必修一必修二知识点总结
高一数学必修一必修二各章知识点总结
数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合（一）集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性3.集合的表示：（1）常用数集及其记法（2）列举法（3）描述法4、集合的分类：有限集、无限集、空集5.1.子集、真子集、空集；2.有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集；3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.（一）函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.2.常用的函数表示法及各自的优点：○1解析法：必须注明函数的定义域；○2图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○3列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．优点：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值. 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；(6)指数为零底不可以等于零；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：(以下两点必须同时具备)(1)表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；(2)定义域一致.求函数值域方法 :（先考虑其定义域）（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3)求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等.2. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据.(2) 画法:描点法;图象变换法常用变换方法有三种:平移变换;对称变换；*伸缩变换.3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f（对应关系）：A（原象集）→B（象集）”对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.5.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；(2)各部分的自变量的取值情况；(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．（二）函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）定义设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.定义的变形应用：如果对任意的12,x x D∈，且21xx≠有0)()(1212>--xxxfxf或者2121(()())()0f x f xxx -->，则函数)(x f 在区间D 上是增函数；如果对任意的12,x x D ∈，且21x x ≠有2121()()0f x f x x x -<-或者2121(()())()0f x f xxx --<，则函数)(x f 在区间D 上是减函数. 注意：函数的单调性是函数的局部性质. （2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3)函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： ○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○2确定f(－x)与f(x)的关系； ○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .3.函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法； 待定系数法；换元法；消参法.如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f [g (x )]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 4．函数最大（小）值（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； （2）利用图象求函数的最大（小）值；（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n .当n 是奇数时，a a nn=，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aa n m nm nm ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r s r s a a a +⋅=(0,,)a r s R >∈；（2）()r s r s a a =),,0(R s r a ∈>；（3）()r r ra b ab =(0,)a r R >∈． （二）指数函数及其性质1．指数函数的概念： 一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [（a>1）或 )]a (f ),b (f [(0<a<1)； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =.二、对数函数（一）对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x=⇔=log . 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数b a ＝ N ⇔log a N ＝ b底数指数 对数 （二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =N Malog M a log －N a log ； ○3 na M log n =M a log)(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式可得下面的结论：（1）b m nb a nam log log =； （2）a b balog 1log =． （三）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.如：xy 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 对数函数对底数的限制：0a >，且1a ≠． 2、对数函数的图象和性质：a>1 0<a<132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567811定义域：(0,)+∞定义域：(0,)+∞值域为R值域为R 在R 上递增在R 上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）三、幂函数1．幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．2．