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a 2, c 4, b 2 3
例3.求与C : 圆( x 2) 2 y 2 4相外切且与y轴相切的 动圆圆心P的轨迹方程。
y 例3
分析： 设动圆半径是r , P到y轴的距离为d
PC r 2，d r
P
PC d 2
y 8x（x 0） , 或y 0( x 0)
例2 已知两圆C1 : ( x 4)2 y 2 2; C2 : ( x 4)2 y 2 2，
A、x 0 x y C、 1 2 14
2 2 2 2
例2
动圆M 与两圆都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是：
x y B、 1( x 2) 2 14 MM 2M 2 x y D、x 0或 1 2 14
C C C11 1
C C C22 2
(一)当动圆M与两圆都外切时，如图 M与圆 ( 2 二 当动圆 ) 1 当动圆 M与圆 C 2 外切，与 C1外切，与 C1C 内切时， 内切时， 2 综上 1 2 则 | MC1 || MC2 | 则 MC | r|r 2， 2 |， MC | MC |1 C | r r 2 2 1M 2|| 2 则 || MC MC MC | 2 2 所以点 轨迹为线段 C 的中垂线 2 1 2 1 22 x2 2 2 y 2 则 | MC MC | | | MC | MC | | 2 2 即 x 012 D、x 所以选择 1 2 10或 x y 所以M点轨迹方程 2 14 1 所以点M M轨迹为以 轨迹为以 C C C C 21、 4 1、 2为焦点的双曲线右支 2为焦点的双曲线左支
M
y
分析：
1.P为线段AM的中点
2.NP为线段AM的垂直 平分线
N
P
x
C
A
例1
2 例1.已知圆C：（x 1 ） y 2 8, 定点A(1,0), M为圆上一动点，
P在AM上点N在CM上，且满足AM 2 AP, NP AM 0， 求N点得轨迹方程。
NM NA
M
>2
N
P
Байду номын сангаас
y
NM NC NA NC 2 2
14
设计思路： 1.通过动态轨迹形成过程，让学生感受求轨迹方程方法。
2.通过动态轨迹形成过程，让学生感受数学的美。
3.通过动态轨迹形成过程，让学生产生疑惑，引起兴趣，产生动力。
定义法求轨迹方程
椭圆的定义
1.平面内到两定点F1F2的距离的和等于常数（大于 F1F2 ） 的点的轨迹叫椭圆
2. PF 1 PF 2 2a(2a F 1F 2) 3. PF 1 PF 2 2a(2a F 1F 2) 4. PF 1 PF 2 2a(2a F 1F 2)
椭圆 线段
无轨迹
2
双曲线的定义
1.平面内到两定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 （大于 F1 F2 ）的点的轨迹叫双曲线
2. PF1 PF2 2a (0 2a F1 F2 ) 3. PF1 PF2 2a (2a F1 F2 ) 4. PF1 PF2 2a (2a F1 F2 )
变式2..在ABC中，B(4,0), C (4,0).动点A满足 1 sin B sin C sin A, 求动点A的轨迹方程。 2 解：由正弦定理得：
1 AC AB BC 4 8 2
变式2
所以A点的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的 左支且去掉与x轴的交点。
x2 y2 1 ( y 0) 4 12
N的轨迹是以A,C为焦点的椭圆
C
A
x
a 2, c 1, b 1
x N的轨迹方程是： y 2 1 2
2
变式1.ABC的一边BC在x轴上，B(8,0), C (8,0), AB和AC两边上中线长的和为 30，则ABC重心 G的轨迹方程 .
变式1
y
A
G
F
B
O
E
C
x
>16
( y 0)
2
2
故 | AF1 || AN |
解：延长F1M交AF2延长线于N， y
A
变式4
AF 1 AF 2 2a
故 | AN | AF2 2a 所以| F2 N | 2 a 1
所以 | OM | | F2 N | a 2
F1
0
F2
x
D
M点的轨迹方程为 x y a
2 2
2N
评析 (1)本题为利用圆锥曲线的定义求动 点轨迹方程的问题．若动点轨迹的条件 符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、 双曲线、抛物线的定义，则可以直接根 据定义求出动点的轨迹方程． (2)圆锥曲线的定义提示了其本质特 征，而圆锥曲线的方程随坐标系的不同 而不同，因而掌握定义是根本．
双曲线 线段
无轨迹
3
抛物线定义
平面内到定点 P的距离与到定直线 l的距离 （P l）相等的点的轨迹叫抛 物线
P在定直线l上时P点的轨迹是直线
2 例1.已知圆C：（x 1） y 2 8, 定点A(1,0), M为圆上一动点，
P在AM上点N在CM上，且满足AM 2 AP, NP AM 0， 求N点得轨迹方程。
2
C
O
x
P点到C点的距离比
到y轴的距离多 2
变式3：已知圆A : ( x 2) 2 y 2 1, 动圆P与圆A外切 且与x 1相切，求动圆圆心 P的轨迹方程。 变式3
y
P
y 8x
2
A
x
O
x2 y2 例4：P为椭圆 2 2 1上的任意一点，过 F2作 a b F1 PF2的外角平分线的垂线， 垂足为M，求 点M的轨迹。
Y
例4
延长F2 M交直线F1P于N， 易知 | PF2 || PN |
1 所以 | OM | | F1 N | a 2
F1
N
P M
O
F2
X
点M轨迹：x2 y 2 a 2
角分线想对称
x y 变式4：A为双曲线 2 2 1上的任意一点，过 a b 焦点F1作F1 AF2的角平分线的垂线，垂 足为D， 求点D的轨迹。