥CD于点M，连接PG，证明△CEG≌△CMP（AAS），由全等三角形的性质得出CP＝CG，证明△CGD≌△CPD（SSS），由全等三角形的性质得出∠DCG＝∠PCD，DA＝DN＝BN，设DA＝a，则BD＝a，求出a的值，则可得出答案．【解答】解：（1）作DH⊥CB于点H，∵∠BAC＝90°，，∴BC＝AB＝4，∵点D是边AB的中点，∴BD＝，∴DH＝BH＝1，∴CH＝BC﹣BH＝3，∴CD＝＝＝，∴sin∠DCB＝；（2）∠EAC的大小不变化．连接AE，∵∠DAC＝∠DEC＝90°，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠EAC＝∠EDC，∵△DEC为等腰直角三角形，∴∠EDC＝45°，∴∠EAC＝45°．（3）过点D作DN⊥BC于点N，PM⊥CD于点M，连接PG，∵点P到直线CD的距离等于线段GE的长度，∴PM＝EG，∵∠DCE＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠BCD，∵∠E＝∠PMC＝90°，∴△CEG≌△CMP（AAS），∴CP＝CG，∴∠CGP＝∠CPG，又∵∠CGD＝∠CPD，∴∠DGP＝∠DPG，∴DG＝DP，∴△CGD≌△CPD（SSS），∴∠DCG＝∠PCD，∵DN⊥BC，DA⊥AC，∴DA＝DN＝BN，设DA＝a，则BD＝a，∴a+a＝2，∴CD2＝AD2+AC2＝＝32﹣16，＝＝＝8﹣4．∴S△CDE【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键。