幂函数性质归纳：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）当0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）当0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1．函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点. 2．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标. 即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 3．函数零点的求法： ○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． 二、函数的应用解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.数学必修2各章知识点总结第一章 空间几何体1、柱、锥、台、球的结构特征（要补充直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台、平行六面体的定义）结 构 特 征 性质 图例 棱柱 （1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形； （2）侧棱平行且相等. 圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴； （3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥 （1）底面是多边形，各侧面均是三角形； （2）各侧面有一个公圆锥（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲共顶点.面所围成的几何体.棱台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分. 圆台 （1）两底面相互平行； （2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.2、空间几何体的三视图三视图定义：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度. 3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 轴平行且长度不变；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 轴平行，长度为原来的一半.4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）柱体、锥体、台体的表面积（几何体的表面积为几何体各个面的面积的和）表面积相关公式 表面积相关公式棱柱 2S S S =+侧全底 圆柱 222S r r h ππ=+全（r ：底面半径，h ：高） 棱锥 S S S =+侧全底圆锥 2S r r l ππ=+全（r ：底面半径，l ：母线长） 棱台S S S S =++侧全上底下底圆台22('')S r r r l r l π=+++全（r ：下底半径，r ’：上底半径，l ：母线长）（2）柱体、锥体、台体的体积公式体积公式体积公式 棱柱 V S h =底高圆柱 2V r h π=棱锥 13V S h =底高圆锥 213V r h π=棱台1('')3V S SS Sh =++圆台221('')3V r rr r hπ=++ （3）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24Rπ第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系1、空间点、直线、平面之间的位置关系 （1）平面① 平面的概念： 平面是无限伸展的.② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC.③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.点与直线的关系：点A 在直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l.直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α.（2）平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1 公理2 公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,ABC ABC α⇒不共线确定平面,l P P P l αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩公理2的三条推论：推论1： 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2： 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3： 经过两条平行直线，有且只有一个平面.（3）空间直线与直线之间的位置关系公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行①空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. ②异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线③异面直线所成角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.④等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补. （4）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：a α⊂； a ∩α＝A ；a ∥α . （5）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点，记作α∥β.相交——有一条公共直线，记作α∩β＝b.2、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.(线线平行⇒线面平行) 符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行⇒线线平行符号表示为：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行→面面平行），用符号表示为：,,////,//a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭. *（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.（线线平行→面面平行），*（3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理β aαb（1）如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.（面面平行→线面平行）用符号表示为：α∥β，a ⊂β//a α⇒（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（面面平行→线线平行） 用符号表示为：α∥β，α∩γ＝a ,β∩γ＝b //a b ⇒ 3、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直. ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直.③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直. （2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.（线线垂直→线面垂直）用符号表示为：l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α⇒l ⊥α性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 用符号表示为：a ⊥α，b ⊥α⇒ //a b②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直→面面垂直）用符号表示为：a ⊂α，α⊥β⇒α⊥β.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直→线面垂直）用符号表示为：αβ⊥，l αβ=，a α⊂，a l ⊥⇒a β⊥. 4、空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 0.②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角. ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线b a '',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角. （2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0.②平面的垂线与平面所成的角：规定为90.③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”. （3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到二面角平面角.*垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角第三章 直线与方程1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示.即ta n k α=.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当[)时，0≥k ；当()180,90∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在. ②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=③设1122(,),A x y B xy ，（），则线段AB 中点坐标公式为1212(,)22x x y y ++ 2、直线的方程注意：各式的适用范围; ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）.（2）直线系方程（即具有某一共同性质的直线）①平行直线系：平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系方程为：000=++C y B x A （C 为参数） ②垂直直线系：垂直于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系方程为：000=+-C y A x B （C 为参数） ③过定点的直线系:（ⅰ）斜率为k 的直线系方程为()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；*（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中.3、两直线平行与垂直已知111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，则212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否. 4、两条直线的交点0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 相交，交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解.方程组无解21//l l ⇔； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合5、距离公式：(1)平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离为|P 1P 2|＝222121()()x x y y -+-. 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||P P x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||P P y y =-； (2)平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离为d ＝|Ax0＋By0＋C|\r(A2＋B2).(3)两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(其中A ，B 不同时为0，且C 1≠C 2)间的距离为d＝|C1－C2|\r(A2＋B2).第三章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2、圆的方程（1）标准方程()()222rb y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x 当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需要求出a ，b ，r ；若利用一般方程， 需要求出D ，E ，F.另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 3、直线与圆的位置关系：位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法 相交 有两个公共点 方程组有两个不同实根 d<r △>0 相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r △=0 相离 没有公共点 方程组无实根 d>r △<0（利用圆被截得弦的性质（垂径定理）：弦长222||d r AB -=（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】；(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定.设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当r R d -<时，两圆内含； 当0=d时，为同心圆.注意：已知两圆相切，两圆心与切点共线，圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点. 5.空间直角坐标系（1）定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O -xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.（2）任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，有序实数组(,,)x y z 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)Mxyz （x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标）（3）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=。
