线性代数-山大全套课件
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线性代数课本课件
最小二乘法的计算实例
直线拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 直线方程。
多项式拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 多项式方程。
非线性拟合的计算实例
通过最小二乘法结合适当的变换，拟合非线 性模型。
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04 特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念
特征值
设A是n阶方阵，如果存在数λ和 非零n维列向量x，使得Ax=λx成
立，则称λ是A的特征值。
特征向量
对应于特征值λ的满足Ax=λx的非 零向量x称为A的对应于特征值λ的 特征向量。
特征空间
对应于同一特征值的所有特征向量 （包括零向量）的集合，加上零向 量后构成的线性子空间称为特征空 间。
线性方程组的应用举例
线性规划问题
图像处理
线性方程组可用于描述和解决线性规划问 题，如资源分配、生产计划等。
在计算机图像处理中，线性方程组可用于 图像滤波、图像恢复等任务。
机器学习
电路分析
在机器学习领域，线性方程组常用于线性 回归、逻辑回归等模型的参数求解。
在电路分析中，线性方程组可用于描述电路 中的电流、电压等物理量之间的关系，从而 进行电路分析和设计。
向量的线性组合关系不变。
线性变换的性质
02
线性变换具有保持线性组合、保持线性相关等性质，同时线性
变换的核与像也是重要的概念。
线性变换的运算
03
线性变换之间可以进行加法和数量乘法运算，同时线性变换的
逆变换和复合变换也是常见的运算。
线性空间的基与维数
基的概念
线性空间中的一组线性无关的向量，可以表示该空间中的任意向 量，称为该线性空间的基。
线性代数教材讲解ppt课件
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
0
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx siny, sinx cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之
间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.
山东大学《线性代数》课件03线性方程组
Imn 0 0 1 br1 br(nr)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
显然：A I 行最简形
1 A 2
2 3
1
1
1 0
2 1
1 3
1 0
2 1
1 3
4 7 1 r2 2r1 0 1 3
0
0
0
1 0 5 1 0 5 0 1 3 0 1 3
1,2是解向量，则 1 2也是解向量。
性质2： 是解向量，则 k也是解向量。
令 V A O
则V 构成一个向量空间。
称为方程组 的解空间。
若齐次线性方程组的解空间存在一组基 1,2 ,,s , 则方程组的全 部解就是 k11 k22 kss , 这称为方程组的通解。
由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。
x2
b21xr 1
b2(nr) xn
0
真未知量
xr br1xr 1 br(nr) xn 0
xr1, xr2 ,, xn
自由未知量
x1
x2
(b11xr 1 (b21xr 1
br(nr) xn ) b2(nr) xn )
x1,
x2
,,
xr
由自由未知量
xr 1, xr 2 ,, xn 惟一确定
3 0
xx1235xx33
2 1 1 3 0 0
x3 1,
x1 5 x2 3
基础解系为 (5,3,1)T 通解为 k k(5,3,1)T
步骤： (1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得 到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
线性代数线性代数03-课件_10_10
例如
1 3 0
2
3
5 1
2 5
1 7
4
没有意义.
6
3
3
3 6 9
1
2
3
1
3
2 1
10
31
1
1
2 1
1 2
31
3
1
3
2 1
4 2
6
3 3 3
1 3 2 2 31 10
例 1 已知
4 1 0
求 AB.
1
A
2
0 1
3 0
1
2
,
B
1 2 1
1 0 3
A、B可交换时成立
实际意义
某工厂生产四种产品，它向三家商店发送四种产品的数量
可用列成矩阵
a11 a12 a13 a14
A
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵
b11
B
b21
b31
b41
b12
b22
b32
b42
a11 a12 a13 a14
3
4 16
6
8
32
16
.
结论1
矩阵乘法不满足交换律.AB BA
AB 读作“A左乘 B”或“B 右乘 A”.
两个 n 阶矩阵 A 和 B ，若 AB=BA , 则称 A 与 B 是可交换的.
