第七届全国大学生数学竞赛预赛试题解答
全国大学生数学竞赛预赛试题
全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++??y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，?=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim0，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）??-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π?≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++ 其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求21lim 1x x x e x -→∞+。
南昌大学第七届高等数学竞赛(数学专业类)试题答案
南昌大学第七届高等数学竞赛（07、08级数学专业类）试卷答案如图所示，设C 是不包含原点在内的任一分段光滑的简单闭曲线，在C 上任意取定两点A ，B,作围绕原点的闭曲线AKBNA,同时得到另一绕原点的闭曲线AKBMA ，由题设条件知0)()(22=+--+-⎰⎰AKBMA AKBNA yx ydxxdy y x ydx xdy ϕϕ即⎰⎰+-=+-BMA BNA yx ydxxdy y x ydx xdy 22)()(ϕϕ 0)(2=+-⎰C yx ydxxdy ϕ从而有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22)()(y x y y y x xx ϕϕ，)00()(，，≠y x 则x x 2)(='ϕ C x x +=2)(ϕ ,由1)1(=ϕ知，0=C ，2)(x x =ϕ 为了计算A ,取L 为单位圆周122=+y x ，则πσϕ2)11()(1222=+=-=+-=⎰⎰⎰⎰≤+Ly x L d ydx xdy y x ydxxdy A六、设)(x f 在],[b a 上可微，且0)(=a f ，M 是)(x f '的上界，则M ⎰-≥b adx x f a b )()(22.由拉格朗日定理及0)(=a f ，知存在c (,)c a b ∈()ba f x dx ⎰=()()ba f c x a dx '-⎰()ba M x a dx ≤-⎰=2()2b a M -=于是，M ⎰-≥b adx x f a b )()(22七、设)(y x f ，在2R 上有连续偏导数，且1)(2≡x x f ， （1）若x x x f x ≡)(2， 求)(2x x f y ， （2）若y x y x f y 2)(2+=， 求)(y x f ，.（1）1)(2≡x x f ，两端关于x 求导，得0)(2)(22=+x x xf x x f y x ，， 当0≠x 时，)(2x x f y ，=21-，又)(y x f ，在2R 上有连续偏导数，所以。
第七届全国大学生数学竞赛非数学类决赛试题
第七届全国高校生数学竞赛决赛试题 答案（非数学类） 2016年3月27日一填空题（5×6分=30分）1.程微分方0)(y 3'''''=-y 的通解是解：令p ='y ,则'''y p =，则dx p dp 3=，积分得到1221-c x p -=-，即 ()x c y p -±==1'21，积分得)(2y 12x c c -±=（2,1c 为常数）.2.设D:4122≤+≤y x ，则积分()()dxdy e y x I x D4y 222-+-⎰⎰+=的值是解：)52(22sin e4341420212242-===⎰⎰⎰--e du ue erdr e r d I u r ππθθπ（对称性和极坐标）.()ds s f x t⎰=03.设()t f 二阶连续可导，且()t f 0≠，若()t f y = ， 则______22=dxyd 解：()dt t f dx =，()dt t f dy'=，所以()()t f t f dx 'dy =，则得 ()()()()()()t f t f t f t f dx dt t f t f dt d dx y d 32''''22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 4.设1λ，2λ，…，n λ是n 阶方阵A 的特征值，()x f 为多项式，则矩阵()A f 的行列式的值为 解：()()()()nf f f A f λλλ 21=5.极限[])!sin(lim e n n n π∞→的值为解：()()⎪⎭⎫⎝⎛++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=111!11!11!1!2111!!n o n a n o n n n e n n ππππ ，n a 为整数，所以结果ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∞→)11(1sin lim n o n n n 。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1.计算 $\iint_D \frac{y}{x+y-1} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中区域$D$ 由直线$x+y=1$ 与两坐标轴所围成三角形区域。
2.设 $f(x)$ 是连续函数，且满足 $f(x)=3x^2-\intf(x)\mathrm{d}x-2$，则 $f(x)=\underline{\hspace{2em}}$。
3.曲面 $z=\frac{x^2+y^2-2}{2}$ 平行于平面 $2x+2y-z=$ 的切平面方程是 $\underline{\hspace{2em}}$。
4.设函数 $y=y(x)$ 由方程 $xe^{f(y)}=\ln 29$ 确定，其中$f$ 具有二阶导数，且 $f'\neq 1$，则$y''=\underline{\hspace{2em}}$。
二、（5分）求极限 $\lim\limits_{x\to n}\frac{e^{ex+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}}{x}$。
三、（15分）设函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\intf(xt)\mathrm{d}t$，且 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=A$，$A$ 为常数，求 $g'(x)$ 并讨论 $g'(x)$ 在 $x=1$ 处的连续性。
四、（15分）已知平面区域 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq\pi,0\leq y\leq\pi\}$，$L$ 为 $D$ 的正向边界，试证：1）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x=\int_L xe^{-\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x$；2）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x\geq \frac{\pi^2}{2}$。
第七届全国大学生数学竞赛预赛试题解答
=
1 24
,
亦即A的行列式为
1 24
.
