第1章极限的定义习题集及答案

第一章 习题一 极限的定义
一．选择题 1．设1,1
()0,1
x f x x ⎧≤⎪=⎨
>⎪⎩，则[]{}()f f f x =（ B ）
（A ）0 （B ）1 （C ）1,10,1
x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ （D ）0,11,1
x x ⎧≤⎪⎨
>⎪⎩
2．“数列极限∞
→n lim n x 存在”是“数列}{n x 有界”的（ B ）
（Ａ）必要条件；（Ｂ）充分条件；（Ｃ）充要条件；（Ｄ）既非充分也非必要条件．
3．下列命题错误的是（ B ）
（A ）∞→n lim n x 存在，则∞→n lim n x 存在； （B ）∞→n lim n x 存在，则∞
→n lim n x 存在； （C ）∞→n lim n x 存在，则∞→n lim n x =n n x ∞
→lim ；（D ）∞→n lim n x 不存在，则∞
→n lim n x 也不存在． 4．若lim n n x →∞
存在，则以下选项错误的是（ B ）
（A ）lim n n x →∞存在 （B ）lim(1)n n n x →∞
-存在 （C ）1lim n n n x x +→∞存在 （D ）1
lim
2
n n n x x +→∞
+存在
5．设{}{}{}n n n a b c 均为非负数列，且lim 0,lim 1,lim n n n n n n a b c →∞
→∞→∞
===∞，则必有（ D ）
（A ）n n a b <对任意n 成立 （B ）n n b c <对任意n 成立 （C ）极限lim n n n a c →∞
不存在 （D ）极限lim n n n b c →∞
不存在 6．设n n n z y x ≤≤，下列命题不正确的是（ B ） （A ）若a z x n n n n ==∞
→∞→lim lim （a 是实数），则a y n n =∞
→lim ；
（B ）若∞==∞
→∞
→n n n n z x lim lim ，则∞=∞
→n n y lim ；
（C ）若-∞==∞
→∞
→n n n n z x lim lim ，则-∞=∞
→n n y lim ；
（D ）若+∞==∞
→∞
→n n n n z x lim lim ，则+∞=∞
→n n y lim ．
7．当∞→x 时，x arctan 2
-π
是（ C ）
（A ）无穷小量； （B ）无穷大量； （C ）有界变量； （D ）无界变量． 8．当0→x 时，函数x
x x f 1sin 1
)(=是（ D ）
（A ）无穷小量； （B ）无穷大量； （C ）有界变量； （D ）无界变量． 9．设,n n x y 满足：lim 0n n n x y →∞
=，则下列断言正确的是（ D ）
（A ）若n x 发散，则n y 发散 （B ）若n x 无界，则n y 有界。

（C ）若n x 无界，则n y 为无穷小 （D ）若1
n
x 为无穷小，则n y 为无穷小 10．从1)(lim 0
=→x f x
x 不能推出（ C ）
（A ）1)0(0=-x f ；（B ）1)0(0=+x f ；（C ）1)(0=x f ； （D ）0]1)([lim 0
=-→x f x x ．
11．1)(lim 2=-
→x f x 是1)(lim 2=+
→x f x 的（ D ）
（A ）必要但不充分条件；（B ）充分不必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）无关条件． 二．填空题
1．若在点0x 的左邻近),(0x a 上，恒有函数)()(x g x f >，且极限)(lim 0
x f x x -→与
)(lim 0
0x g x x -→都存在，则必有00
___________lim ()
x x f x →-≥
)(lim 0
0x g x x -→．
2．323
___________
343
1
lim
2(6)2
n n n n n →∞-++=+． 3．23___________
532
lim 075x x x x x →∞-+=+-． 4
．__________lim
2x =． 5．22________38cos 2cos 1lim 22cos cos 1x x x x x π→
--=+-． 6．2
1
___________
12
1lim(
)112
x x x
→-=---． 7． (1)________1lim(
)1n
n n n
-→∞
+=. 8．设⎩⎨⎧+=b
ax e x f x
)( 00>≤x x ，则=+)00(f 1 ，=-)00(f b ，且当=b 1 时，
1)(lim 0
=→x f x ．
三．计算题
1．3
3322lim
2
-+-+→x x x ．
解：原式)333)(333)(22()333)(22)(22(lim
2
++-+++++++-+=→x x x x x x x
)
2)(22(3)2)(333(lim
2
-++-++=→x x x x x 2
1=．
2． )21
21(lim n
n n n --∞
→ 解：原式n n n n n n 21212121lim -+--
=∞→)
21
21(lim )2121(lim n
n n n n n n -+--=∞→∞→22lim n n
n ∞→=
41=． 3．．)11(lim
22+--+++∞
→x x x x x ． 解：原式)
11()
11)(11(lim
2
2
2222+-++++-++++--++=+∞
→x x x x x x x x x x x x x
1)
11(2lim
2
2
=+-+++=+∞
→x x x x x
x ．
4．∞
→n lim 2
111
1
315
35
41n ⎛⎫++++
⎪-⎝⎭L 解：原式
12222lim 2133557(21)(21)111111111lim 213355721211
lim 212n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯-+⎝
⎭⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝
⎭==+L L 5．∞
→n lim 1
11112123123n ⎛⎫
++++
⎪+++++++⎝
⎭
L L 解：原式
222lim 12334
(1)11111
11lim 2122334
12lim 21
n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯+⎝⎭⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭==+L L 6．111
lim 123234(2)(1)n n n n →∞⎛
⎫+++
⎪⨯⨯⨯⨯--⎝⎭L 解：111lim 123234(2)(1)n n n n →∞⎛
⎫+++
⎪⨯⨯⨯⨯--⎝⎭L 13142(2)lim 2123234(2)(1)1111111lim 212232334(2)(1)(1)111lim 212(1)14
n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫
----=+++ ⎪⨯⨯⨯⨯--⎝⎭
⎛⎫=-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯---⎝⎭⎛⎫=- ⎪⨯-⎝⎭=
L L
7．∞
→n lim 222111(1)(1)(1)23n
---L 解：原式
lim n →∞=222
1324(1)(1)
()()(
)23n n n ⨯⨯-+L lim n →∞=11
(
)22
n n += 8．设1x <，求242lim(1
)(1)(1)(1)n
n x x x x →∞
++++L 解：原式
124221
lim
(1)(1)(1)(1)(1)
111
lim (1)11n n n n x x x x x x
x x x
+→∞→∞=-++++-=-=--L
9．若0)1
1
(lim
2=--++∞→b ax x x x ，求a 、b 的值． 解：因为=--++∞→)11(lim 2b ax x x x 01
1)()1(lim 2=++-++-∞→x b x b a a x x ，得01=-a ，0=+b a ．所
以1=a ，1-=b ．
10．设1983
lim
(1)n n n n αα
β→∞=--，0β≠，求：,αβ。

解：因为：19831983
1221lim lim 0(1)(1)
n n n n n n n C n ααααααβα--+→∞→∞==≠---++-L 所以分子分母必为同次多项式，且最高次项系数之必为β，即：198311
n n αβα
-⎧=⎪⎨=⎪⎩。

解得：1
1984,1984
αβ==。