高一语文必修一必修二知识点总结
高一语文必修一必修二知识点总结高一语文必修一知识点总结：一、文言文基础知识1. 文言文的基本概念和特点；2. 文言文的文字特征：形式严谨、语义丰富、句法复杂等；3. 文言文的常用结构和修辞手法：并列、对偶、排比、反问等；4. 文言文的句式和语法：典型句式、纵横平仄、头韵平仄等。
二、古代文学的文学作品及特点1. 古代文学史的重要时期和代表作；2. 古代文学的特点：褒贬不一、思想性强、道德寓意、富有情感等；3. 古代文学的主题和艺术表现：以人为本、崇尚道德、抒发感情等；4. 古代文学的艺术形式：诗、赋、辞、曲、话剧等。
三、现代文学的文学作品及特点1. 现代文学的产生背景和发展；2. 现代文学的特点：现实主义、浪漫主义、自然主义、现代主义等；3. 现代文学的主题和艺术表现：写实与想象相结合、心理描写、细腻感人等；4. 现代文学的艺术形式：小说、散文、诗歌、戏剧、影视作品等。
四、阅读与鉴赏1. 阅读文言文和现代文学作品的技巧和要点；2. 鉴赏文言文和现代文学作品的方法和标准；3. 文言文和现代文学作品的解读和评价。
五、基础写作1. 写话题作文、记叙文、说明文、议论文的基本要求和写作技巧；2. 写作中的修辞手法：比喻、拟人、夸张等；3. 语法和标点符号的正确使用；4. 修改和润色文章的能力。
六、古代诗词鉴赏1.古代诗词的发展历程和不同时期的代表作；2. 古代诗词的特点和艺术表现；3. 古代诗词的格律：词牌、韵脚、形式等；4. 古代诗词中的意象和修辞手法：借景抒情、拟人、比喻等；5. 古代诗词鉴赏的方法和技巧。
高一语文必修二知识点总结：一、古代诗词鉴赏1. 唐代诗：李白、杜甫、白居易等的作品；2. 宋代词：辛弃疾、苏轼、李清照等的作品；3. 元曲：关汉卿、白朴等的作品；4. 古代诗词鉴赏的方法和技巧。
二、现代文学鉴赏1. 现代散文的代表作和主要作者；2. 现代诗歌的代表作和主要作者；3. 现代小说和戏剧的代表作和主要作者；4. 现代文学作品的背景和主题。
数学必修一必修二知识点总结
数学必修一必修二知识点总结前言数学作为一门基础学科，对我们的日常生活和学习都有重要的影响。
高中数学的必修一和必修二是数学学习的基础阶段，掌握这些知识点是学好高中数学的基础。
本文将对数学必修一和必修二的主要知识点进行总结，帮助学生复习和巩固这些知识。
数学必修一1. 代数基础•有理数与整式运算•分式的意义和性质•一元二次方程2. 几何基础•平面直角坐标系•平面向量•三角形与四边形•圆3. 函数基础•函数与其表示•一次函数与二次函数•幂函数与指数函数4. 概率与统计基础•图形与数据的统计分析•随机事件与概率•概率统计数学必修二1. 三角函数•任意角与弧度制•三角函数的概念与性质•三角函数的图像与性质•反三角函数2. 平面向量•向量的基本概念与运算•向量的数量积与向量积•向量应用问题3. 指数与对数函数•指数函数与对数函数的概念与性质•指数方程与对数方程•指数函数与对数函数的图像与性质•指数与对数函数的运算与应用4. 三角恒等变换•函数诱导公式与功能公式•三角恒等变换的证明与应用5. 二次函数的图像与性质•二次函数的概念与性质•二次函数的图像与位置关系•二次函数的应用问题总结数学必修一和必修二是高中数学学习的基础，涵盖了代数基础、几何基础、函数基础、概率与统计基础、三角函数、平面向量、指数与对数函数等重要知识点。
通过掌握这些知识，学生能够打下坚实的数学基础，为进一步学习高等数学打下基础。
希望通过本文的总结，可以帮助学生回顾巩固数学必修一和必修二的知识点，为进一步学习和理解数学打下基础。
同时，也希望学生在学习数学的过程中，能够运用所学知识解决问题，培养数学思维和解决问题的能力。
最后，祝愿学生在数学的学习中取得优秀的成绩！。
数学-数学必修一必修二知识点大全
数学必修一必修二知识点大全数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。
接下来小编在这里给大家分享一些关于数学必修一必修二知识点归纳，供大家学习和参考，希望对大家有所帮助。
数学必修一必修二知识点归纳(一)1.并集(1)并集的定义由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作"A并B");(2)并集的符号表示A∪B={x|x∪A或x∪B｝.并集定义的数学表达式中"或"字的意义应引起注意，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的.x∪A，或x∪B包括如下三种情况：①x∪A，但xB;②x∪B，但xA;③x∪A，且x∪B.由集合A中元素的互异性知，A与B的公共元素在A∪B中只出现一次，因此，A∪B 是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.例如，设A={3，5，6，8｝，B={4，5，7，8｝，则A∪B={3，4，5，6，7，8｝，而不是{3，5，6，8，4，5，7，8｝.2.交集利用下图类比并集的概念引出交集的概念.(1)交集的定义由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B").(2)交集的符号表示A∩B={x|x∪A且x∪B｝.(二)1.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∪[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
高中必修一、必修二主干知识(简单版)
必修一及必修二主干知识
1、太阳直射点的移动示意图
2．太阳直射点的移动规律
3、图解正午太阳高度变化规律
4、中国东部锋面雨带进退图
移动规律(正常年份)
①春末(5月)：“副高”位于15°N～20°N―→“雨带”位于华南(南岭)。
②夏初(6月)：“副高”延伸至20°N―→“雨带”位于长江中下游地区直至日本。
③7～8月：“副高”北进到25°N～30°N―→“雨带”位于华北、东北。
④9月：“副高”南移―→“雨带”南移，北方雨季结束。
影响：“副高”强或弱，会导致“雨带”推进速度快或慢，引起“北涝南旱”或“南涝北旱”。
5、河流的补给
6水循环过程
结合上图，水循环的过程可以归纳为：
8、自然环境地域分异规律 水平地域分异规律
垂直地域分异规律
9、农业区位
10、工业区位
11、城市的区位
12、交通的区位。
必修一、二知识梳理
万有引力作用下天体运动的规律 Mm = M a=G G man 2 (R + h)2 ( R+ h ) 2 Mm = v G m 2 R+h (R + h)
Mm = ω2 + G ) 2 m (R h (R+h)
π M m 2 2 G = m( ) ( R + h) 2 ( R + h) T
gR 2 a= (R + h )2
知识梳理