例2
求矩阵
A
2 3
4 6
,
B
2
1
4
2
的乘积
AB
和 BA.
解
线性代数全套课件
a 21 D ai 1 a i1 a n1 a 22 a2n ai 2 a a in a i2 in an 2 a nn
则行列式D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D ai 1 a n1 a12 a 22 ai 2 an 2 a1n a11 a 2 n a 21 a in a i1 a nn a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a a i2 in a n 2 a nn
i j r[ j i ( k )] a j 2 a jn (a j 1 ka i 1 ) (a j 2 ka i 2 ) (a jn ka in ) an 2 a nn a n1 an 2 a nn
例 计算四阶行列式
1 1
M 11 a11 A11
an 3 ann
对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置， 即可得到结论。
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain ( i 1,2, , n) 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
则行列式D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D ai 1 a n1 a12 a 22 ai 2 an 2 a1n a11 a 2 n a 21 a in a i1 a nn a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a a i2 in a n 2 a nn
i j r[ j i ( k )] a j 2 a jn (a j 1 ka i 1 ) (a j 2 ka i 2 ) (a jn ka in ) an 2 a nn a n1 an 2 a nn
例 计算四阶行列式
1 1
M 11 a11 A11
an 3 ann
对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置， 即可得到结论。
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain ( i 1,2, , n) 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
山东大学《线性代数》课件01-5矩阵的初等变换与矩阵的秩
2
3
1 3 0 6
0 0
8 2
2 12 1 4
1 4 1 3 1 4
2 12 0 6 4 4
8
2
0 9 6 6
1 4 4 4 0 0
r( A) 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2.B
1 13
0 1 2
1 1 0
2 05
0 0 0
2 7 0
2 10 3
2 192
1
0 0 0
2 1 7 0
3 1 10 3
4 1 192
1
0
0 0
2 1 0 0
3 1 3 3
4
1
95
1 2 3 4
0 00
1 0 0
1 3 0
1
45
r(B) 4
1 A 4
2 t
2 3
3 12
t为何值时， r( A) 3？
3
1
1
9
1 A 0
2 t 8
a1n
ai1
ka j1
ai2 kaj2
ain
kajn
B
a j1
a j2
a jn
am1
am2
amn
由此可以推出:
r( A) r(B) r( A) r(B) r( A) r(B)
例:求矩阵的秩:
2 3 1.A 2 12 1 3
1 3
A 2 12
r1r3
1 2 2 3
1
2
2 3
B 4 3 3 12 0 11 11 0
3 1 1 9 0 7 7 0
1 0
2 1
2 1
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
山东大学数学专题高等代数部分第五章第一讲PPT
（因
V
）本题结论成立.
jr
3. 设 A1,A2 ,L ,Am是线性空间V的m个异于零的线性变换，证明：V中存在一组基x1 L xn使
Ai(xj)≠ 0，i = 1,L ,m j = 1,L ,n
ห้องสมุดไป่ตู้
证明：令Vi Ai1(0)，Ai 0，则Vi是V的真子空间.故存在向量x1 V 使x1 Vi ,1 i m,
2. 设V1,L ,Vm是n维线性空间V的真子空间.证明：V中必有向量u不在所有这m个子空间中， (即 V1∪V2∪L ∪Vm ≠ V) 证明： 对m用归纳法证明本题.
m 1显然成立，设m 1时结论成立，证明m时结论也成立，存在 V1,L ,Vm1，若 Vm得证. 否则 Vm，必存在 Vm，我们证明存在正整数k使k Vi , 对所有的i 1,L , m成立. 首先注意k Vm ,否则得 Vm矛盾，要证明此断言成立,只要证明存在正整数k使
易证AW是V的子空间.AW＝L( A1, A2,L , A1L , As ) Ai 0，
故 AW＝L( A1L , As )，只要证明A1L , As线性无关即可.