......(20分)
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专业:
考生座位号:
三、(本题 15 分) 设 A 为 n 阶实方阵，其 n 个特征值皆为偶数. 试证明关于 X
的矩阵方程
X + AX − XA2 = 0
只有零解。
证明 设C = I + A, B = A2, A的n个特征值为 λ1, λ2, . . . , λn, 则B的n个特征值为 λ21, λ22, . . . , λ2n; C的n个特征值为 µ1 = λ1 + 1, µ2 = λ2 + 1, . . . , µn = λn + 1; C 的特征 多项式为 pC(λ) = (λ − µ1)(λ − µ2) · · · (λ − µn).
设两直线L∗1和L2的交点为Q, 过Q做平面σ 的法线，交直线L1为P , 则 P Q 同时垂直
于L1和L2。
......(4分)
设X −X−→Y
= =
−PP→Q+−svsv∈+Lt1w和垂Y直=于Qv+和tww
∈ L2 也使得XY ，故有 −s + (v
同时垂直于L1和L2，则有 · w)t = 0 和 −s(v · w) + t
=
a3 = −(λ1 + λ2 + λ3 + λ4) λ1λ2 + λ1λ3 + λ1λ4 + λ2λ3 + λ2λ4
+ λ3λ4
a1 = −(λ1λ2λ3 + λ1λ2λ4 + λ1λ3λ4 + λ2λ3λ4) a0 = |A| = λ1λ2λ3λ4
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x D d d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vx u y x ==+,，那么vu y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v u uv u u u u u〔*〕令u t -=1，那么21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得。
因此。
3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面22=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
全国大学生数学竞赛试题及答案
河北省大学生数学竞赛试题及答案一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1lim222222--++-+-∞→n n n n nn 。
【解】 ))1(21(1222222--++-+-=n n n n nS n因21x -在]1,0[上连续，故dx x ⎰102-1存在，且dx x ⎰12-1=∑-=∞→-121.)(1lim n i n n n i ，所以，=∞→n n S limn dx x n 1lim-112∞→-⎰4-1102π==⎰dx x 。
二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1lim 220c tdt t ax x x b x =+-⎰→【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b，当0=b 时使用洛必达法则得到2202201)(cos lim1sin 1lim xa x x t dt t ax x x x x +-=+-→→⎰， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则21)1(cos lim 1sin 1lim 22220-=+-=+-→→⎰xx x t dt t ax x x x b x ，综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。
三、(本题满分10 分) 计算定积分⎰+=22010tan 1πxdxI 。
【解】 作变换t x -=2π，则=I2220ππ=⎰dt ，所以，4π=I 。
四、(本题满分10 分) 求数列}{1nn-中的最小项。
【解】 因为所给数列是函数xxy 1-=当x 分别取 ,,,3,2,1n 时的数列。
又)1(ln 21-=--x xy x且令e x y =⇒='0，容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一． 计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭； （2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d ydx。
二．（10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。
三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()'"0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=。
四．（17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五．（16分）已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S的正法向的方向余弦。
计算：（1）(),,S zdS x y z ρ⎰⎰；（2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰六．（12分）设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛。
七．（15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()021f f ==，()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、？请说明理由。
07-第七届全国初赛-非数学类试题参考解答
f x 4 或 f x 4 恒成立，与 0 f x dx 0 矛盾。
再由 f x 的连续性及(1)的结果，利用介值定理，可得 x1 0,1 使得 f x1 4.