一、物理概念： 物理概念： 必修一：质量、时间、时刻、直线运动、匀变速直线运动、 必修一：质量、时间、时刻、直线运动、匀变速直线运动、自 由落体运动、位移、路程、质点、速度、瞬时速度、平均速度、 由落体运动、位移、路程、质点、速度、瞬时速度、平均速度、 变化量、减小量、加速度、矢量、标量、 重力、弹力、 变化量、减小量、加速度、矢量、标量、力、重力、弹力、弹 簧劲动系数、摩擦力、动摩擦因数、 簧劲动系数、摩擦力、动摩擦因数、打点计时器等 物理量有：质量、时间、位移、路程、速度、加速度、 物理量有：质量、时间、位移、路程、速度、加速度、力 必修二：曲线运动、平抛运动、圆周运动、向心力、角速度、 必修二：曲线运动、平抛运动、圆周运动、向心力、角速度、 线速度、周期、转速、频率、向心加速度、万有引力、 线速度、周期、转速、频率、向心加速度、万有引力、宇宙速 动能、重力势能、弹性是能、 度、功、动能、重力势能、弹性是能、功率等 物理量有：向心力、角速度、线速度、周期、转速、频率、 物理量有：向心力、角速度、线速度、周期、转速、频率、向 心加速度、万有引力、 动能、重力势能、弹性是能、 心加速度、万有引力、功、动能、重力势能、弹性是能、功率 以上物理量是矢量的是：速度、位移、 以上物理量是矢量的是：速度、位移、力、加速度、向心加速 加速度、 中学不涉及） 度、角速度（中学不涉及） 要记住各物理的单位
高一必修一、必修二知识点整理
交集并集补集{|,}A B x x A x B =∈∈且 {|,}A B x x A x B =∈∈或 U C A ={}x x U x A ∈∉且1、德摩根公式：();()U U U U U U C AB C A C B C A B C A C B ==.2、包含关系： A B A A B B =⇔=⇔⊆A B （讨论）3、集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.三个不等式的解法： (1) 分式不等式 (2) 一元二次不等式(3) 绝对值不等式：当a> 0时，有<⇔-<<x a a x a ； >⇔>x a x a 或x a <-. 对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ；()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ； ()()y f x y f x =−−−→=--原点 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去4、函数单调性:增函数：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x < 成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。
D 则就是f （x ）的递增区间。
减函数：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。
D 则就是f （x ）的递减区间。
函数 单调 单调性 内层函数 ↓ ↑ ↑ ↓ 外层函数 ↓ ↑ ↓ ↑ 复合函数 ↑↑↓↓等价关系：(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.5、函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或，则f （x ）就是奇函数。
必修1、必修2知识点总结新
必修1、必修2知识点总结现实是此岸，理想是彼岸。
中间隔着湍急的河流，行动则是架在川上的桥梁！集合与函数知识点：集合运算、函数三要素（定义域、值域、对应关系尤其是解析式）、图像、奇偶性、单调性、零点、指对数运算、应用题。
1、（1）集合与元素的关系：属于“∈”和不属于“∉”（2）集合与集合的关系：包含⊆（即子集）、真包含≠⊂（即真子集）、不包含、相等关系. 若有限集A 中有n 个元素，集合A 的子集个数为2n，真子集的个数为21n-2、集合的运算：有交集⋂、并集⋃、补集u C A 三种运算3、构成函数的要求：1、数集2、x 与y 的对应是一对一或多对一4、函数的三要素：定义域（x 的取值范围）、对应关系及值域（y 的取值范围）. 两个函数相等只要定义域及对应关系相同 定义域的求法：①分母不为0②偶次根式中被开方数0≥③0()f x x =中0x ≠④log a y x =中0x >值域求法：1、图像法（作出一次、二次、正反比例、幂、指对数、对勾函数图像的图像后通过图像观察值域）2、单调性法（单调函数的最值出现在定义域的两端点处）3、换元法（化为熟悉的基本函数，但要注意元的范围） 5、函数图像与变换（利用平移与对称作出图像后来解决陌生函数问题）平移变换：（1）左加右减()()()0y f x y f x a a =→=±> （2）上加下减()()()0y f x y f x a a =→=±> 对称变换（3）()y f x = 的图象可将()y f x = 的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折上去，其余部分不变; （4）()y f x =的图象可将0x ≥的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴对称，作出0x < 的部分.6、单调性： 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 7、判断单调性的方法：（1）、定义法及步骤：①设值；②作差；③断号；④下结论. （2）图像法（3）、复合函数法（同增异减） （4）利用性质：增函数+增函数为增函数；减函数+减函数为减函数 8、奇偶性：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数f (x )就叫做偶函数.如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数f (x )就叫做奇函数.9、奇函数、偶函数的性质①奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ②若奇函数()f x 在x =0处有定义，那么一定有(0)0f =③奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 10、判断奇偶性的步骤：（1）看定义域是否关于原点对称（2）找()f x 与()f x -关系11、幂与根式的互相转化mnapa-=1pa12、幂的运算法则rs a a =r sa+；()r sa =rs a ；()r ab =r ra b ； nnnb a ab=⎛⎫ ⎪⎝⎭13、对数概念：log na ab b n =⇔= ①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作Nlg②以无理数( 2.71828)=⋅⋅⋅e e 为底的对数称自然对数，N elog 记作N ln14、基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数） ②log 10a =，③log 1a a = ④对数恒等式：log a N a N =15、运算性质：①log ()log log a a a MN M N=+ ②log log log aa a MM N N=- ③log log n a a M n M=.