s
s
s
s
s
设 ki Ai 0,即 A kii 0,于是 kii A1(0), 又 kii W , 故 kii W0,
dimV dimV1 dimV2 特别若1L r ,r+1L n是V的一组基，V1＝L(1L r ),V2 L(r+1L n ), 则 V V1 V2 (以上条件可推广到多个子空间的直和)
2. 线性变换及其子空间
(1) 线性变换A满足A( ) A A，A(k ) kA，A的定义域和值域都是V
四川大学线性代数教材第一章第二节 ppt课件
解: r1 r3
1 2 1 2 5
2
4
3
4 11
0 0 3 1 6
3
6 10 8 28
r2 2r1
1 2 1 2 5
1 2 1 2 5
0
0
1
0
1
r4 3r1
0
0
1
0
1
0 0 3 1 6
0 0 3 1 6
3
6 10 8 2四8川大学线性代数教材第一章第0二 0
当a20, 即a2时，该齐次线 系性 数方 矩程 阵 主元列数 3，等 与于 未知量个 因数 此相 只等 有， 零
而a当 20, 即 a2时 ， 该 齐 次系 线数 性矩 方阵 主 元 列2， 数小 等于 未 知此 量有 个无 数穷 ，多
四川大学线性代数教材第一章第二 节
四川大学线性代数教材第一章第二节
第二节 行化简与阶梯形矩阵 解的存在性与唯一性
四川大学线性代数教材第一章第二 节
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
5 9 3
1 0 0 2
D 0 1 0
1
A、B、C、D都是阶梯矩阵，
其中D是行最简形矩阵。
0 0 1 2
四川大学线性代数教材第一章第二
节
命题 任何一个非零矩阵都可经初等行变换化为阶梯矩 阵，更进一步可化为行最简形。(证明略)
注意：使用不同顺序的初等行变换，化出来的阶梯矩阵 一般是不同的。但是从一个矩阵出发，通过不同顺序的 初等行变换化简，得到的行最简形是唯一的。
线性代数完整版ppt课件
a 31 a 32 a 33 a13a22a31a12a21a33a11a23a32
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项．
2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1p1a2p2（a3正p3负号除外），其中
是1、2、3的某个排列.
p1 p2 p3
4. 当 p1 p2 是p3偶排列时，对应的项取正号；
(方程组的系数行列式)
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a 21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2b1a21 a11a22a12a21.
D2 D
10
例1
求解二元线性方程组
32x1x1 2xx22
12 1
3 2
1.4
.
14
例3 求解方程 1 1 1
2 3 x 0. 4 9 x2
解 方程左端 D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12 x25x6,
由 x25x60得
x2或 x3.
.
15
§2 全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
相减而得.
.
7
二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
其求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项．
2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1p1a2p2（a3正p3负号除外），其中
是1、2、3的某个排列.
p1 p2 p3
4. 当 p1 p2 是p3偶排列时，对应的项取正号；
(方程组的系数行列式)
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a 21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2b1a21 a11a22a12a21.
D2 D
10
例1
求解二元线性方程组
32x1x1 2xx22
12 1
3 2
1.4
.
14
例3 求解方程 1 1 1
2 3 x 0. 4 9 x2
解 方程左端 D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12 x25x6,
由 x25x60得
x2或 x3.
.
15
§2 全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
相减而得.
.