第六题：(16 分)设 f x, y 在x2 y2 1 上有连续的二阶导数，fx2x 2fx2y fy2y M .
.
i
1
【参考解答】：由于
n
i sin
n
sin
n
1
n
i sin ,
n 1 i1
n
i i1 n
n i1
n
n
1 n i
n n i 1
2
lim
sin lim
sin sin xdx ,
n n 1 i1 n n n 1 n i1 n 0
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更多参考资料参见微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)
n3 2
n
第四题：(14 分)求级数
x 1 的收敛域与和函数.
n0 n 1!
【参考解答】：因 lim an1 lim n 13 2 0. 所以收敛半径为 R ，即收敛域为
2,
x 1.
1
1
第五题：(16 分)设函数 f 在 0, 1 上连续，且 0 f x d x 0, 0 xf x d x 1. 试证：
(1) x0 0, 1 使得 f x0 4 ;
(2) x1 0, 1 使得 f x1 4.
用 S1(x), S2 (x), S3 (x) 分别表示上式右端三个幂级数的和，依据 ex 的幂级数展开式可得到
大学生数学竞赛教程答案详解
大学生数学竞赛教程答案详解1、17．若a与﹣2互为相反数，则a的值是（）[单选题] *A．﹣2B．C．D．2(正确答案)2、5.下列结论不正确的是[单选题] *A.若a > 0，b > 0，则a + b > 0B.若a < 0，b < 0，则a + b < 0C.若a > 0，b < 0，且|a| > |b|，则a + b > 0D.若a < 0，b > 0，且|a| > |b|，则a + b > 0(正确答案)3、39．若（x﹣3）（2x+1）＝2x2+ax﹣3，则a的值为（）[单选题] * A．﹣7B．﹣5(正确答案)C．5D．74、23．若A、B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制（）种车票．[单选题] *A．49B．42(正确答案)C．21D．205、25.{菱形}∩{矩形}应（）[单选题] *A.{正方形}(正确答案)B.{矩形}C.{平行四边形}D.{菱形}6、23、在直角坐标平面内有点A，B，C，D，那么四边形ABCD的面积等于（）[单选题]A. 1B. 2C. 4(正确答案)D. 2.57、若3x＋4y－5＝0，则8?·16?的值是( ) [单选题] *A. 64B. 8C. 16D. 32(正确答案)8、1.计算-20+19等于（）[单选题] *A.39B.-1(正确答案)C.1D.399、若2?＝a2＝4 ?，则a?等于( ) [单选题] *A. 43B. 82C. 83(正确答案)D. 4?10、k·360°-30°（k是整数）所表示的角是第（）象限角。
[单选题] *A. 一B. 二C. 三D. 四(正确答案)11、11．点P的坐标是(2-a,3a+6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P坐标是（）[单选题] *A．(3, 3)B．(3，-3)C．(6，-6)D．(3,3)或（6，-6）(正确答案)12、已知a+b=3,则代数式(a+b)(a-b)+6b的值是(? ????) [单选题] *A. -3B. 3C. -9D. 9(正确答案)13、7．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，则∠AOD等于（）[单选题] *A．110°(正确答案)B．145°C．35°D．70°14、若10?＝3,10?＝2，则10的值为( ) [单选题] *A. 5B. 6(正确答案)C. 8D. 915、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ16、下列各角终边在第三象限的是（）[单选题] *A. 60°B. 390°C. 210°(正确答案)D. -45°17、36．如果x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，那么k的值是（）[单选题] * A．3B．±6(正确答案)C．6D．±318、-330°是第（）象限角？[单选题] *第一象限(正确答案)第二象限第三象限第四象限19、2．如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作（）．[单选题] *A．5元B. -5元(正确答案)C .-3元D. 7元20、4．在﹣，，0，﹣1，4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n 个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（）[单选题] *A．3(正确答案)B．2C．1D．421、6.对于单项式-2mr2的系数，次数分别是（）[单选题] *A.2,-2B.-2,3C.-2,2(正确答案)D.-2,322、11．小文买了一支温度计，回家后发现里面有一个小气泡（即不准确了），先拿它在冰箱里试一下，在标准温度是零下7℃时，显示为℃，在36℃的温水中，显示为32℃，那么用这个温度计量得的室外气温是23℃，则室外的实际气温应是（）[单选题] *A．27℃(正确答案)B．19℃C．23℃D．不能确定23、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ24、3．(2020·新高考Ⅰ，1,5分)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=( ) [单选题] * A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}(正确答案)D．{x|1<x<4}25、若（m-3）+（4-2m）i为实数,那么实数m的值为（）[单选题] *A、3B、4(正确答案)C、-2D、-326、40、如图，在4×4方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（）[单选题] *A．3个B．4个(正确答案)C．5个D．6个27、下列说法中，不正确的是[单选题] *A.0是自然数B.0是正数(正确答案)C.0是整数D.0是有理数28、? 是第（）象限的角[单选题] *A. 一(正确答案)B. 二C. 三D. 四29、390°角是（）[单选题] *A、第一象限角(正确答案)B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角30、3．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（）[单选题] *A．10℃B．0℃C.-10 ℃(正确答案) D．-20℃。