2021年中考一模考试《数学卷》含答案解析

2021年中考一模考试《数学卷》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1.实数4的相反数是（ ） A. 14-B. -4C.14D. 42.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）A. B. C. D.3.2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（ ） A. 38×104B. 3.8×104C. 3.8×105D. 0.38×1064.（2018乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy 中，将点()12N --，绕点O 旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()12-， C. ()12--， D. ()12-， 5.不等式组12220360x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 46x -<≤B. 4x ≤-或2x >C. 42x -<≤D. 24x ≤<6.下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A 正三角形B. 正五边形C. 等腰直角三角形D. 矩形7.化简()22x 的结果是（ ） A. x 4B. 2x 2C. 4x 2D. 4x8.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ） A.16B.13C.12D.239.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）A.103B. 4C. 4.5D. 510.二次函数2y ax bx c =++的图象如图，且,OA OC =则（ ）A. 1ac b +=B. 1ab c += C. 1bc a +=D. 以上都不是二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，EABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若070BAC ∠=，050CED ∠=，则B ∠=________°．12.如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC ＝1，则OF ＝_____．13.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况： 捐书(本) 3 4 5 7 10 人数 5710117该班学生平均每人捐书______本．14.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为_____________．15.如图，无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45，测得该建筑底部C 处的俯角为17．若无人机的飞行高度AD 为62m ，则该建筑的高度BC 为__m ．（参考数据：sin170.29≈，cos170.96≈，tan170.31≈）16.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米.三．解答下列各题(本题共4小题，其中17、18、19题9分、20题12分，共39分)17.计算：1332)182+18.化简： 2212(1)244x x xx x x +--÷--+ 19.如图，EF=BC ，DF=AC ，DA=EB ．求证：∠F=∠C ．20.某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据(单位：分钟)：306070103011570607590，，，，，，，，，，157040751058060307045，，，，，，，，，对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：根据以上提供的信息，解答下列问题：()1填空：①a=，b=；②c=，d=；()2如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为1122m，则小路的宽应为多少？22.如图，函数12y x=的图象与函数kyx=（x＞0）的图象相交于点P（4，m）．（1）求m，k的值；（2）直线y=3与函数12y x =的图象相交于点A ，与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点B ，求线段AB 长．23.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且DE 是⊙O 的切线．（1）求证：∠CDE ＝12∠BAC ； （2）若AB ＝3BD ，CE ＝4，求⊙O 的半径．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、．点D 是x 轴上动点，点D 从点B 出发向原点O 运动，点E 在点D 右侧，2DE BD =．过点D 作DH AB ⊥于点,H 将DBH △沿直线DH 翻折，得到,DCH 连接CE ．设,BD t =DCH 与AOB 重合部分面积为.S 求：（1）求线段BC 的长(用含t 的代数式表示)；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围． 25.阅读下面材料，完成()()13-题． 数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在ABC 中，,.BA BC AB kAC ==点F 在AC 上，点E 在BF 上，2BE EF =．点D 在BC 延长线上，连接,180AD AE ACD DAE ∠+∠=、．探究线段AD 与AE 的数量关系并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现CAD ∠与EAB ∠相等．” 小亮：“通过观察和度量，发现FAE ∠与D ∠也相等．”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理， 可以得到线段AD 与AE数量关系．”老师：“保留原题条件，延长图1中的,AE 与BC 相交于点H (如图2)，若知道DH 与AH 的数量关系，可以求出ABCH的值．”（1）求证：CAD EAB ∠=∠； （2）求ADAE的值(用含k 的式子表示)； （3）如图2，若,DH AH =则ABCH的值为 (用含k 的式子表示)． 26.已知抛物线2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ），C （m ，53n -）． （1）b=__________（用含m 的代数式表示）； （2）求△ABC 的面积； （3）当1222m x m ≤≤+时，均有6y m -≤≤，求m 的值．答案与解析一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1.实数4的相反数是（）A.14B. -4C.14D. 4【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义即可解答．【详解】∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴4的相反数是﹣4；故选B．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解决问题的关键．2.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图的概念即可快速作答.【详解】解：立体图形的主视图，即正前方观察到的平面图，即选项A符合题意；故答案为A.【点睛】本题考查了三视图的概念及正确识别主视图，解题的关键在于良好的空间想象能力.3.2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（）A. 38×104B. 3.8×104C. 3.8×105D. 0.38×106【答案】C 【解析】 【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.【详解】380000=3.8×105. 故选C.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4.（2018乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy 中，将点()12N --，绕点O 旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()12-， C. ()12--， D. ()12-， 【答案】A 【解析】【详解】点N 绕着点O 旋转180°，恰好关于原点对称，点(1,2)N --的中心对称点为(1，2)，故选A ．5.不等式组12220360x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 46x -<≤B. 4x ≤-或2x >C. 42x -<≤D. 24x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再确定出解集的公共部分即可得解. 【详解】解不等式12220x -<，得：4x >-， 解不等式360x -≤，得：2x ≤， 则不等式组的解集为42x -<≤， 故选C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6.下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 正三角形B. 正五边形C. 等腰直角三角形D. 矩形【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行分析判断即可得.【详解】A．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；C．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7.化简()22x的结果是（）A. x4B. 2x2C. 4x2D. 4x【答案】C【解析】【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．【详解】(2x)²=2²·x²=4x²，故选C.【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则.8.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A. 16B.13C.12D.23【答案】A【解析】【分析】直接利用概率公式计算可得．【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16，故选A．【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．9.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）A. 103B. 4C. 4.5D. 5【答案】D【解析】【分析】设FC ′=x ，则FD=9-x ，根据矩形的性质结合BC=6、点C ′为AD 的中点，即可得出C ′D 的长度，在Rt △FC ′D 中，利用勾股定理即可找出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设FC′=x ，则FD=9﹣x ，∵BC=6，四边形ABCD 为矩形，点C′为AD 的中点，∴AD=BC=6，C′D=3，在Rt △FC′D 中，∠D=90°，FC′=x ，FD=9﹣x ，C′D=3，∴FC′2=FD 2+C′D 2，即x 2=（9﹣x ）2+32，解得：x=5，故选D ．【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt △FC′D 中，利用勾股定理找出关于FC′的长度的一元二次方程是解题的关键．10.二次函数2y ax bx c =++的图象如图，且,OA OC =则（ ）A. 1ac b +=B. 1ab c +=C. 1bc a +=D. 以上都不是【答案】A【解析】【分析】 根据题意可知，本题考察二次函数图像与系数的关系，根据图像与坐标轴的交点，运用两边相等求出交点坐标，代入坐标进行求解．【详解】∵OA OC =∴点A 、C 的坐标为(-c ，0)，(0，c)∴把点A 的坐标代入2y ax bx c =++得∴2=0ac bc c -+∴()10c ac b -+=∵0c ≠∴10ac b -+=∴1ac b +=故选A【点睛】本题考察二次函数图像与系数关系，解题关键是根据图像得出系数取值范围，再代入点的坐标进行解决． 二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，E 为ABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若070BAC ∠=，050CED ∠=，则B ∠=________°．【答案】60【解析】【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED=∠C=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B 的度数．【详解】解：∵ED ∥BC ，∴∠CED=∠C=50°，又∵∠BAC=70°，∴△ABC中，∠B=180°-50°-70°=60°，故答案为60．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12.如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝_____．【答案】2【解析】【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】作EH⊥OA于H．∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°．∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2．故答案2．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．13.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况：捐书(本) 3 4 5 7 10人数 5 7 10 11 7该班学生平均每人捐书______本．【答案】6【解析】【分析】利用加权平均数公式进行求解即可得. 【详解】该班学生平均每人捐书3547510711107640⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(本)， 故答案为6．【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键.14.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为_____________．【答案】46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【解析】【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．【详解】解：设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为： 46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩ 故答案是：46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．15.如图，无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45，测得该建筑底部C 处的俯角为17．若无人机的飞行高度AD 为62m ，则该建筑的高度BC 为__m ．（参考数据：sin170.29≈，cos170.96≈，tan170.31≈）【答案】262【解析】【分析】作AE BC ⊥于E ，根据正切的定义求出AE ，根据等腰直角三角形的性质求出BE ，结合图形计算即可．【详解】作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 为矩形，62EC AD ∴==，在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=， 则62200tan 0.31EC AE EAC =≈=∠， 在Rt AEB ∆中，45BAE ∠=，200BE AE ∴==，20032262()BC m ∴=+=，则该建筑的高度BC 为262m ，故答案为262．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米.【答案】175【解析】试题解析：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，设乙的速度为m 米/秒，则（m -2.5）×（180-30）=75，解得：m =3米/秒，则乙的速度为3米/秒， 乙到终点时所用的时间为：15003=500（秒）， 此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），甲距终点的距离是1500-1325=175（米）．【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．三．解答下列各题(本题共4小题，其中17、18、19题9分、20题12分，共39分)17.计算：2)+【答案】-1．【解析】【分析】先利用平方差公式简便运算乘法，同时化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：2)+=3-4+=-1．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的化简，掌握利用平方差公式进行简便运算是解题的关键．18.化简： 2212(1)244x x x x x x +--÷--+ 【答案】3x ． 【解析】【分析】先通分，计算括号内的减法，把除法转化为乘法，约分后得到结论． 【详解】解：原式＝212(2)122()22(2)2x x x x x x x x x x x x+--+-+--÷=•----323.2x x x x-=•=- 【点睛】本题考查的是分式的化简，考查了分式的加减法，分式的除法，掌握以上运算是解题的关键． 19.如图，EF=BC ，DF=AC ，DA=EB ．求证：∠F=∠C ．【答案】见解析.【解析】【分析】欲证明∠F ＝∠C ，只要证明△ABC ≌△DEF(SSS)即可.【详解】证明：DA BE =，DE AB ∴=，在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ∴∆≅∆，C F ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质.20.某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据(单位：分钟)：306070103011570607590，，，，，，，，，，157040751058060307045，，，，，，，，，对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：根据以上提供的信息，解答下列问题：()1填空：①a=，b=；②c=，d=；()2如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．【答案】（1）①5，3；②65，70；（2）130人．【解析】【分析】（1）①根据数据统计出a、b；②根据中位数和众数的定义求出c，d即可；（2）先求出样本用样本达到平均水平及以上的学生的概率，然后用九年级学生数×样本达到平均水平及以上的学生的概率即可．【详解】解：()1①经统计：该组数据处于30≤t＜60的数据有5个, 处于90≤t＜120的数据有3个,∴a=5；b=3故答案为：5；3②将这组数据从小到大排序，位于第10个的数据是60，第11个的数据是70∴中位数为（60+70）÷2=65这组数据中出现次数最多的是70 ∴众数为70 ∴6570，c d==故答案为：65；70．()132********⨯=(人)，答：估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数为130人．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、样本估计总体的思想等知识，掌握中位数、众数、平均数等基本知识是解答本题的关键．四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为1122m，则小路的宽应为多少？【答案】小路的宽应为1m ．【解析】【分析】设小路的宽应为x 米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x ），（9-x ）；那么根据题意得出方程，解方程即可．【详解】解：设小路的宽应为x 米，根据题意得：(162)(9)112x x --=，解得：11x =，216x =．∵169>，∴16x =不符合题意，舍去，∴1x =．答：小路的宽应为1米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 22.如图，函数12y x =的图象与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点P （4，m ）． （1）求m ，k 的值；（2）直线y=3与函数12y x =的图象相交于点A ，与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点B ，求线段AB 长．【答案】（1）m=2，k=8；（2）103．【解析】【分析】(1)将点P（4，m）代入y=x，求出m=2，再将点P（4，2）代入kyx=即可求出k的值；(2) 分别求出A、B两点的坐标，即可得到线段AB的长．【详解】（1）∵函数12y x=的图象过点P（4，m），∴m=2，∴P（4，2），∵函数kyx=（x＞0）的图象过点P，∴k=4×2=8；（2）将y=3代入12y x=，得x=6，∴点A（6，3）．将y=3代入8yx=，得x=83，∴点B（83，3）．∴AB=6﹣83=103．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，解题时注意：点在图象上，点的坐标就一定满足函数的解析式．23.如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O 的切线．（1）求证：∠CDE＝12∠BAC；（2）若AB＝3BD，CE＝4，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）14．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC=90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可得到答案；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．【详解】（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，-∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC，∵DE是⊙O的切线；∴OD⊥DE∴∠ODE＝90°∴∠ADC＝∠ODE∴∠CDE＝∠ADO ∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∴∠CDE＝∠CAD，∠CAD＝12∠BAC，∴∠CDE＝12∠BAC．（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD2222,AC DC x-=∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴CE DC DE DE AD AE∴==，即43422DE DE xx==+∴DE＝82,，x＝283，∴AC＝3x＝28，∴⊙O的半径为14．【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、．点D 是x 轴上动点，点D 从点B 出发向原点O 运动，点E 在点D 右侧，2DE BD =．过点D 作DH AB ⊥于点,H 将DBH △沿直线DH 翻折，得到,DCH 连接CE ．设,BD t =DCH 与AOB 重合部分面积为.S 求：（1）求线段BC 的长(用含t 的代数式表示)；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）55t BC =；（2）222420536224825357734288523334t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ 【解析】【分析】（1）先根据直线112y x =+求得点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长，进而可求得5555sin ABO cos ABO ∠=∠=，由翻折知DB DC t ==，12BH CH BC ==，最后根据255BH cos ABO BD ∠==求得55t BH =，即可求得BC 的长； （2）分类讨论：当203t <≤时，当2534t <≤时，当524t <≤时，分别画出相应图形，然后利用相似三角形的性质分别表示出对应的底和高，进而可得S 关于t 的函数解析式即可． 【详解】解：()1∵直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、， ∴点()()012,0A B -，,，∴由勾股定理得22125AB =+=∴在直角AOB 中，525,55sin ABO cos ABO ∠=∠=， 由翻折知：DB DC t ==，12BH CH BC ==， 255BH cos ABO BD∠==， 255t BH ∴=， 455t BC ∴=， ()2当203t <≤时， 过点C 做CG BO ⊥于点G ，45CG t ∴=， 55CG sin ABO BC∴∠==， 45GC t ∴=， 14225S t t ∴=⨯⨯ 245t = 当2534t <≤时， 设OA 交CE 于点F ，45CD BD t GC t ===,， ∴由勾股定理得35GD t =，37255GE t t t ∴=-=， 382255GO t t t =--=-， 78 23255OE EG OG t t t ∴=-=-+=-， //OF CG ，EOFCGE ∴， OF OE CG OG∴=， ()4327OF t ∴=-， 12OFE S OE OF =⋅ ()()14323227t t =⋅-⋅- 222(73)t -= ， DCE OFE S S S =-∴2622483577t t =-+-， 当524t <≤时， 设CD 交OA 于点P ，//,OP CG,DOP DGC ∴OP OD CG DG∴=， 2OD t =-，()423OP OP t ∴==-，12S OD OP =⋅⋅∴ 2288333t t =-+， ∴综上所述，222420536224825357734288523334t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，解直角三角形、相似三角形的判定及性质，根据点D 的位置画出相应的图形然后运用分类讨论思想以及相似三角形的性质是解决本题的关键．25.阅读下面材料，完成()()13-题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在ABC 中，,.BA BC AB kAC ==点F 在AC 上，点E 在BF 上，2BE EF =．点D 在BC 延长线上，连接,180AD AE ACD DAE ∠+∠=、．探究线段AD 与AE 的数量关系并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现CAD ∠与EAB ∠相等．”小亮：“通过观察和度量，发现FAE ∠与D ∠也相等．”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理， 可以得到线段AD 与AE 的数量关系．” 老师：“保留原题条件，延长图1中的,AE 与BC 相交于点H (如图2)，若知道DH 与AH 的数量关系，可以求出AB CH的值．”（1）求证：CAD EAB ∠=∠；（2）求AD AE的值(用含k 的式子表示)； （3）如图2，若,DH AH =则AB CH 的值为 (用含k 的式子表示)． 【答案】（1）证明见解析；（2）3AD AE k =；（3）2115AB k CH ++= 【解析】【分析】（1）由BA BC =可知BAC BCA ∠=∠，再通过180ACD DAE ∠+∠=以及平角为180°，可以得到CAD EAB ∠=∠；（2）方法一：过点C 做ACM ABE ∠=∠，交AD 于点M ，通过AEB AMC 可知AC AM CM AB AE BE ==，通过DCM AFE 可知DM CM AE EF =，通过比例关系可推导出AD AE的值；方法二：过点B 做//BN AC 交AE 延长线于点N ，通过AHC DHA 和ACD ABN 相似得到的比例关系即可可推导出AD AE的值； （3）同方法二辅助线，通过证明AHC DHA ，AFE NBE ，然后由对应边成比例即可推导出结论．【详解】()1BA BC =,BAC BCA ∴∠=∠180,ACD DAE ∠+∠=180,ACD ACB ∠+∠=∴∠=∠ADE ACB,∴∠=∠DAE BAC,∴∠=∠DAC BAE,()2方法一：∠=∠，交AD于点M 过点C做ACM ABE∠=∠,DAC BAE∴AEB AMCAC AM CM∴==AB AE BE=AB kAC1∴=AM AEk1=CM BEk=2BE EF2∴=CM FEk∠=∠+∠AEF EAB ABE∠=∠+∠DMC MAC ACM∴∠=∠DMC AEFACB D DAC∠=∠+∠∠=∠+∠DAE DAC FAEDAE ACB∠=∠∴∠=∠D FAE∴DCM AFEDM CM∴=AE EF2∴=DM AEk3∴=+=AD AM DM AEkAD3∴=AE k方法二：BN AC交AE延长线于点,N 过点B做//,∴∠=∠N FAE∠=∠,AFE EBN∴,AFE NBEAE EF∴=NE BE=BE EF2,∴=NE EA2,NA EA∴=3,∠=∠+∠ACB D DAC,DAE DAC FAE∠=∠+∠,DAE ACB∠=∠,∴∠=∠,D FAE,DAC BAE ∴∠=∠ ACD ABN ∴ AC AD AB AN ∴= ,AB kAC = ,AN kAD ∴= 3,AE kAC ∴= 3AD AE k ∴= ()3同方法二辅助线,D CAH ∠=∠ ,AHC DHA ∠=∠ AHC DHA ∴ 2AH HC DH ∴=⋅ 23AH AC DH AD == 23AD AC ∴= AB kAC = 32AD AB k ∴= 3AD AE k =12AE AB ∴= 设2AH a AB BC b ===,13,2DH a AE b ∴== 2NE AE =NE b ∴=EH AH AE EN NH =-=-322NH b a ∴=- 2AH HC DH =⋅43CH a ∴= 53CD a ∴= ∴由方法二相似得53BN ak = ADHNBH ' AD DH NB NH∴= 33253232b a k ak b a ∴=- 222912200b ab a k ∴--=(123a b -∴=（舍），(223ab +=12AB CH +∴= 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．26.已知抛物线2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ），C （m ，53n -）．（1）b=__________（用含m 的代数式表示）；（2）求△ABC 的面积；（3）当1222m x m ≤≤+时，均有6y m -≤≤，求m 的值．【答案】（1）b=-2m-2；（2）24；（3）m =． 【解析】【分析】（1）根据A(m-2，n)， B （m+4，n ）纵坐标一致，结合对称轴即可求解；（2）先用含m 的代数式表示c ，再带入A 点坐标即可求出n=3，最后利用铅锤法即可求出△ABC 的面积； （3）先用只含m 的代数式表示二次函数解析式，再结合带取值范围的二次函数最值求法分类讨论即可．【详解】（1）∵2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ）， ∴对称轴2422b m m x -++=-= ∴22b m =--(2)∵22b m =--∴2(22)y x m x c =-++把C （m ，53n -）代入2(22)y x m x c =-++ ∴2523c m m n =+-∴225(22)23y x m x m m n =-+++-把A(m-2，n)代入225(22)23y x m x m m n =-+++-得583n n =-∴n=3∴A(m-2，3)， B （m+4，3），C （m ，5-）∴AB=6C 点到x 轴的距离为：3﹣(-5)=8，∴S △ABC=12×6×8=24 (3)∵n=3∴22(22)25y x m x m m =-+++-∴2(1)6y x m =---∴当1x m =+时-6y =最小∵6y m -≤≤ ∴由函数增减性知11222m m m ≤+≤+ 即1m ≥-∴当10m -≤<时 由函数增减性知12x m =时，y m =最大 ∴21(1)62m m m =---∴m =±当0m ≥时由函数增减性知22x m =+时，y m =最大∴2(221)6m m m =+---∴1m =（舍）2m =∴12m -+=【点睛】本题考查二次函数综合运用，当参数比较多时可以带入解析式，利用解方程消元法消去多余的参数，在最后一问中对于带取值范围的二次函数最值需要根据对称轴与取值范围的关系确定范围内的最值．。