7
二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
其求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
线性代数第一章第一节PPT课件
01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利 用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是 当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大 大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量 空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列 式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空 间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性 代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩 阵中的每一行可以看作是一 个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切 相关的概念，矩阵可以看作 是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计 算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、 分配律等。
向量可以用有向线段、坐 标系中的点或有序数对来 表示。
向量有大小和方向两个基 本属性，大小表示向量的 长度，方向表示向量的指 向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，表示二维数组。
线性代数-山大全套课件-知识归纳整理
求知若饥，虚心若愚。 第 26 页/共 216 页
千里之行，始于足下。 第 27 页/共 216 页
求知若饥，虚心若愚。 第 28 页/共 216 页
千里之行，始于足下。 第 29 页/共 216 页
求知若饥，虚心若愚。 第 30 页/共 216 页
千里之行，始于足下。 第 31 页/共 216 页
求知若饥，虚心若愚。 第 116 页/共 216 页
千里之行，始于足下。 第 117 页/共 216 页
求知若饥，虚心若愚。 第 118 页/共 216 页
千里之行，始于足下。 第 119 页/共 216 页
求知若饥，虚心若愚。 第 120 页/共 216 页
千里之行，始于足下。 第 121 页/共 216 页
求知若饥，虚心若愚。 第 68 页/共 216 页
千里之行，始于足下。 第 69 页/共 216 页
求知若饥，虚心若愚。 第 70 页/共 216 页
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线性代数课本PPT课件
是对应于l1 2的全部特征向量
1 1 0
例
求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
解 特征值为 l1 2,l2 l3 1
当l2 l3 1时，齐次线性方程组为 A I x O
系数矩阵
2 1 0 1 0 1
A
I
4 1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 0
1
得基础解系
1
l
A . 且x仍然是矩阵
kA, Am , A1 , A
分别对应于
kl , l m ,l 1, 1 A 的特征向量. l
证 (3) 当A可逆时, l 0, 由Ax l x可得
A1 Ax A1 l x l A1x A1 x l 1 x
故l 1是矩阵A1的特征值,且x是A1对应于l 1的特征向量.
1
1
1 1
x1 x2
0 0
x1 x
x2 1 x
0 0
2
解得 x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为
p 1
1 1
.
当l1 =4时,
34
1
1 34
x1 x2
0 0
即
1
1
1 1
x1 x2
0 0
解得 x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为
n
(2) li l1l2 ln＝ A i 1
性质2 若A的特征值是l, X是A的对应于l的特征向量,
(1) kA的特征值是kl; (k是任意常数)
(2) Am的特征值是l m;(m是正整数)
证 2因为Ax l x 所以 A Ax Al x l Ax l l x
1 1 0
例
求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
解 特征值为 l1 2,l2 l3 1
当l2 l3 1时，齐次线性方程组为 A I x O
系数矩阵
2 1 0 1 0 1
A
I
4 1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 0
1
得基础解系
1
l
A . 且x仍然是矩阵
kA, Am , A1 , A
分别对应于
kl , l m ,l 1, 1 A 的特征向量. l
证 (3) 当A可逆时, l 0, 由Ax l x可得
A1 Ax A1 l x l A1x A1 x l 1 x
故l 1是矩阵A1的特征值,且x是A1对应于l 1的特征向量.
1
1
1 1
x1 x2
0 0
x1 x
x2 1 x
0 0
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解得 x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为
p 1
1 1
.