大学数学竞赛参考答案
大学数学竞赛参考答案大学数学竞赛参考答案数学竞赛一直以来都是大学生们展示自己数学才能的舞台，也是检验数学学习成果的重要方式。
参加数学竞赛不仅可以提高数学素养，还能培养思维能力和解决问题的能力。
然而，数学竞赛的题目往往复杂多变，难度较大，让许多参赛者望而却步。
为了帮助大家更好地应对数学竞赛，下面将给出一些参考答案和解题思路。
第一题：计算题题目要求计算一定范围内的数的和或者积。
这类题目主要考察对基本计算方法的掌握和运算的准确性。
解题方法是通过循环迭代计算每个数的和或积，注意边界条件的控制。
第二题：证明题题目要求证明一个数学定理或结论。
这类题目主要考察对数学知识的理解和运用能力。
解题方法是根据已知条件和定理，运用逻辑推理和数学推导，逐步推导出要证明的结论。
第三题：应用题题目要求将数学知识应用到实际问题中。
这类题目主要考察对数学模型建立和问题解决能力。
解题方法是根据实际问题，分析问题的特点和要求，建立数学模型，然后运用数学方法解决问题。
第四题：推理题题目给出一些条件和结论，要求判断这些条件和结论的关系。
这类题目主要考察对逻辑推理和推断能力。
解题方法是根据已知条件和结论，分析它们之间的关系，运用逻辑推理，判断它们的真假。
第五题：几何题题目给出一些几何图形和条件，要求求解几何问题。
这类题目主要考察对几何知识和几何推理的掌握。
解题方法是根据已知条件，分析图形的性质和关系，运用几何定理和几何推理，求解几何问题。
以上是数学竞赛常见题型的解题思路和方法，希望能对大家参加数学竞赛有所帮助。
参加数学竞赛不仅要掌握解题技巧和方法，还要注重平时的数学学习和积累。
多做题、多思考、多总结，才能提高数学竞赛的成绩。
数学竞赛是一项锻炼思维和解决问题能力的活动，通过参加数学竞赛，可以培养学生的逻辑思维能力、创新能力和团队合作精神。
数学竞赛的题目往往具有一定的难度和深度，需要学生们具备扎实的数学基础和灵活运用数学知识的能力。
在解题过程中，学生们需要注意以下几点。
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，那么v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，令u t -=1，那么21t u -=2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ， 解得。
因此。
3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，那么.解:方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 因)(29ln y f y xe e =，故，即，因此二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解:因 故 因此三、〔15分〕设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解:由与函数)(x f 连续知，0)(limlim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x 因⎰=10d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g ， 因此，当0≠x 时，，故 当0≠x 时，这说明)(x g '在0=x 处连续.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 〔1〕y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 与y 是对称的，即知 因此 〔2〕因 故 由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，那么x x e e y y 212-=--与x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''与 知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 得 即 因此七、〔15分〕)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且, 求函数项级数之与.解 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由知，0=C ， 于是下面求级数的与：令 那么 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数的与 八、〔10分〕求-→1x 时, 与等价的无穷大量.解令2)(t x t f =，那么因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。
全国大学生数学竞赛初赛2015年第七届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
n 1! n 1! n 1! n 1! n 2! n! n 1!