2021-2022学年上海市徐汇区初三数学第一学期期末试卷及解析

2021-2022学年上海市徐汇区初三数学第一学期期末试卷及解析

2021-2022学年上海市徐汇区初三数学第一学期期末试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）在ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，则sin A 的值是( ) A ．45B ．35C ．34D ．432．（4分）如图，已知////AB CD EF ，:2:3BD DF =，那么下列结论中，正确的是( )A ．:2:5CD EF =B ．:2:5AB CD =C ．:2:5AC AE =D ．:2:5CE EA =3．（4分）在空中点A 处观察地面上的小丽所在位置点B 处的俯角是50︒，那么小丽在地面点B 处观察空中点A 处的仰角是( ) A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒4．（4分）已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中正确的是( ) A ．AC BC =B ．0AC BC +=C ．12BC AB =D ．1||||2CA BA =5．（4分）下列对二次函数22(1)3y x =-++的图象的描述中，不正确的是( ) A ．抛物线开口向下B ．抛物线的对称轴是直线1x =-C ．抛物线与y 轴的交点坐标是(0,3)D ．抛物线的顶点坐标是(1,3)-6．（4分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，下列结论不一定成立的是( )A ．A DCB ∠=∠B ．tan CDECB AD∠=C ．2CD AD DB =⋅ D ．22BC DB EC =⋅二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：12(4)2a ab --= ．8．（4分）冬日暖阳，下午4点时分，小明在学恔操场晒太阳，身高1.5米的他，在地面上的影长为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为 米．9．（4分）将抛物线223y x =+先向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得抛物线的表达式是 ． 10．（4分）如果点1(2,)A y ，2(5,)B y 在二次函数22y x x n =-+图象上，那么1y 2y （填>、=或)<． 11．（4分）如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm ，那么裙子的腰节到脚尖的距离为cm ．（结果保留根号）12．（4分）如图，ABC ∆中，8AB =，7BC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知4AE =，AED B ∠=∠，则线段DE 的长为 ．13．（4分）如图，BE 是ABC ∆的角平分线，过点E 作//ED BC 交边AB 于点D ．如果3AD =，2DE =，则BC 的长度为 ．14．（4分）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线1x =-，根据图中信息可求得该二次函数的解析式为 ．15．（4分）小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，该扶梯移动了13米，到达距离地面5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度i = ．16．（4分）如图，已知点G 是ABC ∆的重心，记向量AB a =，AC b =，则向量AG = ．（用向量xa yb +的形式表示，其中x ，y 为实数）17．（4分）如图，已知点A 是抛物线2y x =图象上一点，将点A 向下平移2个单位到点B ，再把点A 绕点B 顺时针旋转120︒得到点C ，如果点C 也在该抛物线上，那么点A 的坐标是 ．18．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，AB AC =，点D 为斜边BC 上一点，且3BD CD =，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 的对应点为B '，则sin CB D ∠'= ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：sin 603tan30cos6012cot 45cot 30︒+︒⋅︒-︒+︒．20．（10分）二次函数2()f x ax bx c =++的自变量x 的取值与函数y 的值列表如下：x⋯ 2-1-0 ⋯ 2 3 4 ⋯ ()y f x =⋯5-3⋯35-⋯（1）根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；（2）请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图象的顶点落在直线y x =上，并写出平移后二次函数的解析式．21．（10分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AD =，6BC =，对角线BD ，AC 相交于点E ，过点A 作//AF DC ，交对角线BD 于点F ． （1）求BFEF的值； （2）设AB a =，AD b =，请用向量a 、b 表示向量AE ．22．（10分）图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长4AB =米，宽2BC =米，初始时点A 、B 、F 在同一水平线上，车厢底部AB 离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A 旋转，箱体底部AB 形成不同角度的斜坡．（1）当斜坡AB 的坡角为37︒时，求车厢最高点C 离地面的距离；（2）点A 处的转轴与后车轮转轴（点E 处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m ．货厢对角线AC 、BD 的交点G 是货厢侧面的重心，卸货时如果A 、G 两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡AB 的坡角为45︒时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75≈，2 1.4142)≈23．（12分）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，射线CD 交AB 于点D ，点E 是CD 上一点，且AEC ABC ∠=∠，联结BE ．（1）求证：ACD EBD ∆∆∽；（2）如果CD 平分ACB ∠，求证：22AB ED EC =⋅．24．（12分）如图，抛物线2410233y x x =-++与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 为线段OA 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交该抛物线于点E ． （1）求直线AB 的表达式，直接写出顶点M 的坐标；（2）当以B ，E ，D 为顶点的三角形与CDA ∆相似时，求点C 的坐标； （3）当2BED OAB ∠=∠时，求BDE ∆与CDA ∆的面积之比．25．（14分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，cot 2A =D 为边AC 上的一个动点，以点D 为顶点作BDE A ∠=∠，射线DE 交边AB 于点E ，过点B 作射线DE 的垂线，垂足为点F ．（1）当点D 是边AC 中点时，求tan ABD ∠的值； （2）求证：AD BF BC DE ⋅=⋅； （3）当:3:1DE EF =时，求:AE EB ．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．【解答】解：在ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =， 则4sin 5BC A AB ==， 故选：A ． 2．【解答】解：////AB CD EF ，∴23BD AC DF CE ==， ∴22235DB AC BF AE ===+， 故选：C ．3．【解答】解：因为从点A 看点B 的俯角与从点B 看点A 的仰角互为内错角，大小相等． 所以在空中点A 处观察地面上的小丽所在位置点B 处的俯角是50︒， 小丽在地面点B 处观察空中点A 处的仰角是50︒． 故选：B ．4．【解答】解：点C 是线段AB 的中点，∴AC CB =；0AC BC +=；12BC AB =-；1||||2CA BA =， A ∴，B ，C 错误，D 正确，故选：D ．5．【解答】解：A 、20a =-<，∴抛物线的开口向下，正确，不合题意；B 、对称轴为直线1x =-，故本小题正确，不合题意；C 、令0x =，则231y =-+=，所以抛物线与y 轴的交点坐标是(0,1)，故不正确，符合题意；D 、抛物线的顶点坐标是(1,3)-，故本小题正确，不合题意；故选：C ．6．【解答】解：90ACB CDA ∠=∠=︒， 90A ACD ∴∠+∠=︒，90DCB ACD ∠+∠=︒， A DCB ∴∠=∠，故A 成立；CE 是Rt ACB ∆斜边上的中线， CE BE ∴=， ECB EBC ∴∠=∠，tan tan CDECB EBC DB∴∠=∠=， E 是AB 的中点， AE BD DE ∴=+， AD AE DE =+， AD DB ∴≠，tan CDECB AD∴∠≠， 故B 不成立；90ACB CDA ∠=∠=︒， A DCB ∴∠=∠， BCD CAD ∴∆∆∽，∴CD DBAD CD=， 2CD AD DB ∴=⋅，故C 成立； BCD BAC ∆∆∽，∴BC BDBA BC=， 2BC BD AB ∴=⋅， CE 是斜边AB 上的中线， 2AB CE ∴=，22BC BD CE ∴=⋅，故D 正确， 故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．【解答】解：12(4)2a a b --1222a a b =-+322a b =+，故答案为：322a b +，8．【解答】解：设旗杆的高度为x 米，根据题意得： 21.59x=， 解得：12x =． 故答案为：12．9．【解答】解：将抛物线223y x =+先向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得抛物线的表达式是22(1)34y x =++-，即22(1)1y x =+-， 故答案为：22(1)1y x =+-．10．【解答】解：二次函数22y x x n =-+的图象的对称轴是直线1x =， 在对称轴的右面y 随x 的增大而增大，点1(2,)A y 、2(5,)B y 是二次函数22y x x n =-+的图象上两点， 125<<， 12y y ∴<．故答案为：<．11．【解答】解：设裙子的腰节到脚尖的距离为x cm ，以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm ，∴176x ，88x ∴=，即裙子的腰节到脚尖的距离为88)cm ，故答案为：88)．12．【解答】解：AED B ∠=∠，A A ∠=∠， AED ABC ∴∆∆∽，∴DE AEBC AB =， ∴478DE =， 72DE ∴=，故答案为：7213．【解答】解：BE 平分ABC ∠， ABE CBE ∴∠=∠． //DE BC ， DEB CBE ∴∠=∠，ABE DEB ∴∠=∠． BD DE ∴=，//DE BC ， ADE ABC ∴∆∆∽，∴AD DEAB BC=， 3AD =，2DE =，∴3232BC=+， 103BC ∴=， 故答案为：103． 14．【解答】解：设2y ax bx c =++， 由题意得： 3112c a b c b a⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=-⎩， 解得：23433a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴二次函数的解析式为：224333y x x =--+， 故答案为：224333y x x =--+．15．【解答】12=（米)， 则该自动扶梯的坡度5:12i =，故答案为：5:12．16．【解答】解：如图，延长AE 到H ，使得EH AE =，连接BH ，CH ． AE EH =，BE EC =，∴四边形ABHC 是平行四边形，AC BH ∴=，//AC BH ，AH AB BH a b =+=+，G 是重心， 23AG AE ∴=， AE EH =，13AG AH ∴=， ∴111()333AG a b a b =+=+． 故答案为：1133a b +．17．【解答】解：如图，过C 点作CD x ⊥轴于D ，作AE CD ⊥于E ， 120BAC ∠=︒，1209030EAC ∴∠=︒-︒=︒，2AB =，2AC AB ∴==，323AE ∴112CE AC ==， 设2(,)A m m ，则(3C m -，21)m +，点C 也在该抛物线上，221(3)m m ∴+=，解得33m =， 3(3A ∴，1)3， 故答案为：3(3，1)3． 18．【解答】解：过点D 作DE AB ⊥于点E ，将ABD ∆沿直线AD 翻折，AB AB '∴=，BAD B AD '∠=∠，AB AC =， AC AB '∴=，AB C ACB ''∴∠=∠，设B AC x '∠=，CB D α'∠=，CAD β∠=，AB AC =，90CAB ∠=︒，45B ACB AB D '∴∠=∠=∠=︒，2(45)180x α∴+︒+=︒，290x α∴=︒-，又B AD BAD B AC CAB ''∠+∠=∠+∠，2()90x x β∴+=︒+，290x β∴=︒-，αβ∴=，CB D CAD '∴∠=∠，CD AB ⊥，DE AB ⊥，//CA DE ∴，CAD ADE CB D '∴∠=∠=∠，13CD AE BD BE ==， BE DE =， ∴13AE DE =， 设AE a =，则3DE a =，AD ∴=，sin sin AE CB D ADE DE ∴∠'=∠===． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【解答】解：sin 603tan30cos6012cot 45cot 30︒+︒⋅︒-︒+︒13==0=．20．【解答】解：（1）把(1,0)-，(0,3)，(3,0)分别代入2(0)y ax bx c a =++≠中，得03930a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩．解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．则该二次函数的解析式为：223y x x =-++，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点的坐标为(1,4)；（2）二次函数2()f x ax bx c =++的顶点坐标(1,4)； ∴二次函数图象向右平移3个单位后抛物线的顶点为(4,4)或向下平移3个单位后抛物线的顶点为(1,1)落在直线y x =上，则此时抛物线的解析式为：2(4)4y x =--+或2(1)1y x =--+．21．【解答】解：（1）//AD BC ， ADE CBE ∴∆∆∽， ∴23AD DE AE BC BE CE ===， //AF CD ， ∴23AE EF CE DE ==， 设4EF x =，则6DE x =，5BF x =， ∴54BF EF =， （2）4AD =，6BC =，//AD BC ， 32BC AD ∴=，ADE CBE ∆∆∽， ∴32BC b =，23AE AD EC BC ==， 25AE AC ∴=， AB a =，∴BA a =-，∴AC BC BA =-32b a =+， ∴25AE AC = 23()52b a =+ 3255b a =+． 22．【解答】解：过点C 作CH AF ⊥，垂足为H ，过点B 作BP AF ⊥，垂足为P ，过点B 作BQ CH ⊥，垂足为Q ，则四边形BPHQ 为矩形，BP QH ∴=，在Rt ABP ∆中，sin3740.6 2.4()BP AB m =︒=⨯=，2.4()BP QH m ∴==，//BQ AP ，37BAF QBA ∴∠=∠=︒，903753CBQ CBA QBA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，90BQC ∠=︒，9037BCQ CBQ ∴∠=︒-∠=︒，在Rt BCQ ∆中，cos3720.8 1.6()CQ BC m =︒=⨯=，1.62.4 1.3 5.3()m ∴++=，答：车厢最高点C 离地面的距离是5.3米；（2）不会发生安全事故，理由是：过点G 作GO AF ⊥，垂足为O ，过点C 作CM AF ⊥，垂足为M ，交AB 于点I ，过点B 作BN AF ⊥，垂足为N ，过点B 作BK CM ⊥，垂足为K ，则四边形BNMK 为矩形，BN KM ∴=，在Rt ABN ∆中，sin 454)BN AB m =︒==，)BN KM m ∴==， //BK AN ，45BAN KBA ∴∠=∠=︒，904545CBK CBA KBA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，在Rt BCK ∆中，cos452)BK BC m =︒==，)BK CK m ∴==， 在Rt BKI ∆中，45KBA ∠=︒，)BK KI m ∴==，)IM KM KI m ∴=-=，在Rt AMI ∆中，45BAF ∠=︒，)IM AM m ∴==，//CM GO ， ∴AG AO CG OM=， AG CG =，10.71()22AO OM AM m ∴===≈， 0.710.7>，∴不会发生安全事故．23．【解答】证明：（1）AEC ABC ∠=∠，ADE BDC ∠=∠， ADE CDB ∴∆∆∽， ∴AD DE CD BD=， 又ADC EDB ∠=∠，ACD EBD ∴∆∆∽；（2）ADE CDB ∆∆∽，DCB EAB ∴∠=∠，ACD EBD ∆∆∽，ACD EBD ∴∠=∠，90ACB ∠=︒，90EAB EBD DCB ACD ∴∠+∠=∠+∠=︒，90AEB ∴∠=︒， CD 平分ACB ∠，45ACD BCD ∴∠=∠=︒，45EBD EAB ∴∠=∠=︒，EA EB ∴=，EAB ∴∆是等腰直角三角形，EAD ACE ∴∠=∠，AED CEA ∠=∠，AED CEA ∆∆∽， ∴AE EC ED AE=， 2AE ED EC ∴=⋅，222AE EB AB +=，222AE AB ∴=，2212AE AB ∴=， ∴212AB ED EC =⋅， 22AB ED EC ∴=⋅．24．【解答】解：（1）令0y =，则24102033x x -++=， 12x ∴=-或3x =， (3,0)A ∴，令0x =，则2y =，(0,2)B ∴，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴230b k b =⎧⎨+=⎩，∴232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，223y x ∴=-+， 2241045492()333412y x x x =-++=--+， 5(4M ∴，49)12； （2）ADC BDE ∠=∠，90ACD ∠=︒，BED ∴∆是直角三角形，设(,0)C t ，①如图1，当90BED ∠=︒，时，//BE AC ，(,2)E t ∴，24102233t t ∴-++=， 0t ∴=（舍)或52t =， 5(2C ∴，0)； ②如图2，当90EBD ∠=︒时，过点E 作EQ y ⊥轴交于点Q ，90BAO ABO ∠+∠=︒，90ABO QBE ∠+∠=︒，QBE BAO ∴∠=∠， ABO BEQ ∴∆∆∽， ∴AO BO BQ EQ =，即32BQ t =， 32BQ t ∴=， 3(,2)2E t t ∴+， 2341022233t t t ∴+=-++， 0t ∴=（舍)或118t =， 11(8C ∴，0)； 综上所述：C 点的坐标为11(8，0)或5(2，0)； （3）如图3，作BA 的垂直平分线交x 轴于点Q ，连接BQ ，过点B 作BG EC ⊥于点G ，BQ AQ ∴=，BQA QAB ∴∠=∠，2BED OAB ∠=∠，BQO BED ∴∠=∠，在Rt BOQ ∆中，222BQ BO OQ =+，224(3)BQ BQ ∴=+-，136BQ ∴=， 56QO ∴=， 12tan 5BQO ∴∠=， 12tan 5BEG ∴∠=， 设(,0)C t ，则2(,2)3D t t -+，2410(,2)33E t t t -++， BG t =，2443DE t t =-+，3AC t =-，223DC t =-+，241033EG t t =-+， ∴212410533t t t =-+， 3516t ∴=， 12BDE S ED BG ∆∴=⋅， 12CDA S AC CD ∆=⋅， ∴224(4)21225323104(3)(2)3BDECDA t t t S t S t t t ∆∆-+===---+．25．【解答】（1）解：如图，过点D作DG AB于G，在Rt ABC ∆中，cot 2AC A BC= 设2AC a =，BC a =，90ACB ∠=︒，2222(2)3AB AC BC a a a ∴++， D 是AC 的中点，2AD ∴=， 1122ADB S AD BC AB DG ∆=⋅=⋅， 2623a AD BC DG AB a⋅⋅∴===， 在Rt ADG ∆中，2222263()()26AG AD DG a a =-=-=， 3233BG AB AG a ∴=-=， 在Rt GDB ∆中，626tan 23DG ABD BG a ∠=== （2）证明：BDE A ∠=∠，DBE ABD ∠=∠， ADB DEB ∴∆∆∽， ∴AD AB DE DB=， 90F C ∠=∠=︒，A BDE ∠=∠，ACB DFB ∴∆∆∽，∴BC AB BF BD =， ∴AD BC DE BF=， AD BF BC DE ∴⋅=⋅；（3）解：13DE EF =， ∴设DE x =，3EF x =， 4DF x ∴=，A BDE ∠=∠，cot cot A BDE ∴=∠= 在Rt BDF ∆中，cot DF BDF BF ∠==BF ∴===，在Rt BEF ∆中，BE=，在Rt BDF ∆中，DB ==， 由（2）可知，ADB DEB ∆∆∽， ∴AB BD DB BE=，∴=，AB ∴，AE AB BE ∴=-，∴717AE EB ==，即:7:17AE EB =．。