当l1 =4时,
34
1
1 34
x1 x2
0 0
即
1
1
1 1
x1 x2
0 0
解得 x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为
n
(2) li l1l2 ln＝ A i 1
性质2 若A的特征值是l, X是A的对应于l的特征向量,
(1) kA的特征值是kl; (k是任意常数)
(2) Am的特征值是l m;(m是正整数)
证 2因为Ax l x 所以 A Ax Al x l Ax l l x
线性代数线性代数02-课件_47_47
LINEAR ALGEBRA 线性代数山东科技大学刘洪霞5.4对称矩阵的特征值与特征向量的性质设 A 为 n 阶方阵，如果满足，即那么 A 称为对称矩阵，简称对称阵.(),1,2,,ij ji a a i j n ==T A A =1261680106A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭21101A E λλλλ---==+=-iλ=±性质1 实对称矩阵的特征值都是实数.例如因为A 是n 阶实对称矩阵，323530A A A E -+-=求A 的特征值.323530λλλ-+-=设A 是n 阶实对称矩阵例1 1,12,12i iλλλ==+=-解得 所以 1.λ=即A 的全部特征值为1. 解 设 为A 的任一特征值，则 λ性质2 设 λ1 , λ2 是对称矩阵 A 的两个特征值,p 1 , p 2 是对应的特征向量, 若 λ1 ≠ λ2 , 则 p 1 , p 2 正交.λ1p 1 = Ap 1 , λ2p 2 = Ap 2 , λ1 ≠ λ2 . 证明 内积 p 1T p 2 = 0(λ1p 1)T = (Ap 1)T λ1p 1T = = p 1T A T =p 1T A ,= p 1T (λ2 p 2 ) λ1 p 1T p 2 = p 1T A p 2 = λ2 p 1T p 2 ,即 (λ1 -λ2 )p 1T p 2 = 0 .但 λ1 ≠ λ2 , 故 p 1T p 2 = 0, 即 p 1 与 p 2 正交.于是设A 是4阶实对称矩阵,且12[,]0αα=例1 11,A αα=22,A αα=-1(1,2,,3),T t α=-2(2,1,3,1),T t α=---求 t .1λ=1λ=-解 ()211,2,,3031t t ⎛⎫ ⎪- ⎪-= ⎪- ⎪-⎝⎭22(1)330t t +--+=3t =性质3 实对称矩阵 A 的 k 重特征值对应的线性无关的特征向量恰有k 个.231λλ==()0.A E x -=时，解方程 当 2121p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭得基础解系 例如 110430102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1232, 1.λλλ=== 的特征值为 二重根只有一个性质3实对称矩阵A 的k 重特征值对应的线性无关的特征向量恰有k 个. 性质4 n 阶实对称矩阵 A 必有n 个线性无关的特征向量.结论实对称矩阵一定与对角矩阵相似.例2 下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是( ) 001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭111022003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭121242121C -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭212533102D -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭(A ) (B ) (C ) (D ) 实对称矩阵 1,2,3有三个不同的特征值 1232,0λλλ=-==0有两个线性无关的特征向量 是3重特征值 1λ=-但只有一个线性无关的特征向量 D判别一个矩阵是否相似于对角矩阵的步骤:(1) 是否是实对称矩阵，实对称矩阵一定相似于对角矩阵;(2) 特征值是否都是实单根，若是，则相似于对角矩阵;(3) 特征值是k 重根时若对应有k个线性无关的特征向量，则相似于对角矩阵；若对应的线性无关的特征向量少于k个(不可能多于k个)，则不能相似于对角矩阵.例3 设A 为三阶实对称矩阵，A 的特征值为 , , 且矩阵A 的对应于特征值 的特征向量为对应于特征值的一个特征向量为 18,λ=23 2.λλ==(1,,1),Ta (1,1,1).T 18λ=232λλ==(1)求参数 a 及特征值 对应的另一个线性无关的特征向量；(2)求矩阵 A . 232λλ==1(1,,1)101a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解（1） 232λλ==设 对应的另一个线性无关的特征向量为 123(,,),T x x x 123123200x x x x x x -+=⎧⎨++=⎩则 (1,0,1),T -该方程组的基础解系为则 即为所求. (1,0,1)T-110a ++= 2.a =-(2) 令 111210,111P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭183212262.2123A P P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1822P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则 所以1P AP -=Λ1A P P -=Λ性质1实对称矩阵的特征值都是实数.性质2实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必正交.性质3实对称矩阵A 的k 重特征值对应的线性无关的特征向量恰有k 个.结论实对称矩阵一定与对角矩阵相似.感谢观看THANK YOU。
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几种特殊的矩阵
1. 行矩阵； 2. 列矩阵； 3. 零矩阵； 4. n阶方阵； 5. 三角矩阵； 6. 对角矩阵（Diagonal Matrix）； 7. 单位矩阵（Identity Matrix）.