n
x 1
n
x 1
n
x 1
及幂级数
,
,
的收敛域都为 , ，得
n2 n 2 ! n0 n! n0 n 1!
n3 2
x 1n
n
x 1
n
x 1
n
x 1
n0 n 1!
n2 n 2! n0 n! n0 n 1!
. 又由于 S3 1 1.
x 1
综合以上讨论，最终幂级数的和函数为
S
x
x2 2x 2
ex1
1 x 1
ex1 1
, x 1,
2,
x 1.
1
1
第五题：(16 分)设函数 f 在 0, 1 上连续，且 0 f x d x 0, 0 xf xd x 1. 试证：
1
y
x
Fu
x
x
x2
Fv
0
x
x
xFu yFv
,
z x zFu y 2 Fv
类似可得 y
, 于是有
y
xFu yFv
x z y z xy xFu yFv z xFu yFv z xy.
x y
xFu yFv
(3) 曲面 z x2 y2 1 在点 M 1, 1, 3 的切平面与曲面 z x2 y2 所围区域的体积
2015 年第七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）
试卷及参考答案
一、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
(1)
极限
lim
n
n
nsi2nn1
sin 2
n
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
历届全国大学生数学竞赛真题与答案非数学类
高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5 分，共 20 分）(xy) ln(1 y)1．计算xdxdy ____________ ，其中区域 D 由直线 x y 1与两D1 x y坐标轴所围成三角形区域.1解 : 令 xy u, x v ，则 xv, y u v ，11( x y) ln(1y ) Dx dxdy1 xyu ln u u ln v dudvD1 u1u ln uu uu(udvln vdv)du0 1 01 u 0 1u 2 ln u u(u ln u u) 01 u 1 u du1u 2du（ * ）1 u令 t 1 u ，则u 1 t 2du2tdt ， u 21 2t 2t 4 ， u(1 u) t 2 (1 t)(1 t) ，(*)0 ( 12t2t 4)d t2112 t31 t 512t 4)dt 2 t2 (1 2t352．设 f ( x) 是连续函数，且满足f (x)3x 22f (x)dx16152 , 则 f (x)____________.令 A 23x2A 2 ，解:f (x)dx ，则 f ( x)A 2A 2)d x 82(A 2)4 2A ,( 3x 2解得 A4 。
因此 f (x) 3x 2 10 。
3 3 ．曲面 z x 2y 2 2 平行平面 2x 2 y z0 的切平面方程是 __________. 32解: 因平面2x2 yz 0 的法向量为 (2,2,1) ， 而 曲 面 z x 2 y 22 在2 ( x 0 , y 0 ) 处 的 法 向 量 为 ( z x (x 0 , y 0 ), z y ( x 0 , y 0 ), 1)， 故( z x ( x 0 , y 0 ), z y ( x 0 , y 0 ), 1) 与 ( 2,2, 1) 平 行 ， 因 此 ， 由 z x x ， z y 2y 知2 z x ( x 0 , y 0 ) x 0 ,2 z y (x 0 , y 0 )2y 0 ，即 x 02, y 0 1 ， 又 z( x 0 , y 0 ) z( 2,1) 5 ， 于 是 曲 面 2x 2yz 0 在( x 0 , y 0 , z( x 0 , y 0 )) 处的切平面方程是 2( x 2) 2( y 1) ( z5)0 ，即曲面zx 2 y 2 2 平行平面22x 2 y z 0 的切平面方程是 2x 2y z 1 0 。
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n−1 k=2 (1
1 nan
1+|a2 −2| ,n n2
2. ......(15分)
+ Rk )存在知lim n(an − n) 存在.
