正四面体蕴藏正方形中

正四面体蕴藏正方体中

我们在立体几何的学习中，探讨得最多的空间图形是正方体。例如，我们考虑两直线之间的相交（垂直）、平行、异面关系；两平面之间的相交（垂直）、平行关系；两异面直线之间的距离；两平行平面之间的距离；两相交平面之间的二面角等等，都可以借助正方体形象、直观、简洁地引入、刻画、研究。而正方体本身所具有的简洁美、对称美、和谐美也留给我们深刻的印象。因而，我们最熟悉的空间图形是正方体，我们最容易把握的空间图形也是正方体。正四面体是另一个我们探讨得很多的空间图形，正四面体同样体现了数学的简洁美、对称美、和谐美。但相比较而言，正四面体中的直线之间的平行关系；平面之间的垂直、平行关系；两平行平面之间的距离等等，都不很直观、典型。正四面体中几何元素之间尽管和谐，但有时候也不容易把握。

我们说我们对正方体比对正四面体更熟悉、更容易把握的一个更重要的理由是，正方体中蕴藏着正四面体。例如，如图3的正方体EBFA-CGDH 中，蕴藏着两个典型的正四面体，正四面体D-ABC 和正四面体H-EFG 。从而就为我们利用较熟悉的正方体认识较不熟悉的正四面体带来了可能。一般而言，单纯地利用正四面体本身的点、线、面、体这些几何量之间的某些关系进行研究，技巧性更强，推导更繁杂，更容易出错。而借助正方体来研究正四面体，计算量更少，几何量之间的关系更加简明、直观，做完后我们的把握更大。下面我们举一些例子进行说明。

例1 (2003年高考理科数学新课程卷选择题最后一题）：一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 （ ）

A.3π

B.4π

C.33π

D.6π

B

A

B

Q

E C

图1 图2 图3

分析1：如图1所示,正四面体D-ABC 的棱长为a ,中心为O 点,D 在底面ABC 上的射影为P 点,连接OA 、OB 、OC,显然，O 到平面ABC 、BCD 、ABD 、ACD 的距离

都等于OP ，且ABC D V -=4ABC O V -，即3

1

⨯ABC S ∆⨯DP=4⨯ABC S ∆⨯OP ，即DP=4 OP 。

如图2所示，P 为边长为a 的等边ΔABC 的重心，延长CP 与AB 相交与Q 点，则CQ=

23a ，CP=33a ，在Rt ΔDPC 中，利用勾股定理得，DP=22CP CD -= 2

23

3）（

a a -=

a 36，则OP=41DP=a 126 在Rt ΔOPC 中，利用勾股定理得，OC=22CP OP +=2

233126）（）（

a a +=a 46，则此球的半径为a 46=23，从而此球的表面积为4π2

2

3）（

=3π。 分析2：如图3所示，棱长为a 的正方形EBFA-CGDH 中，蕴藏着若干正四面体，如正四面体ABCD ，它的棱长为2a ，由题目已知，正四面体的棱长为2，从而a =1。它的中心为正方形的中心即CF 与DE 的交点O ，OC 长方体对角线的一半，即

2

3

，从而此球的表面积为4π223）（=3π。

例2 (2005年高考理科数学全国卷Ⅱ选择题最后一题）：将半径为1的4个

钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （ ）

A.

3623+ B.2+362 C.4+362 D. 3

6

234+ 分析1：如图4所示，正四面体的高最小时，即四个小钢球与正四面体的各个面相切。首先求出一个小球的球心1O 到另三个小球球心所在平面2O 3O 4O 的距离。

1O 2O =2O 3O =3O 4O =2O 4O =2，2O E =3，2O O =

3

3

2。 ∴O 1O =3

44-

=36

2。

然后在求出最上面的小球球心1O ，到正四面体顶点A 的距离A 1O （如图5），设A B =x 。

则B /O =2332⨯x =33x ∴/O A =36x ∴1O A =3

6x -1=1O B

A /O ⊥/O

B ∴21B O =2

1/O O +2/B O

∴222

3

11136x x +=-）（

∴0632312=-

x x x ≠0 ∴x =62 ∴/O A =

3

6

⨯62=4 ∴1O A =3 由题意可知三个球到正四面体底面的距离为1

∴正四面体的高最短为3+1+362=4+3

6

2

O

43

D

C

E

图4 图5 图6

分析2：如图6所示，棱长为a 的正方形EBFA-CGDH 中，蕴藏着正四面体ABCD 。O 点为体对角线CF 与DE 的交点，容易知道，O 点为正四面体D-ABC 和四个小钢

球的球心构成的正四面体1O 2O 3O 4O 的共同中心。Q 点为面对角线AB 与EF 的交点，CQ 与DE 相交与P 点。在矩形CEFD 中，ΔCEQ ∽ΔEFD ，DE ⊥CQ ，DE ⊥AB ，从而OP 为正四面体D-ABC 的中心O 到它的一面ABC 的距离，DP 为它的高。 AB=2a OP=

63a DP=3

32a ∴正四面体的棱长、中心到它的一面的距离、它的高之比为2：

63：3

3

2。 由题意可知正四面体1O 2O 3O 4O 棱长为2，根据上述比例关系可知它的中心O 到它的一面的距离为

66。而O 到正四面体D-ABC 的一面的距离即OP 为6

6

+1。再根据上述比例关系

63：332=1：4，可知DP=4+3

62。

例3 （2000年全国高中数学联赛）:试求边长为a 的正四面体的棱切球（与所有的棱都相切的球）的体积。