矩阵相等
如果两个矩阵A，B有相同的行数和相同的列数，并 且对应位置的元均相等，则称矩阵A与矩阵B相等， 记为A＝B
k 1
n
矩阵乘法的运算律
A( BC) ( AB)C ( A B)C AC BC A( B C ) AB AC k ( AB) (kA) B A(kB) 注意：两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵。因此
由AB＝0不能推出A＝0或B＝0 由AB＝AC且A为非零矩阵不能推出B＝C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0, BA 0 0 0 AB A 0 0 1 , B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
a11 A a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a11 a12 a13 a14 A11 A12 A11 A12 a , a24 a23 a24 a22 A 21 A 22 21 A21 a31 a32 A22 a33 a34 a34
1.1 矩阵及其运算
本节学习内容
1.
2. 3.
线性方程组及其矩阵表示 矩阵的基本运算及性质 逆矩阵
线性代数介绍
线性代数中的“线性”是指研究的内容是“线性关 系”，即运算方面只有加法、减法和数乘运算。 线性代数的研究对象，主要是接下来将要学习的矩阵。
线性方程组（System of Linear Equations）的一般 形式为 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 若方程右边的 b1 , b2 ,, bm 全为零，由于方程组中各 项的次数均相等，所以称方程组为齐次方程组。 若方程右边的 b1 , b2 ,, bm 不全为零，由于方程组中 各项次数不等，所以称方程组为非齐次方程组。
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似。 分块矩阵加法：矩阵A，B行列数相同，分块方法相同 A11 A12 B11 B12 A11 B11 A12 B12 A ,B , A B A 21 A22 B21 B22 A21 B21 A22 B22 分块矩阵数乘： A11 A12 A A A 22 21 分块矩阵的乘法：矩阵A的列数等于B的行数，A的列的分 法与B的行的分法相同 A11 B11 A12 B21 A11 B12 A12 B22 AB A B A B A21 B12 A22 B22 22 21 21 11
于是对于方程组的研究将归结于对上面数表的研究。 这种数表叫做矩阵。
矩阵的定义
将m×n个数排成一个m行n列的数表 a11 a12 a1n a a a 22 2n A 21 a a a m2 mn m1 称为一个m行n列矩阵（Matrix），简称m×n矩阵。 矩阵中的数称为元或元素。 一般情况下用大写字母A，B，C，...表示矩阵。如果 矩阵A是m×n矩阵，可以记为 Amn
由于线性方程组的解只和系数有关，所以可以只研究 方程组的解与系数的关系。为此，可以将方程组 中未知量的系数写成如下数表的形式：
a11 a 21 a m1 a12 a 22 am2 a1n a2n a mn a11 a 21 a m1 a12 a 22 am2 b1 a 2 n b2 a mn bm a1n
矩阵的加法、减法、数乘运算
矩阵的加法 矩阵的减法 矩阵的数乘
矩阵的乘法
为了用矩阵表示线性方程组，先定义矩阵的乘法： 如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，那么对于
A (aij ) mn , B (bij ) nl
定义矩阵 C (cij ) ml 为A与B的乘积。记为C＝AB
其中 cij aik bkj ai1b1 j ai 2b2 j ainbnj
( AT ) T A ( A B ) T AT B T (A) T AT ( AB) T B T AT
证明第4个等式
3. 矩阵的转置运算
矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵，可以用分块法将大矩阵的运 算化为小矩阵的运算。 将矩阵A用若干条纵线和横线分成多个小矩阵，每一个小 矩阵称为A的子块，以子块为元的矩阵称为分块矩阵 （Partitioned Matrices）。
线性方程组的矩阵表示
对于线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
x1 a11 a12 a1n x a a 22 a 2 n 2 21 x A xn a m1 a m 2 a mn 那么线性方程组可以用矩阵表示为 Ax b
若设
b1 b b 2 b m
矩阵的基本运算及性质
1. 矩阵加法与减法
A B B A ( A B) C A ( B ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ C )
2. 矩阵的数乘运算
( ) A ( A) ( ) A A A ( A B) A B