线性代数-山大全套课件

几种特殊的矩阵
1. 行矩阵； 2. 列矩阵； 3. 零矩阵； 4. n阶方阵； 5. 三角矩阵； 6. 对角矩阵（Diagonal Matrix）； 7. 单位矩阵（Identity Matrix）.
矩阵相等
如果两个矩阵A，B有相同的行数和相同的列数，并 且对应位置的元均相等，则称矩阵A与矩阵B相等， 记为A＝B
k 1
n
矩阵乘法的运算律
A( BC) ( AB)C ( A B)C AC BC A( B C ) AB AC k ( AB) (kA) B A(kB) 注意：两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵。因此
由AB＝0不能推出A＝0或B＝0 由AB＝AC且A为非零矩阵不能推出B＝C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0, BA 0 0 0 AB A 0 0 1 , B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
a11 A a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a11 a12 a13 a14 A11 A12 A11 A12 a , a24 a23 a24 a22 A 21 A 22 21 A21 a31 a32 A22 a33 a34 a34
1.1 矩阵及其运算
本节学习内容
1.
2. 3.
线性方程组及其矩阵表示 矩阵的基本运算及性质 逆矩阵
线性代数介绍
线性代数中的“线性”是指研究的内容是“线性关 系”，即运算方面只有加法、减法和数乘运算。 线性代数的研究对象，主要是接下来将要学习的矩阵。
线性方程组（System of Linear Equations）的一般 形式为 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 若方程右边的 b1 , b2 ,, bm 全为零，由于方程组中各 项的次数均相等，所以称方程组为齐次方程组。 若方程右边的 b1 , b2 ,, bm 不全为零，由于方程组中 各项次数不等，所以称方程组为非齐次方程组。
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似。 分块矩阵加法：矩阵A，B行列数相同，分块方法相同 A11 A12 B11 B12 A11 B11 A12 B12 A ,B , A B A 21 A22 B21 B22 A21 B21 A22 B22 分块矩阵数乘： A11 A12 A A A 22 21 分块矩阵的乘法：矩阵A的列数等于B的行数，A的列的分 法与B的行的分法相同 A11 B11 A12 B21 A11 B12 A12 B22 AB A B A B A21 B12 A22 B22 22 21 21 11
于是对于方程组的研究将归结于对上面数表的研究。 这种数表叫做矩阵。
矩阵的定义
将m×n个数排成一个m行n列的数表 a11 a12 a1n a a a 22 2n A 21 a a a m2 mn m1 称为一个m行n列矩阵（Matrix），简称m×n矩阵。 矩阵中的数称为元或元素。 一般情况下用大写字母A，B，C，...表示矩阵。如果 矩阵A是m×n矩阵，可以记为 Amn
由于线性方程组的解只和系数有关，所以可以只研究 方程组的解与系数的关系。为此，可以将方程组 中未知量的系数写成如下数表的形式：
a11 a 21 a m1 a12 a 22 am2 a1n a2n a mn a11 a 21 a m1 a12 a 22 am2 b1 a 2 n b2 a mn bm a1n
矩阵的加法、减法、数乘运算
矩阵的加法 矩阵的减法 矩阵的数乘
矩阵的乘法
为了用矩阵表示线性方程组，先定义矩阵的乘法： 如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，那么对于
A (aij ) mn , B (bij ) nl
定义矩阵 C (cij ) ml 为A与B的乘积。记为C＝AB
其中 cij aik bkj ai1b1 j ai 2b2 j ainbnj
( AT ) T A ( A B ) T AT B T (A) T AT ( AB) T B T AT
证明第4个等式
3. 矩阵的转置运算
矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵，可以用分块法将大矩阵的运 算化为小矩阵的运算。 将矩阵A用若干条纵线和横线分成多个小矩阵，每一个小 矩阵称为A的子块，以子块为元的矩阵称为分块矩阵 （Partitioned Matrices）。
线性方程组的矩阵表示
对于线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
x1 a11 a12 a1n x a a 22 a 2 n 2 21 x A xn a m1 a m 2 a mn 那么线性方程组可以用矩阵表示为 Ax b
若设
b1 b b 2 b m
矩阵的基本运算及性质
1. 矩阵加法与减法
A B B A ( A B) C A ( B ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ C )
2. 矩阵的数乘运算
( ) A ( A) ( ) A A A ( A B) A B