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题07 相似图形的相关概念(解析版)

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题07 相似图形的相关概念(解析版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题07 相似图形的相关概念一、单选题1．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，已知BD 与CE 相交于点A ，DE BC //，如果2AD =，3AB =，6AC =，那么AE 等于（ ）A ．125B ．185C ．4D ．9【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例即可得到结论．【详解】解：∵ED∵BC ，∵AB AC AD AE =，即362AE=，∵AE=4，故选：C ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）下列命题中，说法正确的是（ ）A ．四条边对应成比例的两个四边形相似B ．四个内角对应相等的两个四边形相似C ．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似【答案】D【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．【详解】A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大．3．（2021·上海杨浦区·九年级一模）在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，能判定//DE BC 的是（）A．AD DEAB BC=B．AD AEDB EC=C．DB AEEC AD=D．AD AEAC AB=【答案】A【分析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案．【详解】A、AD DEAB BC=,可证明DE∵BC,故本选项正确；B、AD AEDB EC=,不可证明DE∵BC,故本选项错误；C、DB AEEC AD=,不可证明DE∵BC,故本选项不正确；D、AD AEAC AB=不可证明DE∵BC,故本选项不正确．故选A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，对应线段成比例，两直线平行．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）A、B两地的实际距离AB=250米，如果画在地图上的距离A B''=5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A．1∵500B．1∵5 000C．500∵1D．5 000∵1【答案】B【分析】地图上距离与实际距离的比就是在地图上的距离A B ''与实际距离AB 的比值．【详解】解：∵250米=25000cm ，∵:A B AB ''=5：25000=1：5000．故选：B ．【点睛】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一． 5．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知线段a 、b 、c 、d 的长度满足等式ab cd =，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（ ）A ．a c b d =B ．a d c b =C ．b d c a =D ．b c d a= 【答案】A【分析】根据比例的两内项之积等于两外项之积逐项排查即可．【详解】解：A.由a c b d=可得bc=ad ，故A 选项符合题意； B.由a d c b=可得ab=cd ，故B 选项不符合题意； C.由b d c a=可得ab=cd ，故C 选项不符合题意； D.由b c d a =可得ab=cd ，故D 选项不符合题意．故答案为A ． 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，即掌握两内项之积等于两外项之积成为解答本题的关键． 6．（2021·上海闵行区·九年级一模）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】C【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可．【详解】解：根据题意，设她穿的高跟鞋的高度是x cm ，则620.61815462x =+-， 解得：8.3x ≈，∵我认为选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳；故选：C ．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用；关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．7．（2021·上海奉贤区·九年级一模）下列两个图形一定相似的是（ ）A ．两个菱形B ．两个正方形C ．两个矩形D ．两个梯形【答案】B【分析】对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似，根据定义逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：两个菱形满足对应边成比例，但是对应角不一定相等，所以两个菱形不一定相似，故A 不符合题意；两个正方形满足对应边成比例，对应角相等，所以两个正方形一定相似，故B 符合题意；两个矩形满足对应角相等，但是对应边不一定成比例，故C 不符合题意；两个梯形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，故D 不符题意；故选：.B【点睛】本题考查的是四边形相似的判定，掌握多边形相似的判定是解题的关键． 8．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果实数a ，b ，c ，d 满足a c b d=，下列四个选项中，正确的是（ ） A ．a b c d b d++= B ．a c a b c d =++ C ．a c c b d d+=+ D ．22a cb d = 【答案】A 【分析】根据比例的性质选出正确选项．【详解】A 选项正确，∵11a c b d+=+，∵a b c d b d ++=； B 选项，当0a b +=或0c d +=时， 不成立；C 选项，当0b d +=时，不成立；D 选项不成立，例如：当1224=时，221224≠；故选：A ． 【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．9．（2021·上海松江区·九年级一模）如果两个相似多边形的面积之比为1:4，那么它们的周长之比是（ ） A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【答案】A【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】解：∵两个相似多边形面积的比为1:4，∵两个相似多边形周长的比等于1:2，∵这两个相似多边形周长的比是1:2．故选：A ．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．10．（2021·上海青浦区·九年级一模）已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，若2AB =，则AP 的长为A 1B 1CD ．3【答案】A【分析】利用黄金分割点的定义即可求AP 的长度【详解】利用黄金分割点的定义， AP AB = 111．（2021·上海徐汇区·九年级一模）下列说法中，正确的是（ ）A ．两个矩形必相似B ．两个含45︒角的等腰三角形必相似C ．两个菱形必相似D ．两个含30角的直角三角形必相似【答案】D 【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得．【详解】A 、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误；B 、如果一个等腰三角形的顶角是45︒，另一等腰三角形的底角是45︒，则不相似，此项错误；C 、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误；D 、两个含30角的直角三角形必相似，此项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似多边形、相似三角形的判定，熟练掌握相似图形的判定方法是解题关键． 12．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，DE BC //，DF AC //，联结BE ，BE 与DF 相交于点G ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AD DE DB BC = B ．AE BF AC BC = C ．BD BF AD DE = D ．DG BF GF FC= 【答案】C【分析】根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例进行判断即可．【详解】解：∵DE∵BC ，DF∵AC ，∵四边形DFCE 是平行四边形，∵DE=CF ，DF=CE ，∵DE∵BC ，DF∵AC ，∵∵ADE∵∵ABC ，∵BFD∵∵BAC ，∵AD DE AB BC=，故A 错误；AE AD AC AB BC CF ==，即AE CF AC BC=，故B 错误； ∵DF∵AC ，∵BD BF BF AD CF DE==，故C 正确； ∵DE∵BC ，∵DG DE CF GF BF BF ==，故D 错误，故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和平行线分线段成比例是解答的关键．13．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，在ABC 中，点D 、F 是边AB 上的点，点E 是边AC 上的点，如果∵ACD=∵B ，DE //BC ，EF //CD ，下列结论不成立的是（ ）A ．2AE AF AD =⋅B ．2AC AD AB =⋅C ．2AF AE AC =⋅D ．2AD AF AB =⋅【答案】C【分析】根据相似三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例对每个选项逐个证明即可．【详解】解：∵DE //BC ，EF //CD ，∵∵ADE=∵B ，∵ACD=∵AEF ，又∵∵ACD=∵B ，∵∵ADE=∵AEF ，∵∵ADE=∵AEF ，∵A=∵A ，∵AEF∵ADE ， ∵AE AD AF AE=，∵2AE AF AD =⋅，故选项A 正确； ∵∵ACD=∵B ，∵A=∵A ，∵ACD∵ABC ，∵AC AD AB AC=，∵2AC AD AB =⋅，故选项B 正确； ∵DE //BC ，∵AE AD AC AB =，∵EF //CD ，∵AE AF AC AD=，∵AF AD AD AB =，∵2AD AF AB =⋅，故选项D 正确；∵EF//CD，∵AE AFAC AD=，∵AF AC AE AD⋅=⋅，故选项C错误，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．14．（2021·上海静安区·九年级一模）在∵ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∵BC的为（）A．BC ABDE AD=B．AC ABAD AE=C．AC ABCE BD=D．AC BDAB CE=【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．【详解】解：当BC ABDE AD=时，不能判定DE∵BC，A选项错误；AC ABAD AE=时，不能判定DE∵BC，B选项错误；AC ABCE BD=时，DE∵BC，C选项正确；AC BDAB CE=时，不能判定DE∵BC，D选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．15．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ长为（）A．1)B．C．2) - D．5(3【答案】C【分析】画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ、PB的长度，再根据PQ=AQ+PB－AB即可求出PQ的长度．【详解】解：如图，根据黄金分割点的概念，可知PB AQ AB AB ==∴AQ =PB ，AB =10，∴AQ =PB =11052⨯=，∴PQ =AQ +PB －AB =5510202)+-==． 故选：C ．【点睛】本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．二、填空题16．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知点P 在线段AB 上，如果2AP AB BP =⋅，4AB =，那么AP 的长是_____．【答案】2【分析】设AP=x ，则PB=4-x ，根据AP 2=AB•PB 列出方程求解即可，另外，注意舍去负数解．【详解】解：设AP=x ，则PB=4-x ，由题意，x 2=4（4-x ），解得x=2或2-（舍弃）故答案为：2．【点睛】本题考查的是比例线段与黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．注意方程思想的应用是解题的关键．17．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，////AB CD EF ，如果2AC =，3CE = ， 1.5BD =，那么BF 的长是______．【答案】3.75【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵直线////AB CD EF ，2AC =，3CE =， 1.5BD =， ∵AC BD AE BE = 22235==+，∵ 1.55=3.752BE ⨯=．故答案为：3.75． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．18．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知直线1l ，2l ，3l 分别交直线l 于点A ，B ，C ，交直线l 于点D ，E ，F ，且123////l l l ，4AB =，6AC =，10DF =，则DE =___．【答案】203【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】∵123////l l l 4AB =，6AC =，10DF =，∵AB DE AC DF = 即4610DE =, 可得：DE=203,故答案为：203． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用,能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． 19．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果4是a 与8的比例中项，那么a 的值为_______________________．【答案】2【分析】根据比例中项的概念：如果a 、b 、c 三个量成连比例，即::a b b c =，b 叫作a 和c 的比例中项，即可求解．【详解】4是a 与8的比例中项，∴:44:8a =，即248a =，∴2a =．故答案为：2．【点睛】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握比例中项的概念是解题的关键．20．（2021·上海普陀区·九年级一模）已知52x y =，那么x y x y+=-__________． 【答案】73【分析】由52x y =，设()50x k k =≠，则2y k =，再把,x y 的值代入代数式即可得到答案． 