换底公式：log log log m a m N N a=推论①log log 1ab b a ⋅= ②log log mna a nb b m=16、指、对数函数的图象和性质：略，请同学们自己总结 函数(0,1)x y a a a =>≠且称为指数函数 函数log (0,1)a y x a a =>≠且称为对数函数注意：要清楚底数不同对图像的影响 17、复合函数的单调性：[]()y f x ϕ=由y=()f u 与()u x ϕ=g (x)复合而成，当y=f (u)与()u x ϕ=单调性相同时[]()y f x ϕ= 为增函数;当y=f (u)与()u x ϕ=单调性相反时[]()y f x ϕ=为减函数；18、幂函数：函数y x α=叫做幂函数，要会画,y x =2y x =,3,y x =1y x=,12y x =的图像（参考必修1第77面）性质：0α>时，幂函数α=y x 在第一象限内是增函数；0α<时，幂函数α=y x 在第一象限内是减函数；19、函数零点的定义：对于函数(),y f x =使()0f x =成立的实数x 叫做函数()y f x =的零点.20、零点存在定理：若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且()()0f a f b <，则函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点. 21、二分法定义：对于区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <的函数()y f x =,通过不断把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.注：一般求的是零点近似值.立体几何一、表面积与体积⑴圆柱侧面积： 侧面2S rl π= ⑵圆锥侧面积：侧面S r l π=⋅⋅ ⑶圆台侧面积：侧面（）π=+S r R l ⑷体积公式：h S V ⋅=柱体； h S V ⋅=31锥体；()13V S S h =⋅下台体上 ⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，. 组合体体积与表面积：切割成柱锥台求解球的接切问题：1、球的截面利用勾股定理2、内切球利用相似三角形球半径3、外接球利用勾股定理或补形成正长方体4、正长方体外接球直径等于体对角线 三视图问题：（1）找投影面（与光线垂直的屏幕） （2）找点的投影（可见为实，不可见为虚） 直观图问题：与x,y,z 轴平行性不变，但与y 轴长度变为一半直原4S S =1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
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必修一 第一章 运动的描述
1.质点
(1)定义：忽略物体的大小和形状，把物体简化为一个有质量的物质点，叫质点．
(2)把物体看做质点的条件：物体的大小和形状对研究问题的影响可以忽略．
2．参考系
(1)定义：要描述一个物体的运动，首先要选定某个其它的物体做参考，这个被选作参考的物体叫参考系．
(2)选取：可任意选取，但对同一物体的运动，所选的参考系不同，运动的描述可能会不同，通常以地面为参考系．
3.位移和路程
(1)位移：描述物体位置的变化，用从初位置指向末位置的有向线段表示，是矢量．
(2)路程：是物体运动轨迹的长度，是标量．
4．速度
(1)平均速度：在变速运动中，物体在某段时间内的位移与发生这段位移所用时间的比值，即v ＝x t ，是矢量．
(2)瞬时速度：运动物体在某一时刻(或某一位置)的速度，是矢量．
5．速率和平均速率
(1)速率：瞬时速度的大小，是标量．
(2)平均速率：路程与时间的比值，不一定等于平均速度的大小．
6．加速度
1).定义速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值．
2)．定义式 a ＝Δv Δt
，单位：m/s 2. 3)．方向 与速度变化量的方向相同．
4)．物理意义 描述物体速度变化快慢的物理量．
判断直线运动中“加速”或“减速”情况
物体做加速运动还是减速运动，关键是看物体的加速度与速度的方向关系，而不是看加速度的变化情况．加速度的大小只反映速度变化(增加或减小)的快慢． 1a 和v 同向
加速直线运动⎩⎪⎨⎪⎧ a 不变，v 随时间均匀增加a 增大，v 增加得越来越快
a 减小，v 增加得越来越慢 2a 和v 反向
减速直线运动⎩⎪⎨⎪⎧ a 不变，v 随时间均匀减小a 增大，v 减小得越来越快
a 减小，v 减小得越来越慢
第二章 匀速直线运动
1.匀变速直线运动
(1)定义：沿着一条直线且加速度不变的运动．
(2)分类 ①匀加速直线运动，a 与v 0方向相同．
②匀减速直线运动，a 与v 0方向相反．
2．基本规律
(1)三个基本公式
①速度公式：v ＝v 0＋at .
②位移公式：x ＝v 0t ＋12
at 2. ③位移速度关系式：v 2－v 20＝2ax
(2)两个重要推论
①平均速度公式：v ＝v t 2＝v 0＋v 2
. ②任意两个连续相等的时间间隔T 内的位移之差为一恒量，即Δx ＝aT 2.
3．初速度为零的匀变速直线运动的四个推论
(1)1T 末、2T 末、3T 末…瞬时速度的比为：v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n
(2)1T 内、2T 内、3T 内…位移的比为：x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝12∶22∶32∶…∶n 2
(3)第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内…位移的比为：
x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ∶…∶x n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)．
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：
t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝1∶(2－1)∶(3－2)∶….
应用运动图象解题“六看”
1．看“轴”⎩⎪⎨⎪⎧
x －t 图象纵轴表示位移v －t 图象纵轴表示速度 2．看“线”⎩⎪⎨⎪
⎧ x －t 图象上倾斜直线表示匀速直线运动v －t 图象上倾斜直线表示匀变速直线运动
3．看“斜率”⎩⎪⎨⎪⎧ x －t 图象上斜率表示速度v －t 图象上斜率表示加速度
4．看“面积”⎩⎪⎨⎪⎧ x －t 图象上面积无实际意义v －t 图象上图线和时间轴围成的“面积”表
示位移
5．看“纵截距”⎩⎪⎨⎪⎧ x －t 图象表示初位置v －t 图象表示初速度
6.看“特殊点”⎩⎪⎨⎪⎧ 拐点转折点一般表示从一种运动变为另一 种运动交点在x －t 图象上表示相遇，在v －t 图 象上表示速度相等
第三章 相互作用
1.重力
(1)产生：由于地球的吸引而使物体受到的力．
(2)大小：与物体的质量成正比，即G ＝mg .可用弹簧测力计测量重力．
(3)方向：总是竖直向下的．
(4)重心：其位置与物体的质量分布和形状有关．
2．弹力
(1)形变：物体在力的作用下形状或体积的变化叫形变．
(2)弹性
①弹性形变：有些物体在形变后撤去作用力时能够恢复原状的形变．
②弹性限度：当形变超过一定限度时，撤去作用力后，物体不能完全恢复原来的形状，这个限度叫弹性限度．
(3)弹力
①定义：发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，会对与它接触的物体产生力的作用． ②产生条件 物体相互接触且发生弹性形变．
③方向：弹力的方向总是与施力物体形变的方向相反．
（4）胡克定律
①.内容：弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F 跟弹簧伸长(或缩短)的长度x 成正比．
②.表达式：F ＝kx .。