工程力学07章-1应力状态

y
y
1.主应力与主平面: 正应力的极值（极大、极小）
对(1)式第一式求导, 得:
ddx
2[yxxy
22
sin
2
2ycos2xcos2xy s]in
20
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
---（1）
单元体上剪应力为零的平面，称为主平面； 该面上的正应力称为主应力。
2
cos 2 x sin 2
--- (3)
由(3)2 + (2)2得:
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 x
--- (4)
半径:
1 2
( x y )2 4 x2
圆心:
(
x
y
,
0)
2
应力圆
R 1 2
x y
2
4
2 x
R
c
x y
2
应力圆的应用 y
点面对应
y
A x x
a
c
转向、二倍角对应
y
xA A'
x
x
z
z
zx
xz
zy yz
xy
yx
y
y
二向应力状态
Biaxial Stress State
z 0 yz 0
x
zx 0
定义：在一个单元体上， 两个主应力均不为0，则 称该单元体所代表的点 处于二向应力状态。
y
yx
xy
x
y
y
x
x
y
τyx
τxy
x
单向应力状态 ( Uniaxial Stress State )
得：tg 2 0
2 x x
y
---（2）
由(2)可解出: 0 相差90o的两个根，说明：
出现主应力的两个面相互垂直。 由(2)可表示出sin20、cos20 代入(1)第一式，得：
max x y
min
2
(
x
2
y
)2
Hale Waihona Puke 2 x---（3）
主方向：
tg 2 0
2 x x
y
---（2）
主应力作用面与主方向配对法则:
y
)2
2 x
主方向：
tg 2 0
2 x x
y
45o : max ;
45o : min ;
等价流出的剪 应力流方向
2.平面主剪应力: 剪应力的极值（极大、极小）
对(1)式第二式求导,经推导得:
tg 21
x 2 x
y
---（4）
max min
(
x
2
y
)2
2 x
---（5）
N
A
3、按照杆件受力的特点，在横截面上画出相应的应力；
4、画出单元体其他各面上的应力；
右视图
M
M
M
T
T
Wt
T
Wt
弯曲梁上一点的单元体，剪力和弯矩都不为0，在横截面 上，既有剪应力也有正应力
dx
弯曲梁上四个点的单元体。四个点在横截面上，既有 剪应力也有正应力
P
P
z
P
z
max
Q.SZ max IZb
max
M Wz
max
M Wz
M y
Iz
QS
z
Izb
l
S
F
a
y
1
4
z
2
x
3
S平面应力分析
1
1
Mx Wt
x1
Mz Wz
z
z
yy
1
2 3
4
4
Mz
4
Mx Wt
xx
Mx
3
3
Mx Wt
x3
Mz Wz
应力状态的分类
三向应力状态
( Triaxial Stress State )
定义：在一个单元体上， 三个主应力均不为0，则 称该单元体所代表的点 处于三向应力状态。
3、τ：沿单元边界，顺时针绕
x
t
n
x dA
单元为正。
y
参加平衡的量
y
——应力乘以其作用的面积
二向应力状态的解析法
Fn 0 :
x
t
n
dA ( x dAcos ) cos
( x dAcos ) sin ( y dAsin ) cos
x dA y
y
( y dAsin ) sin 0
□ 应力状态的概念 □ 应力状态的分析方法 □ 广义虎克定律 □ 材料的破坏形式 强度理论
§7-1 应力状态的概念
■ 问题的提出
P
P
弯曲: M y 扭转 : T
Iz
Ip
cos2
sin 2
2
应力随点的位置变化 应力随截面的方位变化
•地震荷载作用下的墙体破坏
说明:
破坏面与受力 方向可能不一致。
注意到： x y
又三角公式：cos2 1 cos 2 , sin2 1 cos 2
2
2
整理得:
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
---（1）
x
y
2
sin 2
x
cos 2
其中: , ---任意斜截面应力
---斜截面法向n与
t
x
x dA
n
x轴正向夹角
x , y , x ---正截面应力
推论:
对同一点:一 个方向上满足强度 要求,并不能说明已 经安全。
应力状态的初步概念：
过一点处不同方向面上的应力(正应力和切应力)可以有不 同的组合形式。
研究应力状态的目的：研究应力随点和面的变化规律，
以确定最大正应力σmax和最大剪应力τmax 。
研究应力状态的方法：截取单元体；施用截面法。
■ 截取单元体
体。 单元体很小，可以认为:
(1)各个面上的应力均匀分布；
(2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。
■ 基本变形原始单元体的画法（各侧面应力已知的单元体）
P
P
1、截取无限小六面体作为单元体；
1）截取横截面； 2）在横截面上平行于边缘截取小矩形； 3）从横截面开始缘截取小立方体；
2、分析单元体各个面的含义，分清哪个面是横截面；
30 50 30 50 cos 60 (20) sin 60 52.32MPa
30
2
2
30 50 sin 60 (20) cos 60 18.66MPa
60
2
2）主应力，主平面
max 30 50
min
2
30 50 2 2
202
62.4MPa 17.6MPa
从构件中截取一个三维方向尺寸无限小的正六面体（单元体）
单
元
dy 体
受
力
dz
特 征
dx
１．应力在每个侧面上均布；
２．相互平行的面上应力等值、 反向。
■ 原始单元体（各侧面应力已知的单元体）
M y
Iz
QS
z
梁
Izb
T
轴
Ip
杆
■ 施用截面法（用截面法找到特殊截面）
N A
M y
Iz
QS
z
梁
Izb
0的平面
通过同一点所取截面方向不同，应力的大小也不 同。应力既是点的位置的函数，也是过该点的截面方 位的函数。
通过同一点不同方位截面上的应力的集合称为该
点的应力状态。
应力是定义在“点”上的 p dF , dN , dQ
dA
dA
dA
材料力学中的“点”是物理点,不是几何点,
有大小和形状，通常用正六面体表示，称为单元
说明:
(1) 出现主剪应力的两个面相互垂直。
(2) 主剪应力的作用面上,正应力不一定为0。
讨论: •由(2)和(4)可知:
tg20
tgx22xy 0y
,
tgtg2211
x1
2 xy
y
推知: 2 0 与 21 相差90o ， 0与1相差45o
• (3)式中两式相减与(4)式比较:
max min
max
22
my in
maxx2
y
2
2 xy
• (3)式中两式相加:
mmmmianiaxnx
maxx2mx yi2nyx2
x
xyy
2 y
2
2
2 xy
--- (3)
--- (4) ---（3）
例：讨论单向应力状态
x , y xy 0
x
2
x
2
cos2
x
cos2
x
2
sin 2
45o
:
2
(1) 将原单元体上的剪应力等效汇合成两对流出和 流入的剪应力流。
(2) 最大主应力σmax的作用面偏向于流出的剪应力
流方向。
例：纯剪切应力状态及其主应力
等价流出的剪 应力流方向
等价流入的剪 应力流方向
x , x y 0
等价流入的剪 应力流方向
主应力：max x y
min
2
(
x
2
单向应力状态 纯剪应力状态
§7-2 二向（平面）应力状态分析