【详解】解： 52x y =，∴ 设()50x k k =≠，则2y k =，52775233x y k k k x y k k k ++∴===--， 故答案为：7.3【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数法解决比例的问题是解题的关键．21．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果2a ＝5b （b ≠0），那么a b＝_____． 【答案】52【分析】利用比例的基本性质可得答案．【详解】解：∵2a ＝5b （b ≠0），∵5.2a b = 故答案为：52【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握基本性质是解题的关键．22．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如果:2:3a b =，那么代数式b a a-的值是_____． 【答案】12【分析】根据比例的性质可得23a b =，则代入原代数式计算即可．【详解】由题意：23a b =，∵213223b b b a a b --==，故答案为：12． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练根据比例的性质变形求解是解题关键．23．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，已知AC ∵EF ∵BD ．如果AE ：EB ＝2：3，CF ＝6．那么CD 的长等于_________．【答案】15【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式首先求得CF 的长，再求得DC 的长．【详解】解：∵AC ∵EF ∵BD ，CF ＝6，23AE CF BE DF ==，∵DF=9， ∵CD=DF+CF=9+6=15．故答案是：15．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 24．（2021·上海九年级一模）如果34a b =，那么b a b a -=+__________________． 【答案】17【分析】设a=3k ，得到b=4k ，代入b a b a -+化简即可求解． 【详解】解：设a=3k ，∵34a b =，∵b=4k ，∵4314377b a k k k b a k k k --===++．故答案为：17 【点睛】本题主要考查了比例化简求值，理解比例的意义，用含k 的式子分别表示a 、b 是解题关键． 25．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知三角形的三边长为a 、b 、c ．满足234a b c ==，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为________．【答案】16 【分析】设234a b c ===k ，根据三角形的周长列出方程即可求出k 的值，从而求出结论． 【详解】解：设234a b c ===k∵a =2k ，b =3k ，c =4k 由题意可知：a ＋b ＋c=36∵2k ＋3k ＋4k=36解得：k=4∵该三角形的最大边长为4×4=16故答案为：16．【点睛】此题考查的是比例的性质，掌握设参法是解题关键．26．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知线段2a =厘米，8c =厘米，那么线段a 和c 的比例中项b 的长度为______厘米．【答案】4【分析】根据线段的比例中项可直接进行列式求解．【详解】解：由题意可得：22816b ac ==⨯=，∵4b =cm ；故答案为4．【点睛】本题主要考查比例中项，熟练掌握比例中项是解题的关键．27．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知线段6cm AB =，点C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，那么线段AC 的长为________．【答案】3，列式计算即可．【详解】∵点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，∵AC AB =（3）cm ，故答案为3．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段叫做黄金比． 28．（2021·上海闵行区·九年级一模）如果23(0)a b b =≠，那么a b=__________． 【答案】32【分析】根据等式的性质解题即可，等式两边同时除以一个不为零的数，等式仍成立 【详解】323(0)2a ab b b =≠∴=故答案为：32． 【点睛】本题考查比例的性质，利用等式的性质解题即可．29．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，已知点D 在ABC ∆的边BC 上，联结,AD P 为AD 上一点，过点Р分别作AB AC 、的平行线交BC 于点,,E F 如果3BC EF =，那么AP PD=_______________________．【答案】2 【分析】根据平行线分线段成比例性质可得PD DE DF AD BD CD ==，再由等比性质可得13PD AD =，即可得出2AP PD=． 【详解】解：∵PE∵AB ，PF∵AC ， ∵PD DE AD BD =，PD DF AD CD =．∵DE DF BD CD=． ∵BC ＝3EF ，∵13DE DF EF BD CD BC +==+．∵13PD PD AD AP PD ==+．∵2AP PD=．答案：2． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例性质，掌握平行线分线段成比例性质定理及等比性质是解答此题的关键．30．（2021·上海虹口区·九年级一模）如果:3:2a b =，那么a a b=+________． 【答案】35【分析】设a=3k ，然后用k 表示出b ，最后代入a a b+计算即可． 【详解】解：设a=3k∵:3:2a b =∵3:3:2k b =，即3b=6k ，解得b=2k ∵3333255a k k a b k k k ===++．故答案为35． 【点睛】本题主要考查了比例化简求值，设出中间量、分别表示出a 、b 成为解答本题的关键． 31．（2021·上海嘉定区·九年级一模）正方形的边长与其对角线长的比为________.【答案】1【分析】设正方形的边长为1，计算即得结果.【详解】解：设正方形的边长为1，所以正方形的边长与其对角线长的比为1【点睛】此题主要考查对正方形的性质和线段比的定义的理解及运用．难度不大，属于基础题型． 32．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知线段AB 的长为4厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP <），那么线段AP 的长是______厘米．【答案】6-【分析】根据黄金比值可知AP BP BP AB ==，计算得出结果即可．【详解】解：点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP <），∴12AP BP BP AB ==，可知2BP AB ==（厘米），6AP BP ==-（厘米）故答案为：6-．【点睛】本题考查的是黄金分割比，属于基础题，掌握黄金比值12是解题的关键． 33．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果::CF CA a b =，那么:BE AE 的值为____．（用含a 、b 的式子表示）【答案】a b a- 【分析】过点B 作BH∵AC 交EF 于点H ，先证明∵BDH∵∵CDF ，得出BH=CF ，再根据BE BH AE AF=得出=BE BH CF AE AF AF=即可得解． 【详解】解：过点B 作BH∵AC 交EF 于点H ，∵BE BH AE AF=，∵C=∵DBH, ∵点D 是边BC 的中点，∵BD=CD ，∵∵BDH=∵CDF ，∵∵BDH∵∵CDF ，∵BH=CF ，∵=BE BH CF AE AF AF =， ∵CF a CA b =，∵CF a AF b a =-，∵BE a AE b a=-，故答案为： a b a -．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确作出辅助线．34．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知一个矩形的两邻边长之比为1：2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为________．【答案】1或0.5或2【分析】根据题意，画出图形，然后分直线l∵AD和直线l∵AB两种情况，然后根据相似图形的性质列出比例式即可分别求出结论．【详解】解：如图所示，矩形ABCD中，AB：AD=1：2.5，∵AD=BC若直线l∵AD，交AB、CD于E、F根据题意和图形可知：矩形AEFD∵矩形BEFC此时这两个小矩形的相似比为AD：BC=1；根据相似图形的性质，两个相似图形中长边必定对应长边，故此时不存在其它情况；若直线l∵AB，交AD、BC于E、F此时存在两种情况：①若矩形ABFE∵矩形DCFE，如下图所示此时这两个小矩形的相似比为AB：DC=1；②若矩形BAEF∵矩形EDCF，如下图所示∵AB AEDE CD=设AB=CD=a，AE=x，则AD=2.5a，DE=2.5a x-∵2.5a xa x a=-解得：x=0.5a或x=2a当x=0.5a时，这两个小矩形的相似比为AE：CD=0.5a：a=0.5；当x=2a时，这两个小矩形的相似比为AE：CD=2a：a=2；综上：这两个小矩形的相似比为1或0.5或2．故答案为：1或0.5或2．【点睛】此题考查的是求相似图形的相似比，掌握相似多边形的性质和分类讨论的数学思想是解题关键．35．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果线段a、b满足52ab=，那么a bb-的值等于______．【答案】3 2【分析】根据1a b a b b -=-，再将52a b =代入计算即可． 【详解】解：∵52a b =，∵1a b a b b -=-512=-32=，故答案为：32． 【点睛】本题考查了比例的性质，将a b b-变形为1-a b 是解决本题的关键． 36．（2021·上海宝山区·九年级一模）如果线段AB 的长为2，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较短的线段AP =______．【答案】3【分析】设较短的线段AP x =，则BP AB AP =-，根据黄金分割点的性质列方程并求解，即可得到答案．【详解】设较短的线段AP x =∵AB 的长为2∵2BP AB AP x =-=- ∵BP AP AB BP= ∵222x x x-=- ∵()222x x -=∵3x =+3-32+>，故舍去∵(22310x -=-=≠∵3x =∵较短的线段3AP =3【点睛】本题考查了黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解． 37．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知53x y =，则x y y-＝_____． 【答案】23 【分析】由53x y =得到53x y =，代入式子计算即可. 【详解】∵53x y =，∵53x y =，∵x y y -5233y y y -==，故答案为：23.【点睛】此题考查比例的性质，正确进行变形，熟练掌握和灵活运用相关运算法则是解题的关键.38．（2021·上海虹口区·九年级一模）点P 是线段AB 上的一点，如果2AP BP AB =⋅，那么AP AB的值是________．【分析】设AB=1，AP=x ，则BP=1-x ，代入AP 2=BP·AB 求出x 的值，最后代入AP AB即可． 【详解】解：设AB=1，AP=x ，则BP=1-x ，∵AP 2=BP·AB ∵x 2=（1-x ）·1，即x 2+x -1=0，解得或（舍）∵21APAB ==． 【点睛】本题考查了成比例线段，设出合适的未知数、根据比例列式求出未知数成为解答本题的关键． 39．（2021·上海嘉定区·九年级一模）已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AP ＞BP ，那么AP ：AB 的比值为______．【答案】12【分析】根据黄金分割的定义列即可得答案．【详解】∵点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AP BP >，∵AP ：． 【点睛】题考查了黄金分割点的应用，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分；理解黄金分割点的定义是解题的关键．40．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知 ()2x 3y y 0=≠，那么x y y+=________． 【答案】52【分析】由已知得出比例式，表示出x ，y ，代入解答即可．【详解】由2x=3y （y≠0），可得：x y ＝32，所以x y y +＝232+＝52，故答案为52 【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．三、解答题41．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，且AB=6，BC=8．（1）求DE DF的值； （2）当AD=5，CF=19时，求BE 的长．【答案】（1）37；（2）11 【分析】（1）根据AD //BE //CF 可得DE AB DF AC =，由此计算即可； （2）过点A 作AG //DF 交BE 于点H ，交CF 于点G ，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．【详解】解：（1）∵AD //BE //CF ，∵DE AB DF AC =，∵AB=6，BC=8，∵63687DE DF ==+， 故DE DF 的值为37； （2）如图，过点A 作AG //DF 交BE 于点H ，交CF 于点G ，∵AG //DF ，AD //BE //CF ，∵AD=HE=GF=5，∵CF=19，∵CG=CF -GF=14，∵BE //CF ，∵BH AB CG AC =，∵3147BH =，解得BH=6，∵BE=BH+HE=11． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH 是解决问题的关键．42．（2021·上海静安区·九年级一模）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求x y的值．． 【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y 2，化为22310x x y y--=，然后解一元二次方程，即可求解．【详解】解：222xy y x xy +=-，2230x xy y --=．∵0y ≠，∵22310x x y y --=，∵x y =．∵x 、y 表示线段，∵负值不符合题意，∵x y =． 【点睛】本题考查比例的性质、解一元二次方程，利用整体换元的思想方法解方程是解答的关键，注意x 、y 的非负性．43．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知:2:3,:3:4a b b c ==，且26a b c +-=，求,,a b c 的值【答案】4a =，6b =，8c =．【分析】根据比的性质，可得a ，b ，c 用k 表示，根据解方程，可得k 的值，即可得答案．【详解】∵:2:3a b =，:3:4b c =，∵设2a k =，3b k =，4c k =，∵()22346k k k ⋅+-=，整理得：36k =　，解得：2k =，∵24a k ==，36b k ==，48c k ==．【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出2a k =，3b k =，4c k =是解题关键．。