第 4 页（共 7 页）
五、 (本题 15 分)设 f (x) 是 [0, +∞) 上有界连续函数, h(x) 是 [0, +∞) 上连续
(b − a) · (v − (v · w)w) (a − b) · (w − (v · w)v ) ,t = 2 1 − (v · w) 1 − (v · w)2
姓名:
第 1 页（共 7 页）
二、 (本题 20 分) A为4阶复方阵，它满足关于迹的关系式：trAi = i, i = 1, 2, 3, 4. 求A的行列式. 解 |A| =
3 3 3 2 2 2 2 1 = λ3 1 +λ2 +λ3 +λ4 +3λ1 (λ2 +λ3 +λ4 )+3λ2 (λ1 +λ3 +λ4 )+3λ3 (λ2 +λ1 +λ4 )+3λ4 (λ2 +λ3 +λ1 )−6a1
= 1 · · · · · · · · · · · · (1) = 2 · · · · · · · · · · · · (2) = 3 · · · · · · · · · · · · (3) = 4 · · · · · · · · · · · · (4) ......(10分)
B − µ1 I, · · · , B − µn I 皆为可逆矩阵，结果由 0 = X (B − µ1 I ) · · · (B − µn I )立得 ......(15分)
X = 0.
所在院校: 准考证号: 姓名:
密封线 答题时不要超过此线
第 3 页（共 7 页）
四、(本题 15 分) 数列 {an } 满足关系式 an+1 = an + an , a1 > 0. 求证 lim n(an −n) n 存在. 证 明 a2 = a1 + an n, ∀n
1 n −n (1+ ana − na )bn n n 1 ) an n an
− n − 1) 从而 bn = b2
n−1 k=2 (1+ Rk ).
= (1 +
1 )(1 n
= (1+ Rn )bn , 其中
− a1 )bn n 1 n −n Rn = ana − na . n n
......(10分) 考察Rn . |Rn | 结果由lim
。由于(v · w)2 < 1 ，我们得到s = t = 0 , 即X = P ，Y = Q，这样的P 和Q存在且有 s= 准考证号: 得到 P =a+ (b − a) · (v − (v · w)w) (a − b) · (w − (v · w)v ) v, Q = b + w. 2 1 − (v · w) 1 − (v · w)2 .......(15分)
多项式为 pC (λ) = (λ − µ1 )(λ − µ2 ) · · · (λ − µn ). ......(5分) 若X 为X + AX − XA2 = 0 的解，则有 CX = XB ; 进而 C 2 X = XB 2 , · · · , C k X = 考生座位号: XB k · · · , 结果 0 = pC (C )X = XpC (B ) = X (B − µ1 I ) · · · (B − µn I ). 注意到B 的n个 特征值皆为偶数，而C 的n个特征值皆为奇数，故
1 a1 n→∞
2. 若 an
n an
n, 则
1 )(an an
an+1 − (n + 1) = an +
− n − 1 = (1 −
− n)
0, 故 ......(5分)
2, 且an − n单调递减.
令 bn = n(an − n), 则 bn+1 = (n + 1)(an+1 − n − 1) = (n + 1)(an + = (an − n)(n + 1)(1 − =
4
相加得 4−3− 结果a0 =
1 , 24 1 亦即A的行列式为 24 .