上海市徐汇区2024届初三一模数学试题

上海市徐汇区2024届初三一模数学试题

上海市徐汇区2024届初三一模数学试题
上海市徐汇区2024届初三一模数学试题指的是在2024年上海市徐汇区初三一模考试中使用的数学科目的试卷。

这份试卷由徐汇区教育考试院组织专家进行命题，并按照初三数学课程的要求进行设计。

具体的题目示例包括：
选择题1：下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是（）
A. √9
B. √12
C. √27
D. √48
选择题2：若关于 x 的一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根为x₁，x₂，则 x₁x₂ = ()
A. c/a
B. b/a
C. -c/a
D. a/c
判断题1：正六边形的每个内角都等于 60°。

判断题2：已知点 A(1, -2) 在反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图象上，则该反比例函数的解析式为 y = -2/x。

计算题1：计算：(√3 + 1)^2 - (√3 - 1)^2
计算题2：解方程：(x - 1)^2 = 4x(x - 3)
总结：上海市徐汇区2024届初三一模数学试题指的是在2024年上海市徐汇区初三一模考试中使用的数学科目的试卷。

这份试卷旨在测试学生对数学基础知识的掌握程度和应用能力，通过选择题、判断题和计算题等多种题型进行考查。

考生需要通过系统的学习和复习，掌握基础知识和应试技巧，以提高自己的数学水平，应对这份试卷的挑战。

2021-2022学年上海市徐汇区九年级上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)

2021-2022学年上海市徐汇区九年级上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)

2021-2022学年上海市徐汇区九年级上学期期末数学试卷(一模)一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 将抛物线y =(x −1)2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是( )A. (1,2)B. (2,1)C. (1,−1)D. (1,5) 2. 两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，AB =25，CD =17.保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转a(0<α<90°)，如图2所示．当BD 与CD 在同一直线上(如图3)时，tanα的值等于( ) A. 725 B. 825 C. 724 D. 1725 3. 已知二次函数y =ax 2+bx +1(a ≠0)图象的顶点在第一象限，且图象经过点(−1,0)，若a +b 为整数，则ab 的值为( )A. −2B. 1C. −34D. −14 4. 有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为2√3米，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是( )A. √33，60° B. √3，30° C. √3，60° D. √33，30° 5. 下列说法中不一定正确的是( )A. 所有的等腰直角三角形都相似B. 所有等边三角形相似C. 所有矩形相似D. 直角三角形被斜边上的高分成两个三角形相似6. 已知P 1(−3,y 1)，P 2(−3,y 2)是一次函数y =2x −b 的图象上的两个点，则y 1、y 2的大小关系是( ) A. y 1<y 2 B. y 1=y 2 C. y 1>y 2 D. 不能确定二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知a2=b3(a≠0,b≠0)，则ab=______．8.如图，l1//l2//l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=2，AC=5，DE=4，则EF的长为______．9.设点P是线段AB的黄金分割点(AP<BP)，AB=2厘米，那么线段BP的长是______ 厘米．10.直线y=3kx+2(k−1)与抛物线y=x2+2kx−2在−1≤x≤3范围内有唯一公共点，则k的取值为______．11.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6且AE=2EB.则圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长为______ ．12.某滑雪运动员沿着坡比为1：3的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度为______米．13.如图，小明同学在距离某建筑物6米的点A处测得条幅两端B点、C点的仰角分别为60°和30°，则条幅的高度BC为______米(结果可以保留根号)．14.在△ABC中，AB=5，AC=6，∠A=60°，则S△ABC=______ ．15.如图，已知⊙O中，弦AC、BD相交于点P，AB=5，AP=3，DP=2，则CD=．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E.若AC=2，BC=4，则AE的长为______．17.小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，∠AOB的度数是______．18.如图，直线l1//l2，则S△ABC______S△DBC.(填“>““=”或“<”)三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处(点A、B、C在同一直线上).某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点(点A、B、C、D、E在同一平面内)，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i=1：2.4．(1)求斜坡DE的高EH的长；(2)求信号塔AB的高度．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.)四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）tan260°+cos30°−sin30°．20.计算：cos60°−sin245°+1421.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．(1)求证：AC平分∠BAD；(2)若AC=2√5，CD=2，求⊙O的直径．x2−x+5．22.已知抛物线y=12(l)求该抛物线的顶点坐标；(2)判断点P(−2,5)是否落在图象上，请说明理由．23.已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为AB⏜上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，联结AE．(1)如图，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；(2)当扇形的半径长为5，且AC=6时，求线段DE的长；(3)联结BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．24. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A(−1,0)，B(4,0)两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，求直线BC的解析式；(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；(4)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25. 如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2=AB⋅AD，我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB称为“可分角”．(1)如图2，若四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且∠DCB=∠DAB，则∠DAB=______°.(2)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求证：四边形ABCD为“可分四边形”；(3)现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC=4，BC=2，∠D=90°，求AD的长？参考答案及解析1.答案：C解析：解：抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标为(1,2)，∵向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(1,−1)．故选：C．先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．2.答案：C解析：解：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E．∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠DOB，在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BOD OC=OD，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，∵∠DBO+∠OGB=90°，∵∠OGB=∠AGE，∴∠CAO+∠AGE=90°，∴∠AEG=90°，∴BD⊥AC，如图3中，设AC=x，∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴x2+(x+17)2=252，解得x=7，∴BC=√AB2−AC2=24，∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°，∠ABC+∠DBO=45°，∴∠α=∠ABC，∴tanα=tan∠ABC=ACBC =724．故选：C．如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E，只要证明△AOC≌△BOD即可解决问题．如图3中，设AC=x，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出x，再根据三角函数的定义即可解决问题．本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．3.答案：D解析：解：依题意知a<0，−b2a>0，a−b+1=0，故b>0，且b=a+1，a+b=a+(a+1)=2a+1，于是−1<a<0，∴−1<2a+1<1又a+b为整数，∴2a+1=0，故a=−12，b=12，ab=−14，故选：D．首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a+b为整数确定a、b的值，从而确定答案．本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据图象经过的点确定a−b+1的值和a、b的符号，难度中等．4.答案：C解析：本题是解直角三角形的实际应用，是各地中考的热点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．过B作BE⊥AD于E点，过C作CF⊥AD于F点，根据直角三角形的性质求出AE的长，便可求出拦水坝斜坡的坡度和坡角．解：过B作BE⊥AD于E点，过C作CF⊥AD于F点，已知AD=10m，BC=6m，∴AE=DF=2m又∵BE=2√3，=√3，tan∠BAE=BEAE∴∠BAE=60°．故选C．5.答案：C解析：解：A、所有的等腰直角三角形都相似，一定正确，不符合题意；B、所有等边三角形相似，正确，不符合题意；C、所有矩形不一定相似，错误，符合题意；D、直角三角形被斜边上的高分成两个三角形相似，正确，不符合题意．故选C．根据相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了相似图形的定义，对应角相等、对应边的比相等的多边形相似，难度不大．6.答案：B解析：解：∵P1(−3,y1)，P2(−3,y2)是一次函数y=2x−b的图象上的两个点，∴y1=−6−b，y2=−6−b，∵−6−b=−6−b，∴y1=y2．故选：B．把这两个点分别代入函数解析式即可求得相应的y值，然后比较大小即可．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时把点P1、P2的坐标代入，分别求得y值，然后比较其大小．当然了，利用了一次函数图象的增减性解题．7.答案：23解析：解：∵a 2=b 3(a ≠0,b ≠0)，∴a b =23． 故答案为23．交换内项即可．本题考查了比例的性质：熟练掌握内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质，合分比性质，等比性质．8.答案：6解析：解：∵l 1//l 2//l 3，∴AB AC =DE DF ，即25=4DF ， ∴DF =10，∴EF =DF −DE =10−4=6．故答案为6．根据平行线分线段成比例定理得到AB AC =DE DF ，则可求出DF 的长，然后计算DF −DE 即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 9.答案：(√5−1)解析：解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点，AP <BP ，∴BP =√5−12AB =(√5−1)厘米．故答案为：(√5−1)．根据黄金比是√5−12进行计算即可．本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值(√5−12)叫做黄金比． 10.答案：1<k ≤95或k =0解析：解：联立{y =3kx +2(k −1)y =x 2+2kx −2． 得：3kx +2(k −1)=x 2+2kx −2，即，x 2=kx +2k ，可以看成是{y =x 2y =kx +k 联立而成的两个函数，∵y =kx +2=k(x +2)，∴当x +2=0时，此函数必过定点(−2,0)，即过(−2,0)，(−1,1)的直线l 1与过(−2,0)，(3,9)的直线l 2间的范围就是满足条件的直线运动的位置，如图，将(−1,1)代入y =kx +2k 得1=−k +2k ，解得，k =1，将(3,9)代入y =kx +2k 得，9=3k +2k ，解得，k =95，当k =1时，直线直线与抛物线在−1≤x ≤3内有两个交点，∴k ≠1，∴1<k ≤95，当k =0时，直线为y =−2，抛物线为y =x 2−2，此时，在−1≤x ≤3范围内有唯一公共点，故答案为：1<k ≤95或k =0．联立方程组{y =3kx +2(k −1)y =x 2+2kx −2得到x 2=kx +2k ，看成是{y =x 2y =kx +2k 联立而成的两个函数，画出函数图象，运用数形结合法求解即可．主要考查了二次函数综合应用，通过对直线、抛物线解析式的求解，及直线与抛物线的位置关系，可以提高学生的综合压轴题的水平． 11.答案：32或6解析：解：∵AD//BC ，∴△EBF∽△EAD，∴EF10=36=BF8，∴EF=5，BF=4，如图1，若⊙O1与直线DE、AB都相切，且圆心O1在AB的左侧，过点O1作O1G1⊥DF于G1，则可设O1G1=O1B=r1，∵S△EO1F+S△EBO1=S△EBF，∴12r1×5+12r1×3=12×3×4，解得：r1=32，若⊙O2与直线DE、AB都相切，且圆心O2在AB的右侧，过点O2作O2G2⊥DF于G2，则可设O2G2=O2B=r2，∵S△FO2D=12FO2×DC=12DF×O2G2，∴12×(4+r2)×(6+3)=12×(10+5)×r2，解得：r2=6，即满足条件的圆的半径为32或6；故答案为：32或6．分两种情况讨论：若⊙O1与直线DE、AB都相切，且圆心O1在AB的左侧，过点O1作O1G1⊥DF于G1，若⊙O2与直线DE、AB都相切，且圆心O2在AB的右侧，过点O2作O2G2⊥DF于G2，求出即可．此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．12.答案：10√10解析：解：设运动员下降的垂直高度为x米，∵斜坡的坡比为1：3，∴他水平前进了3x米，由勾股定理可得：x2+(3x)2=1002，∵x>0，∴x=10√10，即运动员下降的垂直高度10√10米，故答案为：10√10．根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度ℎ和水平宽度l的比是解题的关键．13.答案：4√3解析：解：在Rt△ACD中，∵∠CAD=∠BAD−∠BAC=60°−30°=30°，∴AD=AC⋅cos30°，∴AC=ADcos30∘=6√32=4√3．∵∠BAC=30°，∠ACD=60°，∴∠ABC=∠BAC=30°，∴BC=AC=4√3．答：条幅的高度BC为4√3米．故答案为4√3．在Rt△ACD中，利用三角函数关系求出AC，再根据已知得出∠ABC=∠BAC=30°，从而求出BC的长度．本题考查了解直角三角形的应用，利用已知角度，发现隐含条件，这是本部分重点题型．14.答案：15√32解析：解：作BD⊥AC于点D．∵在直角△ABD中，sinA=BDAB，∴BD=AB⋅sinA=5×sin60°=5×√32=5√32，则S△ABC=12AC⋅BD=12×6×5√32=15√32．故答案是：15√32．作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数即可求得BD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解．本题考查了三角函数，正确作出辅助线，求得高线BD的长是关键．15.答案：103解析：试题分析：利用“角角相等”证得△ABP∽△CDP ；然后根据相似三角形的对应边成比例列出比例式AB DC =APDP ；最后将已知线段的长度代入该比例式即可求得线段CD 的长度．∵∠ABD =∠ACD(同弧所对的圆周角相等)，∠APB =∠CPD(对顶角相等)， ∴△ABP∽△DCP ，∴ABDC =APDP ，又AB =5，AP =3，DP =2，∴5DC =32， 解得DC =103，即CD =103． 故答案是：103．16.答案：√5解析：解：∵∠ACB =90°，CD 为AB 边上的中线，∴AD =CD =BD ，∴∠ACD =∠CAD ，∠DCB =∠B ，∵AE ⊥CD ，∴∠CAE +∠ACD =∠B +∠CAD =90°，∴∠CAE =∠B ，∴tan∠CAE =tanB ，∴CE AC =AC BC ，∴CE2=24， ∴CE =1，∴AE =√AC 2+CE 2=√22+12=√5，故答案为：√5．根据直角三角形的性质得到AD =CD =BD ，根据等腰三角形的性质得到∠ACD =∠CAD ，∠DCB =∠B ，根据余角的性质得到∠CAE =∠B ，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．17.答案：45°解析：解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，∠AOB=22.5°×2=45°；故答案为45°；根据折叠的轴对称性，180°的角对折3次，求出每次的角度即可；本题考查轴对称的性质；能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关键．18.答案：=解析：解：∵直线l1//l2，∴直线l1、l2之间的距离是相等的，∴△ABC和△DBC的BC边上的高相等，∴△ABC和△DBC的面积相等，故答案为：=．根据平行线间的距离处处相等，得到△ABC和△DBC的BC边上的高相等，所以△ABC和△DBC的面积相等．此题主要考查了平行线的性质和三角形面积公式，掌握夹在平行线间的距离处处相等是解题的关键．19.答案：解：(1)过点E作EM⊥AC于点M，∵斜坡DE的坡度(或坡比)i=1：2.4，DE=65米，CD=60米，∴设EH=x，则DH=2.4x．在Rt△DEH中，∵EH2+DH2=DE2，即x2+(2.4x)2=652，解得，x=25(米)(负值舍去)，∴EH=25米；答：斜坡DE的高EH的长为25米；(2)∵DH=2.4x=60(米)，∴CH=DH+DC=60+60=120(米)．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，∴四边形EHCM是矩形，∴EM=CH=120米，CM=EH=25米．在Rt△AEM中，∵∠AEM=37°，∴AM=EM⋅tan37°≈120×0.75=90(米)，∴AC=AM+CM=90+25=115(米)．∴AB=AC−BC=115−92=23(米)．答：信号塔AB的高度为23米．解析：(1)过点E作EM⊥DC交DC的延长线于点M，根据斜坡DE的坡度(或坡比)i=1：2.4可设EH=x，则DH=2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EH；(2)结合(1)得DH的长，故可得出CH的长．由矩形的判定定理得出四边形EHCM是矩形，故可得出EM=HC，CM=EH，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20.答案：解：原式=12−(√22)2+14×(√3)2+√32−12=12−12+14×3+√32−12=34+√32−12=14+√32．解析：直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．21.答案：(1)证明：如图，连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CF，∴∠ADC=∠OCF=90°，∴AD//OC，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．(2)解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°=∠ADC，∵∠DAC=∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴ACAB =ADAC，在Rt△ADC中，AC=2√5，CD=2，∴AD=4，∴2√5AB =2√5，∴AB=5．解析：本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，属于中档题，作出相应辅助线是解题的关键．(1)连接OC，根据切线的性质判断出AD//OC，得到∠DAC=∠OCA，再根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA，可得AC平分∠BAD；(2)连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长．22.答案：解：(1)∵抛物线y=12x2−x+5=12(x−1)2+92，∴该抛物线的顶点坐标是(1,92)；(2)点P(−2,5)不落在图象上，理由：当x=−2时，y=12×(−2)2−(−2)+5=9，∴点P(−2,5)不落在图象上．解析：(1)将抛物线的解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标；(2)先判断点P是否落在图象上，然后将x=−2代入函数解析式，求出相应的函数值，即可解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．23.答案：解：(1)如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=EC，AC=CD，OC=CE，∠AOD=90°∴AC=OC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAD=60°，∴∠ADO=90°−∠OAD=30°．(2)如图2中，作OH⊥AD于H．∵OA=OC，OH⊥AC，∴AH=HC=3，∵∠OAH=∠OAD，∠AHO=∠AOD，∴△AOH∽△ADO，∴OAAD =AHAO，∴5AD =35，∴AD=253，∴CD=AD−AC=73，∵DE⊥OD，∴∠EDO=90°，∴∠AOD+∠EDO=180°，∴DE//OA，∴DEOA =CDAC，∴DE5=736，∴DE=3518．(3)如图3中，结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD=45°．理由：连接AB、BC．∵∠BCD=∠BAC+∠ABC，又∵∠BAC=12∠BOC，∠ABC=12∠AOC，∴∠BCD=12∠BOC+12∠AOC=12(∠BCO+∠AOC)=12×90°=45°．解析：本题考查圆综合题、矩形的性质、圆周角定理、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题(1)利用矩形的性质，只要证明△OAC是等边三角形，即可解决问题．(2)如图2中，作OH⊥AD于H.由△AOH∽△ADO，推出0AAD =AHA0，推出5AD=35，可得AD=253，CD=AD−AC=73，由DE//OA，可得DEOA=CDAC，求出DE即可．(3)如图3中，结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD=45°.连接AB、BC，由∠BCD=∠BAC+∠ABC，又∠BAC=12∠BOC，∠ABC=12∠AOC，即可推出∠BCD=12∠BOC+12∠AOC=12(∠BCO+∠AOC)=12×90°=45°．24.答案：解：(1)把A(−1,0)，B(4,0)代入y =ax 2+bx +4，得到{a −b +4=016a +4b +4=0， 解得{a =−1b =3， ∴y =−x 2+3x +4．(2)设BC 的解析式为y =kx +b ，∵B(4,0)，C(0,4)，∴{b =44k +b =0， ∴{k =−1b =4， ∴直线BC 的解析式为y =−x +4．(3)如图1中，由题意A ，B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，连接BC 交直线x =32于点P ，连接PA ，此时PA +PC 的值最小，最小值为线段BC 的长=√42+42=4√2， 此时P(32,52).(4)如图2中，存在．观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或−4，对于抛物线y=−x2+3x+4，当y=4时，x2−3x=0，解得x=0或3，∴N1(3,4)．当y=−4时，x2−3x−8=0，解得x=3±√412，∴N2(3+√412,−4)，N3(3−√412,−4)，综上所述，满足条件的点N的坐标为(3,4)或(3+√412,−4)或(3−√412,−4)．解析：(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)设BC的解析式为y=kx+b把B，C两点坐标代入，转化为方程组解决．(3)可以连接BC交直线x=32于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长．(4)观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或−4，把问题转化为解方程求解即可．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决．25.答案：120解析：(1)解：如图所示：∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2，∵AC2=AB⋅AD，∴AD：AC=AC：AB，∴△ADC∽△ACB，∴∠D=∠4，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠3+∠4=2∠1，∵∠1+∠D+∠4=180°，∴∠1+2∠1=180°，解得：∠1=60°，∴∠DAB=120°；故答案为：120；(2)证明：∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB=30°，∴∠D+∠ACD=180°−30°=150°，∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，∴∠D=∠ACB，∴△ADC∽△ACB．∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB⋅AD，∴四边形ABCD为“可分四边形”；(3)解：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，∴AC2=AB⋅AD，∠DAC=∠CAB，∴AD：AC=AC：AB，∴△ADC∽△ACB，∴∠D=∠ACB=90°，∴AB=√AC2+BC2=√42+22=2√5，∴AD=AC2AB =22√5=8√55．(1)由已知条件可证得△ADC∽△ACB，得出D=∠4，再由已知条件和三角形内角和定理得出∠1+ 2∠1=180°，求出∠1=60°，即可得出∠DAB的度数；(2)由已知得出∠DAC=∠CAB=30°，由三角形内角和定理得出∠D+∠ACD=150°，由∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，得出∠D=∠ACB，证明△ADC∽△ACB.得出对应边成比例，得出AC2=AB⋅AD，即可得出结论；(3)由已知得出AC2=AB⋅AD，∠DAC=∠CAB，证出△ADC∽△ACB，得出∠D=∠ACB=90°，由勾股定理求出AB，即可得出AD的长．此题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、新定义四边形等知识；熟练掌握新定义四边形，证明三角形相似是解决问题的关键，。

2020-2021上海市初三数学上期中一模试题(带答案)