1 1 × 2 − × 1 + 4a0 = 0 2 6 ......(20分)
第 2 页（共 7 页）
三、(本题 15 分) 设 A 为 n 阶实方阵，其 n 个特征值皆为偶数. 试证明关于 X
的矩阵方程
X + AX − XA2 = 0
第七届中国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准 (数学类, 2015年10月)
考试形式: 闭卷
考试时间:
150
分钟 满分:
100 分
一、 (本题 15 分) 设 L1 和L2 是空间中两异面直线.设在标准直角坐标系下直 专业: 线L1 过坐标为a的点，以单位向量v 为直线方向；直线L2 过坐标为b的点，以单位向 量w为直线方向. 1) 证明：存在唯一点P ∈ L1 和Q ∈ L2 使得两点连线P Q 同时垂直于 L1 和L2 . 2)求P 点和Q点坐标(用a, b, v, w表示). 解 ：1） 过 直 线L2 上 一 点 和 线 性 无 关 向 量 v 和w 做 平 面σ ， 则 直 线L2 落 在 平 考生座位号: 面σ 上，且直线L1 平行于平面σ 。过L1 做平面τ 垂直于平面σ ，记两平面交线为L∗ 1。 设两直线L∗ 1 和L2 的交点为Q, 过Q做平面σ 的法线，交直线L1 为P , 则 P Q 同时垂直
于L1 和L2 。
......(4分)
密封线 答题时不要超过此线
设X = P + sv ∈ L1 和Y = Q + tw ∈ L2 也使得XY 同时垂直于L1 和L2 ，则有 − − → − → XY = P Q − sv + tw垂直于 v 和w ，故有 −s + (v · w)t = 0 和 −s(v · w) + t = 0 ......(8分) − → 2）设P = a + sv ∈ L1 和Q = b + tw ∈ L2 。因为P Q = λv × w ，我们得到 (b − a) − sv + tw = λv × w, .......(11分) 于是有 (b − a) · v − s + t(v · w) = 0, (b − a) · w − s(v · w) + t = 0
1 2
再由（1）（2）（3）即得
3 2 3 2 3 2 3 1 = 3 + 3λ2 1 − 3λ1 + 3λ2 − 3λ2 + 3λ3 − 3λ3 + 3λ4 − 3λ4 − 6a1
1 6 1 2 1 4 3 最后，由p(λ) = λ − λ − 2 λ − 6 λ + a0 得 p(λ1 ) = 0 . . . p(λ ) = 0 a1 = −
因而 e−H (x) ψ (x) = e−H (x) h(x)f (x). 两边积分可得 e 即, ψ (x) = e 将此代入 (2) 就得到 g (x) = f (x) + e
H ( x) 0 x H ( x) 0 − H ( x) x
ψ (x) =
0 x
e−H (t) h(t)f (t) dt.
+∞
所在院校:
a sup |gn−1 (x) − gn−2 |.
(gn (x) − gn−1 (x)) 准考证号:
n=1
在 [0, +∞) 上一致收敛, 即函数列 {gn (x)} 在 [0, +∞) 上一致收敛. 因为函数列的每 一项都连续, 因而其极限函数 g (x) 也是连续函数. 在 (1) 的两边取极限得
只有零解。 专业: 证 明 设C = I + A, B = A2 , A的n个特征值为 λ1 , λ2 , . . . , λn , 则B 的n个特征值为
2 2 λ2 1 , λ2 , . . . , λn ; C 的n个特征值为 µ1 = λ1 + 1, µ2 = λ2 + 1, . . . , µn = λn + 1; C 的特征
x
...........10分
g (x) = f (x) +
0 x 0
h(t)g (t) dt.
(2)
记 ψ (x) =
h(t)g (t) dt, H (x) =
x 0
h(t) dt, 则此二函数可导, 且 ψ (x) = h(x)g (x),
姓名:
H (x) = h(x). 由 (2) 得 ψ (x) − h(x)ψ (x) = h(x)f (x). 第 5 页（共 7 页）
x
A = g (x) + a
x− 1
g (t) dt
(1) ........5分
考生座位号:
为非负常数。 由 (1) 知 g (x) 是可微函数，且
g (x) + a g (x) − g (x − 1) = 0.
(2)
密封线 答题时不要超过此线
由此 (eax g (x)) = aeax g (x − 1) 这说明 eax g (x) 是递增函数。 由 (1), 可得
函数, 且
+∞ 0
|h(t)| dt = a < 1. 构造函数列如下: g0 (x) = f (x),
x
gn (x) = f (x) +