2020-2021上海市初三数学上期中一模试题(带答案)
故选：D.
【点睛】
本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.
10．B
解析：B
【解析】
分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
【详解】
，故x－2＝3或x－2＝－3，解得：x1＝5，x2＝－1，故答案选A.
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程的基本解法，这是很简单的解方程，难度不大.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标．
即B2018的坐标是（6054，2）．
故选D．
【点睛】
此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是解决本题的关键．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，
∴﹣ ＞0，
∴b＞0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
25．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0，1)、B(3，3)、C(1，3).
(1)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1
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2020学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷 2021.1（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．将抛物线2)1(2+=x y 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（A ）2)2(22--=x y ； （B ）2)2(22+-=x y ； （C ）2)4(22-+=x y ； （D ）2)4(22++=x y ． 2．在ABC Rt ∆中，︒=∠90A ，6=AB ，10=BC ，那么下列结论正确的是 （A ）34tan =C ； （B ）54cot =C ；（C ）43sin =C ； （D ）54cos =C ． 3．已知抛物线c x x y ++-=42经过点)3,4(，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是 （A ）)2,0(； （B ）)3,0(； （C ）)4,0(； （D ）)5,0(．4．已知海面上一艘货轮A 在灯塔B 的北偏东︒30方向，海监船C 在灯塔B 的正东方向5海里处，此时海监船C 发现货轮A 在它的正北方向，那么海监船C 与货轮A 的距离是 （A ）10海里；（B ）35海里； （C ）5海里； （D ）335海里． 5．下列说法中，正确的是（A ）两个矩形必相似； （B ）两个含︒45角的等腰三角形必相似； （C ）两个菱形必相似； （D ）两个含︒30角的直角三角形必相似． 6．定义：[]x 表示不超过实数x 的最大整数．例如：[]17.1=，053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，3412-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-．根据你学习函数的经验，下列关于函数[]x y =的判断中，正确的是（A ）函数[]x y =的定义域是一切整数；（B ）函数[]x y =的图像是经过原点的一条直线； （C ）点)2,522(在函数[]x y =图像上；（D ）函数[]x y =的函数值y 随x 的增大而增大．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果3:2:=b a ，那么代数式aab -的值是__▲___． 8．如图，EF CD AB ////，如果2=AC ，3=CE ，5.1=BD ，那么BF 的长是▲_．9．已知点P 在线段AB 上，如果BP AB AP ⋅=2，4=AB ，那么AP 的长是__▲___． 10．已知二次函数1)23(2-+=x a y 的图像在直线23-=x 的左侧部分是下降的，那么a 的 取值范围是__▲___．11．如图，在ABC ∆中，点E D 、分别在边AC AB 、上，BC DE //，如果AED ∆和四边形DECB 的面积相等，22=BC ，那么DE 的长是__▲___．12．在坡度为3:1=i 的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是_▲_米．13．已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为︒45，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为︒30，那么甲楼高是__▲___米．14．如图，点P 在线段BC 上，BC AB ⊥，AP DP ⊥，DP CD ⊥，如果10=BC ，2=AB ，21tan =C ，那么DP 的长是__▲___． 15．如图，已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，正方形DEFG 的顶点ED 、分别在边AB AC 、 上，点G F 、在边BC 上，那么AD 的长是__▲__．16．《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形ABCD的面积是正方形EFGH 面积的13倍，那么ABE ∠的余切值是__▲___．17．如图，在ABC ∆中，点E D 、分别在边AB 、AC 上，BC DE //，将ADE ∆沿直线DE 翻折后与FDE ∆重合，DF 、EF 分别与边BC 交于点M 、N ，如果8=DE ，32=AB AD ，那么MN 的长是_▲__． 18．如图，在ABC ∆中，︒=∠120ABC ，12=AB ，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，54sin =∠ADE ，5=ED ，如果ECD ∆的面积是6，那么BC 的长是_▲．（第17题图）MN AB CD E F （第18题图）AB C DE （第16题图）F EG HCDA BA BC D E F （第8题图） （第11题图） A B E DD A B C P（第14题图） （第15题图） A B C DE F G三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：︒-︒+︒-︒︒30cot 45cos 260tan 45cot 45sin ．20．（本题满分10分）如图，在□ABCD 中，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ，2.1=AB ，8.1=BC ． （1）求DF BF :的值；（2）设AB a =，BC =b，求向量DF （用向量a 、b 表示）．21．（本题满分10分）已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点)2,0(C ，它的顶点为M ，对称轴是直线1-=x ．（1）求此抛物线的表达式及点M 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移)0(>m m 个单位，所得新抛物线经过原点O ，设新抛物线的顶点为N ，请判断MON ∆的形状，并说明理由． 22．（本题满分10分）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB （如图所示），当无人机在限速道路的正上方C 处时，测得限速道路的起点A 的俯角是︒37，无人机继续向右水平飞行220米到达D 处，此时又测得起点A 的俯角是︒30，同时测得限速道路终点B 的俯角是︒45（注：即四边形ABDC 是梯形）． （1）求限速道路AB 的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB 上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由． （参考数据：60.037sin ≈︒，80.037cos ≈︒，75.037tan ≈︒，73.13≈）（第20题图）AB CDEF（第22题图）CDAB23．（本题满分12分）如图，在ACB ∆中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AB AD =，CE BE =，AD 与BE 交于点F ，且EF BF DF AF ⋅=⋅．求证：（1）BEC ADC ∠=∠；（2）AC EF CD AF ⋅=⋅．24．（本题满分12分）已知二次函数)0(422<++-=a a ax ax y 的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点D ．（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点D 的坐标；（2）设该函数图像与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴正半轴交于点B ，图像的对称轴与x 轴交于点A ，如果BC DC ⊥，31tan =∠DBC ，求该二次函数的解析式； （3） 在（2）的条件下，设点M 在第一象限该函数的图像上，且点M 的横坐标为)1(>t t ，如果ACM ∆的面积是825，求点M25．（本题满分14分）如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，12=AC ，5=BC ，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC ∆外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当BE AE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH ∆和ABG ∆相似，求ABE ∠sin 的值； （3）当AE AG =时，求CD 的长．（第23题图）F ABCDE（备用图） B A C （第25题图）G F E DB A C2020学年第一学期徐汇区初三年级数学学科 期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．A ； 2．D ； 3．B ； 4．B ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21； 8．415； 9．252-； 10．0>a ； 11．2； 12．102； 13．)31030(-； 14．556； 15．634-； 16．23； 17．4； 18．639-． 三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. 解：原式32223122-⨯+-⨯=23322-+-=22-=． 20．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴8.1==BC AD ；AD BC //；∴EAD BEA ∠=∠；又AE 平分BAD ∠，∴EAD BAE ∠=∠； ∴BEA BAE ∠=∠；∴2.1==AB BE ；∵AD BC //，∴328.12.1===AD BE DF BF ． （2）∵BC AD =，BC AD /，∴=AD b BC=；∵=BD -AB b a AD-=；又32=DF BF ，∴53=BD DF ； ∴53=DF b a DB5353-=．21．解：（1）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=;12,2b c 解得⎩⎨⎧==;2,2c b ∴抛物线的表达式是222++=x x y ；)1,1(-M ．（2）MON ∆是等腰直角三角形．设新抛物线表达式为m x x y -++=222． 由题意，得2=m ；∴新抛物线的表达式为x x y 22+=；∴)1,1(--N ; ∴2=OM ，2=ON ，2=MN ；∴2224MN ON OM ==+；ON OM =； ∴MON ∆是等腰直角三角形．22．解：（1）分别过点C 、D 作AB CM ⊥、AB DN ⊥，垂足分别是M 、N ．易得，四边形MNDC 是矩形，∴DN CM =，220==CD MN ；在AMC Rt ∆中，︒=∠90AMC ，∴4337tan tan =︒==∠AM CM CAM ； 在DNB Rt ∆中，︒=∠90BND ，∴145tan tan =︒==∠BNDNDBN ；设k AM k CM 4,3==，则k CM DN BN 3===；在AND Rt ∆中，︒=∠90AND ，∴︒==∠30tan tan ANDNDAN ；． 即3122043=+k k ；得8.183)473.13(20)433(20=+⨯≈+=k ；∴15076.15062208.18372207≈=+⨯=+=k AB （米）．（2）李师傅在道路AB 上行驶的时间是1分20秒，他超速了．由题意，限速每小时60千米可化为350360060000=秒米（米/秒）；∴按限速要求通过道路AB 的最少时间为：42.903501507=÷（秒）； 又1分20秒80=（秒），42.9080<；∴李师傅在道路AB 上行驶的时间是1分20秒，他超速了．23．证明：（1）∵EF BF DF AF ⋅=⋅，∴DFEFBF AF =； 又BFD AFE ∠=∠，∴AFE ∆∽BFD ∆； ∴DBF EAF ∠=∠；∵C C ∠=∠；∴ADC ∆∽BEC ∆；∴BEC ADC ∠=∠．（2）∵CE BE =，∴C EBC ∠=∠；又FAE EBC ∠=∠；∴C FAE ∠=∠；∵C EBC C AEF ∠=∠+∠=∠2，C DAC C ADB ∠=∠+∠=∠2， ∴ADB AEF ∠=∠；∵AD AB =，∴ADB ABD ∠=∠； ∴AEF ABD ∠=∠；∴AEF ∆∽CBA ∆；∴ABACEF AF =；∵DAC C ∠=∠，∴CD AD =； 又AD AB =，∴CD AB =； ∴CDAC EF AF =；∴AC EF CD AF ⋅=⋅． 24．解：（1）∵4)1(4222+-=++-=x a a ax ax y ；又0<a ，∴该函数图像的开口方向向下； 对称轴是直线1=x ； 顶点)4,1(D ．（2）在DCB Rt ∆中，︒=∠90DCB ，∴31tan ==∠BC CD DBC ； 过点D 作OC DN ⊥，垂足为N ．∵CBO COB DCB NCD NCB ∠+∠=∠+∠=∠， 又︒=∠=∠90COB DCB ，∴CBO NCD ∠=∠； 又︒=∠=∠90COB DNC ，∴DNC ∆∽COB ∆， ∴31===BC CD OB CN OC ND ；可得3=OC ；∴)3,0(C ； 由题意，得34=+a ，得1-=a ； 该二次函数的解析式是322++-=x x y ．（3）设)32,(2++-t t t M ，过点M 作OB ME ⊥交CA 延长线于点E ． 则点E 的横坐标为t ；由题意，得)0,1(A ；∴直线AC 的解析式为33+-=x y ，∴)33,(+-t t E ； ∵82521)1(2121==--⋅=-=∆∆∆ME ME t ME t S S S ACM ECM ACM ； 又t t t t t ME 5)33(3222+-=+--++-=； ∴42552=+-t t ；即0252042=+-t t ；解得25=t ； ∴)47,25(M ．25．解：（1）∵四边形CDEF 是正方形，∴CF EF DE CD ===，︒=∠90DEF ；∵BE AE ⊥，∴DEF AEB ∠=︒=∠90；∴FEG DEG DEG AED ∠+∠=∠+∠；∴FEG AED ∠=∠； 又︒=∠=∠90F ADE ，∴EFB ADE ∆≅∆；∴BF AD =； 设x CD =，则x EF CF ==，x AD -=12； ∴x x +=-512；解得27=x ∴4492==CD S CDEF 正方形． （2）当BEH ∆和ABG ∆相似时，又EBH ABG ∠=∠，所以分两种情况考虑：︒1 ∵︒+∠=∠+∠=∠90BAG ADH BAG BHE ；∴BAG BHE ∠≠∠；︒2 当BAG BEH ∠=∠时，∵BC DE //，∴CBG BEH ∠=∠；∴BAG CBG ∠=∠；∴ACBCBAG BC CG CBG =∠==∠tan tan ； ∴1255=CG ；得1225=CG ；∴12119=AG ； 过点A 作BE AM ⊥，垂足为M ．在AMG Rt ∆中，︒=∠90AMG ；1312sin sin sin =∠=∠==∠ABC BGC AG AM AGM ；可得13119=AM ； 在AMB Rt ∆中，︒=∠90AMB ，169119sin ==∠AB AM ABE ； 综合︒1、︒2，如果BEH ∆和ABG ∆相似，ABE ∠sin 的值是169119．（3）同（2），过点A 作BE AM ⊥，垂足为M ．设x CD =．∵EF CD //，∴BF BC EF CG =；即x x CG +=55；解得xxCG +=55； ∴x x AG ++=5760，x x DG +=52；∵AE AG =，∴GE GM 21=；由AGM EGD ∠=∠，︒=∠=∠90AMG EDG ，∴EDG ∆∽AMG ∆； ∴AGGM GE GD =；得AG GD GE ⋅=22；即AG GD DE DG ⋅=+222； 即x x x x x x x ++⋅+⨯=++576052)5(2224； 化简，得095422=--x x ；解得21942±=x （负值舍去）∴21942+=CD ．。

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